Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro / PUC-Rio Departamento de Engenharia Mecânica ENG1705 Dinâmica de Corpos Rígidos (Período: 2016.1) Notas de Aula Capítulo 1: VETORES Ivan Menezes ivan@puc-rio.br
Capítulo 1 Vetores 1.1 Introdução Algumas grandezas podem ser completamente definidas por meio de suas magnitudes (ou intensidades), como por exemplo massa, energia cinética, temperatura, dentre outras. Matematicamente, essas grandezas são representadas por um número (denominado escalar) e são conhecidas como grandezas escalares. Outras, entretanto, precisam além da magnitude de uma direção e um sentido para que fiquem completamente definidas, tais como forças, deslocamentos, velocidades, acelerações, dentre outras. Matematicamente, essas grandezas são representadas por meio de vetores e, conseqüentemente, são conhecidas como grandezas vetoriais. Graficamente, os vetores são representados por setas cujos comprimentos definem as magnitudes e as orientações das setas definem as direções e sentidos das grandezas (vide Figura 1.1). Figura 1.1: Representação Gráfica de Vetores. 1.2 Definição Um vetor é uma classe de objetos matemáticos que têm a mesma direção, mesmo sentido e mesma intensidade.
2 CAPÍTULO 1. VETORES 1.3 Notação Grandezas Escalares: letras minúsculas ou letras gregas. Exemplos: a, b, α ou β. Grandezas Vetoriais: letras minúsculas em negrito ou letras minúsculas com uma seta na parte superior. Exemplos: a ou b. 1.4 Posição de um Vetor Sejam A e B dois pontos quaisquer (no R 2 ou R 3 ). Chamamos de segmento orientado AB (representação: AB) ao segmento de origem A e extremidade B, no qual observamos: uma direção (a da reta r que contém o segmento); um sentido (a orientação de A para B); e uma intensidade, magnitude ou módulo (o tamanho ou comprimento do segmento AB), conforme ilustrado na Figura 1.2. Figura 1.2: Segmentos Orientados e Vetores. Quando escrevemos a = AB estamos dizendo que o vetor é determinado pelo segmento orientado AB de origem A e extremidade B. Porém, de acordo com a definição apresentada na Seção 1.2, qualquer segmento de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido de AB representa também o mesmo vetor a, ou seja, cada ponto (do R 2 ou R 3 ) pode ser considerado como origem de um segmento orientado que é representante do vetor a. De acordo com a Figura 1.2, os vetores a e b são iguais (ou equivalentes ou equipolentes) pois possuem a mesma direção (pois a reta r é paralela à reta s), o mesmo sentido e a mesma intensidade, ou seja: a e b são paralelos, logo, têm a mesma direção; a e b têm a mesma orientação, logo, têm o mesmo sentido; tamanho de a = tamanho de b; Conclusão: a = b = a posição de um vetor não precisa ser especificada.
1.5. PONTOS VETORES 3 1.5 Pontos Vetores Sejam P 1, P 2 e P 3 pontos do R 2 conforme ilustrado na Figura 1.3. Figura 1.3: Pontos e Vetores no R 2. Coordenadas dos Pontos: P 1 = (3, 2) P 2 = (5, 1) P 3 = (8, 3) Definição do vetor a: É um vetor que representa o deslocamento do ponto P 2 para o ponto P 3, ou seja: a = P 3 P 2 a = (8, 3) (5, 1) = (3, 2) Assim, um vetor no espaço R 2 é representado por um par ordenado a = (x, y), onde x e y são números reais chamados de componentes do vetor a. Note que os componentes de um vetor correspondem aos tamanhos das projeções desse vetor em cada eixo coordenado. Observe também que é sempre possível transladar um vetor de tal maneira que a sua origem coincida com a origem do sistema de coordenadas. Nesse caso, o vetor passa a ser representado apenas por um ponto, o qual corresponde à nova extremidade desse vetor. No exemplo ilustrado na Figura 1.3, o vetor b, que é equivalente ao vetor a, corresponde a um deslocamento da origem até o ponto P 1, ou seja: b = P 1 O = (3, 2) (0, 0) = (3, 2) = a O vetor b é conhecido como vetor posição associado ao ponto P 1 1. 1 Os componentes de um vetor posição coincidem com as coordenadas do ponto correspondente à extremidade desse vetor.
4 Subtração ou Diferença 1.6 Operações com Vetores 1.6.1 Adição ou Soma Sejam a = (x 1, y 1 ) e b = (x 2, y 2 ) dois vetores, conforme ilustrado na Figura 1.4. Figura 1.4: Soma de Vetores no R 2. Matematicamente, a soma de dois vetores corresponde a um terceiro vetor c, cujos componentes são expressos por: c = a + b = c = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) Graficamente, a soma de vetores pode ser feita utilizando-se a regra do paralelogramo, tal como ilustrado na Figura 1.4. Propriedades da Soma de Vetores Comutatividade: Associatividade: a + b = b + a a + (b + c) = (a + b) + c Elemento Neutro 2 : 0 + a = a + 0 = a Elemento Oposto (ou Inverso Aditivo): a ( a) a + ( a) = 0 1.6.2 Subtração ou Diferença Matematicamente, a subtração de dois vetores pode ser definida como a soma do primeiro vetor com o inverso aditivo do segundo, ou seja: a b = a + ( b) 2 O vetor nulo 0 = (0, 0) é aquele que apresenta intensidade igual a zero e direção indefinida.
5 Considerando os vetores a = (x 1, y 1 ) e b = (x 2, y 2 ), definidos na Seção 1.6.1, a subtração entre eles corresponde a um terceiro vetor c, cujos componentes são expressos por: c = a b = c = (x 1, y 1 ) + ( x 2, y 2 ) = (x 1 x 2, y 1 y 2 ) A Figura 1.5 ilustra a operação de subtração de vetores. Figura 1.5: Subtração de Vetores no R 2. 1.6.3 Multiplicação por um Escalar Sejam a = (x, y) um vetor não-nulo e α um escalar não-nulo. Define-se o produto α a como sendo um vetor com a mesma direção de a, com intensidade igual a α vezes a intensidade de a e com o mesmo sentido de a, se α > 0, conforme ilustrado na Figura 1.6. Figura 1.6: Multiplicação de Vetor por Escalar. Em função dos componentes, o vetor resultante do produto de um vetor por um escalar é dado por: b = α a = b = α (x, y) = (α x, α y)
6 Multiplicação (ou Produto) de Vetores Definição Dois vetores não nulos a e b são paralelos se e somente se existe um α real tal que a = αb. Propriedades da Multiplicação de Vetor por Escalar Elemento Neutro: Associatividade: 1a = a α β a = (α β) a Distributividade (em relação aos vetores): α (a + b) = α a + α b Distributividade (em relação aos escalares): (α + β) a = α a + β a Se α a = β a e a 0 = α = β 1.6.4 Multiplicação (ou Produto) de Vetores Existem diferentes tipos de multiplicação entre vetores, os quais serão estudados na Seção 1.10 deste texto. 1.7 Norma de um Vetor Definição: 3 Norma = Intensidade = Magnitude = Módulo Notação: Norma de um vetor a = a Seja a um vetor do R 2 com componentes a x e a y. A partir do triângulo retângulo ABC, ilustrado na Figura 1.7, pode-se concluir que a norma do vetor a (que corresponde à hipotenusa do triângulo) é dada por: a = a 2 x + a 2 y 1.8 Vetor Unitário São aqueles cujas normas são iguais a 1. Ou seja, a é um vetor unitário, se a = 1. A cada vetor a está associado um vetor unitário b, a partir da seguinte expressão: b = 1 a a Observe que a expressão acima representa a multiplicação de um vetor (a) por um escalar α = 1 a. 3 A definição de norma de um vetor está associada ao conceito de distância entre dois pontos, conforme será estudado mais adiante, na Seção 1.9.
7 Figura 1.7: Norma de um Vetor. 1.8.1 Versores Os vetores unitários são chamados de versores e são representados da seguinte forma: â = a a Os versores são comumente utilizados na representação dos eixos coordenados. No R 2, por exemplo, os eixos X e Y são representados pelos versores î e ĵ, respectivamente, conforme ilustrado na Figura 1.8. Figura 1.8: Versores no R 2. Utilizando os conceitos de soma de vetores e de multiplicação de um vetor por um escalar, o vetor a = (a x, a y ), apresentado na Figura 1.8, pode ser escrito como: a = a x + a y Ou ainda: a x = a x î e a y = a y ĵ Finalmente: a = a x î + a y ĵ A Figura 1.9 ilustra um sistema de coordenadas no R 3 e a representação dos eixos coordenados X, Y e Z pelos versores î, ĵ e ˆk, respectivamente.
8 Produto Escalar (ou Produto Interno) Figura 1.9: Versores no R 3. 1.9 Distância entre Pontos A distância d entre dois pontos P 1 e P 2 pode ser definida como a norma do vetor deslocamento de um ponto a outro (nesse caso, o sentido do vetor torna-se irrelevante), conforme ilustrado na Figura 1.10. Figura 1.10: Distância entre Pontos. 1.10 Produto de Vetores 1.10.1 Produto Escalar (ou Produto Interno) É o produto entre dois vetores cujo resultado é um escalar, ou seja: a b = c = { a b cosθ se a e b 0 0 se a = 0 ou b = 0 A interpretação geométrica do produto interno entre dois vetores está apresentada na Figura 1.11. O ângulo θ, considerado na expressão acima, corresponde ao ângulo interno (ou seja, aquele que satisfaz o seguinte critério: 0 θ π).
9 Figura 1.11: Produto Interno entre dois Vetores. De acordo com a Figura 1.11, o produto interno entre dois vetores a e b é igual ao produto da norma do vetor a pela norma da projeção do vetor b sobre o vetor a, ou vice-versa. Ortogonalidade entre Vetores Dois vetores a e b, não nulos, são ortogonais (a b) se e somente se: a b = 0. Nesse caso, cosθ = 0 e, portanto, θ = π 2. Norma de um Vetor em Função do Produto Interno Uma maneira alternativa de se calcular a norma de um vetor é dada pela seguinte expressão: a a = a a cos(0) ou seja: a = a a Produto Escalar em Função das Componentes dos Vetores Sejam dois vetores a e b conforme ilustrado na Figura 1.12. Utilizando-se a expressão do produto escalar: a b = a b cosθ Mas, de acordo com a Figura 1.12, θ = α β, logo: Ou ainda: a b = a b cos(α β) a b = a b (cosαcosβ + senαsenβ)
10 Produto Vetorial (ou Produto Externo) Figura 1.12: Produto Escalar em Função das Componentes. Rearranjando-se os termos acima, obtém-se: Finalmente: a b = a cosα b cosβ + a senα b senβ a b = x a x b + y a y b Propriedades do Produto Escalar Comutatividade: Associatividade: a b = b a a (b + c) = a b + a c (αa) b = a (αb) = α (a b) a a = a 2 a b a b α a = α a 1.10.2 Produto Vetorial (ou Produto Externo) É o produto entre dois vetores cujo resultado é um vetor, ou seja: A norma do vetor c é dada por: a b = c c = { a b senθ, se a 0 e b 0 e θ 0 e θ π 0, se a = 0 ou b = 0 ou θ = 0 ou θ = π
11 Interpretação Geométrica Figura 1.13: Produto Externo entre dois Vetores (regra da mão direita). Note que, de acordo com a Figura 1.13, a norma do produto externo entre dois vetores é numericamente igual ao dobro da área do triângulo formado por esses vetores, ou seja: a b = a b senθ = a h = 2 A onde A é a área do triângulo cuja altura é igual a h. Propriedades do Produto Vetorial a b = b a Associatividade: a (b + c) = a b + a c α (a b) = (αa) b = a (αb) Se a e b são não nulos e a b = 0, então a e b são paralelos. Produto Vetorial em Função das Componentes dos Vetores Sejam a = (x a, y a, z a ) e b = (x b, y b, z b ) dois vetores do R 3. Conforme ilustrado na Figura 1.13, o vetor c, resultado do produto vetorial entre eles, pode ser expresso como: i j k c = x a y a z a x b y b z b onde, o lado direito da expressão acima representa o determinante da matriz 3 3 cujas linhas são formadas pelos versores dos eixos coordenados (i, j e k) e pelos componentes do primeiro (a) e do segundo (b) vetores, respectivamente.
12 Produto Vetorial (ou Produto Externo) O resultado do produto vetorial, em função dos componentes dos vetores a e b, é obtido calculando-se o determinante acima, ou seja: c = (y a z b y b z a ) i + (z a x b z b x a ) j + (x a y b x b y a ) k ou ainda: c = (y a z b y b z a, z a x b z b x a, x a y b x b y a ) 1.11 Ângulo entre Vetores Dados dois vetores a e b, o ângulo θ entre eles pode ser calculado das seguintes maneiras: (a) Produto Escalar a b = a b cosθ Logo: cosθ = a b a b ( ) a b Finalmente: θ = arc cos a b (b) Produto Vetorial a b = a b senθ Logo: Finalmente: a b senθ = a b ( ) a b θ = arc sen a b
1.12. RETAS E PLANOS 13 1.12 Retas e Planos O objetivo deste tópico é apresentar as equações que descrevem as retas e os planos utilizando os conceitos de vetores, estudados anteriormente. 1.12.1 Equação da Reta no R 3 Problema: Encontrar a equação da reta r que passa pelo ponto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) e é paralela ao vetor v = (a, b, c), conforme ilustrado na Figura 1.14. Figura 1.14: Determinação da Equação da Reta no R 3. O ponto P (x, y, z), ilustrado na Figura 1.14 pertencerá à reta r se, e somente se, os vetores do tipo P 0 P forem paralelos ao vetor v, ou seja: P 0 P = t v Ou seja: (x x 0, y y 0, z z 0 ) = t (a, b, c) Ou ainda: x x 0 = t a y y 0 = t b z z 0 = t c Equações Simétricas da Reta: x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c
14 Equação do Plano 1.12.2 Equação do Plano Problema: Encontrar a equação do plano que passa pelo ponto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) e tem vetor normal n = (a, b, c), conforme ilustrado na Figura 1.15. Figura 1.15: Determinação da Equação Plano. O ponto P (x, y, z), ilustrado na Figura 1.15 pertencerá ao plano se, e somente se, os vetores do tipo P 0 P e n forem ortogonais, ou seja: P 0 P n = 0 Ou seja: (x x 0, y y 0, z z 0 ) (a, b, c) = 0 Ou ainda: a (x x 0 ) + b (y y 0 ) + c (z z 0 ) = 0 Fazendo-se: d = ax 0 by 0 cz 0 Obtém-se finalmente a equação do plano: ax + by + cz + d = 0