Prof. Daniel Hasse. Princípios de Comunicações

Prof. Daniel Hasse Princípios de Comunicações

AULA 3 Análise de Fourier Prof. Daniel Hasse

Sinais e espectros Os sinais são compostos de várias componentes senoidais (Série de Fourier) Generalização ransformada de Fourier

Aplicações A análise da largura de faixa permitirá o dimensionamento do sistema e o seu adequado projeto. Determinação da distribuição espectral de um sinal de microondas e do ângulo de chegada, através de uma transformada de Fourier espacial.

Operação transformada A fim de se realizar uma operação de transformação, deve-se inicialmente modelar matematicamente o sinal. Objetivo: - Série de Fourier; - ransformada de Fourier; - Relação entre ambas.

Série de Fourier - Nivelamento de conhecimento: 1) Características dos sinais periódios; ) Números complexos; 3) Fasores; 4) Espectros.

Sinais Periódicos Sinais periódicos são aqueles que se repetem ao longo do tempo. Deve obedecer a propriedade: g(t )= g(t + ) O valor é chamado período. O período representa o menor intervalo de tempo no qual o sinal se repete. ambém definimos a amplitude de pico ou amplitude máxima (sempre positiva).

Sinais Periódicos A quantidade de vezes por segundo que o sinal se repete é chamada de freqüência. Definimos: O deslocamento de um sinal em relação a outro é chamado de fase ou defasagem. A defasagem pode ser expressa em unidades de tempo ou de ângulo.

Função Seno: A sen(ω t+φ)

Função Seno

Cálculo de Defasagem

Co-Seno: A cos(ω t+φ)

Domínio da Freqüência O eixo horizontal (variável) representa a freqüência de um sinal. Por exemplo, gráfico da amplitude em função da freqüência.

Espectro Unilateral de Amplitude Espectro Gráfico da amplitude em função da freqüência.

Exemplo

Fasores e espectro de linhas Seja um sinal senoidal dado pela seguinte expressão: v(t) = A cos( ωot + φ) Utilizando-se da relação de Euler, tal que: e j θ = cos( θ) + jsen( θ)

Representação fasorial Podemos expressar o sinal senoidal por um fasor, tal como na figura abaixo:

Espectro de amplitudes e espectro de fases Alternativamente, pode-se representar o sinal senoidal pelos seus espectros de amplitudes e de fases, tal como na figura. Espectro de linhas ou de raias: (a) espectro de amplitudes; (b) espectro de fase

Observações: i. A amplitude (magnitude), no espectro de amplitudes, deve ser sempre positiva. Assim, um sinal descrito por deve ser re-escrito como v(t) = A cos( ωt + φ ± π). É indiferente se é utilizado +π ou -π. ii. φ tem a dimensão radianos e, portanto, a fase deve ser expressa em radianos. Lembrar que ω =.π.f em rad/s e f em Hz. iii. Ângulos e rotação positiva são medidos a partir do eixo real, no sentido anti-horário. iv. Formas de onda cosseno e seno são genericamente denominadas de forma de onda senoidais. Lembrar que sen( ωt) = cos( ωt π / ), ou seja, o sinal seno é um sinal cosseno atrasado de π/ (ou, 9 ). v( t) = Acos( ω t + φ)

Dado o sinal: Cuja forma de onda é: Exemplo s( t) = 7 1cos( 4π t 6 ) + 4sen( 1π t) Determinar o seu espectro de freqüência (amplitude e fase)

Solução O sinal pode ser reescrito como: s (t) = 7cos(πt) + 1 cos(πt + 1 ) + 4cos(π6t 9 ) Assim, o seu espectro de freqüências será:

Atenção! A Série de Fourier aplica-se somente a sinais periódicos!

abela de Séries de Fourier

Exemplos

Exemplos m(t)= Adc+ A1 cos(ω1 t)+ A cos(ω t)

Exemplo 1 Determinar a série de Fourier do sinal 1 f (t) = 1, - / < t < Cujo gráfico em função do tempo é dado por: 1.5 < t < / 1.5 -.5-1 -1.5 - - -1.5-1 -.5.5 1 1.5

Exemplo 1 Como o sinal é periódico, é possível o cálculo da série de Fourier. A tarefa é portanto o cálculo dos coeficientes da série de Fourier, lembrando que: a b a n n = = = f (t).cos(nω f (t).sin(nω f (t)dt t)dt t)dt n =,1,,... n = 1,,...

Exemplo 1 Cálculo do a e a n 1.dt 1.dt f (t).dt a = + = = N n a acima é nula.portanto : a integral, Lembrando que.t) sin(n. n. 1.t) sin(n. n. 1 t).dt 1.cos(n t).dt 1.cos(n t).dt f (t).cos(n a n n = π = ω ω ω + ω ω = = ω + ω = ω =

Exemplo 1 Cálculo de b n se n ímpar, n 4 se n par, )) cos(n (1 n t) cos(n n 1 t) cos(n n 1 t).dt sin(n t).dt 1.sin(n t)dt f (t).sin(n b n π = π π = ω ω + ω ω = ω + ω = ω =

Exemplo 1 A série de Fourier fica então assim: f (t) = 4 π n= ímpar 1 n 4 sin(3ωt) sin(5ωt) sin(nω t) = sin( ωt) + + +... π 3 5 A seguir façamos uma análise da série de Fourier tomando-se um número de termos cada vez maior

Exemplo 1 1.5 Supondo uma onda quadrada de freqüência angular ω=π rad/s e tomando-se somente o primeiro termo da série de Fourier, 4 tem-se a seguinte forma de onda: f (t) = sin(πt) π 1.5 -.5-1 -1.5 - -1.5-1 -.5.5 1 1.5

Exemplo 1 omando-se os dois primeiros termos: f (t) = 4 π (sin(πt) + sin(6πt) ) 3 Cuja forma de onda é: 1.5 1.5 -.5-1 -1.5 - -1.5-1 -.5.5 1 1.5

Exemplo 1 omando-se os três primeiros termos f (t) = 4 (sin(πt) + π Cuja forma de onda é: sin(6πt) 3 sin(1πt) + ) 5 1.5 1.5 -.5-1 -1.5 - -1.5-1 -.5.5 1 1.5

Exemplo 1 f (t) = omando-se os 5 primeiros termos 4 (sin(πt) + π sin(6πt) 3 sin(1πt) + 5 sin(14πt) + + 7 Cuja forma de onda é dada por: sin(18πt) ) 9 1.5 1.5 -.5-1 -1.5 - -1.5-1 -.5.5 1 1.5

Exemplo Determinar a série de Fourier da função f(t) definida por:, f (t) = 1 t, π - π < t < < t < π 1.5 1.5 -.5-8 -6-4 - 4 6 8

Determinação dos coeficientes a n e b n ( ) π = π π = π = π = = ω π π = ω = π π π π se n ímpar, n - se n par, a 1) ) (cos(n n 1 cos(n.t) n 1 sin(n.t)dt) n 1 sin(n.t) n t 1 t).dt t.cos(n 1 t).dt f (t).cos(n a n n 4 1. 1 1 ). ( 1 = = = dt t dt t f a π π π

Determinação dos coeficientes a n e b n n n 1) ( n 1 ) cos(n n 1 cos(n.t)dt) n 1 cos(n.t) n t 1 t).dt t.sin(n 1 t).dt f (t).sin(n b π = π π = + π = = ω π π = ω = π π π

omando-se os seis primeiros termos em senos e cossenos, tem-se que: 1 cos(3t ) cos(5t) cos(7t) cos(9t) cos(11t ) f ( t) = cos( t) + + + + + 4 π 9 5 49 81 11 1 sin(t) sin(3t) sin(4t) sin(5t) sin(6t) sin( t) + + + π 3 4 5 6 Cuja forma de onda é dada por: 1.5 1.5 -.5-8 -6-4 - 4 6 8

omando-se mais termos, tem-se o gráfico abaixo, onde se pode observar o efeito de Gibbs nas transições da função.

Generalização A generalização da Série de Fourier é a ransformada de Fourier. Pode ser usada com sinais periódicos e não-periódicos. Pode ser visto como um caso particular da ransformada de Laplace com s=j ω Se o sinal no tempo for não-periódico, o espectro será contínuo.

Exemplo

ransformada de Fourier Definição Definimos a ransformada e a ransformada Inversa de Fourier por:

Exemplo 1 Achar a F de um pulso exponencial t unilateral dado por f (t)= e u(t).

Exemplo 1

Exemplo Achar a F de um pulso retangular dado por:

Exemplo

abela de ransformada de Fourier

Características da ransformada de Fourier A ransformada é uma função complexa, ou seja, tem parte real e parte imaginária. Ela mostra o comportamento de um sinal com a freqüência. O gráfico de f (t ) e de F (ω ) representam o mesmo sinal, porém vistos de formas diferentes.

ransformada de Fourier Aplicações Circuitos elétricos. Filtros elétricos, eletrônicos, mecânicos e digitais. Sistemas de comunicação. Engenharia biomédica. Astrônomia. Sismologia. Vibro-acústica. Finanças, óptica, radares,.

ransformada de Fourier Propriedades