1 MÓDULO III Sem dúvida a maioria dos processos seletivos trazem sempre problemas que tem relação direta com os assuntos que vamos estudar nesse módulo. Agora., só para descontrair!!!! Que tal uma brincadeirinha de ilusão de ótica...rsrsrsrsr Fonte: www.solbrilhando.com.br
Múltiplos e divisores de um número Múltiplo: dizemos que um número é múltiplo de outro quando a sua divisão por esse outro é exata. Assim 15 é múltiplo de 3 e de 5, pois: a) 15 3 = 5 b) 15 5 = 3 Para se obter os múltiplos de um número, basta multiplicá-lo, sucessivamente, pela seqüência natural dos números, e, como essa seqüência é infinita, conclui-se que: a) Todo o número têm uma infinidade de múltiplos; b) Com exceção do zero, o menor múltiplo de um número é o próprio número. Exemplo: Os múltiplos de 3 são: M(3)= { 0,3,6,9,1,15,18,... } Divisor: um número é divisor de outro, quando divide esse outro exatamente, ou seja, sem deixar resto e, se ele é divisor de outro, o outro é múltiplo dele. Exemplo: Se 5 é divisor de 10 10 é múltiplo de 5. Os divisores de um número formam sempre um conjunto finito. Exemplo: Os divisores de 15 são: D(15)= { 1,3,5,15 }
3 Critérios de divisibilidade: São certas regrinhas práticas para saber se um número é divisível por outro, sem efetuar a divisão: - por : quando o número for par; - por 3: quando a soma de todos os seus algarismos for divisível por 3; - por 5: quando terminar em zero ou 5; - por 9: quando a soma de todos os seus algarismos for divisível por 9; - por 10: quando terminar em zero. Exemplo: O número 450 é divisível por: - por : porque é par; - por 3: 4 + 5 + 0 = 9 que é divisível por 3; -por 5: termina em zero; - por 9: 4 + 5 + 0 = 9 que é divisível por 9; - por 10: porque termina com zero. Números primos Possuem dois divisores: a unidade e eles mesmos: Exemplos: a) São primos, porque são divisíveis b) 3 por 1 e por eles mesmos (somente). c) 5 Números múltiplos e compostos Possuem outros divisores além da unidade e deles mesmos.
4 Exemplo: a) 4 D (4) = { 1,,4 } b) 6 D (6) = { 1,,3,6 } Observação: O número 1 não é primo e nem composto. Reconhecimento dos números primos Para descobrir se um número é ou não primo, basta dividí-lo sucessivamente pelos números primos (,3,5,7,11,13... ). Se a divisão não for exata até que o quociente fique menor que o divisor, o número é primo. Se a divisão for exata, o número é composto. Exemplo 1: a) O número 157 é primo? 157 divisor 157 3 14 78 quociente 15 5 017 007 16 6 01 1
5 157 5 157 11 15 31 11 14 007 047 5 44 03 157 13 13 1 07 6 01 Resposta: O número 157 é primo, pois o quociente (1) da última divisão é menor que o divisor (13) e nenhuma das divisões foi exata. Exemplo: b) O número 161 é primo? 161 1613 16 8 15 53 001 011 9 0
6 1615 161 7 15 3 14 3 011 01 10 1 01 00 Resposta: O número 161 é composto, pois a última divisão foi exata. Decomposição em fatores primos Para se encontrar a forma fatorada de um número, faz-se a sua decomposição em fatores primos. Obedecendo a regra a seguir: a) Divide-se o número dado pelo seu menor divisor primo. b) Procede-se da mesma maneira com o quociente obtido até se encontrar o quociente 1. Exemplo:.3.5 = 90
7 Máximo divisor comum ( MDC ) - Decompor todos os números ao mesmo tempo; - O MDC será composto pelos fatores que dividirem todos os números. Exemplo: Calcular o MDC (4; 48; 60) = MDC (4; 48; 60) = 3 = 1 Mínimo Múltiplo Comum ( MMC ) Decompõem-se em fatores primos todos os números em questão, ao mesmo tempo. Exemplo: MMC entre (15; 0) MMC (15;0) =.3.5 = 60
8 Agooora... Concentre-se no centro da imagem, e você verá ela se movimentar... Fonte: http://www.ilusoes.com.br/ Exercícios: 1) Se a + b a + b é: =, então ( ) a) ( ) b) ( ) 8 c) ( x ) 16 d) ( ) nenhuma das alternativas ( a + b) 1 = ( a + b) = x
9 1 ( a b) x ( a b) + = + 1 ( a + b) x = ( a + b) ( ) a + b x = ( a + b) 1 ( ) 1 x = a + b ( ) 3 x = a + b ( ) 3 x = a + b ( ) 3 x = a + b 3 x = x = 8 = 16 Letra C ) O valor de 3 4 5 é: a) ( ) 60 77 b) ( x ) 60 77 c) ( ) 77 60 60 30+ 0+ 15+ 1 60 77.3.5 = 60 = Letra B Observação: as raízes são de índices diferentes.
10 3) O número que dividido por centésimos resulta 1000 é: a) ( ) 10 b) ( ) 100 c) ( ) 1000 d) ( x ) 0 Pode ser resolvido de várias formas... x = 1000 100 100 x = 1000 100x = 1000 100x = 1000 100x = 000 x = 000 100 x = 0 Letra D 4) O filho tem um terço da idade do pai, que tem 60 anos. Quantos anos de idade tem o filho? a) ( x ) 0 anos b) ( ) anos c) ( ) 30 anos d) ( ) nenhuma das alternativas 1 60 60 = = 0 Letra A 3 3
11 ( 3 a b ) 5) Calcular 3 ( a b ) 3 = 4 6 ( a b ) 1 = = 3 9 6 5 a b a 3 ( a b ) 3 ( a b ) ( ) 6) Qual é o produto de dois números se o seu MDC é 8 e o MMC é 48? 8 48 = 384 7) As capacidades de dois reservatórios são de 6.480 litros e 6000 litros respectivamente. Deseja-se construir um tanque que possa ser alimentado por esses reservatórios. Calcular a maior capacidade desse tanque, de maneira que ele possa ser abastecido um número exato de vezes com a água de qualquer reservatório. a) ( ) 0 litros b) ( ) 56 litros c) ( ) 5 litros d) ( x ) 40 litros e) ( ) nenhuma das alternativas
1 MDC (6480; 6000) = 4.3.5 = 40litros Letra D 8) Três peças de fazenda medem respectivamente, 180 metros, 5 metros e 34 metros. Pretende-se dividi-las em retalhos iguais de comprimento. Qual deverá ser esse comprimento, de modo que o número de retalhos seja o menor possível? MDC (180; 5; 34) = 3 = 4 9 = 36 O comprimento deverá ser de 36 metros.
13 9) Maria deseja plantar 7 mudas de violeta, 4 mudas de rosa, 36 mudas de orquídeas e 48 mudas de camélias. Todas no menor número possível de canteiros. Sabendo-se que cada canteiro deverá receber o mesmo número de plantas de uma só espécie, pergunta-se: a) Qual o número de plantas que deve conter cada canteiro? b) Quantos canteiros serão necessários? MDC (7; 4; 36; 48) =.3 = 1 a) 1 plantas devem conter cada canteiro Para se calcular quantos canteiros serão necessários. Somam-se as plantas e divide-se pelo número de plantas que devem conter cada canteiro. 7 + 4 + 36 + 48 = 180 180 1 = 15 canteiros c) Serão necessários 15 canteiros
14 10) Na escola de Paula, a 5 a série A tem 36 alunos e a 5 a série B, 4. Para participar de uma gincana todas as classes deverão formar equipes com o mesmo número de alunos. a) Qual é o máximo de alunos por equipe, para que todos os alunos das duas classes participem da gincana? b) Quantas equipes serão formadas em cada 5 a série? MDC a) Seis alunos será o máximo por equipe b) 36 + 4 = 78 78 6 = 13 d) Serão formadas 13 equipes nas 5 a séries. 11) A montagem de uma estante um marceneiro usou três pedaços de madeira ( caibros ), com 40cm; 30cm e 40cm. Ele precisou dividir os caibros em pedaços, de modo que não houvesse sobra de madeira. De maneira que os pedaços fossem da mesma medida e que essa medida fosse a maior possível. Quantos pedaços o marceneiro obteve?
15 MDC.5 = 0 Serão necessários 0cm em cada pedaço, sendo 40 + 30 + 40 = 980 0 = 49. O marceneiro obteve 49 pedaços. 1) De 5 em 5 horas, o Sr. João toma um comprimido, de 3 em 3 horas um xarope. Se à meia noite ele tomou os dois remédios, a que horas voltará a tomar os dois remédios juntos? MMC (5; 3) = 15 Às 15 horas. 13) De 16 em 16 dias, do porto de Santos, partem navios argentinos; de 40 em 40 dias, partem navios uruguaios. Se num certo dia, houvesse a saída conjunta de navios das duas nações, depois de quantos dias essa coincidência voltará a ocorrer?
16 MMC (16; 40)= Depois de 80 dias. 5.. = 80 14) Num país, os presidentes são eleitos a cada 5 anos e os prefeitos, a cada 4 anos. Se, em 199, houve coincidência das eleições para esses cargos, qual o próximo ano em que elas voltarão a coincidir? MMC (5; 4) = 0 Então 199+0= 01 Em 01 as eleições para presidente e prefeito irão coincidir.
17 Escalada Acidental Os dois amigos estão escalando uma montanha enorme quando, de repente, um deles pisa em falso e despenca lá de cima, desaparecendo no abismo. Imediatamente o outro contacta-o pelo walkie-talkie: - Alô... Alô... você está bem? - Sim, estou bem! - Quebrou algum osso? - Não, nenhum! - Então, volta a subir que eu te espero! - Não posso! Eu ainda estou caiiiiinnnnddddooooo! eh!!eh!!!continuaanndo!!!! 15) Duas rodas de engrenagem têm respectivamente, 14 e 1 dentes. Cada roda tem um dente estragado. Se num dado instante estão em contato os dois dentes estragados, depois de quantas voltas esse encontro se repetirá? MMC (14; 1)=4
18 4 14 (roda menor) = 3 voltas 4 1 (roda maior) = voltas Esse encontro se repetirá com 3 voltas da roda menor e voltas da roda maior. 16) Com os algarismos 1,,3,4,5,6,7,8, e 9, qual é o maior número natural de quatro algarismos diferentes que se pode escrever? E o menor? Maior número = 9 8 7 6 Menor número = 1 3 4 17) (ISB, 006) Numa divisão, o divisor é 15, o quociente é 11 e o resto é o maior possível. Então o dividendo é: a) ( ) 151 b) ( ) 165 c) ( ) 175 d) ( x ) 179 e) ( ) 181 Fórmula: D= dividendo d= divisor q= quociente R= resto D= d q + R Sendo que R= (d-1) D= 15 11 + (15-1) D= 15 11 + 14 D= 165 + 14 D= 179 Letra D
19 18) (UEMS) Considere-se o número de 9 algarismos dos quais o algarismo das unidades é n e todos os demais são iguais a, ou seja: n O valor de n a fim de que este número seja divisível por 6 é: a) ( x ) ou 8 b) ( ) ou 7 c) ( ) 3 ou 6 d) ( ) 4 ou 5 Resolução 8 + n = 18 16 + n = 18 n = ou 8 + n = 4 16 + n = 4 n = 8 19) (FATEC/005). Se x = 0,11..., o valor numérico da expressão: 1 x + 1 x 1 x + x é: a) ( ) 1 37 b) ( ) 1 37 c) ( x ) 33 37 d) ( ) 43 37 e) ( ) 51 37 Parte I: Cálculo da geratriz da dízima x = 0,11... 1 4 x = 0,1 = = 99 33
0 Parte II: Desenvolvimento da expressão: substituí na expressão o 4 1 + 1 33 4 4 1 33 + 1 33 33 1 4 = = 16 33 + 4 1 1089 4 + 33 4 33 4 33 16 + 1089 13 + 1 33 4 13 = = 16 33 64 + 35937 + 1089 4 4356 973 1 13 973 = 36001 13 1 4356 33 4356 36001 37 33 = Letra C 37 4 x =. 33 Observação: outra alternativa é resolver a expressão para posterior substituição. 1 O valor da expressão seria: ( x +1 ) substituindo por 4 x = daria 33 33 37 0)(ISB, 006) Calculando o valor de x, na expressão abaixo, obteremos: x = 5 + + 7 1 0 a) ( x ) 16 b) ( ) 8 c) ( ) 4 d) ( ) e) ( ) 1
1 1 0 0 0 1 0 + + + + x = 5 = 5 = 7 7 ( + + ) ( ) 4 0 0 1 7 5 5 5 0 4 = = = 7 7 x = 16 Letra A 1)(PUC-MG/004) Se a e b são números reais inteiros positivos tais que a b = 7 e a b ab = 10, o valor de a b é: a) ( ) 7 b) ( ) 10 c) ( x ) 30 d) ( ) 37 e) ( ) 40 a b = 7 a b ab = 10 ( b) ( ) = ab a = 10 ab 7 10 10 ab = 7 a b = 30 Letra C )(UFMG/005) No sítio de Paulo, a colheita de laranjas ficou entre 500 e 1500 unidades. Se essas laranjas fossem colocadas em sacos de 50 unidades cada um, sobrariam 1 laranjas e, se fossem colocadas em sacos com 36 unidades cada um, também sobrariam 1 laranjas. Assim sendo, quantas laranjas sobrariam se elas fossem colocadas em sacos com 35 unidades cada um? a) ( ) 4 b) ( ) 5 c) ( ) 7 d) ( x ) e) ( ) 1
MMC (50; 36) = 900 900 + 1 = 91 91 35 70 6 1 10 Resto Letra D 3)(UPF RS) O valor numérico da expressão b = e c = 4, é: a bc 1 b a c, para a) ( ) 10 b) ( ) 4 c) ( ) 0,94 d) ( x ) 3,4 e) ( ) 1,5 1 a =, 1 1 1+ 16 17 ( 4) + 8 = = = = 1 1 8 + 10 + 4 4 4 4 17 4 68 = = 3,4 Letra D 10 0 4)(UNOPAR PR) O resultado de 0 0,15 é igual a: a) ( ) 1 0 3 b) ( ) 4 5
3 c) ( ) 0 10 3 d) ( x ) 5 5 e) ( ) ( 0, 4 ) 3 I Etapa: 0 0,15 0000 15 15 160 0750 750 000 II Etapa: 5 mmc (160) =.5 = 160 Letra D 5) (Solução/006) Calcular 3 4 de 10. 3 10 90 4 =
4 6) (Solução/006) Uma peça de fazenda, depois de molhada, encolheu 3 14 do seu comprimento, ficando com 33 metros. Quantos metros tinha a peça e qual foi o seu custo, sabendo-se que o metro da fazenda valia R$7,5? 3 14 3 11 1 = = 14 14 14 11 33 14 = metros Se 11 14 1 14 correspondem a 33 metros correspondem a 3 metros Então os 14 14 serão : 14 3 = 4 metros Se a peça tinha 4 metros e cada metro custa R$7,5, então o seu preço será: 4 7, 5 = R$304,50 A peça tinha 4 metros e o seu custo foi de R$304,50. 7) (Solução/006) Um estudante tinha R$80,00. Gastou 1 4 e depois mais 5 6 do resto. Quanto ainda lhe restou? 4 80 4 = Então 1 0 4 = 80 0 = R$ 60,00
5 60 5 50 1 6 = ( 5 do resto) 6 80 0 50 = 10 Restou-lhe R$10,00 8) (Solução/006) Dividir a quinta parte de 3 5 pela terça parte de 6 7. 3 5 3 1 3 = = 5 5 5 5 6 7 6 1 6 = = 3 7 3 1 1 3 1 5 6 1 = 50 Ufah!!!Você deve estar muito cansado!!!!! Agora experimente realizar o seguinte teste de ilusão de ótica para testar seu cérebro...
6 Fonte: www.solbrilhando.com.br l Até o quarto módulo...