O pantógrafo Eduardo Colli O pantógrafo Este simples e engenhoso instrumento foi concebido para reduzir ou ampliar desenhos prontos como mapas, por exemplo. A extremidade da ripa A que não articula com C é fixa, a articulação entre B e D segue o desenho e a extremidade da ripa C que não articula com A traça a ampliação. Para reduzir um desenho, inverte-se a posição do lápis com o seguidor. Se for bem escolhido o ponto de articulação entre A e D (os números das ripas devem coincidir nesse ponto) então o ponto 1
fixo, o seguidor e a articulação mencionada formam um triângulo isósceles. Os lados iguais desse triângulo são a vezes menores do que a ripa A, onde a, neste aparelho, pode assumir os valores 2.0, 2.25, 2.5, 2.75, 3.0, 3.5, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0 ou 10.0. Evidentemente não nos referimos ao tamanho da ripa A, mas à distância entre o ponto fixo e a articulação com a ripa C. O ponto fixo, o lápis e a articulação entre A e C também formam um triângulo isósceles, pois A e C têm o mesmo tamanho. Se a articulação entre B e C respeitar o mesmo número a escolhido para A e D então este triângulo isósceles será semelhante ao mencionado anteriormente, e a vezes maior. Assim, o desenho será ampliado a vezes. Mas o que acontece se desrespeitarmos as regras para fixação das articulações A/D e B/C? Semelhança de triângulos β P l a l l a R O l a θ θ 1 2 R l a P l l a Q Na figura (esquemática) fica mais claro o que está acontecendo. Seja l = OP = P Q e suponha que as articulações estejam corretamente montadas, de forma que OR = RP = P R = l a e 2
P R = l l a. Segue que P RP R é um paralelogramo e o ângulo β = O ˆP Q tem que ser igual a θ 2 = O ˆRP, de forma que os triângulos ORP e OP Q são semelhantes. Daí que deve ser igual a de modo que OQ OP OP OR, OQ = aop. Além disso, segue que os pontos O, P e Q estão alinhados. Homotetia Se o ponto fixo estiver na origem das coordenadas, se as coordenadas do ponto seguidor forem (x, y) e se as coordenadas do lápis forem (x, y ) então (x, y ) é determinado por (x, y) por uma transformação, que chamaremos de T, escrevendo (x, y ) = T (x, y). Nem sempre as coordenadas cartesianas são as mais adequadas. Se tomarmos (r, θ) e (r, θ ), onde r e r são as respectivas distâncias à origem e θ, θ marcam os ângulos em relação à abscissa (com sinal positivo no sentido anti-horário), então { r = ar θ, = θ pois o lápis, o seguidor e o ponto fixo estão sempre alinhados, mas a distância do lápis ao ponto fixo é a vezes maior do que do seguidor ao ponto fixo. 3
O pantógrafo desregulado Vejamos agora o que acontece quando os encaixes não são feitos da forma prevista para o bom funcionamento do pantógrafo. Na figura mostramos um caso onde RP, OR, P R e l P R não são iguais entre si. Fórmulas expĺıcitas podem ser obtidas para a transformação T, mas por serem grandes e deselegantes optaremos por ilustrar a transformação de modo gráfico. Nos exercícios encorajamos o leitor a buscar as fórmulas. Em primeiro lugar, trocamos as coordenadas do seguidor P para (θ 1, θ 2 ), onde θ 1 é o ângulo de OP para com a abscissa e θ 2 o ângulo de RO para RP. Para entender melhor essas coordenadas, traçamos as linhas de θ 1 constante e as linhas de θ 2 constante. O leitor, se estiver com a peça, deve seguir as construções com o auxílio de um compasso e do próprio aparelho. A figura abaixo ilustra os passos que seguirão. Para θ 2 constante, a variação de θ 1 faz P andar num círculo em torno de O. Evidentemente, o raio desse círculo depende do valor que for fixado para θ 2, mas continuaremos firmes em nossa resolução de não fazer contas. Seria natural desenhar os círculos para valores regularmente espaçados de θ 2, mas para que a compreensão visual seja facilitada mais adiante optaremos por desenhar os círculos para valores regularmente espaçados de seus respectivos raios. Além disso, incluiremos os círculos de raios OR RP, OR e OR + RP. A segunda etapa consiste em traçar as linhas de θ 1 constante. Escolhemos uma faixa de valores para θ 1 (de π 2 a +π 2, por exemplo), escolhendo valores regularmente espaçados, e para cada valor de θ 1 desenhamos OP. Observe que, fixado θ 1, a variação de θ 2 faz P variar num círculo em torno de R. O círculo não chega a 4
ser completo por causa dos impedimentos nas articulações, mas ao menos um arco pode ser traçado. l 1 P β l 4 R R θ 2 P l 3 l 2 Q O θ 1 Feito isso, podemos pensar no que acontece com o ponto Q. Observamos que se θ 2 é constante então as ripas estão imóveis uma com respeito à outra. Portanto a variação de θ 1 faz o ponto Q se mover num círculo de centro em O. Em outras palavras, se P percorre círculos com centro na origem então Q também o faz, mas os círculos de Q têm (em geral) raio maior. Para ver como se transformam os círculos que P percorre é preciso fazer na prática. Acertar a posição de P sobre um círculo e traçar o círculo correspondente para o ponto Q. Fazendo um por 5
um, fica evidente que o espaçamento regular dos raios em P não é respeitado em Q. Finalmente, com θ 1 fixo e θ 2 variando, P puxa o braço P Q, de forma que Q percorre um arco de círculo em torno de P. Desta vez o espaçamento regular dos valores de θ 1 provoca espaçamento regular nos círculos. Os limites para a movimentação de P, com OP fixo, dependem dos valores relativos de l 1, l 2, l 3, l 4. Por exemplo, se l 3 + l 4 < l 1 + l 2 então R pode ficar, em teoria, entre P e P (na prática, as ripas deixam apenas chegar perto). Se l 3 + l 4 > l 1 + l 2 então P chega perto do segmento OR. Por outro lado, se l 1 + l 4 < l 2 + l 3 então R pode chegar ao prolongamento de OP, mas P não pode chegar perto de OP. Já se l 1 + l 4 > l 2 + l 3 então P pode se alinhar com RR. Esta última situação é interessante, porque P de fato pode cruzar o segmento RR e encostar em OP. Até aí nada de espetacular, mas observe que o traçado circular do ponto Q começa a recuar a partir desse ponto. Isto implica que a transformação de P para Q não é injetiva! Os arcos tracejados no desenho mostram onde a injetividade da transformação falha. Embora P possa atravessar o círculo tracejado menor, Q não pode atravessar o maior. Exercícios e experimentos 1. Experimente com o pantógrafo e veja que valores de l 1, l 2, l 3, l 4 ele pode assumir. 2. Monte uma situação em que P possa se alinhar com R e R. Ache o correspondente círculo tracejado. Escreva seu nome em letras de forma geometrizadas de forma a atravessar esse 6
círculo e transponha com o pantógrafo. A transformação pode ser linear? 3. Se o pantógrafo for fixo no ponto P, o seguidor estiver em O e o lápis em Q, o que acontece? É possível copiar um desenho, sem alterar seu tamanho? Examine as possibilidades. 4. Tente obter uma expressão expĺıcita para r = OQ em função de θ 2. Uma sugestão é obter r em função de β e então β em função de θ 2. Feito isso, tente expressar as coordenadas polares de Q em função de θ 1 e θ 2. 5. Esqueça o braço P Q e suponha que RP tem o mesmo tamanho de RO. Expresse as coordenadas (x, y) de P em função de θ 1 e θ 2. 6. Continuando o exercício anterior, imagine que θ 1 e θ 2 são controlados por você num sistema cartesiano: a abscissa varia de 0 a 2π e a ordenada de 0 a π. Como achar a curva que você deve seguir nesse diagrama para que a trajetória de P seja uma reta pré-determinada?. Você faz isso com seus braços de forma automática, mas um robô deveria saber calcular exatamente. Pesquisar Como os robôs calculam seus movimentos? 7