Primeira Lista - lei de Coulomb FGE211 - Física III 1 Sumário A força elétrica que uma carga q 1 exerce sobre uma carga q 2 é dada pela lei de Coulomb: onde q 1 q 2 F 12 = k e r 2 ˆr = 1 q 1 q 2 4πɛ 0 r 2 ˆr, k e = 1 4πɛ 0 = 8, 99 10 9 Nm 2 /C 2 O campo elétrico em um ponto no espaço é definido como a força elétrica atuando em uma carga de teste q 0 dividida pela carga q 0 : E = lim q0 0 O campo elétrico a uma distância r de uma carga q é E = k e q r 2 ˆr Usando o princípio da superposição, o campo elétrico devido a uma coleção de cargas é q i E = k e ˆr i A aceleração de uma partícula de massa m e carga q é i a = q E m O campo elétrico em qualquer lugar no espaço devido a uma distribuição infinitesimal de carga dq é F e q 0 r 2 i d E = k e dq r 2 ˆr Numa distância suficientemente grande de uma distribuição contínua qualquer de carga, o campo elétrico se aproxima ao de uma carga pontual. 1
Cartesiano (x, y, z) Cilíndrico (r, θ, z) Esférico (r, θ, φ) dl dx, dy, dz dr, rdθ, dz dr, rdθ, r sin θdφ da dxdy, dxdz, dydz drdz, rdθdz, rdθdr rdrdθ, r sin θdrdφ, r 2 sin θdθdφ dv dxdydz rdrdθdz r 2 sin θdrdθdφ Tabela 1: Elementos diferenciais de comprimento, área e volume em diferentes sistemas de coordenada. 2 Estratégia para resolução de problemas: campo elétrico de distribuições contínuas de carga Para calcular campos elétricos de distribuições discretas de carga use E = k e i q i ri 2 ˆr i. Para distribuições contínuas use E = d E = k e dq r 2 ˆr. 1. Comece com d E = k e dq r 2 ˆr 2. Rescreva o elemento de carga dq como λdl (comprimento) dq = σda (area) ρdv (volume) 3. Substitua dq na expressão de d E. 4. Especifique um sistema de coordenadas apropriado e expresse r e os elementos diferenciais (dl, da e dv ) em termos destas coordenadas. (vide tabela 1 abaixo). 5. Rescreva d E em termos das novas variáveis e use argumentos de simetria para identificar os termos não nulos do campo elétrico. 6. Complete a integração para achar E. 3 Questões conceituais 1. Compare e contraste a lei da gravitação de Newton com a lei de Coulomb. Qual a principal diferença? 2. Linhas de campo elétrico podem cruzar entre si? 2
3. Uma carga de prova é posta perto de um bastão isolante carregado. Como mudaria a magnitude e direção do campo elétrico se a carga de prova diminuísse e mudasse de sinal com todo o resto se mantendo igual? 4 Problemas 4.1 Átomo de hidrogênio No modelo clássico do átomo de hidrogênio, o elétron gira em torno do próton com um raio r = 0, 53 10 10 m. A carga do próton é a mesma do elétron e vale e = 1, 6 10 19 C. (a) Qual a magnitude da força elétrica entre o próton e o elétron? (b) Qual a magnitude do campo elétrico do próton a uma distância r dele? (c) Qual a razão das magnitudes da força elétrica e gravitacional entre o elétron e o próton? Esse resultado depende da distância entre ambos? (d) Baseado nos cálculos realizados no item (b), explique porque forças elétricas não influenciam no movimento de planetas. 4.2 Átomo de Hélio Considere dois prótons separados por uma distância d = 10 14 m. Supondo que a segunda lei de Newton se aplique nesse caso, qual a aceleração que cada próton sofre devido a presença do outro? 4.3 Repulsão interestelar! Considere dois pedaços de poeira interestelar de diâmetro d = 1, 8 10 4 m e densidade ρ = 2, 5 10 3 kg m 3. A distância entre eles é r. Se os grãos estiverem eletricamente neutros eles serão atraídos apenas devido a força gravitacional. Assuma que eles são feitos de prótons, nêutrons e elétrons e que a massa é devida somente aos prótons e os nêutrons que são iguais em massa e quantidade. Suponha que cada grão está carregado com n elétrons em excesso. Ache o valor mínimo de n tal que a repulsão Coulombiana compense a atração gravitacional. Compare este resultado com o número total de elétrons do grão (você terá de estimar este resultado). 4.4 Campo elétrico de duas cargas Considere o sistema descrito na figura 1. campo elétrico é nulo? Além do infinito, onde mais o 3
Figura 1: Duas cargas. 4.5 Campo elétrico de três cargas pontuais Considere o sistema descrito na figura 2. Calcule o campo elétrico no ponto P. Figura 2: Três cargas colocadas nos vértices de um triângulo isoceles. 4.6 Força de três cargas pontuais Considere o problema descrito na figura 3. Calcule a força elétrica sofrida por cada uma das cargas. Figura 3: Três cargas pontuais 4
4.7 Duas bolas condutoras penduradas Considere duas pequenas bolas condutoras idênticas de massa m e carga q penduradas por fios de comprimento l (figura 4). Devido a repulsão eletrostática entre elas, cada bola forma um ângulo θ com a vertical. Suponha θ pequeno o suficiente para que tan θ sin θ. Figura 4: Bolas carregadas penduradas por fios. (a) Mostre que, no equilíbrio, a separação entre as bolas é r = ( q 2 l ) 1 3 2πɛ 0 mg (b) Se l = 1, 2m, m = 10g e r = 5cm, quanto vale q? 4.8 Experimento de Milikan Uma gota de óleo de raio r = 1, 64 10 6 m e densidade de massa ρ m = 8, 51 10 2 kg/m 2 é posta para cair, do repouso, em uma região com um campo elétrico constante E aplicado para baixo. A gota de óleo tem uma carga desconhecida q (devido a irradiação por raios X). A magnitude do campo elétrico é ajustada até cancelar a força gravitacional Fg = m g = mgĵ. Suponha que tal balanceamento ocorre quando E = E y ĵ = (1, 92 10 5N/C)ĵ. (a) Qual a massa da gota de óleo? (b) Qual a carga na gota de óleo? (c) Escreva o resultado do item anterior em unidades de carga elementar e = 1, 6 10 19 C. Millikan, usando esta mesma idéia foi o primeiro a provar que a carga elétrica é quantizada. 5
4.9 Carga se movendo perpendicularmente a um campo elétrico Um elétron é injetado horizontalmente em uma região que contém um campo elétrico uniforme produzido por duas placas paralelas carregadas como mostra a figura 5. O elétron tem velocidade inicial v 0 = v 0 î perpendicular a E. Este sistema é comumente denominado de um tubo de raios catódicos ou também, osciloscópio. Figura 5: Carga movendo-se perpendicularmente a um campo elétrico (a) Enquanto entre as placas, qual a força sobre o elétron? (b) Qual a aceleração do elétron entre as placas? (c) As placas tem comprimento L 1 na direção x. elétron sai da placa? Em que tempo t 1 o (d) Suponha que o elétron entra nas placas no tempo t = 0. velocidade do elétron no tempo t 1 quando ele sai das placas? Qual a (e) Qual o deslocamento vertical do elétron quando ele sai da placa? (Dica: sabendo a aceleração, ache a função horária verical) (f) Qual o ângulo θ 1 que o elétron faz com a horizontal, logo após sair da placa? (g) O elétron atinge uma tela localizada a um distância L 2 do fim das placas em um tempo t 2. Qual o deslocamento vertical total do elétron entre os tempos t = 0 e t 2? 4.10 Equilíbrio Uma carga negativa fica em equilíbrio quando colocada no ponto médio do segmento de reta que une duas cargas positivas idênticas. Mostre que: 6
(a) Para pequenos deslocamentos da carga negativa perpendicularmente a reta que une as duas cargas, este equilíbrio é estável. (b) Para pequenos deslocamentos da carga negativa paralelamente as duas cargas, o equilíbrio é instável. (c) Finalmente, mostre que para o caso do item (a), que quando o deslocamento vertical é pequeno comparado com a distância entre as cargas positivas, a carga negativa executa um movimento harmônico simples em torno do centro. Calcule a frequência angular ω de oscilação. 4.11 Campo elétrico de um arco carregado Considere um bastão fino carregado com densidade linear de carga λ. Suponha que ele tenha sido entortado até formar um semi-círculo de raio R. O ângulo que o raio subentende é 2θ 0, simétrico com relação ao eixo dos x (vide figura 6). Figura 6: Arco de raio R carregado com densidade linear de carga λ. (a) Qual o campo elétrico na origem? (b) Qual o campo elétrico na origem no caso θ 0 = π /2? (c) Qual o campo elétrico na origem no caso θ 0 = π? 4.12 Campo elétrico de um disco carregado sobre seu eixo de simetria (a) Considere um anel circular de raio r e carga Q uniformemente distribuída. Calcule o campo elétrico em um ponto sobre o seu eixo de simetria. (b) Considere agora um disco de raio R e carga Q uniformemente distribuída. Calcule o campo elétrico em um ponto sobre o seu eixo de simetria. (Dica: utilize o resultado do item anterior considerando anéis de raio r, espessura dr e carga dq.) (c) Seja z a distância entre o disco e o ponto onde o campo elétrico foi calculado. Estime o limite R >> z. 7
4.13 Densidade não constante em anel circular Considere o anel circular mostrado na figura 7. A densidade linear de carga varia da forma λ = λ 0 cos θ. Figura 7: Anel circular com densidade não constante. (a) Qual a relação entre λ 0, R e Q? (b) Qual o campo elétrico gerado por este anel na origem? (c) Se uma carga q é posta na origem, qual a força que ela sente? 4.14 Fio infinito carregado Considere um fio infinito carregado com uma densidade linear de carga λ constante. Calcule o campo elétrico em um ponto a uma distância a do fio. 4.15 Fio finito Considere um fio de comprimento L posto no eixo dos x entre as posições ( L /2, 0) e ( L /2, 0). O fio está carregado com uma densidade linear de carga λ uniforme. (a) Calcule o campo elétrico no ponto (x, 0) para x > L/2. (b) Calcule o campo elétrico no ponto (0, b). Ou seja, em um ponto sobre o fio em uma distância intermediária dele. (c) Calcule o campo elétrico em todo o espaço. 4.16 Espira quadrada Uma espira quadrada de lados 2l está carregada uniformemente com uma densidade de carga λ constante. Calcule o campo elétrico em um ponto sobre o eixo de simetria da espira a uma distância D dela. 8
4.17 Problema Desafio: campo elétrico de um dipolo Deixe por último e não fique preocupado caso encontre dificuldades. É um problema essencialmente matemático. Um dipolo elétrico é um sistema composto de duas cargas elétricas de mesma magnitude e sinais opostos separadas por uma distância 2a. como mostra a figura 8. (a) Calculo campo elétrico devido ao dipolo no ponto P = (x, y, 0). (b) Mostre que no limite r a, o campo elétrico se torna E x = E y = 3p 4πɛ 0 r 3 sin θ cos θ onde p = 2aq é o momento de dipolo. p 4πɛ 0 r 3 (3 cos 2 θ 1) (c) Mostre que a expressão acima pode ser escrita em termos das coordenadas polares como E(r, θ) = E rˆr + E θ ˆθ, onde E r = 2p cos θ 4πɛ 0 r 3 E θ = p sin θ 4πɛ 0 r 3 Figura 8: Dipolo elétrico 9