Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II Módulo I Aula 02
EQUAÇÕES Pense no seguinte problema: Uma mulher de 25 anos é casada com um homem 5 anos mais velho que ela. Qual é a soma das idades desse casal? Pense e responda. Não é difícil responder. O marido tem: 25 + 7 = 30 anos Portanto, a soma das idades do casal é: 25 + 30 = 55 anos Vamos ver outro problema semelhante: O marido de certa mulher é 7 anos mais velho que ela. Quando nasce a primeira criança do casal, as idades dos dois somam 79 anos. Qual a idade da mulher? Podemos perceber que essa resposta não virá tão facilmente quanto a do problema anterior. É interessante, por isso, que você pegue papel e lápis, e tente responder à pergunta. Mostraremos, esta aula, que alguns problemas tanto podem ser resolvidos pelo raciocínio aritmético quanto pelo algébrico. Agora, queremos mostrar-lhe como resolver este problema pela álgebra, pois cremos que você saberá reconhecer o valor desta forma de raciocínio. Para resolver esse problema, poderíamos pensar assim: já que não sabemos a idade da mulher, nós escrevemos em seu lugar. Com isso, podemos escrever o que sabemos do problema: que a soma das idades da mulher e de seu marido é 79. Assim: Idade da mulher = Idade do marido = + 7 + + 7 = 79 2 = 72 = 36 Portanto, a idade da mulher é 36 anos. Para conferir, basta ver qual é a idade do marido e qual é a soma das idades. 1
Não é fácil? Pois esta é a essência do chamado raciocínio algébrico. Repare que poderíamos usar qualquer símbolo no lugar do e não alteraria o raciocínio. É comum, em Matemática, usarmos uma letra, x na maioria dos casos, para designar o número que estamos procurando - a incógnita, como se diz. No caso do problema anterior, então, sua equação fica assim, usando x: x + ( x + 7) = 79 E resolvendo equação, obtemos x = 36 para a idade da mulher, como antes. Técnicas Resolutivas de uma Equação do 1 grau com uma variável Deixando um pouco do rigor matemático e visando mais a prática, neste caso não trará conseqüências relevantes, podemos dizer que uma equação do primeiro grau com uma variável é uma equação que tem uma única incógnita (valor a ser determinado) de grau um, isto é afetada ao expoente um que é a primeira potência de qualquer valor ( x ¹ = x ) Vamos supor que ao equacionar problemas cheguemos às seguintes situações: 1ª situação: x + 5 = 12 x, 5 e 12 são termos da igualdade A cada um dos lados da igualdade chamamos de membro: x + 5 = 12 1º membro 2º membro Provavelmente por estarmos costumados a ler e escrever da esquerda para a direita é costume se ordenar os membros dessa forma. Isto não é obrigatório, apenas um costume. 2
Nosso objetivo é determinar o valor de x, se isolarmos a incógnita chegaremos ao seu valor. Para começar devemos eliminar o valor 5 que está sendo somado ao x no 1º membro. equação: Faremos isso de maneira lógica, subtrairemos 5 de cada um dos membros da x + 5 = 12 x + 5 5 = 12 5 Podemos proceder desta forma pelo Princípio Aditivo da Igualdade : Ao somarmos ou subtrairmos um mesmo valor de ambos os membros Chegamos a: de uma igualdade teremos outra igualdade. x = 12 5 Portanto: x = 7. Perceba que tudo ocorre como se tivéssemos passado o termo 5 de um membro para o outro fazendo a operação inversa da que o envolvia. Estava somando passou subtraindo. 2ª situação: x 6 = 3 Vamos eliminar o 6: x 6 + 6 = 3 + 6 (mesmo procedimento do anterior) Logo: x = 3 + 6 Portanto: x = 9 3
Perceba, novamente, que tudo ocorre como se tivéssemos passado o termo 6 de um membro para o outro fazendo a operação inversa da que o envolvia. Estava subtraindo passou somando 3ª situação: 2x = 16 Devemos eliminar o valor 2 que está multiplicando o x no 1º membro. Dividiremos ambos os membros por 2 : Podemos proceder desta forma pelo Princípio Multiplicativo da Igualdade : Ao multiplicarmos ou dividirmos ambos os membros de uma igualdade por um mesmo valor diferente de zero teremos outra igualdade. x = 8 Perceba, novamente, que tudo ocorre como se tivéssemos passado o termo 2 de um membro para o outro fazendo a operação inversa da que o envolvia. Estava multiplicando e passou dividindo 4ª situação: 4
Multiplicaremos ambos os membros por 5 : Logo: x = 35 Provavelmente já é possível perceber que quando queremos eliminar um termo de um membro e estamos envolvidos com as 4 operações fundamentais podemos, praticamente, movê-lo para o outro membro fazendo a operação inversa da que fazia no anterior. É lógico que não podemos esquecer os princípios que possibilitaram estes procedimentos. 5ª situação: 2x 4 = 10 Neste caso devemos, primeiramente, eliminar do 1º membro o termo 4. Repare que 4 é um termo enquanto 2 é coeficiente da variável, vamos eliminá-lo posteriormente. 2x = 10 + 4 2x = 14 x = 7 5
6ª situação: 5x 4 = 2x + 8 O melhor caminho agora é concentrarmos os termos com variável em um membro e as constantes (os números) no outro. Aplicando as técnicas práticas aprendidas faremos como mostra o esquema: 5x 4 = 2x + 8 5x 2x = 8 + 4 3x = 12 x = 4 7ª situação: Aqui vamos reduzir todos os termos ao mesmo denominador O mínimo múltiplo comum entre 4 e 6 é 12, então: 6
As frações são iguais, se os denominadores são iguais os numeradores também são: 11x = 264 8ª situação: x = 24 É muito comum nos depararmos com igualdades como estas: Nestas ocasiões é mais prático recorrermos à Propriedade Fundamental das Proporções : Vamos lembrar: Dados quatro números, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º ( não nulo ) for igual à razão do 3º para o 4º( não nulo ). Por exemplo: 20 : 4 = 5 10 : 2 = 5 De uma forma geral,: é uma proporção se b e d não forem nulos 7
Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo: a e d os extremos da proporção. b e c os meios da proporção Observe as seguintes proporções: Propriedade fundamental das proporções Produto dos meios = 4.30 = 120 Produto dos extremos = 3.40 = 120 Produto dos meios = 9.20 = 180 Produto dos extremos = 4.45 = 180 Produto dos meios = 8.45 = 360 Produto dos extremos = 5.72 = 360 De modo geral, temos que: Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções: Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 8
Aplicando nas igualdades acima: 4.x = 3.20 4 x = 60 Logo: x = 15 9
EQUAÇÕES DO 2º GRAU Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo: - com coeficientes numéricos a, b e c com a 0 Exemplos: Equação a b c 1 2 1-2 5-1 1-3 0 5 0-3 Classificação: Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta. 1º caso: b = 0 Considere a equação do 2º grau incompleta: - neste caso, podemos isolar o termo x² e teremos: - verifique que: e 10
- então teremos dois resultados: e - que, usualmente, escrevemos: - e teremos: - significando que temos dois valores que tornam a igualdade verdadeira: ou Isto só acontece quando chegamos a: e ( a maior ou igual a zero) Se (a for negativo) não chegaremos a um valor real, pois no conjunto IR dos números reais não existe número que ao quadrado resulte um valor negativo. Generalizando: 2º caso: c = 0 Considere a equação do 2º grau incompleta: - verifique que x é um fator comum no 1º membro, podemos fatorar: 11
- se um produto é nulo, um dos fatores é nulo, que acarreta em: ou logo: ou 3º caso: b=c=0 Resolução geral de equações do 2º grau Mostraremos na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós. O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma. Seja a equação: Multiplicamos os dois membros por : 12
Somamos aos dois membros: Fatoramos o lado esquerdo: chegamos a: É costume indicar-se por a expressão e teremos uma fórmula mais simples para operar: onde Exemplo: como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação: Identificar os coeficientes: Escrever o discriminante Calcular 13
Escrever a fórmula de Bhaskara: Substituindo os valores : Delta A expressão dentro da raíz da fórmula resolutiva é chamado de delta ou discriminante. Dessa forma, a fórmula resolutiva pode ser escrita na forma: 14
De acordo com o valor de delta, é possível tirar algumas conclusões sobre a equação. Se Se Se, a equação apresenta duas raízes reais e distintas., a equação apresenta uma raíz dupla., a equação não apresenta raízes reais. Verifique nas equações: Na equação nº 1 o delta é maior que zero Chega-se a dois valores diferentes: x 1 = 3 e x 2 = 4. Na equação nº 2 o delta é igual a zero Chega-se a dois valores iguais: x 1 = 2 e x 2 = 2. Na equação nº 3 o delta é menor que zero Não se chega a nenhum valor real. 15