Microeconomia II Cursos de Economia e de Matemática Aplicada à Economia e Gestão AULA 1.3 Jogos na Forma Extensiva informação num jogo Isabel Mendes 2007-2008
Na aula 1.1 falou-se ainda dos jogos sequenciais os jogadores jogam sequencialmente, cada um tendo em consideração as acções do jogador anterior. Os jogadores, antes de jogar, observam as jogadas anteriores e só depois tomam a decisão. São, portanto, jogos dinâmicos. Os jogos dinâmicos são representados numa árvore finita onde: os nós representam os jogadores e os pagamentos; um conjunto de informação é um conjunto de nós de um jogador; os ramos que saem de cada um dos nós representam as estratégias dos jogadores; uma acção ou movimento é uma escolha simples que o jogador faz no decorrer do jogo; a árvore permite mostrar a sequência das acções; 18-03-2008 Isabel Mendes/MICRO II 2
uma estratégia é um plano de acção compreensivo que prescreve uma acção ao jogador em todas as situações de escolha possíveis ou, então, uma estratégia é uma função que associa com cada conjunto de informação uma das alternativas que sai desse conjunto (Shubik 1981). As estratégias podem ser puras ou mistas: - estratégias puras: associam a cada conjunto de informação uma das alternativas básicas que sai do conjunto (só trabalhamos com estas em Micro II); - estratégias mistas: associa com cada ponto de decisão uma distribuição de probabilidade sobre as alternativas básicas. A dimensão do conjunto de estratégias de cada jogador vai depender da ordem dos movimentos e da estrutura dos conjuntos de informação. 18-03-2008 Isabel Mendes/MICRO II 3
um sub jogo é uma parte de um jogo constituída por um conjunto de nós e ramos que descendem unicamente de um único nó; um subjogo é um jogo remanescente que parte de uma posição de informação perfeita (um único nó) e que, no seu decorrer, preserva essa informação perfeita. 18-03-2008 Isabel Mendes/MICRO II 4
1. Árvore de jogo sequencial dinâmico com informação perfeita: Um jogo sequencial dinâmico com informação perfeita é um jogo em que cada jogador conhece exactamente as acções que foram jogadas anteriormente, ou seja, em que cada conjunto de informação de cada jogador é composto de apenas um nó cada jogador age sequencialmente sem decisões simultâneas. JOG B b1 (α11,β11) a1 b2 (α12,β12) JOG A JOG B b1 (α21,β21) a2 b2 (α22,β22) 18-03-2008 Isabel Mendes/MICRO II 5
Ficha do jogo : dois jogadores (nós iniciais); cada jogador dispõe de duas estratégias (ramos que saem de cada um dos nós representativos dos jogadores); a cada acção correspondem os resultados possíveis em relação aos quais os jogadores manifestam as suas preferências(nós finais); o jogo tem três conjuntos de informação cada um deles composto de apenas um nó: - o conjunto de informação do primeiro jogador (nó vermelho); - dois conjuntos de informação para o jogador dois (representados respectivamente por cada um dos nós verdes). 18-03-2008 Isabel Mendes/MICRO II 6
Ficha do jogo (continuação): O jogador A dispõe de duas estratégias (a1 e a2); o jogador B dispõe de 2x2 = 4 estratégias (a1:b1; a1:b2; a2:b1; a2: b2); O jogo é composto de 3 sub-jogos: - o subjogo que desce a partir do 1º nó A (este subjogo é, evidentemente, idêntico ao jogo na sua totalidade todos os jogos são sub-jogos de si próprios); - os dois subjogos que descem dos dois nós B s verdes. 18-03-2008 Isabel Mendes/MICRO II 7
Jogo Sequencial Dinâmico na Forma Estratégica: Um jogo sequencial dinâmico é tradicionalmente apresentado na forma de uma árvore. Mas também pode ser representado na forma estratégica: EXEMPLO: S L S J J L (2, 2) S (-1, -1) L (-1, -1) S (1, 1) 18-03-2008 Isabel Mendes/MICRO II 8
A forma estratégica do jogo sequencial é dada pela seguinte matriz: J (L,L) (L,S) (S,L) (S,S) L (2, 2) (2, 2) (-1, -1) (-1, -1) S S (-1, -1) (1, 1) (-1, -1) (1, 1) (L; L,L) lê-se: se S escolher L (S; L,L) lê-se: se S escolher S J escolhe L se S escolher L e J volta a escolher L se S escolher S J escolhe L se S escolher L e J volta a escolher L se S escolher S 18-03-2008 Isabel Mendes/MICRO II 9
2. Árvore de jogo sequencial dinâmico com informação imperfeita: Um jogo sequencial dinâmico com informação imperfeita é um jogo em que: 2.1 No caso extremo, nenhum jogador distingue exactamente as acções dos outros (caso do jogo simultâneo representado na forma extensiva). 2.2 Nem todos os jogadores conhecem exactamente as acções que foram jogadas anteriormente (caso misto em que um jogador distingue as acções mas o outro pode não distinguir, por exemplo). 18-03-2008 Isabel Mendes/MICRO II 10
2.1 Árvore de jogo com informação imperfeita = jogo simultâneo representado na forma extensiva EXEMPLO: 1º) jogo do Dilema do Prisioneiro (jogo simultâneo na forma normal) Preso A Cooperar Denunciar Preso B Cooperar Denunciar -1, -1-10, 0 0, -10-8 -8 18-03-2008 Isabel Mendes/MICRO II 11
2.1 Árvore de jogo com informação imperfeita :jogo simultâneo representado na forma extensiva (continuação) EXEMPLO: 2º) jogo do Dilema do Prisioneiro (jogo simultâneo na forma extensiva) Preso A Coopera Denuncia Preso B Preso B Coopera Denuncia Coopera Denuncia (-1, -1) (-10, 0) (0, -10) (-8, -8) A linha oval que envolve os nós verdes significa que ambos os nós pertencem ao mesmo conjunto de informação nestes nós os jogadores não se apercebem das escolhas anteriores 18-03-2008 Isabel Mendes/MICRO II 12
2.2 Árvore de jogo com informação imperfeita : jogo simultâneo representado na forma extensiva (continuação) Ficha do jogo : dois jogadores (nós iniciais); cada jogador dispõe de duas estratégias (ramos que saem de cada um dos nós representativos dos jogadores); a cada acção correspondem os resultados possíveis em relação aos quais os jogadores manifestam as suas preferências (nós finais); o jogo tem 2 conjuntos de informação: - um conjunto de informação do primeiro jogador com um nó (nó vermelho); - um conjunto de informação para o jogador dois com dois nós (linha oval); 18-03-2008 Isabel Mendes/MICRO II 13
2.2 Árvore de jogo com informação imperfeita : jogo simultâneo representado na forma extensiva (continuação) Ficha do jogo (continuação): O jogador A dispõe de duas estratégias (Cooperar e Denunciar); o jogador B dispõe de 2 estratégias também (Cooperar; Denunciar); Este jogo é composto por apenas um subjogo o próprio jogo. 18-03-2008 Isabel Mendes/MICRO II 14
2.2 Árvore de jogo com informação imperfeita : situação intermédia entre o caso 1. e o caso 2.1 R1 1 B1 2 R2 3 3 R3 A B2 1 R4 2 2 R5 3 1 R6 B3 1 R7 2 R8 3 R9 18-03-2008 Isabel Mendes/MICRO II 15
Ficha do jogo : dois jogadores (nós iniciais); cada jogador dispõe de três estratégias (ramos que saem de cada um dos nós representativos dos jogadores); a cada acção correspondem os resultados possíveis em relação aos quais os jogadores manifestam as suas preferências (nós finais R1,,R9); o jogo tem 3 conjuntos de informação: - um conjunto de informação A do primeiro jogador com um nó (nó vermelho); - dois conjuntos de informação para o jogador B: um conjunto com um nó (B3); e outro conjunto com dois nós (oval com os nós B1 e B2) B distingue B3 de B1 e B2 mas não distingue entre B1 e B2; 18-03-2008 Isabel Mendes/MICRO II 16
Ficha do jogo (continuação): O jogador A dispõe de três estratégias (1,2 e 3); o jogador B dispõe de 3x3=9 estratégias; O jogo tem apenas dois subjogos: o subjogo como um todo (ou seja a totalidade do jogo) iniciado no nó inicial A e o subjogo iniciado no nó B3. 18-03-2008 Isabel Mendes/MICRO II 17