Jogos dinâmicos com informação incompleta

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1 PROF. SABINO PORO JR. 6/6/009 Jogos dinâmicos com informação incompleta Mas-Collel e Green capítulo 9 Refinamentos do conceito de quilíbrio i de Nash 1 Roteiro da aula: Racionalidade d seqüencial quilíbrio Bayesiano perfeito fraco [quilíbrio bayesiano perfeito forte] quilíbrio Seqüencial Forward Indução Aplicações de NPS quilíbrio de Nash rembling Hand xtensivo CO ORIA DOS JOGOS [DCON/UFRGS] 1

2 PROF. SABINO PORO JR. 6/6/009 (0,) Racionalidade Seqüencial a estratégia de um jogador deve especificar ações ótimas em todo ponto na árvore do jogo. Isso significa que o estratégias de equilíbrio especificam comportamento ótimo a partir de qualquer ponto de decisão na árvore do jogo. Um jogador é o itular e o outro é um ntrante potencial. Racionalidade Seqüencial: depois de entrar a única estratégia ótima para o jogador é escolher Out Acomodar In (-3,-1) (,1) xemplo 1: Jogo dinâmico finito de informação completa e perfeita 0 1 Forma Reduzida 3 Podemos representar o jogo na forma normal: Jogador Jogador Out In Lutar se Acomodar se joga In joga In (0,) (0,) (-3,1) (,1) 4 CO ORIA DOS JOGOS [DCON/UFRGS]

3 PROF. SABINO PORO JR. 6/6/009 Proposição: em jogos dinâmicos finitos de informação perfeita a Indução Retroativa captura a idéia de Racionalidade Seqüencial. eoremadezermelo: odo jogo finito de informação perfeita tem um quilíbrio de Nash em stratégias Puras que pode ser derivado através de Indução Retroativa. Além disso, se nenhum jogador tem os mesmos payoffs em qualquer dois nódulos terminais, então há um único quilíbrio de Nash que pode ser derivado por Indução Retroativa. 5 xemplo : Jogo dinâmico de informação completa e imperfeita Out In (0,) Lutar Acomodar (-3,-1) (1,-) (-,-1) (3,1) Jogador Acomodar Lutar Jogador Acomodar Lutar 3,1 -,-1 1,- -3,-1 Out In NPS captura a idéia de Racionalidade Seqüencial (0,) (3,1) 6 CO ORIA DOS JOGOS [DCON/UFRGS] 3

4 PROF. SABINO PORO JR. 6/6/009 O mesmo jogo representado na forma Normal Acomodar se Jogar In Jogador Lutar se Jogar In Jog gador Out, Acomodar Se In 0, 0, Out, Lutar Se In 0, 0, In, Acomodar Se 31 3,1 -,-1 In In, Lutar Se In 1,- -1,-1 7 I. Proposição: em um jogo finito de informação perfeita todo nódulo de decisão inicia um subjogo; II. Proposição: todo NPS é um quilíbrio de Nash, afinal, o jogo como um todo é um subjogo, mas nem todo quilíbrio de Nash é um NPS. III. Proposição: odo jogo finito de informação perfeita tem NPS de estratégias puras e, se nenhum jogador tem os mesmos payoffs em quaisquer dois nódulos terminais, então o NPS é único. 8 CO ORIA DOS JOGOS [DCON/UFRGS] 4

5 PROF. SABINO PORO JR. 6/6/009 xemplo 3: he Niche Choice Game Out In (0,) Small Large Niche Niche (-6,-6) (-1,1) (1,-1) (-3,-3) Jogador Acomodar Lutar Jogador Acomodar Lutar -6,-6-1,1 1,-1-3,-3 Out In Out In Veja: os equilíbrios são distintos e com implicações de ganhos distintas para o jogadores (0,) (1,-1) (0,) (-1,1) 9 Proposição: Considere um jogo na forma extensiva envolvendo sucessivas jogadas de -jogos simultâneos com os jogadores observando as estratégias puras jogadas em cada jogo imediatamente depois que seu jogo é concluído. Assuma que o payoff de cada jogador é igual à soma dos payoffs nas jogadas dos -jogos. Se há um único quilíbrio de Nash em cada -jogo, então, há um NPS que consiste em cada jogador jogar o N em cada -jogo, independentemente do que tenha acontecido previamente. Idéia básica: aplicação da lógica de Indução Retroativa Observação: NPS exclui dependência da história de estratégias nessa classe de jogos. Proposição: se cada subjogo tem um único N, então, o NPS não pode ser histórico depedente; Jogo da Centópeia enfraquece a noção de NPS (ver Rosenthal, 1981, para uma introdução olhar Montet e Serra) 10 CO ORIA DOS JOGOS [DCON/UFRGS] 5

6 PROF. SABINO PORO JR. 6/6/009 Crenças e Racionalidade Seqüencial O NPS nem sempre é suficiente para capturar Racionalidade Seqüencial Alguns jogos podem deixar passar NPS em ameaças vazias: ocorre quando o único subjogo do jogo é próprio jogo. Nesse caso todos os N do jogo são também NPS, inclusive os N em ameaças vazias. 11 xemplo 4: Jogo dinâmico de informação completa e imperfeita Out In1 In (0,) (-1,-1) (3,0) (-1,-1) (,1) Agora: O jogador ntrante possui duas estratégias para ntrar A Firma itular: é incapaz de antecipar qual a estratégia que a Firma usou se ela resolveu entrar. 1 CO ORIA DOS JOGOS [DCON/UFRGS] 6

7 PROF. SABINO PORO JR. 6/6/009 xemplo 4: Jogo dinâmico de informação completa e imperfeita NPS1: (out, lutar se entrada ocorre) NPS: (In1, acomodar se entrada ocorre) Out In1 In (0,) Nova questão: como eliminar o N não razoável??? Observe: qualquer que seja a estratégia de ntrada do jogador o itular prefere Acomodar se a ntrada ocorrer. (-1,-1) (3,0) (-1,-1) (,1) Nesse caso, o único subjogo é o próprio jogo, então, os dois N S são NPS, ou seja, não é possível usar NPS para selecionar entre os Ns. 13 Comentários A solução desse problema exige um novo refinamento da noção de quilíbrio. Saída: reforçar a noção de Racionalidade Seqüencial. Racionalidade Seqüencial: a Ação do jogador deve ser ótima para alguma crença [do ] sobre qual a estratégia será usada pelo jogador. No jogo: Lutar se o escolhe ntrar não é uma escolha ótima do jogador para qualquer crença que o possa ter. Conseqüência desse novo raciocínio: devemos considerar formalmente a CRNÇA dos jogadores e usá-la para testar racionalidade seqüencial dos jogadores. Novo conceito solução: quilíbrio Bayesiano Perfeito Fraco ou quilíbrio Seqüencial Fraco (Myerson, 1991) 14 CO ORIA DOS JOGOS [DCON/UFRGS] 7

8 PROF. SABINO PORO JR. 6/6/009 quilíbrio Bayesiano Perfeito Fraco xigência básica do BP fraco : em qualquer ponto do jogo uma estratégia do jogador deve prescrever ações ótimas a partir daquele ponto dadas as estratégias té dos jogadores oponentes e e as suas [do jogador que toma decisão] crenças sobre o que ocorreu no jogo até aquele ponto de decisão. Além disso, suas crenças devem ser consistentes com as estratégias que estão sendo jogadas. Definições novas: 1. Sistema de crenças. Racionalidade Seqüencial de stratégias 15 Crenças Definição: um sistema de crenças μ em um jogo na forma extensiva é a especificação de uma probabilidade μ ( x) [ 0,1] para cada nódulo de decisão x no jogo extensivo, tal que: x CI μ ( x) 1 = CI É gerada pela natureza Sistema de Crenças: specifica, para cada conjunto de informação, uma avaliação probabilística e essa avaliação deve ser realizada pelo jogador que toma decisão naquele ponto de decisão. A avaliação consiste em estimar as probabilidades relativas de se encontrar [chegar a] em cada um dos pontos de decisão do conjunto de informação, condicionadas ao jogo realizar ou alcançar aquele conjunto de informação. Utilidade esperada: dados um Conjunto de informação alcançado e um conjunto de crenças, ou seja, as probabilidades condicionais de está em cada ponto de decisão de seu conjunto de informação, estima-se a utilidade esperada, se ele segue uma ou outra estratégia, dadas as escolhas dos demais jogadores. 16 CO ORIA DOS JOGOS [DCON/UFRGS] 8

9 PROF. SABINO PORO JR. 6/6/009 Utilidade sperada: valor esperado da utilidade obtida com as escolhas do jogadores dadas suas crenças, conjuntos de informações e os payoffs possíveis e as escolhas dos demais jogadores. U [ / CI, μ, s, s ] i i i Agora: racionalidade seqüencial exige que a escolha do jogador em cada ponto de decisão maximize a utilidade esperada do jogador que escolhe. 17 Definição de uma estratégia Seqüencialmente racional: uma estratégia em um jogo dinâmico é considerada seqüencialmente racional e um conjunto de informação e dado um sistema de crenças se, para o jogador i que escolhe no Conjunto de informação CI, temos: UCI / CI, μ, s, /,,, i CI s i CIi UCI CI μ s% i CI s i CI s i % CI S i Se s satisfaz essa condição para todo Conjunto informação, então, dizemos que s é seqüencialmente racional dado o sistema de crenças. Intuição: nas condições especificadas acima nenhum jogador acha interessante desviar dadas as suas crenças sobre o que já ocorreu e sobre as estratégias dos rivais. 18 CO ORIA DOS JOGOS [DCON/UFRGS] 9

10 PROF. SABINO PORO JR. 6/6/009 Condições para definir um BP fraco 1) stratégias devem ser seqüencialmente racionais dadas as crenças ) Sempre que possível, crenças devem ser consistentes com as estratégias. Ou seja, no equilíbrio jogadores devem ter crenças corretas sobre as escolhas de estratégias té dos seus oponentes. [falta definir i crenças consistentes] Definição Crenças consistentes: para cada pondo de decisão pertencente a um conjunto de informação o jogador deve calcular a probabilidade de realização daquele ponto de decisão dado a estratégia s escolhida por ele. deve atribuir probabilidades condicionais de está em cada um desses pontos de decisão dado que o jogo realiza ou alcança o conjunto de informação, usando regra de Bayes. Regra de Bayes: ( ) Pr ob x / CI, s = ( ) ( s) Pr ob x / s x CI Pr ob x / 19 xemplo 4: Jogo dinâmico de informação completa e imperfeita NPS1: (out, lutar se entrada ocorre) NPS: (In1, acomodar se entrada ocorre) Out In1 In (0,) (-1,-1) (3,0) (-1,-1) (,1) Suponha que o jogador usa a seguinte stratégia Mista: ( ) ( Out, In 1, In ) =,, Pr ob( CI / s) = = 0,75 4 Usando Bayes: 1 Prob ( xci / ) = = xdecorrente de IN Prob ( x / CI) = 4 = x decorrente de IN ssas devem ser as crenças consistentes de. Crenças de consistentes com a stratégia do jogador. Questão: as M são não completas, pois alguns CI podem ser realizados com Probabilidade nula. Isso inviabilizaria o uso de regra de Bayes. Saída: BP fraco permite atribuir qualquer probabilidade positiva a CI que não seriam realizados no equilíbrio. [visão agnóstica] voltar aqui e conferir??? 0 CO ORIA DOS JOGOS [DCON/UFRGS] 10

11 PROF. SABINO PORO JR. 6/6/009 quilíbrio Bayesiano Perfeito fraco fraco ( s μ ) BP =, Definição de BP fraco: a estratégia s e um sistema de crenças constituem um BP fraco se eles possuem as seguintes propriedades: μ i. A estratégia s é seqüencialmente racional dado o sistema de crenças μ ii. O sistema de crenças μ é derivado de s através de regras de Bayes sempre que possível. ( x s) ( CI s) ( ) Isso significa que CI no qual Pr CI / s > 0, temos: Pr / μ ( x) = x CI Pr / 1 Proposição: uma estratégia s é um quilíbrio de Nash de um jogo na forma extensiva se e somente se existe um sistema de crenças µ tal que: i. A estratégia s é seqüencialmente racional dado µ em todo conjunto de informação tal que Prob(CI / s) > 0 ii. O sistema de crenças µ é derivado de s através de Regra de Bayes, sempre que possível. Observação: exige-se racionalidade seqüencial apenas para o caminho do equilíbrio. Proposição: todo equilíbrio Bayesiano perfeito fraco é um equilíbrio de Nash, mas nem todo quilíbrio de Nash é um BP fraco. CO ORIA DOS JOGOS [DCON/UFRGS] 11

12 PROF. SABINO PORO JR. 6/6/009 Voltanto ao xemplo 4: Jogo dinâmico de informação completa e imperfeita NPS1: (out, lutar se entrada ocorre) NPS: (In1, acomodar se entrada ocorre) Out In1 In (0,) (-1,-1) (3,0) (-1,-1) (,1) quilíbrio Bayesiano Perfeito fraco: Firma deve jogar Acomodar se ntrada ocorre, porque esta é a ação ótima da firma iniciando em seu conjunto de informação para qualquer sistema de crenças. µ(x)= 1, pois a Prob (CI/In1, acomodar se entrar)>0 BPfraco = (Acomodar se entrar, 1) É único. s=acomodar se entrar é uma estratégia seqüencialmente racional. 3 Join Venture entry Game 1 Análise de possibilidades: itular Aceitar Rejeitar 1 In Out Firma deve aceitar a JV, pois isso garante um payoff positivo para ela, qualquer que seja a estratégia escolhida pela firma. Firma 1 deve propor a JV, pois se aceita, a firma 1 estará melhor, qualquer que seja a estratégia escolhida por. (-1,0,) (,0,1) (1,1,-) (4,4,0) (-1,0,) (,0,1) Descrição: rês Firmas: 1,, itular Firma tem uma tecnologia importante para a firma 1 Firma itular: observa se 1 entra mas não sabe se ela conta com a aliança de A join Venture é imbatível mesmo se a firma itular lutar. 4 CO ORIA DOS JOGOS [DCON/UFRGS] 1

13 PROF. SABINO PORO JR. 6/6/009 ( ) Pr CI / s > 0 itular Aplicando Bayes: probabilidade do ponto de decisão do meio no Conjunto de informação do = 1.0 A estratégia ótima de no ponto de decisão do meio = Acomodar se a ntrada ocorre. fraco {( Pr JV, In se declina ), (Aceitar), ( mod se ntra) } BP = opor Aco ar Outro NPS, porém em ameaça vazia: { (, se declina ), ( ), ( se ntra ) } NPS = Out Out Declina Lutar 5 Novo xemplo: Out IN 1 IN μ 0 ( 1 μ ) Jogador : deseja lutar se entra via IN 1 Jogador : sua jogada ótima depende do comportamento de que é indicado por ou seja, deseja entrar se >-1. γ γ γ Solução: crenças consistentes exige-nos olhar apenas para o caso em que >0 γ 6 CO ORIA DOS JOGOS [DCON/UFRGS] 13

14 PROF. SABINO PORO JR. 6/6/009 μ itular ( μ ) = crença de de que In é a estratégia que escolherá se entrar. 1 1 = crença de de que In é a estratégia que escolherá se entrar. itular Firma deseja Lutar se e somente se: Ganho de Lutar Ganho de Acomodar -1 μ + 1( 1 μ) μ 3 BPfraco : μ = 3 1 ( 1 μ ) = 3 Firma deve aleatorizar no equilibrio com probabilidade positiva de jogar In e In 1 7 Situacoes que nao funcionam: 1) Se μ > em BP fraco isso geraria uma contradiçao, pois, nesse caso, 3 deveria Lutar com prob. 1,0, isso implicaria que deveria escolher In, com prob.1,0 o BP iria requerer μ =0, o que representa uma contradiçao. fraco Situacoes que nao funcionam: ) Se μ < em BP fraco isso geraria uma contradiçao, pois, nesse caso, 3 deveria Acomodar com prob. 1,0, isso implicaria que deveria escolher In, com prob.1,0 o BP fraco iria requerer μ =1, o que representa uma contradiçao. BPfraco : μ = 3 1 ( 1 μ ) = 3 Firma deve aleatorizar no equilibrio com probabilidade positiva de jogar In e In CO ORIA DOS JOGOS [DCON/UFRGS] 14

15 PROF. SABINO PORO JR. 6/6/009 Isso significa que a probabilidade de lutar deve fazer com que a firma seja indiferente entre IN1 e IN: IN1 IN = 1sLutar + 3( 1 slutar ) = γ slutar + ( 1 slutar ) 1 s = Lutar Payoff de ntr γ + ar é dado por: IN ( ) 1 IN 3 γ + ou = > 0 Pr ( Out) = 0 γ + BPfraco para γ >0: 1 ( s0, s1, s) = 0,, s i = prob. do jogador 3 3 escolher out, In 1 ou In, respectivamente. 1 s Lutar = ; μ = γ Comentários: Por que esse B é considerado fraco? Resposta: O requerimento de consistência sobre a formação das crenças é mínimo, restringe-se apenas a estabelecer probabilidades nãonegativas dentro de cada CI. São consistentes com estratégias de equilíbrio dentro do caminho de equilíbrio. Ou seja, não é colocada nenhuma restrição sobre crenças fora do caminho de equilíbrio. Como fortalecer o BP??? 30 CO ORIA DOS JOGOS [DCON/UFRGS] 15

16 PROF. SABINO PORO JR. 6/6/009 Os exemplos a seguir ilustram a necessidade de fortalecer o BP. Natureza ½ [0,5] [0,5] 1 x y y x l r l r ½ BPfraco: Setas e [ ] Pr( CI 1 /s)>0 Pr( CI /s )=0 Ou seja, crenças definidas para o jogador não são boas, pois o Conjunto de informação do só pode ser realizado se o jogador 1 desviar e escolher y nos dois pontos de decisão Necessitamos de crenças consistentes fora do caminho de equilíbrio...saída será impor mais restrições sobre o sistema de crenças (jogos de sinalização ou outra opção). 31 Voltando ao xemplo : Out In (0,) Lutar Acomodar [1] [0] (-3,-1) (1,-) (-,-1) (3,1) Jogador Acomodar Lutar Jogador Acomodar Lutar 3,1 -,-1 1,- -3,-1 fraco {(, mod se In ),( se jogar In ); [ 1] } BP = Out aco ar Lutar μ = Veja: nãoéumnpsporquenãoespecificaumndojogopósentrada. A crença do jogador não é restringida se usarmos o BP fraco, ou seja, essa noção de equilíbrio não impõe restrições para CI fora do equilíbrio (visão agnóstica) 3 CO ORIA DOS JOGOS [DCON/UFRGS] 16

17 PROF. SABINO PORO JR. 6/6/009 Definição: quilíbrio Seqüencial ( ) (Kreps e Wilson, 198) Um par s, μ é um quilíbrio Seqüencial de jogos na forma extensiva se tem as seguintes propriedades: i. s é seqüencialmente racional dado o sistema de crenças μ ii. xiste uma seqüencia de stratégias Mistas completas, tal que k μ = lim μ Onde: k k k μ = é a crenças derivada do perfil de estratégias s, usando Bayes. Proposição: todo quilíbrio Seqüencial é um BP fraco, mas, em geral, o contrário não é verdade. 33 Intuição quilíbrio seqüencial exige que as crenças sejam justificadas a partir de um conjunto completo de stratégias Mistas que são próximas a s ( equivale, aproximadamente, a uma pequena perturbação das estratégias de equilíbrio?) Isso requer que os jogadores possam justificar (aproximadamente) suas crenças através de alguma historia na qual jogadores cometem erros, com alguma probabilidade positiva, ao escolher suas estratégias. 34 CO ORIA DOS JOGOS [DCON/UFRGS] 17

18 PROF. SABINO PORO JR. 6/6/009 Voltando ao xemplo: ½ Natureza [0,5] [0,5] 1 x y y x l r l r ½ oda crença que pode ser derivada de qualquer seqüência de M completas atribui igual probabilidade para os pontos de decisão no CI. Assim, em qualquer quilíbrio Seqüencial o jogador deve jogar r e o jogador 1 deve, portanto, jogar y. quilibro Seqüencial único: (y,r) e μ igual nos dois pontos de decisão do CI Jogar y daria mais para 1 e jogar r seria bom para o, pois: 0,5 5 0,5 5 5 Π = 0,5 + 0,5 10 = 6 l ( Π ) = ( ) + ( ) = ( r ) ( ) ( ) 35 Voltando ao xemplo : Out In (0,) Lutar Acomodar [1] [0] (-3,-1) (1,-) (-,-1) (3,1) Jogador Acomodar Lutar Jogador Acomodar Lutar 3,1 -,-1 1,- -3,-1 {(, Acomodar se In ),( mod se joga In )} =NPSúnico S = In Aco ar único 36 CO ORIA DOS JOGOS [DCON/UFRGS] 18

19 PROF. SABINO PORO JR. 6/6/009 Verificação: Considere o Conjunto de Informação do jogador : ome uma M-completa qualquer Considere o ponto de decisão inicial a partir da entrada da firma (ponto inicial do subjogo seguinte à entrada) Considere as crenças no CI Isso implica que qualquer estratégia no S deve especificar M no subjogo pós-entrada. Proposição: m todo quilíbrio Seqüencial de um jogo na forma extensiva a estratégia de equilíbrio constitui um NPS do Jogo extensivo. 37 Comentários: a) quilíbrio seqüencial fortalece tanto o NPS como BP fraco b) odo quilíbrio Seqüencial é tanto um NPS quanto um BP fraco c) m alguns casos, o sistema de crenças fora do equilíbrio exigido pelo S, pode ser muito forte. d) Por exemplo, eles podem implicar que dois jogadores com o mesmo CI devem ter exatamente as mesmas crenças independentemente dos desvios dos outros jogadores que têm levado o jogo a realizar uma dada parte da árvore. e) Noção mais forte NPH Selten, CO ORIA DOS JOGOS [DCON/UFRGS] 19

20 PROF. SABINO PORO JR. 6/6/009 Crenças Razoáveis e Forward Indução Out In (0,) Lutar Acomodar [1] [0] Crenças Razoáveis: especifica restrições adicionais (fora do caminho de equilíbrio) que crenças razoáveis deveriam satisfazer. (-3,-1) (1,-) (-,-1) (3,1) { (, mod se In ), ( se jogar In ); [ 1 ] } BP = Out aco ar Lutar μ = fraco Razoabilidade para : se entrar ele prefere jogar In, pois, In > In 1, afinal (-,3) > (-3,1) Portanto, se resolver ntrar o jogador prefere In 39 Forward Indução Forward Indução exclui um dos N no sub-jogo pós-entrada. Indução Retroativa: jogador decide qual é a sua ação ótima em algum ponto da arvore do jogo tomando como base as ações ótimas dos seus oponentes racionais em pontos de decisão subseqüentes ou em posições posteriores do jogo. Forward Indução: jogador raciocina sobre o que poderia ter acontecido, racionalmente, em movimentos prévios do jogo. No exemplo a seguir: firma decide sobre qual sua acao otima pós-entrada assumindo que a firma comporta-se racionalmente na sua decisão de entrada. Problemas potenciais com FI: O que aconteceria num mundo onde jogadores podem cometer erros com pequenas probabilidades positivas? FI continua consistente? 40 CO ORIA DOS JOGOS [DCON/UFRGS] 0

21 PROF. SABINO PORO JR. 6/6/009 Voltando ao xemplo : Out In (0,) SN Pós-entrada: N Jogador LN SN LN SN [1] [0] -6,-6-1,1 (-6,-6) (-1,-1) (1,-1) (-3,-3) Jogador LN 1,-1-3,-3 N elim minado por FI Forward Indução: Parao jogador, entrar e jogar SN se entrar é pior do que jogar OU. deve jogar LN no jogo pós-entrada. Raciocínio do : seo jogador entrar ele vai jogar LN no jogo pósentrada, dessa forma, deve jogar SN. 41 Job Market Signaling Qualidade é uma característica oculta, então, os que produzem alta qualidade tem um incentivo para emitir um sinal indicando a sua qualidade. Sinal credible: apenas se o produtor de baixa qualidade não tem interesse em emitir o mesmo sinal, ou seja, ele não sai ganhando se emitir o mesmo sinal. Custos de emitir sinal: toda emissão de sinal envolve custos e esses custos são maiores para os indivíduos de baixa qualidade. Portanto, o custo marginal de emitir um sinal a mais é maior para o individuo de baixa que, por isso mesmo, acaba revelando seu tipo e emitindo um sinal mais fraco. 4 CO ORIA DOS JOGOS [DCON/UFRGS] 1

22 PROF. SABINO PORO JR. 6/6/009 Preço da revelação verdadeira: os recursos utilizados na emissão de sinal não propiciam qualquer utilidade direta. Mercado de trabalho: alguns indivíduos são inatamente inteligentes e working hard e sabem disso. Sinal: treinamento e certificados. Indivíduos fazem escolhas sobre seus anos de formação que ajudam a revelar seu tipo peessoal. mpregador: faz uma escolha no escuro, pois não observa o tipo do empregado, apenas o sinal emitido. Oferece salarios maiores para o de alta na expectativa de atrair os mais produtivos. Problema: o tipo de baixa, nesse contexto, não tem incentivos para revelar verdadeiramente o seu tipo. Pois, supondo que a producao seja realizada em equipes, não é possivel distinguir de forma clara e objetiva o grau de contribuição de cada um para o resultado final da equipe. Ou seja, é impossível para o gerente identificar quem é quem. (L ou H) 43 Modelo: H = tipo e alta produtividade e habilidade L = tipo de baixa produtividade e habilidade w H = salário de alta oferecido pelo empregador w L = salário de baixa oferecido pelo empregador w H > w L C H = custo da pós-graduação para H C L = Custo da pós-graduação para L C L > C H ( o trabalhador de baixa leva um ou dois semestres a mais para terminar o curso e tem que trabalhar muito mais forte para ser admitido numa boa universidade) 44 CO ORIA DOS JOGOS [DCON/UFRGS]

23 PROF. SABINO PORO JR. 6/6/009 Como induzir o L a falar a verdade? [ ] [ ] Se WH CL < WL Melhor para L é aceitar WL Se WH CH > WL H prefere obter o certificado ssas condições mantém-se se: CH < [ WH WL ] < CL Supondo: CH < CL xemplo: WH = 1000 WL = 600 Nesse caso, o sinal só revela o tipo do trabalhador se: C < 400 < C H L Ineficiência: o sinal implica em custo para a sociedade. 45 Modelo geral ipos de trabalhadores: H, L ρ = % da população do tipo H que é de conhecimento comum. Funçao Utilidade dos trabalhadores: i ( ) U x, y = β ( x) + y i= H, L x = consumo de Lazer y = valor de mercado de todos os outros bens e serviços UM ( x) > 0 x g Se x > x UM ( x ) < UM ( x ) βi βi > 0; < 0 x x i g g 46 CO ORIA DOS JOGOS [DCON/UFRGS] 3

24 PROF. SABINO PORO JR. 6/6/009 Função consumo de lazer: x = e e = tempo que o indivíduo leva para obter educação = dotação individual de tempo Relação da Utilidade do indivíduo e ducação: A Ui cairá quando e aumentar por causa da utilidade marginal decrescente do x. ( ) ( ) Se e > e UMg x e > UMg x e Significado: Custo marginal da educação é positivo e crescente em e. Função Utilidade do rabalhador: Ui = W () e Ci () e We ( ) = renda que é uma funça do nível de educação (e). Ci ( e) = quantidade de lazer que é sacrificada quando o trabalhador obtém e anos de educação. 47 xemplo: U ( x, y) = β ( x) + y i U ( x, y) = 3 x + y i β ( x) = 3 x i ( ) β (0) = 0; β 4 = 6 Δ β = 6 Δ β 6 = Δ x 4 = 1, 5 x = 9 Δ β 3 = Δ x 5 = 0,6 UM g(x) é decrescente em x. Suponha que = 4, então, C(e): ( ) β ( ) ( ) β ( ) C (8) = β 4 16 = 14,7 1 =,7 C (10) = β 4 14 = 3,47 Δ C 0,77 Δ e = = 0, 385 Δ C 0,83 C (1) = β ( 4) β ( 1) = 4,3 = = 0,415 Δ e Portanto, à medida que aumenta o nível de educação, aumenta o CM g de adquirir mais educação. 48 CO ORIA DOS JOGOS [DCON/UFRGS] 4

25 PROF. SABINO PORO JR. 6/6/009 Valor do produto marginal do indivíduo i: i ( ) m e = f( e) produtividade aumenta com o nível de educação. Por definição: H + ( ) > ( ) m e m e L xemplo : 1 3 CH() e = e ; CL( e) = e CH() e < CL( e) 4 1 βh = x x CH ( e) = β( ) β( e) 1 1 CH ( e) = ( e) ( e) 1 CH ( e) = e. Note : ducação é mais do que um sinal, ela também aumenta a produtividade. 49 Simplificação inicial: a educação não afeta a produtividade. ml = m mh = m m = constante positiva ii quilíbrio Pooling: (w*, e*) CH ( e) Os dois tipos obtém o mesmo nível de educação e recebem o mesmo salário no equilíbrio. quilíbrio: maximiza o lucro da firma e a utilidade do trabalhador. 50 CO ORIA DOS JOGOS [DCON/UFRGS] 5

26 PROF. SABINO PORO JR. 6/6/009 Salário de equilíbrio: ( ρ) W = ρm+ 1 m W = mρ + m ρ = percentual da população que é de alta. Nível crítico g de educação: (crenças de quilíbrio) a) se e < g rablhador é tipo L W = m b) se e g rabalhador é do tipo H com probabilidade ρ e do tipo L com probabilidade (1- ρ) W = mρ + m. Condições necessárias para que o trabalhador (H e L) aceitem o W : 1 = ρ + > 1 mρ + m g > m Nessa situação de total informação, e se e nao aumenta a produtividade, o melhor será: e g m m g m e=0 i 51 quilíbrio Separador: Separador: eh > etipo L H obtém mais educação g = nivel critico de educaçao squema Salarial no q. Separador: a) Se e < g é um trabalhador L com prob. 1, pague m. b) Se e g é um trabalhador H com prob. 1, pague m. Observação: Nenhum trabalhador escolherá e>g. Se 0<e<g o trabalhador obterá o mesmo nível de salário que alguém com e=0. Portanto, Independente do tipo o trabalhador obtera, e =g ou e = 0 Restrição de auto-seleção Incentivo-compatível. Co e U H U L do quilíbrio Separador: 0 m m 1 3 g m-1/g m-3/4g m- g m; m m- g 4 Ingredientes de decisão de um trabalhador Indica o que maximiza U i ndições Incentivo-compatíveis 3 1 > > g > m> g 4 apenas H obterá e = g. g- crítico (desencoraja L a tomar e=g) 5 CO ORIA DOS JOGOS [DCON/UFRGS] 6

27 PROF. SABINO PORO JR. 6/6/009 quilíbrio Separador: satisfaz a condição de autoseleção. Condição de auto-seleção: cada trabalhador deve achar vantajoso emitir um sinal que é diferente de um sinal emitido pelo o outro tipo. Definição: Condição de auto-seleção: em um equilíbrio separador o resultado obtido por H não é preferido pelo tipo L e, similarmente, o resultado obtido pelo tipo L não é preferido pelo tipo H. e= g e= 0 xemplo : UH > UH e Se m = 9 ( Valor da PM L ), entao : e= 0 e= g UL > UL e 3 1 g > m> g 1 < g < ,464 < g < 4,43 H : eh = g WH = m= 18 L: e = 0 W = m= 9 L L 53 Situação nova: educação aumenta a produtividade do trabalhador H e L, mas aumenta mais para o trabalhador H. xemplo : m ( ) 6 C 1 H e = e H (e)= e m ( ) 3 C 3 L e = e L (e)= e 4 Informação completa e total: os tipos são de conhecimento comum e a competição assegura que os salários serão iguais aos valores das produtividades marginais dos indivíduos quilibrio : = = 1 MaxU 6.. H H W C e e C P O e U H H = 6 e= 0 e = 6 m ( e= 6) = 36 = WH e 3 MaxU 3.. L L = W C = e e C P O e 4 U L 6 = 3 e= 0 e = ml( e= ) = 6 = WL e 4 Utilidade de L se blefar e passar como H: 3 UL = 36 (6) = 9> 3 4 ipo L tem interesse em blefar e passar como H, num mundo com informação incompleta, pois assim obtém U L =9 e W U H U L CO ORIA DOS JOGOS [DCON/UFRGS] 7

28 PROF. SABINO PORO JR. 6/6/009 Conclusão: num mundo com Informação incompleta o resultado obtido com total informação não é um equilíbrio. Firmas, agora, não pagariam W = 36 para todos com e>= 6. Quando ρ =1/3, o valor medio da PMg do trabalhador, sera dado por: 1 ( 36) + ( 18) = 4 < 36 Lucro negativo. 3 3 quilibrio dado ρ : Produtividade esperada = ρm H ( g) + (1 ρ ) m L( g) 1 ρm H ( g) + (1 ρ ) m L( g) = ( 6g) + ( 3g) = 4g 3 3 quilibrio pooling: W =W =4g L H Resumo: Se e < g assume-se que o trabalhador e L e paga-se 3e Se e g assume-se que o trabalhador e H com probabilidade ρ e paga-se 4g. 55 Se e < g, qual será a escolha de H: W = 4g ou W = 3e??? U H 4,5 U = 4e 0,5e H 1,35 4 6,65 e Se e < g 4 3e 0,5e < U 4g 0,5g H Por tan to, tipo H obtem e = g e recebe W=4g, quando g 4 56 CO ORIA DOS JOGOS [DCON/UFRGS] 8

29 PROF. SABINO PORO JR. 6/6/009 Decisão do ipo L: U L 3,0 U = 4e 0,75e L 0,9 /3 4,45 e Se e< g /3 /3 3e 0,75e < U 4g 0,75g L Por tan to, tipo L obtem e = g /3 e recebe W=4g, quando g 4 57 CO ORIA DOS JOGOS [DCON/UFRGS] 9