Cálculo com expressões que envolvem radicais

Escola Secundária de Aljustrel Material de apoio para o 11. o Ano Ano Lectivo 00/003 Cálculo com expressões que envolvem radicais José Paulo Coelho Abril de 003

... Índice... 1 Radicais: definição e propriedades. 3 Algumas operações com radicais. 5.1 Simplificação de expressões com radicais................... 5. Multiplicação e divisão............................. 5.3 Adição..................................... 5.4 Racionalização de termos de uma fracção.................. 6 3 Potências de expoente racional. 7 4 Resolução de equações que envolvem radicais. 8 4.1 Introdução................................... 8 4. Exemplos de equações resolvidas....................... 9

1 Radicais: definição e propriedades. 1 Radicais: definição e propriedades. Definição 1.1 (Radical índice n de a.) n a representa: O único número real positivo x tal que x n = a quando n N é par e a 0. O único número real x tal que quando n N é ímpar e a R. x n = a Quando n =, o índice do radical é omitido, ficando. em vez de., tal como é usual. Por exemplo, 36 = 6 porque 6 = 36, 5 3 = porque ( ) 5 = 3 e 3 7 = 3 uma vez que ( 3) 3 = 7. Pela definição que apresentamos acima, é fácil perceber que os radicais cujo índice é par podem requerer alguns cuidados. Por exemplo, a = a = { a se a 0 a se a < 0 Um outro exemplo: será verdade que a + 4a + 4 = a + para todos os valores de a? Apesar de a + 4a + 4 = (a + ), a verdade é que existem valores de a para os quais tal não se verifica. Basta ver que a + 4a + 4 0 por definição de raiz quadrada (.), mas que a+ < 0 se a <. Logo, existem valores de a para os quais a + 4a + 4 a+. Na verdade, a + 4a + 4 = { a + se a (a + ) = a + =. De um a se a < modo geral, se f é uma função real de variável real, podemos dizer que (f(x)) = f(x) = { f(x) se f(x) 0 f(x) se f(x) < 0 Propriedades 1.1 (Cálculo com radicais) Sejam n,p N e a,b R +. São válidas as seguintes regras de cálculo com radicais: 1. n a n b = n ab;. n a n b = n a b ; 3. n a = np a p. E.S.Aljustrel Pág. 3 José Paulo Coelho, Abril de 003

1 Radicais: definição e propriedades. Exemplo 1.1 Eliminar os parênteses em (3 x) 3. Começamos por observar que x 0 (para que x faça sentido) e que Pelas propriedades 1.1 (1 e 3), vem Exemplo 1. Simplificar a fracção (3 x) 3 = 3 3 ( x) 3. 3 3 ( x) 3 = 7 x 3 = 7x x. 3x3 y x. Vamos simplificar o numerador da fracção: 3x3 y = 5 x 3 y = 4 x x y = 4 x xy = x xy = 4x x y. Assim, 3x3 y x = 4x x y x = 4x y, x > 0. Exemplo 1.3 Simplificar, eliminando os factores comuns da fracção Observando que x + x 3 = x(1 + x ) e que x = ( 3 x) 3, vem 3 x x + x 3 = 3 x ( 3 x) 3 (1 + x ) = 1 3 x (1 + x ), x 0 3 x x + x 3. Exemplo 1.4 Efectuar os cálculos e apresentar o resultado na forma de fracção: x x 1 + 1 x 1. Notemos que x 1 = ( x + 1)( x + 1) para x 0. x x 1 + 1 x 1 = x( x + 1) ( x 1)( x + 1) + 1 ( x 1)( x + 1) = ( x) + x + 1 ( x 1)( x + 1) = x + x + 1, x R + \{1}. x 1 E.S.Aljustrel Pág. 4 José Paulo Coelho, Abril de 003

Algumas operações com radicais. Algumas operações com radicais. Recordamos aqui algumas das operações mais comuns com radicais: simplificação, multiplicação, divisão, adição e subtracção, e finalmente a racionalização dos termos de uma fracção..1 Simplificação de expressões com radicais. A simplificação de expressões que envolvem radicais pode acontecer quando certos factores têm expoentes com factores comuns com o índice do radical. Exemplo.1 5 5 = 5 5 5 = 5 5 5 = 5 5. Exemplo. 4 5 9 = 4 5 4 5 4 5 = 5 5 4 5 = 5 5. Exemplo.3 4 18a 4 b 9 = 4 3 a 4 b 8 b = 4 4 3 4 a 4 4 b 8 4 b = 3 a b 4 b.. Multiplicação e divisão. Para multiplicar ou dividir radicais utilizamos as regras já vistas na secção anterior, nomeadamente n n a b = n n a a ab, n = n b b. Exemplo.4 Supomos que x 0. mmc(3,4)=1. Exemplo.5 x +1 3 = 6 (x +1) 3 x 1 6 = 6 (x 1) Exemplo.6 3 x +1 3 = 3 x 1.3 Adição. x +1 x 1 3 5x 4 x = 1 5 4 x 4 1 x 3 = 1 5 4 x 7. (x +1) 3 (x 1) Para a adição (ou subtracção) podemos agrupar parcelas com o mesmo radical, aplicando para tal a propriedade distributiva (da multiplicação em relação à adição de números reais). Exemplo.7 5 5 + 7 3 5 π 5 = (5 π) 5 + 7 3 5. Exemplo.8 3 x 5 + 7 x + x = 3x x + 7 x + x = (3x + 7 + ) x. E.S.Aljustrel Pág. 5 José Paulo Coelho, Abril de 003

Algumas operações com radicais..4 Racionalização de termos de uma fracção. Existem situações onde estamos interessados em escrever uma fracção numa outra forma, mas sem a presença de radicais num dos seus termos. Dizemos nestes casos que queremos racionalizar o numerador ou o denominador. Por exemplo, podemos racionalizar o denominador da fracção 1 5 multiplicando ambos os termos da fracção por 5: 1 = 1 5 = 5 5 5 O mesmo pode ser feito com a fracção 1 7 x : 5 5. 1 7 x = 1 7 x 6 7 x 7 x 6 = 7 x 6 x Exemplo.9 Racionalizar o denominador de x 7. x = ( x )( 7 + ) 7 ( 7 )( 7 + ) x( 7 + ) ( 7 + ) = 7 x( 7 + ) 14 = 5 Exemplo.10 Racionalizar o numerador de x 7. x = ( x )( x + ) 7 ( 7 )( x + ) x = 7( x + ) ( x + ) x = ( 7 ) x + 14 E.S.Aljustrel Pág. 6 José Paulo Coelho, Abril de 003

3 Potências de expoente racional. 3 Potências de expoente racional. Quando efectuamos cálculos com radicais, estes podem ser substituídos por potências de expoente racional. Se a R +, p Z e q N, convencionamos que q ap = a p/q que é uma potência de base a e expoente racional p/q. Quando q = 1, convenciona-se que 1 b = b, qualquer que seja b 0. A grande utilidade das potências de expoente racional é o facto de gozarem das propriedades das potências de expoente inteiro. Propriedades 3.1 1. Multiplicação de potências com a mesma base:. Divisão de potências com a mesma base: a p/q a m/n = a p/q+m/n. a p/q a m/n = ap/q m/n. 3. Multiplicação de potências com o mesmo expoente: a p/q b p/q = (ab) p/q. 4. Divisão de potências com o mesmo expoente: ( a ) p/q a p/q b p/q =. b 5. Potência de potência: (a p/q ) r/s = a pr qs. Exemplo 3.1 3 1/ + 3 3/ = 3 1/ + (3 1/ 3 / ) = (1 + 3)3 1/ = 7 3. Exemplo 3. x1/ 1 x 1/3 = x1/ x 1/3 1 x 1/3 = x 1/ 1/3 x 1/3 = x 1/6 x 1/3. Exemplo 3.3 (x 1/3 + ) = x /3 + 4x 1/3 + 4 = 3 x + 4 3 x + 4. Exemplo 3.4 (1 + x 1/ )(1 x 1/ ) = 1 (x 1/ ) = 1 x 1 = 1 1 x = x 1 x. E.S.Aljustrel Pág. 7 José Paulo Coelho, Abril de 003

4 Resolução de equações que envolvem radicais. 4 Resolução de equações que envolvem radicais. 4.1 Introdução Na resolução de equações que envolvem radicais podem utilizar-se todas as regras já estudadas relativamente a outras equações, nomeadamente: Adicionar a ambos os membros de uma equação uma mesma expressão, o que na prática se resume a poder mudar um termo de membro desde que lhe troquemos o sinal; Multiplicar (ou dividir) ambos os membros de uma equação por um número diferente de zero. No entanto, para eliminar os radicais que entretanto vão aparecendo, temos que elevar ambos os membros da equação a um número conveniente. É aqui que reside a nossa discussão seguinte, pois tal não pode ser feito de forma leviana. Pelo contrário, depois de aplicarmos esta transformação temos que verificar se não estamos a introduzir soluções estranhas à equação inicial - o que nos obriga a um cuidado que normalmente não temos relativamente a outras equações. Elevar ambos os membros de uma equação a um mesmo número natural pode ser uma transformação útil, sobretudo quando se resolvem equações que envolvem radicais. No entanto, esta transformação tem que ser aplicada com cuidado. Comecemos por apresentar um exemplo que ilustra aquilo que afirmamos atrás. Resolvamos a equação x = 1 x Com o objectivo de nos desembaraçarmos da raiz quadrada, vamos elevar ambos os membros ao quadrado x = (1 x) ou seja, depois de simplificarmos a expressão, x 5x + 144 = 0 o que nos conduz a uma equação do segundo grau e ao uso da fórmula resolvente, a qual nos fornece as soluções x 1 = 5 + ( 5) 4 144 x 1 = 16. x = 5 ( 5) 4 144 x = 9. Vamos agora discutir se 16 e 9 são soluções da equação inicial ( x = 1 x). E.S.Aljustrel Pág. 8 José Paulo Coelho, Abril de 003

4 Resolução de equações que envolvem radicais. É fácil ver que 16 = 4 é diferente de 1 16 = 4: 16 1 16. Assim, 16 não é solução da equação inicial (substituindo x por 16 na equação inicial não obtemos uma afirmação verdadeira.) 9 é a única solução da equação inicial, pois 9 = 1 9 = 3. Vamos discutir esta situação. Repare que mas que x = 1 x x = (1 x) pois x = (1 x) x = 1 x Concluimos que a equação (1 x) = x 1 x = x 1 x = x x = 1 x x = x 1 (1 x) = x possui, para além das soluções da equação x = 1 x, as soluções da equação x = x 1. Daí que x1 = 16 não seja solução da equação x = 1 x, apesar de ser solução da equação (1 x) = x. Da discussão anterior é fácil deduzir que: 1. Quando nos queremos desembaraçar de raizes quadradas, elevamos ambos os membros da equação ao quadrado; se nos quisermos desembaraçar de raizes cúbicas elevamos ambos os membros ao cubo; etc.. Depois de resolvermos a equação obtida através de 1, verificamos se as soluções obtidas são solução da equação inicial. 4. Exemplos de equações resolvidas. Exemplo 4.1 Resolver a equação x + 3 = 3 5x. Observamos que esta equação só pode ser resolvida supondo que x + 3 0 e x 0, pois a intersecção destas duas condições é que nos fornece o domínio desta expressão. Assim, a variável x só pode tomar valores maiores ou igual a zero. Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos x + 3 = (3 5x) x + 3 = 9 6 5x + 5x que depois de simplificada é equivalente a 6 5x = 4x + 6 Elevando os membros desta nova equação ao quadrado tem-se E.S.Aljustrel Pág. 9 José Paulo Coelho, Abril de 003

4 Resolução de equações que envolvem radicais. 36(5x) = (4x + 6) 16x 13x + 36 = 0 4x 33x + 9 = 0 Depois de aplicarmos a fórmula resolvente obtemos x 1 = 3 8 ( 105 + 11) 7.967606539 x = 3 8 ( 105 11) 0.8393461 A equação inicial é x + 3 = 3 5x. Com o auxílio da calculadora gráfica, verificamos que apenas x = 3( 105 11) é 8 solução desta equação. De facto, 3 ( ) 105 + 11 + 3 3.31173769 8 e ( 3 ( ) ) 3 5 105 + 11 3.31173769 8 ( ) o que mostra que x 1 = 3 8 105 + 11 não é solução da equação inicial. Por outro lado, 3 ( ) ( 105 11 + 3 = 3 5 3 ) 8 8 ( 105 11) 1.81173769. Logo, x é solução da equação. Exemplo 4. Resolver a equação 3 3x 4x = x (1) Elevando ambos os membros ao cubo, vem 3x 4x = x 3 x 3 3x + 4x = 0 x(x 4x + 3) = 0 Aplicando a lei do anulamento do produto temos x = 0 x 4x + 3 = 0 Finalmente, resolvendo a equação do segundo grau, obtemos x = 0 x = 1 x = 3 Vamos agora verificar se as soluções obtidas são soluções da equação (1). x 1 = 0 é solução da equação, pois 3 3 0 4 0 = 0. x = 1 não é solução de (1): 3 3 1 4 1 = 1 1. x 3 = 3 também não é solução da equação inicial, já que 3 3 3 4 3 = 3 15 3 E.S.Aljustrel Pág. 10 José Paulo Coelho, Abril de 003