Processamento Digital de Sinais Introdução aos Filtros Digitais Prof. Dr. Carlos Alberto Ynoguti
Conceitos Básicos Funções principais dos filtros: separação de sinais Exemplo: monitorar o sinal de ECG do feto ainda dentro do útero da mãe. recuperação de sinais Exemplo: recuperação de gravações de áudio e melhoramento de imagens borradas. Digital vs analógico Os filtros analógicos são muito mais baratos que os digitais. Os filtros digitais conseguem desempenhos muito (mas muito mesmo) melhores.
Formas de representação Existem 3 formas de representar um filtro digital: Resposta a impulso Resposta a degrau Resposta em frequência Cada uma destas formas tem informações completas sobre o filtro, mas de formas diferentes. Se uma delas estiver disponível, é sempre possível obter as outras. Todas estas formas são importantes, pois descrevem como o filtro irá reagir sob circunstâncias diferentes.
Formas de representação
Tipos de filtros digitais Filtros de resposta a impulso finita (FIR) operam por convolução da resposta a impuslso (kernel) com o sinal todos os filtros lineares possíveis podem ser implementados desta maneira possuem desempenho impressionante, mas podem ser lentos, dependendo do comprimento de seu kernel Filtros de resposta a impulso infinita (IIR) operam de forma recursiva têm um desempenho bom, em relação ao seu comprimento são mais rápidos que os filtros FIR podem se tornar instáveis
Representações: comentários resposta a impulso: saída do sistema quando aplicase um impulso na entrada resposta a degrau: saída do sistema quando aplicase um degrau na entrada. Formas de obter: coloque um degrau na entrada e verifique a saída integre a resposta a impulso (running sum) resposta em frequência: calcule a DFT da resposta a impulso. Pode ser representada de duas formas: escala de amplitude linear: melhor para visualizar ripple na banda de passagem escala de amplitude logarítmica: melhor para verificar a atenuação na banda de rejeição
Decibels? db=10log 10 P 2 P 1 potência db=20log 10 V 2 V 1 tensão
Como a informação é representada nos sinais? no domínio do tempo: cada amostra do sinal contém informação relevante. ECG televisão no domínio da frequência: a informação está contida na forma como as amostras variam com o tempo. áudio movimento de um pêndulo
Parâmetros de desempenho Parâmetros no domínio do tempo: estão relacionados à resposta a degrau Parâmetros no domínio da freqüência: estão relacionados à resposta em freqüência. Esta distinção é absolutamente crítica no projeto de filtros, pois nunca é possível otimizá-los para ambas as aplicações: um bom desempenho no domínio do tempo implica em um desempenho ruim no domínio da frequência, e vice-versa.
Parâmetros no domínio do tempo Por que a resposta a degrau, e não a resposta a impulso? Porque ela funciona como a nossa mente. Se formos analisar um sinal, por exemplo, naturalmente dividimos este sinal e regiões de características similares. A resposta a degrau é a forma mais pura de representar uma divisão entre regiões dissimilares. Os parâmetros relacionados à resposta a degrau são: velocidade overshoot fase
Parâmetros no domínio do tempo ruim bom
Parâmetros no domínio do tempo Velocidade (ou tempo de subida): número de amostras que o sinal leva para subir de 10% a 90% da amplitude máxima do sinal. Fatores como redução de ruído, limitações inerentes ao sistema de aquisição, evitar o aliasing, etc., limitam a velocidade. Overshoot: deve ser evitado, pois modifica as amplitudes das amostras do sinal, distorcendo-o. Quando isto ocorre fica a dúvida: o overshoot provem do sinal ou do filtro que foi usado? Fase: quando a fase não é linear, a metade superior da forma de onda não é simétrica em relação à indferior. É do sinal? É por causa do filtro?
Filtros no domínio da frequência São usados para selecionar certas regiões no espectro, bloqueando as demais. Existem três regiões importantes no espectro destes filtros: banda de passagem: corresponde àquelas frequências que devem passar inalteradas; banda de bloqueio ou banda de rejeição: região do espectro que deve ser eliminada na saída do filtro; banda de transição: é a região entre as duas anteriores frequência de corte: divisão entre a banda de passagem e a banda de transição. Em filtros analógicos corresponde ao ponto em que a amplitude é reduzida de 0.707 (i.e. -3dB). Para os filtros digitais estes pontos variam entre: 99%, 90%, 70.7%, 50%.
Tipos de filtro no domínio da frequência
Parâmetros no domínio da frequência ruim bom
Parâmetros no domínio da frequência Roll off: um roll off rápido significa que a banda de transição é estreita. Desta forma, esta é uma condição necessária para separar sinais de frequências próximas. Ripple na banda de passagem: é importante que seja baixo, para que as frequências nesta região passem inalteradas. Atenuação da banda de bloqueio: deve ser alta para realmente eliminar as frequências indesejadas.
Projetos de filtros no domínio da frequência Filtros passa-altas, passa-faixa e rejeita-faixa são todos projetados a partir de filtros passa-baixas, e então convertendo para a resposta desejada. Existem dois métodos para se fazer isso: inversão espectral reversão espectral IMPORTANTE: os procedimentos a seguir valem apenas para os filtros FIR. Para os filtros IIR a filosofia de projeto é outra.
Inversão espectral Procedimento: mude o sinal de todas as amostras do kernel do filtro some 1 à amostra no centro de simetria
Inversão espectral
Inversão espectral A inversão espectral roda a resposta a impulso no sentido vertical, de modo que a banda de passagem vira banda de bloqueio, e vice-versa. Em outras palavras, este procedimento transforma um filtro passa-baixas em um passa-altas, um passa-altas em um passa-baixas, um rejeita faixa em um passa-faixa, e um passa-faixa em um rejeita faixa.
Inversão espectral Porque funciona? O sinal de entrada x[n] é aplicado nos dois sistemas em paralelo o de cima é um FPB o de baixo é um passa-tudo O sinal resultante y[n] é igual à saída do sistema passa tudo menos a saída do FPB. Desde que as componentes de baixa frequência foram subtraídas do sinal original, restaram apenas as componentes de alta frequência!
Inversão espectral- implementação Esta operação pode ser realizada de duas formas: passar o sinal através de um filtro passa baixas e depois subtrair o sinal filtrado do sinal original combinar os kernels dos dois filtros em um único kernel, como mostrado abaixo:
Inversão espectral Condições de implementação Para que esta técnica funcione, as componentes de frequência que saem do filtro passa-baixas devem estar em fase que as componentes correspondentes do sinal original, para que possam ser corretamente subtraídas. Com isto, as restrições para o método são: o kernel do FPB original deve ter simetria left-right (fase nula ou linear). Portanto o kernel deve ter um número ímpar de amostras. o impulso deve ser adicionado exatamente no centro de simetria.
Procedimento: Reversão espectral Inverta o sinal das amostras pares do kernel de um FPB
Reversão espectral Este procedimento roda a resposta em frequência na horizontal:0 torna-se 0,5 e 0,5 torna-se 0. Esta aparente mágica tem uma explicação muito simples: mudar o sinal das amostras pares corresponde a multiplicar o kernel do filtro por um cosseno de frequência 0,5fs. Como discutido anteriormente, este procedimento corresponde a deslocar o espectro do kernel para a posição 0,5fs. Imagine o espectro periódico que você entenderá a idéia por trás disso.
Filtro passa-faixa
Filtro rejeita-faixa