CAP. II RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES

CAP. II RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES Vamos estudar alguns métodos numéricos para resolver: Equações algébricas (polinómios não lineares; Equações transcendentais equações que envolvem funções transcendentais, tais como e, sin, ln. DEFINIÇÃO (RAIZ DE UMA EQUAÇÃO OU ZERO DE UMA FUNÇÃO Um número z é uma raiz da equação f(= se f(z=. Graficamente, a raiz real de uma equação f(= é o ponto onde a função f toca o eio dos. y y=f( a b raiz Página de - Resolução numérica de equações

O cálculo numérico de uma raiz envolve duas fases: Fase I - Localização Determinação de valores a e b de tal modo que a raiz z esteja dontida num intervalo [a,b]; Fase II - Refinamento Cálculo de uma sucessão,,, 3, 4, 5,... de pontos do intervalo anterior, com lim n = z; Objectivo: obter uma aproimação para z dentro de uma precisão ε prefiada.. LOCALIZAÇÃO DAS RAÍZES Nesta secção é feita uma análise teórica e gráfica da função f(. Vejamos um teorema que nos vai ajudar a localizar as raízes de uma equação, num dado intervalo: Teorema : Seja f( contínua em [a,b]. Se f é tal que f(a.f(b<, então f tem pelo menos uma raiz z em ]a,b[. Se, para além disso, f ( eiste e preserva o sinal dentro do intervalo ]a,b[ (isto é, f ' (> ou f (< para a<<b, então a raiz z é única. INTERPRETAÇÃO GRÁFICA: y y=f( a b Página de - Resolução numérica de equações

y y=f( a b GRAFICAMENTE Método mais simples para isolar uma raiz. Para isolar graficamente uma raiz, basta fazer o esboço do gráfico de f( e ver em que ponto ou pontos a função intersecta o eio dos. TÉCNICA: Se a equação em causa é f(=, escreve-se f( na forma h(-g( e traçam-se os gráficos de h( e de g(. Um valor z é raiz da equação f(= precisamente quando os gráficos anteriores se intersectam, isto é, se h(z=g(z pois, neste caso: f(z=h(z-g(z=. Página 3 de - Resolução numérica de equações

EXEMPLO: Considerar a função f(= e - sin -. Neste caso: Sejam g(= e e h(= sin(+ 5 5 5-4 -3 - - 3 4 Página 4 de - Resolução numérica de equações

. REFINAMENTO DAS RAÍZES O procedimento de um método iterativo para determinar a solução eacta z de um problema pode, em linhas gerais, descrever-se do modo seguinte: A aplicação do método requer o conhecimento de, em geral, uma aproimação inicial para a solução z. Por meio de uma fórmula do tipo = f ( -, =,,... (fórmula de iteração é calculada uma sequência de aproimações ( para a solução. Se são verificadas certas condições de convergência a solução procurada é o limite desta sequência, i.e., z = lim, em que cada iteração está mais perto da solução que a iteração anterior. Assim, para se definir um processo finito de cálculo, pode ser tomada como aproimação para z, i.e., z, e o erro z é um erro de truncatura que pode ser estimado..3 CRITÉRIOS DE PARAGEM Um método iterativo tem de terminar, necessariamente, num número finito de passos. Assim, tornam-se necessários critérios de paragem que têm de ser definidos, por forma a encontrar o resultado pretendido. A decisão a tomar quanto ao critério de paragem deve ter em conta duas situações:. a sequência de aproimações calculadas converge, com a rapidez esperada, para a solução do problema e nessas condições o cálculo Página 5 de - Resolução numérica de equações

termina após a determinação de uma aproimação com a precisão pretendida;. a sequência de aproimações calculadas não converge para a solução ou verifica-se que a convergência é demasiado lenta. Na situação., se a diferença entre duas iterações consecutivas é pequena (entendendo-se por pequena se for menor que um dado valor pré-definido não se justifica a continuação do cálculo de iterações. Podemos, então, definir os seguintes critérios: i - < ε ii - < ε, sendo onde ε > é a precisão do erro admitida. Para evitar desperdiçar tempo de cálculo no computador no caso da situação., ou de uma escolha incorrecta de um valor para ε (escolhido no critério de paragem da situação., um outro critério de paragem deve ser usado adicionalmente: O cálculo de iterações é interrompido com a determinação de se, = ma sendo ma o número máimo de iterações especificado. Página 6 de - Resolução numérica de equações

.4 MÉTODOS ITERATIVOS PARA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES.4. MÉTODO DA BISSECÇÃO Seja f( uma função contínua em [a,b], onde [a,b] é um intervalo que contém uma única raiz de f(=, que denotamos por z. O método da bissecção consiste em construir uma sequência de intervalos com amplitude sucessivamente menor dentro dos quais eiste a raiz procurada, até à precisão pretendida. GRAFICAMENTE: y y=f( a z o b Página 7 de - Resolução numérica de equações

ANALITICAMENTE: I = [a,b] a + b = ( ponto médio de [ a,b] ª iteração: se: f(a.f( <, então z ]a, [ e a = a, b =. Neste caso, fazemos: a + b a + = = e I = [a,b ] = [a, ] ; caso contrário, se f(.f(b <, então z ], b [ e a =, b = a e, neste caso, fazemos:, b] ; a + b + b = = e I = [a,b ] = [ se nenhum dos casos anteriores acontecer então f( =, logo z=. ª iteração: se: f(a.f( <, então z ] a, [ e a = a, b =. Neste caso, fazemos: a + b a + = = e I = [a,b ] = [a, ] ; caso contrário, se f(.f(b <, então z ], b [ e a =, b = b e, neste caso, fazemos: a + b + b = = e I = [a, b ] = [, b ] ; se nenhum dos casos anteriores acontecer então f( =, logo z=. Página 8 de - Resolução numérica de equações

O processo é repetido até que se obtenha uma aproimação para a raiz eacta z, com uma precisão não superior a ε. EXEMPLO: Calcular a raiz da equação f(= -3 = para [, ], com ε.3. Raiz eacta: Raiz aproimada: a b f(a f(b f( erro.5 - -.75 -.5.75 -.75.65.5.5.75.65 -.75.65 -.359.5 3.65.75.6875 -.3594.65 -.53.65 4.6875.75.788 -.53.65 -.459.33 5.788.75.7344 -.459.65.8.56 Página 9 de - Resolução numérica de equações

CONVERGÊNCIA DO MÉTODO: Este método gera uma sequência de intervalos I, I, I,..., I,... com amplitude decrescente: I I I I... eistindo z, I, =,,,..., tal que f(z=. Sendo w (I a amplitude do intervalo I, tem-se que: w (I = w(i- =. w(i- =... = w (I Como w (I =b-a, obtém-se: b - a w (I = e lim w (I =. TEOREMA : Seja f uma função contínua em [a,b] que satisfaz f(a.f(b<. Seja o ponto médio do intervalo I gerado pelo método da bissecção. Então, z ] a, b [ tal que f(z = e lim = z ESTIMATIVA DO ERRO Se z I = ]a, b [, i.é, a < z < b, então a < z < b, e se a + b = obtém-se b a b a < z <. Donde, ( I b a w z < =. Página de - Resolução numérica de equações

Assim, para determinar uma aproimação para uma raíz com erro ε, o método iterativo é interrompido imediatamente após o cálculo do intervalo I se metade da sua amplitude não ecede ε, i.é, ( I w < ε. ESTIMATIVA DO NÚMERO DE ITERAÇÕES ( Prova-se que: - ε w(i ε b a + ε Número mínimo de iterações para determinar a raiz aproimada com um ln (b - a / ε erro não superior a ε : ln ( Ζ + PROPRIEDADES DE CONVERGÊNCIA Dada uma equação f(= desde que se conheça um intervalo [a, b] IR onde f é contínua e tal que f(a.f(b<, é possível aplicar o método da bissecção para calcular um intervalo tão estreito quanto se queira, contendo uma raiz da equação. Como não há restrições sobre a amplitude do intervalo inicial e portanto sobre a distância dos etremos do intervalo inicial à raiz, o método da bissecção é globalmente convergente. Página de - Resolução numérica de equações

.4. MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO ( OU DO PONTO FIXO Seja f( uma função contínua em [a,b], onde f tem uma única raiz z no intervalo [a, b]. O método da falsa posição consiste em, cada iteração, dividir o intervalo [a, b ] num ponto + : ( b bf ( a ( b f ( a a f + = (A f correspondente à intersecção com o eio dos da recta que passa pelos pontos (a, f(a e (b, f(b. É de notar que sendo f(a. f(b < se tem que + ]a, b [. Na iteração seguinte é utilizado o subintervalo ]a, + [ se f(a.f( + < ou o subintervalo ] +, b [, se f( +.f(b <. GRAFICAMENTE: Página de - Resolução numérica de equações

ANALITICAMENTE: A equação da recta do tipo y - y = m. ( -, que passa pelos pontos (a, f(a e (b, f(b, com = a e fazendo = +, é dada por: y f(a f(b ( a = ( a f + a b A intersecção da recta anterior com o eio dos origina o ponto ( +,, donde: f(a ( a b + = a (B f(a f(b ( b bf ( a ( b f ( a a f + = (A f A equação da recta do tipo y - y = m. ( -, que passa pelos pontos (a, f(a e (b, f(b, com = b e fazendo = +, é dada por: y f(b f(a ( b = ( b f + b a A intersecção da recta anterior com o eio dos origina o ponto ( +,, donde: f(b ( b a + = b (C f(b f(a ( b bf ( a ( b f ( a a f + = (A f Página 3 de - Resolução numérica de equações

CONDIÇÕES DE CONVERGÊNCIA DO MÉTODO Os teoremas seguintes estabelecem condições suficientes para a convergência do método da falsa posição. TEOREMA 3: Sejam f e f ' contínuas no intervalo [a,b]. Se i f(a.f(b < ii f ' (, (mantém o sinal, [a,b] então a sucessão de aproimações gerada pelo método da falsa posição converge para z, único zero de f em [a,b]. TEOREMA 4: Sejam f, f ' e f '' contínuas no intervalo [a,b]. Se i f(a.f(b < ii f ' (, (mantém o sinal, [a,b], iii f ' ' (, (mantém o sinal, [a,b], então, a sucessão de aproimações gerada pelo método da falsa posição converge monotonamente para z, único zero de f em [a,b] e, além disso, um dos etremos do intervalo [a, b] é fio, ao longo das iterações, tendo-se + = f( f( f(c ( c com c = a ou c = b, tal que, f(c.f ' ' (c >. Página 4 de - Resolução numérica de equações

Ao impormos a condição iii no teorema 4, isto é, que a função f mantém a concavidade em [a, b] ( f convea para f (>, côncava para f (<, estamos a restringir o método da posição falsa aos 4 casos seguintes: CASO : f (>, f(a< e f(b> a = z b fio Da equação (B, para =, temos = a ( a f(a b f(a f(b Fazendo a = e mantendo b fio, f(b >, obtemos f( ( = b f( f(b mas, f( < f( f(b < I = [, ] e, f( b ( = b f( f(b mas, f( < f( f(b < I = [, ] e por indução, b f( temos que = ( b +, isto é, f( f(b f( f( f(c + = ( c, com c = b tal que f ( c f ( c > Página 5 de - Resolução numérica de equações

CASO : f (>, f(a> e f(b< a fio z =b Da equação (C, para =, temos = b ( b f(b a f(b f(a Fazendo b = e mantendo a fio, f(a >, obtemos f( ( = a f( f(a mas, f( < f(a f( < I = [ a, ] e, f( ( = a f( f(a mas, f( < f(a f( < I = [ a, ] e por indução, f( temos que = ( a +, isto é, f( f(a f( f( f(c + = ( c, com c = a tal que f ( c f ( c > Página 6 de - Resolução numérica de equações

CASO 3: f (<, f(a< e f(b> a fio z =b Este caso 3 é semelhante ao caso : Da equação (C, para =, temos = b ( b f(b a f(b f(a Fazendo b = e mantendo a fio, f(a <, obtemos f( ( = a f( f(a mas, f( > f(a f( < I = [ a, ], e por indução, f( temos que = ( a +, isto é, f( f(a f( f( f(c + = ( c, com c = a tal que f ( c f ( c > Página 7 de - Resolução numérica de equações

CASO 4: f (<, f(a> e f(b< =a b fio z Este caso 4 é semelhante ao caso : Da equação (B, para =, temos = a ( a f(a b f(a f(b Fazendo a = e mantendo b fio, f(b <, obtemos f( ( = b f( f(b mas, f( > f( f(b < I = [, ] e por indução, e, f( b ( = b f( f(b temos que = ( b f( +, isto é, f( f(b f( f( f(c + = ( c, com c = b tal que f ( c f ( c > EXEMPLO: Calcular a raiz da equação f(= -3= para [, ], com ε.3. Página 8 de - Resolução numérica de equações

.4.3 MÉTODO DE NEWTON - RAPHSON Sejam f, f ', f '' contínuas em [a,b] e z raiz única da equação f(=, em [a, b]. O método de Newton consiste em, obter o valor de + como a intersecção da tangente à curva de f no ponto (, f( com o eio dos. GRAFICAMENTE: y y=f( z + ANALITICAMENTE: Escrevendo f em série de Taylor em torno de z, obtemos: f(z f( + (z- f ' ( ( [a,b] Mas f(z=, donde f( + (z- f ' ( z f( f ( ' A relação anterior é a base da fórmula de recorrência do método de Newton: Página 9 de - Resolução numérica de equações

f( + = ' Fórmula de recorrência f ( CONVERGÊNCIA DO MÉTODO: ESTIMATIVA DO ERRO Uma estimativa para o erro da aproimação para z: z - CONDIÇÕES DE CONVERGÊNCIA DO MÉTODO O método de Newton (método da tangente é localmente convergente, i.é, para se verificar convergência, é necessário que a aproimação inicial esteja suficientemente próima da raiz z. O teorema seguinte estabelece condições suficientes para a convergência do método de Newton-Raphson. TEOREMA 5: Sejam f, f ', f '' contínuas no intervalo [a,b]. Se i f(a.f(b < ii f ' (, (mantém o sinal, [a,b], iii f ' ' (, (mantém o sinal, [a,b], iv a aproimação inicial, etremo favorável, é = a ou = b, onde f(. f ' ' ( > então a sequência gerada pelo método de Newton converge para z, único zero de f em [a,b]. As condições i e ii garantem que eiste uma única raiz no intervalo [a,b]; Página de - Resolução numérica de equações

A condição iii estabelece que f mantém a concavidade em [a,b] e além disso, em conjunto com a condição ii, implica que f é monótona em [a, b]; A condição iv diz que a tangente à curva quer em a quer em b intersecta o eios dos dentro do intervalo [a, b]. ORDEM DE CONVERGÊNCIA O método de Newton tem ordem de convergência igual a, i.é, convergência quadrática. EXEMPLO: Calcular a raiz da equação f(= -3= para [, ], com ε.3. Página de - Resolução numérica de equações