MATEMÁTICA FINANCEIRA Progressão Aritmética e Geométrica
Progressão Aritmética Uma sucessão de números na qual a diferença entre dois termos consecutivos é constante, é denominada progressão aritmética, ou abreviadamente de P.A. Representação de uma P.A. Representando por a 1 o primeiro elemento, por a 2 o segundo elemento de uma P.A. e assim sucessivamente, até o último elemento que é representado por a n, temos a seguinte representação para uma progressão aritmética: P.A. ( a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n ). A representação acima se refere a uma P.A. finita com n elementos. Caso a sucessão seja infinita, utilizamos a seguinte representação: P.A. ( a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n,... ). Terminologia P.A. ( 5, 7, 9, 11, 13, 15 ) Acima temos a representação de uma progressão aritmética finita. Um termo qualquer é identificado por a n, onde n indica a posição deste termo. Por exemplo, o termo a 4 se refere ao quarto termo desta P.A., que no caso é igual a 11, já o primeiro termo, a 1, nesta P.A. é igual a 5. Como supracitado, a diferença entre dois termos consecutivos de uma P.A. é constante. Neste exemplo este valor é igual a 2, por exemplo, a diferença entre o primeiro e o segundo termo é igual a 2. Este valor constante que é a diferença entre um termo e outro é denominado razão da progressão aritmética e é representado pela letra r. Se representamos um termo qualquer de uma P.A. por a n, então podemos dizer que o seu antecedente é igual a a n - 1 e que o seu consequente é igual a a n + 1. Desta forma podemos dizer que r = a n + 1 - a n, ou ainda r = a n - a n - 1. Veja os seguintes exemplos: r = a 4 - a 3 = 11-9 = 2 e ainda r = a 3 - a 2 = 9-7 = 2. Além disto temos que um termo qualquer de uma P.A. é média aritmética entre o seu antecedente e o seu consequente: Progressão aritmética constante Uma progressão aritmética é constante quando a sua razão é igual a zero. Neste caso todos os termos da P.A. têm o mesmo valor. P.A. ( 0, 0, 0,... ) P.A. ( 3, 3,..., 3 ) P.A. ( 7, 7, 7 ) Note que em todas as progressões acima r = 0.
Progressão aritmética crescente Uma progressão aritmética é crescente quando a sua razão é maior que zero, ou seja, quando o consequente de um termo qualquer é maior que este termo. P.A. ( 1, 2, 3,... ) P.A. ( 15, 21, 27,... ) P.A. ( -16, -12, -8 ) Note que a razão das progressões acima, respectivamente 1, 6 e 4 são todas maiores que zero. Progressão aritmética decrescente Uma progressão aritmética é decrescente quando a sua razão é menor que zero, ou em outras palavras, quando o consequente de um termo qualquer é menor que este termo. P.A. ( 31, 29, 27,... ) P.A. ( 75, 68, 61,... ) P.A. ( 9, 0, -9 ) Veja que a razão das progressões acima, respectivamente -2, -7 e -9 são todas menores que zero. Fórmula do termo geral de uma P.A. Como sabemos, o próximo termo de um termo de uma P.A. é igual ao referido termo mais a razão r. Para uma P.A. genérica podemos dizer que o segundo termo é igual ao primeiro termo, a 1, mais a razão r: O terceiro termo é resultado da soma do segundo termo com a razão: Mas vimos que a 2 = a 1 + r, substituindo-o na expressão temos: O quarto termo é resultado da soma do terceiro termo com a razão e como sabemos que a 3 = a 1 + 2r, temos: Seguindo este raciocínio, o quinto termo será: O sexto termo será: Resumidamente temos:
Portanto, partindo-se do primeiro termo, a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é: Mas e se partirmos de outro termo que não o primeiro? Vejamos: Na fórmula do termo geral da P.A., subtraímos 1 de n quando partimos do termo a1, perceba que quando partimos do termo a 2, subtraímos 2 de n, assim como subtraímos 3 ao partirmos de a 3 e 4 quando partirmos de a 4. Partindo então de um termo m, podemos reescrever a fórmula do termo geral da P.A. como: Compreendendo a fórmula do termo geral da P.A. em função de qualquer termo Como é de costume vamos a um exemplo para que a explicação fique de mais fácil entendimento. Através da fórmula acima, vamos expressar o termo a 5 de uma P.A. genérica, em função do termo a 3: Temos então que o termo a 5 pode ser expresso em função do termo a 3 como: Embora seja óbvio, se não formos alertados, talvez não percebamos o que de fato a fórmula faz. Vejamos: Sabemos que o próximo termo após a 3, é o termo a 4, que equivale a a 3 mais r, para chegarmos ao próximo termo, o a 5, somamos mais outra vez a razão r, ou seja, como nos deslocamos duas posições à direita, acrescentamos 2r ao termo a 3 para chegarmos ao termo a 5. Veja que foi exatamente este o resultado obtido em função da fórmula, ou seja, a 5 = a 3 + 2r. Agora para que vejamos como este raciocínio é bem mais prático que recorrermos à formula, vamos voltar de a 5 para a 3:
Agora o termo procurado está à esquerda do termo atual, na verdade duas posições à sua esquerda, então vamos subtrair de a 5 duas vezes a razão, temos então que a 3 = a 5-2r. Apenas para confirmação, vemos na sentença abaixo que através da fórmula chegamos ao mesmo resultado: Em resumo, se partindo do termo atual iremos avançar n termos à direita, para chegarmos ao termo final, então temos que somar n vezes a razão r ao termo inicial. Se nos deslocarmos à esquerda, o procedimento é semelhante, só que ao invés de somarmos, iremos subtrair n vezes a razão r ao termo inicial. Podemos afirmar, por exemplo, que a 17 = a 7 + 10r, pois avançamos 10 termos de a 7 a a 17, assim como a 20 = a 25-5r, pois retrocedemos 5 termos de a 25 para a 20. Soma dos termos de uma P.A. Para expormos o raciocínio iremos utilizar a primeira P.A. utilizada como exemplo: P.A. ( 5, 7, 9, 11, 13, 15 ) Qual é a soma dos seus termos? Primeiramente vamos escrevê-la em ordem contrária: P.A. ( 15, 13, 11, 9, 7, 5 ) Agora vamos montar uma outra P.A. cujo termo a n seja a soma do termo a n desta duas progressões: P.A. ( 20, 20, 20, 20, 20, 20 ) Repare as somas são todas iguais, isto ocorre porque a soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma P.A. finita é igual à soma dos seus extremos. Como neste caso os extremos são 5 e 15, temos que a soma de dois termos quaisquer equidistantes dos extremos será igual a 20. Tendo em vista que temos seis termos nesta P.A, multiplicando 6 por 20, nos dará 120 que equivale a justamente o dobro da soma dos termos da P.A. A divisão de 120 por 2 nos dará a soma dos termos desta P.A. que é igual a 60. Generalizando temos que a soma de todos os termos de uma progressão aritmética é igual ao produto do número de termos pela metade da soma do primeiro com o n-ésimo termo. Em notação matemática temos: Observe que esta fórmula nos permite calcular a soma de todos os termos de uma P.A., ou a soma de apenas os n primeiros termos da mesma. Se não dispusermos de a n, desde que tenhamos a razão r, podemos utilizar esta outra fórmula abaixo, que foi deduzida simplesmente se substituindo a n por seu respectivo valor a 1 + (n - 1)r: Mas se ao invés de somarmos todos os elementos da P.A., quiséssemos somar apenas os termos do terceiro ao quinto por exemplo? Neste caso é como se tivéssemos a seguinte P.A.: P.A. ( 9, 11, 13 ) Recorrendo à fórmula temos:
Mas veja que podemos expressar a fórmula da soma dos termos da seguinte maneira: Note que declaramos como p e q a posição do primeiro e do último termo do intervalo respectivamente, declarando assim a p como o primeiro termo do intervalo e a q como o último. Note também que o número de termos do intervalo considerado é igual à diferença entre as posições do último e do primeiro termo considerado, mais um. Aplicando esta nova fórmula temos: Exemplos de problemas envolvendo Progressão Aritmética Qual é o vigésimo termo da P.A. ( 3, 10, 17,... )? Identificando as variáveis do problema temos: Como conhecemos o primeiro termo e a razão da P.A., através da fórmula do termo geral iremos calcular o valor do vigésimo termo: Logo: O vigésimo termo da referida P.A. é igual a 136. Qual é a soma dos números ímpares entre 10 e 30? Sabemos que a diferença entre um número ímpar e o seu antecedente igual a 2. Este é o valor da razão. O primeiro número ímpar do intervalo informado é 11 é o último é 29, portanto temos as seguintes variáveis: Para calcularmos a soma dos termos, primeiramente precisamos identificar quantos termos são. Através da fórmula do termo geral iremos obter o número de termos da sucessão: Agora que sabemos que a sucessão possui 10 termos, podemos calcular a sua soma:
Portanto: A soma dos números ímpares entre 10 e 30 é igual a 200.
Progressão Geométrica Uma sucessão de números na qual o quociente entre dois termos consecutivos é constante, é denominada progressão geométrica, ou abreviadamente de P.G. Representação de uma P.G. Representando por a 1 o primeiro elemento, por a 2 o segundo elemento de uma P.G. e assim sucessivamente, até o último elemento que é representado por a n, temos a seguinte representação para uma progressão geométrica: P.G. ( a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n ). A representação acima se refere a uma P.G. finita com n elementos. Caso a sucessão seja infinita, utilizamos a seguinte representação: P.G. ( a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n,... ). Terminologia P.G. ( 3, 12, 48, 192, 768 ) Acima temos a representação de uma progressão geométrica finita. Um termo qualquer é identificado por a n, onde n indica a posição deste termo. Por exemplo, o termo a 3 se refere ao terceiro termo desta P.G., que no caso é igual a 48, já o primeiro termo, a 1, nesta P.G. é igual a 3. Como citado acima, o quociente entre dois termos consecutivos de uma P.G. é constante. Neste exemplo este valor é igual a 4, por exemplo, a divisão do segundo pelo primeiro termo é igual a 4. Este valor constante que é o quociente entre um termo e outro é denominado razão da progressão geométrica e é representado pela letra q. Se representamos um termo qualquer de uma P.G. por a n, então podemos dizer que o seu antecedente é igual a a n - 1 e que o seu consequente é igual a a n + 1. Desta forma podemos dizer que, ou ainda. Veja estes exemplos: e também. Além disto temos que um termo qualquer de uma P.G. é média geométrica entre o seu antecedente e o seu consequente: Progressão geométrica constante Uma progressão geométrica é constante quando a sua razão é igual a 1, ou quando o primeiro termo é igual a zero. Neste caso todos os termos da P.G. têm o mesmo valor. P.G. ( 0, 0, 0, 0,... ) P.G. ( 5, 5,..., 5 ) P.G. ( 9, 9, 9 ) No primeiro exemplo temos que a 1 = 0 e nos outros dois q = 1.
Progressão geométrica crescente Uma progressão geométrica é crescente quando o consequente de um termo qualquer é maior que este termo. Isto ocorre quando q > 1 e a 1 > 0, ou quando 0 < q < 1 e a 1 < 0. P.G. ( 1, 2, 4,... ) P.G. ( -480, -120, -30,... ) Note que a razão das progressões acima é respectivamente 2 e 0,25. No primeiro caso, q > 1 e a 1 > 0 e no segundo caso temos que 0 < q < 1 e a 1 < 0. Progressão geométrica decrescente Uma progressão geométrica é decrescente quando o consequente de um termo qualquer é menor que este termo. Isto ocorre quando q > 1 e a 1 < 0, ou quando 0 < q < 1 e a 1 > 0. P.G. ( -35, -105, -315,... ) P.G. ( 1400, 560, 224,... ) Veja que a razão das progressões acima é respectivamente 3 e 0,4. No primeiro exemplo, q > 1 e a 1 < 0 e no segundo temos que 0 < q < 1 e a 1 > 0. Progressão geométrica alternante ou oscilante Uma progressão geométrica cujos termos alternem ou oscilem de positivo para negativo e vice-versa, é denominada P.G. oscilante ou P.G. alternante. Isto ocorre quando q < 0 e a 1 0. P.G. ( -3, 6, -12,... ) P.G. ( 729, -218,7, 65,61, -19,683,... ) Em ambos os casos a 1 0. No primeiro caso a razão é igual a -2, logo q < 0 e no segundo temos que a razão é igual a - 0,3, portanto também temos q < 0. Fórmula do termo geral de uma P.G. Sabemos que o termo seguinte a um termo de uma P.G. é igual ao referido termo multiplicado pela razão q. Para uma P.G. genérica podemos dizer que o segundo termo é igual ao primeiro termo, a 1, vezes a razão q: O terceiro termo é resultado da multiplicação do segundo termo pela razão: No entanto como vimos que a 2 = a 1. q, substituindo-o na expressão temos: O quarto termo é resultado do produto do terceiro termo com a razão e como sabemos que a 3 = a 1. q 2, temos:
Pelo mesmo raciocínio, o quinto termo será: O sexto termo será: De forma resumida temos: Portanto, partindo-se do primeiro termo, a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica é: Mas e se partirmos de outro termo que não o primeiro? Vejamos: Na fórmula do termo geral da P.G., subtraímos 1 de n quando partimos do termo a1, perceba que quando partimos do termo a 2, subtraímos 2 de n, assim como subtraímos 3 ao partirmos de a 3 e 4 quando partirmos de a 4. Partindo então de um termo m, podemos reescrever a fórmula do termo geral da P.G. como: Compreendendo a fórmula do termo geral da P.G. em função de qualquer termo Como já fizemos no caso da P.A., vamos a um exemplo para que a explicação fique de mais fácil entendimento. Através da fórmula acima, vamos expressar o termo a 7 de uma P.G. genérica, em função do termo a 4:
Temos então que o termo a 7 pode ser expresso em função do termo a 4 como: Agora preste bastante atenção ao seguinte: Sabemos que o próximo termo após a 4, é o termo a 5, que equivale a a 4 vezes q. Para chegarmos ao próximo termo, o a 6, multiplicamos mais uma vez pela razão q e para chegarmos finalmente ao termo a 7, multiplicamos mais outra vez por q, ou seja, como nos deslocamos três posições à direita, multiplicamos a 4 por q 3 para chegarmos ao termo a 7. Veja que foi exatamente este o resultado obtido em função da fórmula, ou seja, a 7 = a 4. q 3. Vejamos que este raciocínio é bem mais prático que recorrermos à formula, para voltarmos de a 7 para a 4: Agora o termo procurado está à esquerda do termo atual, na verdade três posições à sua esquerda, então vamos multiplicar a 7 por q -3, temos então que a 4 = a 7. q -3, que equivale a dividirmos a 7 por q três vezes. Então vamos chegar ao mesmo resultado através da fórmula para confirmarmos esta explicação: Resumindo, se partindo do termo atual iremos avançar n termos à direita, para chegarmos ao termo final, então temos que multiplicar o termo inicial por n vezes a razão q, ou seja, multiplicá-lo por q n. Se nos deslocarmos à esquerda, o procedimento é semelhante, só que ao invés de multiplicarmos, iremos dividir o termo inicial n vezes pela razão q, o que equivale a multiplicá-lo por q -n. Como exemplo temos que a 15 = a 11. q 4, pois avançamos 4 termos de a 11 a a 15, assim como a 2 = a 7. q -5, pois retrocedemos 5 termos de a 7 para a 2. Soma dos termos de uma P.G. Podemos expressar a soma dos n termos de uma P.G. finita como: Multiplicando-a pela razão q temos: Vamos analisar o segundo membro das duas expressões. Note que o segundo termo da primeira expressão é igual ao primeiro termo da segunda expressão, a mesma coisa ocorre com o segundo, terceiro, quarto, até o último termo do segundo membro da primeira expressão. Ao subtrairmos a primeira expressão da segunda, estes termos que ocorrem em duplicidade são anulados e ficamos então com a seguinte expressão: Temos então: Portanto podemos utilizar a fórmula abaixo para calcularmos a soma de todos os termos de uma P.G. finita e também dos n primeiros termos de uma P.G. qualquer, desde que q 1: Para q = 1 temos uma fórmula mais simples:
Produto dos termos de uma P.G. Como feito no caso da soma, vamos agora deduzir a fórmula de cálculo do produto dos termos de uma progressão geométrica. Vejamos: Portanto a fórmula para o cálculo do produto dos termos de uma P.G. finita, ou do produto dos n primeiros termos de uma P.G. é: Exemplos de problemas envolvendo Progressão Geométrica Formamos uma P.G. partindo do número 5 e o multiplicando sucessivamente por 3, até finalizarmos no número 17.433.922.005. Quantos termos há nesta progressão geométrica? Identificando as variáveis do problema temos: Através da aplicação da fórmula do termo geral iremos calcular o número de termos da progressão: Portanto: Nesta progressão geométrica há 21 termos. Qual é a soma dos termos da P.G. ( 8, 56, 392,..., 134456)? A partir do enunciado podemos calcular a razão da progressão:
Para calcularmos a soma dos termos, primeiramente precisamos saber quantos eles são. Os dados disponíveis que temos para calcular esta quantidade são: Calculando n temos: Agora que sabemos quantos termos são, podemos calcular a soma dos mesmos: Logo: A soma dos termos da referida P.G. é igual a 156864.