LINHAS PROPORCIONAIS Geometria Plana PROF. HERCULES SARTI Mestre
Exemplo 4: apostila Determine o perímetro do quadrilátero ABCD, circunscritível, da figura. Resolução:
Exemplo 4: apostila Determine o perímetro do quadrilátero ABCD, circunscritível, da figura. Resolução: + AB CD BC + AD
Exemplo 4: apostila Determine o perímetro do quadrilátero ABCD, circunscritível, da figura. Resolução: AB + CD BC + 3 x + 1+ x + 1 2x + 3x AD
Exemplo 4: apostila Determine o perímetro do quadrilátero ABCD, circunscritível, da figura. Resolução: AB + CD BC + 3 x + 1+ x + 1 2x + 3x 4 x + 2 5x AD
Exemplo 4: apostila Determine o perímetro do quadrilátero ABCD, circunscritível, da figura. Resolução: AB + CD BC + 3 x + 1+ x + 1 2x + 3x 4 x + 2 5x 4x 5x 2 AD
Exemplo 4: apostila Determine o perímetro do quadrilátero ABCD, circunscritível, da figura. Resolução: AB + CD BC + 3 x + 1+ x + 1 2x + 3x 4 x + 2 5x 4x 5x 2 x 2 AD
Exemplo 4: apostila Determine o perímetro do quadrilátero ABCD, circunscritível, da figura. Resolução: AB + CD BC + 3 x + 1+ x + 1 2x + 3x 4 x + 2 5x 4x 5x 2 x 2 AB 7 BC 4 CD 3 AD 6 AD
Exemplo 4: apostila Determine o perímetro do quadrilátero ABCD, circunscritível, da figura. Resolução: AB + CD BC + 3 x + 1+ x + 1 2x + 3x 4 x + 2 5x 4x 5x 2 x 2 AB 7 BC 4 CD 3 AD 6 2p 7 + 4 + 3 + 6 20 AD Resposta: O perímetro do quadrilátero é igual a 20.
TEOREMA DE TALES Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre os dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra.
TEOREMA DE TALES B A A B AB BC 2 u 4 u 1 2 C C
TEOREMA DE TALES B A A B AB BC 2 u 4 u 1 2 A' B' B' C' 2v 4 v 1 2 C C
TEOREMA DE TALES B A A B AB BC 2 u 4 u 1 2 A' B' B' C' 2v 4 v 1 2 C C AB BC A' B' B' C'
TEOREMA DE TALES B A A B AB BC 2 u 4 u 1 2 A' B' B' C' 2v 4 v 1 2 C C AB BC A' B' B' C' AC AB A' C' A' B' 6 3 2
Teorema da Bissetriz Interna Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos (aditivos proporcionais aos lados adjacentes).
Teorema da Bissetriz Interna
Teorema da Bissetriz Interna b c y x
Exemplo 7 Determine o valor de x na figura, sabendo que o segmento AP é a bissetriz do ângulo Â.
Exemplo 7 Determine o valor de x na figura, sabendo que o segmento AP é a bissetriz do ângulo Â. 18 14 x 16 x
Exemplo 7 Determine o valor de x na figura, sabendo que o segmento AP é a bissetriz do ângulo Â. 18 14 x 16 x 14x 18 (16 x)
Exemplo 7 Determine o valor de x na figura, sabendo que o segmento AP é a bissetriz do ângulo Â. 18 14 x 16 x 14x 18 (16 x) 14x 288 18x
Exemplo 7 Determine o valor de x na figura, sabendo que o segmento AP é a bissetriz do ângulo Â. 14 x + 18x 18 14 x 16 x 14x 18 (16 x) 14x 288 18x 288
Exemplo 7 Determine o valor de x na figura, sabendo que o segmento AP é a bissetriz do ângulo Â. 18 14 x 16 x 14x 18 (16 x) 14x 288 18x 14 x + 18x 288 32x 288
Exemplo 7 P1 Determine o valor de x na figura, sabendo que o segmento AP é a bissetriz do ângulo Â. 18 14 x 16 x 14x 18 (16 x) 14x 288 18x 14 x + 18x 288 32x 288 x 9
Teorema da Bissetriz Externa Se a bissetriz de um ângulo externo de um triângulo intercepta a reta que contém o lado oposto, então ela divide este lado oposto externamente em segmentos (subtrativos) proporcionais aos lados adjacentes.
Teorema da Bissetriz Externa
Teorema da Bissetriz Externa b c x y
Exercício E55 Os lados de um triângulo medem 5cm, 6 cm e 7 cm. Em quanto é preciso prolongar o lado menor para que ele encontre a bissetriz do ângulo externo oposto? Resolução:
Exercício E55 Resolução:
Exercício E55 Resolução:
Exercício E55 Resolução: 6 x 1 5
Exercício E55 Resolução: 6 x 1 5 x 30cm
Semelhança de Triângulos Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.
Semelhança de Triângulos ABC Aˆ Mˆ MNP Bˆ Nˆ AB BC AC ~ k MN NP MP Cˆ Pˆ
Teorema Fundamental Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois lados em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.
Teorema Fundamental DE // BC ABC ~ ADE
1º caso de Semelhança (ângulo-ângulo) Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes. Aˆ Bˆ Mˆ Nˆ ABC ~ MNP
2º caso de Semelhança (lado-ângulo-lado) Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos de outro triângulo e os ângulos compreendidos são congruentes, então os triângulos são semelhantes.
2º caso de Semelhança (lado-ângulo-lado) Aˆ Mˆ AB MN AC MP ABC ~ MNP
3º caso de Semelhança (lado-lado-lado) Se dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes. AB MN AC BC ABC ~ MP NP MNP
Exercício E62 Na figura abaixo, consideremos os quadrados de lados 9, 6 e x. Determine o perímetro do quadrado de lado x.
Exercício E62 - resolução
Exercício E62 - resolução 3 6 6 - x x
Exercício E62 - resolução 3 6 - x x 6 3 6 x 6 x
Exercício E62 - resolução 3 6 3 6 6 x x 3x 36 6x 6 - x x
Exercício E62 - resolução 3 6 3 6 6 x x 3x 36 6x 9 x 36 6 - x x
Exercício E62 - resolução 3 6 3 6 6 x x 3x 36 6x 9 x 36 x 4 6 - x x
Exercício E63 A figura mostra um quadrado inscrito num triângulo de base 20 cm e altura 12 cm. Calcule o lado desse quadrado.
Exercício E63 A figura mostra um quadrado inscrito num triângulo de base 20 cm e altura 12 cm. Calcule o lado desse quadrado. 12 x x
Exercício E63 A figura mostra um quadrado inscrito num triângulo de base 20 cm e altura 12 cm. Calcule o lado desse quadrado. 12 x x 20 12 x 12 x
Exercício E63 A figura mostra um quadrado inscrito num triângulo de base 20 cm e altura 12 cm. Calcule o lado desse quadrado. 12 x x 20 12 x 12 x 12x 240 20x
Exercício E63 A figura mostra um quadrado inscrito num triângulo de base 20 cm e altura 12 cm. Calcule o lado desse quadrado. 12 x x 20 12 x 12 x 12x 240 20x 32 x 240
Exercício E63 P2 A figura mostra um quadrado inscrito num triângulo de base 20 cm e altura 12 cm. Calcule o lado desse quadrado. 12 x x 20 12 x 12 x 12x 240 20x 32 x 240 x 7,5
Potência de Ponto 1º caso: P é interno à circunferência. Se duas cordas de uma circunferência se interceptam, então o produto das medidas das duas partes de uma é igual ao produto das medidas das duas partes da outra. PA PC PD PB PA PB PC PD
Potência de Ponto 2º caso: P é externo à circunferência. Se por um ponto (P) exterior a uma circunferência conduzimos dois segmentos secantes (PA e PC), então o produto da medida do primeiro (PA) pela de sua parte exterior (PB) é igual ao produto da medida do segundo (PC) pela de sua parte exterior (PD).
Potência de Ponto PA PC PD PB PA PB PC PD
Exemplo 9 Na figura, calcule as medidas das cordas BD e CE.
Exemplo 9 Na figura, calcule as medidas das cordas BD e CE. AB AD AC AE
Exemplo 9 Na figura, calcule as medidas das cordas BD e CE. AB AD AC AE 3x ( x + 1) (4x 1) x
Exemplo 9 Na figura, calcule as medidas das cordas BD e CE. AB AD AC AE 3x ( x + 1) (4x 1) x 3x 2 + 3x 4x 2 x
Exemplo 9 Na figura, calcule as medidas das cordas BD e CE. AB AD AC AE 3x ( x + 1) (4x 1) x 3x x 2 2 + 3x 4x 4x 0 2 x
Exemplo 9 Na figura, calcule as medidas das cordas BD e CE. AB AD AC AE 3x ( x + 1) (4x 1) x 3x x 2 2 + 3x 4x 4x 0 2 x x 0 (não serve) ou x 4
Exemplo 9 Na figura, calcule as medidas das cordas BD e CE. BD 3x + x + 1 BD 12 + 4 + 1 17 AB AD AC AE 3x ( x + 1) (4x 1) x 3x x 2 2 + 3x 4x 4x 0 2 x x 0 (não serve) ou x 4
Exemplo 9 P3 Na figura, calcule as medidas das cordas BD e CE. AB AD AC AE 3x ( x + 1) (4x 1) x 3x x 2 2 + 3x 4x 4x 0 2 x x 0 (não serve) ou x 4 BD 3x + x + 1 BD 12 + 4 + 1 17 CE 4x 1 + x CE 16 1 + 4 19
Exercício E74 Na figura, T é o ponto de tangência. Sendo PA 4, determine o valor de x.
Exercício E74 Na figura, T é o ponto de tangência. Sendo PA 4, determine o valor de x. PT PT PA PB
Exercício E74 Na figura, T é o ponto de tangência. Sendo PA 4, determine o valor de x. PT PT PA PB x x 4 9
Exercício E74 Na figura, T é o ponto de tangência. Sendo PA 4, determine o valor de x. PT PT PA PB x x 4 9 x 2 36
Exercício E74 PF Na figura, T é o ponto de tangência. Sendo PA 4, determine o valor de x. PT PT PA PB x x 4 9 x 2 36 x 6