Teoria dos Jogos Resolução do Exame Final da Época normal /6/8 AnoLectivode7/8 o semestre Justifique claramente todas as suas respostas e cálculos.. (4.)Considereoseguintejogosequencialentreojogadore: C D E F 4 3 Figura (a) (,5) Encontre os equilíbrios de Nash em estratégias puras. As melhores respostas dos jogadores são E F C,, D 4,3, BR (E) = D;BR (F)=C BR (C) = E ouf :BR (D)=E OequilíbriodeNashédefinidocomoopardeestratégiasparatalquecadajogar aplicaasuamelhorrespostaàestratégiadoadversário. Istoé (D,E)e (C,F). (b) (,) Encontre os equilíbrios perfeitos em subjogos. Justifique. Os equilíbrios perfeitos em subjogos são equilíbrios de Nash em que os jogadores jogam optimamente em todos os subjogos. São determinados a por indução retroactiva. Neste caso o equilíbrio perfeito em subjogos é (D,E). O jogador, prefere jogar E porquetemumpagamentode emvez deumpagamentode. O jogador, sabendo que o jogador jogará optimamente no último estádio,temdedecidir entrejogar C eter umpagamento de ejogar D eter um pagamento de 4. Ele escolherá então D.
(c) (,5)ExpliquearazãopelaqualalgunsequilíbriosdeNashnãosãoperfeitosem subjogos. Para que um equilíbrio seja perfeito em subjogos é necessário que os jogadores joguemdemaneiraóptimaemtodos osestádios do jogo. Para que umperfil de estratégias seja um equilíbrio de Nash, é necessário que nenhum jogador, dada a estratégia do rival, deseje desviar. Ou seja, o equilíbrio de Nash não impede que os jogadores utilizem estratégias não optimizadoras em alguns estádios do jogo. Isto é, alguns equilíbrios de Nash podem conter ameaças não credíveis: jogadas que não seriam executadas por não serem optimas em determinadas etapas do jogo. No nosso caso específico, no equilíbrio (C,F), o jogador ameaça jogar F,quando,claramenteissolheseriaprejudicial. Ojogadorjoga C. Esteéum equilíbrio de Nash porque os jogadores não ganham em desviar da sua estratégia: dado que joga C, não ganha nada por jogar E em vez de F. Dado que joga F, se jogar D e não C, passa a ter um pagamento de em vez de um pagamentode,oquenãoévantajoso.. (5,)Considereoseguintejogoentreojogadore. A B C D A, 4, 3,3 9, B 3,5 8,,4 7, C 4,7 9,,6 5, D, 7,,7 4,3 Figura (a) (,5) Reduza o jogo através da eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas. Justifique. Começando pelo jogador, verificamos que a estratégia B é dominada pela estratégia C, isto é, qualquer que seja a estratégia utilizada pelo jogador, a estratégia C do jogador tem sempre um pagamento associado superior ao da estratégia B. Podemos então concluir que em equilíbrio o jogador nunca iria escolher esta estratégia, e portanto esta pode ser eliminada do jogo. Depois de eliminada esta estratégia, vamos analisar as estratégias do jogador. A C D A, 3,3 9, B 3,5,4 7, C 4,7,6 5, D,,7 4,3 Figura 3 Verificamos, pelo mesmo motivo que a estratégia D é dominada pela estratégia A
paraojogador,peloqueapodemoseliminar. A C D A, 3,3 9, B 3,5,4 7, C 4,7,6 5, Figura 4 Voltando ao jogador, verificamos que a estratégia D pode ser eliminada pela A. A C A, 3,3 B 3,5,4 C 4,7,6 Figura 5 E finalmente que a estratégia B do jogador é estritamente dominada. O jogo reduzido é: A C A, 3,3 C 4,7,6 Figura 6 (b) (,) A partir do jogo reduzido, encontre todos os equilíbrios de Nash. p -p A C q A, 3,3 -q C 4,7,6 Figura 7 Considerandoqueosjogadoresatribuemasprobabilidades(p, p)e(q, q) às estratégias do rival, verificamos que: OjogadorjogaA,(q=),se: OjogadorjogaA,(p=),se: p+3( p) 4p+( p) p q+7( q) 3q+6( q) q 3 3
As funções de reacção dos jogadores são: p / /3 q Verificamos que existem 3 equilíbrios de Nash: dois em estratégias puras: (A,C);(C,A) eumemestratégias,mistas(p,q)= (, 3). (c) (,5) Indique a razão pela qual é possível encontrar todos os equilíbrios de Nash em estratégias puras a partir do jogo reduzido, não sendo necessário recorrer ao jogo completo. O equilíbrio de Nash obtém-se pela intersecção das melhores respostas dos jogadores. Um estratégia dominada nunca pode constituir uma melhor resposta a uma estratégia do rival, pois esta implica um pagamento inferior ao pagamento de uma estratégia alternativa para TODAS as acções do opositor. Logo uma estratégiadominadanuncafarápartedeumequilíbriodenash,eportanto,ocálculodo EN pode ser realizado a partir do jogo reduzido através da eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas. 3. (5,) Uma indústria é constituída por 3 empresas identicas, cuja procura é dada por P = Q, onde Q = q +q +q 3. Cada empresa tem custos totais dados por C i = q i. Quando se comportam como concorrentes à la Cournot, as empresas obtêmumlucrodadoporπ Cournot = 45 4 =56.5 (a) (.)Suponhaqueastrêsempresasdecidemformarumcartel,emqueolucro conjunto é maximizado e o dividido igualmente entre os participantes no conluio. Qual o lucro que cada empresa iria obter neste cenário? Denote-o Π conluio.(se não obtiver o valor correcto assuma que cada empresa produz q i = e que o lucroéπ conluio =55) max Q Q( Q ) Q = 45 q i = 5 Π conluio = 5 45=675 (b) (.5)Assuma que a empresa decide quebraroconluio, enquantoas outrasse mantémfieisaoacordo. Qualéaquantidadequemaximizaolucrodaempresa 4
? Calculeoslucrosdaempresanestecenárioedenote-osΠ rotura. (Nocasode nãoobternenhumvalor,assumaqueπ rotura =65) q = 3 q ( 5 q ) Q = 6,P =4,Π rotura =3 3=9 (c) (.5)Assumaqueasempresasnocartelcastigamaroturadoconluioatravésda escolha da quantidade de Cournot em todos os períodos futuros. As empresas concorrem durante um período infinito e descontam os lucros futuros a uma taxa δ. Paraquevalordeδserápossívelsustentaroconluioemequilíbrio? 675 > 9+ δ δ δ 56.5 675 > ( δ)9+δ56.5 393,75δ > 9 675 5 δ > 393.75 =.5743 Se tiverem utilizado os valores fictícios 55 > 65+ δ δ δ 56.5 55 > ( δ)65+δ56.5 55 > 65 43.75δ 43.75δ > δ > 43.75 =,695 4. (6,) Considere o seguinte jogo dinâmico de informação incompleta: L R M p -p L R L R U D 5 5 Figura 3 4 3 (a) (,) Escreva este jogo na forma normal. L U L D R U R D L 5, 5,,, R,,,5,5 M, 4,3, 4,3 5
(b) (,) Encontre os equilíbrios de Nash e os equilíbrios perfeitos em subjogos. Justifique. OsequilíbriosdeNasheosequilíbriosperfeitosemsubjogossão(L,(L U)),(L,L D),(M,(R D)). (c) (,)Quaisascrençaspe pquepermitemqueosequilíbriosdeperfeitosem subjogos encontrados na alínea(b), sejam equilíbrios bayesianos perfeitos? Comecemos pelo equilíbrio: (L,(L U)),ojogadorjogaL se: Logo, p 5( p) p 5 6 {L,(L U),p=} é um equilíbrio Bayesiano perfeito. Da mesma forma, {L,(L D),p=} é um equilíbrio Bayesiano perfeito. Verifiquemosagoraquaisascrençasquesustentam (M,(R U)) verificamosquep 5 6,equeestacrençanãoéafectadapelocaminhodoequilíbrio escolhido pelo jogador. Logo o equilíbrio Bayes Nash perfeito é: { M,(R U),p 5 }. 6 6