Dos vários tipos de médias utilizados, o mais simples e o mais comum é a média aritmética simples = = 1300

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1 O ESTUDO DAS MÉDIAS 1 Média Aritmética Em uma família com 4 integrantes, o primeiro consome 1200 ml de leite por dia, o segundo 1400 ml, o terceiro 1000 ml e o quarto integrante consome 1600 ml de leite por dia. O consumo total diário desta família também seria de 200 ml se cada um dos seus 4 integrantes consumisse 1300 ml diários de leite. A função da média é justamente esta, transformar um conjunto de números diversos em um único valor, a fim de que se possa ter uma visão global sobre os dados. 1.1 Média Aritmética Simples Dos vários tipos de médias utilizados, o mais simples e o mais comum é a média aritmética simples. Dados os números 1200, 1400, 1000 e 1600, para apurarmos o valor médio aritmético deste conjunto, simplesmente o totalizamos e dividimos o total obtido pela quantidade de valores do conjunto: = = 1300 Agora preste atenção neste conjunto de números após o colocarmos em ordem crescente: {1000, 1200, 1400, 1600} Observe que se fossemos inserir o valor médio de 1300 neste conjunto de números ordenados, a sua posição seria exatamente no meio da sequência, ou seja, seria o valor médio = = 1300 Observe ainda, das propriedades das médias, que se o valor médio for inserido ao conjunto de números originais, a média ainda continuará a mesma: = 600 = 1300 Digamos que em um concurso você tenha feito três provas e tenha tirado as seguintes notas: 10, 8 e 3. Qual foi a sua nota média afinal? Vejamos: = 21 3 = 7

2 Como a nota mínima para passar no concurso era a nota 7, você se sente feliz e aliviado por ter conseguido alcançá-la. 1.2 Média Aritmética Ponderada Mas foi aí que lhe veio a surpresa! Na última hora você soube que a nota média seria calculada atribuindo-se um peso diferente a cada prova. Você fica apreensivo. E agora?!? Nos bastidores você soube que a primeira prova teria peso 3, a segunda peso 2 e a terceira teria peso. Vamos aos cálculos: Que pena meu rapaz! Infelizmente a sua média de 6,1 não atingiu o valor mínimo de 7. Epa! Espere um pouco! Você cometeu um erro! Os pesos não estão na ordem correta! A primeira prova teria peso 3, a segunda peso e a terceira teria peso 2. Vejamos se houve alguma mudança, parece-me que você ainda tem chances: Parabéns! Você foi aprovado, afinal de contas a sua média final até melhorou! Como você pode perceber, a média aritmética ponderada possibilita atribuir pesos ou importâncias diferentes a cada valor. Provavelmente por ser mais importante no processo de seleção, a segunda nota tinha um peso maior. Por isto os itens com maior peso influenciam mais na média final que os de menor peso. Veja o exemplo abaixo: = = 24 8 = 3 Você percebe que o primeiro valor tem peso 1, sete vezes menor que o peso do segundo valor que é igual a 7. Por isto a média final se aproximou muito mais de segundo valor (2), que do primeiro (10), embora este tenha sido cinco vezes maior que o segundo. Resumindo, para se apurar a média aritmética ponderada, primeiramente multiplique cada valor pelo seu respectivo peso. Some todos os produtos encontrados e divida este total pela soma dos pesos. 2 Média Geométrica Este tipo de média é calculado multiplicando-se todos os valores e extraindo-se a raiz de índice n deste produto. Digamos que tenhamos os números 4, 6 e 9, para obtermos o valor médio aritmético deste conjunto, multiplicamos os elementos e obtemos o produto 216. Pegamos então este produto e extraímos a sua raiz cúbica, chegando ao valor médio 6. Extraímos a raiz cúbica, pois o conjunto é composto de 3 elementos. Se fossem n elementos, extrairíamos a raiz de índice n.

3 Neste exemplo teríamos a seguinte solução: = 216 A média geométrica pode ser entendida em termos da geometria. A média geométrica de dois números, a e b, é o tamanho do lado de um quadrado cuja área é igual à área de um retângulo com lados de tamanho a e b. Ex: A média geométrica dos números 4 e 9 é igual a 6; portanto, 6 corresponde ao lado de um quadrado cuja área é igual a área do retângulo de lados 4 e 9. = = 36 = Área = 36 Área = Similarmente, a média geométrica de três números, a, b e c, é o tamanho dos lados de um cubo cujo volume é o mesmo que o de um paralelepípedo com lados de tamanho igual aos três números dados. 2.1 Utilidades da Média Geométrica a) Progressão Geométrica Uma das utilizações deste tipo de média é na definição de uma progressão geométrica, que diz que em toda P.G. qualquer termo é média geométrica entre o seu antecedente e o seu consequente: 2 a n = a n 1 a n+1 Tomemos como exemplo três termos consecutivos de uma P.G.: 7, 21 e 63. Temos, então, que o termo 21 é média geométrica dos termos 7 e 63. Vejamos: 7 63 = 441 = 21 b) Variações Percentuais em Sequência Outra utilização para este tipo de média é quando estamos trabalhando com variações percentuais em sequência. Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento salarial de 20% após um mês, 12% após dois meses e 7% após três meses. Qual o percentual médio mensal de aumento desta categoria?

4 Sabemos que para acumularmos um aumento de 20%, 12% e 7% sobre o valor de um salário, devemos multiplicá-lo sucessivamente por 1,2, 1,12 e 1,07 que são os fatores correspondentes a tais percentuais. A partir dai podemos calcular a média geométrica destes fatores: 3 1,2 1,12 1,07 3 = 1,43808 = 1, Como sabemos, um fator de 1, corresponde a 12,8741% de aumento. Este é o valor percentual médio mensal do aumento salarial, ou seja, se aplicarmos três vezes consecutivas o percentual 12,8741%, no final teremos o mesmo resultado que se tivéssemos aplicado os percentuais 20%, 12% e 7%. Digamos que o salário desta categoria de operários seja de R$ 1.000,00, aplicando-se os sucessivos aumentos temos: Salário inicial + % informado Salário final Salário inicial + % médio Salário final R$ 1.000,00 20% R$ 1.200,00 R$ 1.000,00 12,8417% R$ 1.128,74 R$ 1.200,00 12% R$ 1.344,00 R$ 1.128,74 12,8417% R$ 1.274,06 R$ 1.344,00 7% R$ 1.438,08 R$ 1.274,06 12,8417% R$ 1.438,08 Observe que o resultado final de R$ 1.438,08 é o mesmo nos dois casos. Se tivéssemos utilizado a média aritmética no lugar da média geométrica, os valores finais seriam distintos, pois a média aritmética de 13% resultaria em um salário final de R$ 1.442,90, ligeiramente maior como já era esperado, já que o percentual de 13% utilizado é ligeiramente maior que os 12,8417% da média geométrica. 3 Média Harmônica Definimos a média harmônica entre os números reais e positivos x 1, x 2, x 3,..., x n como sendo o inverso da média aritmética do inverso destes números. Como sabemos a média aritmética dos números x 1, x 2, x 3,..., x n é dada por: x 1 + x 2 + x x n n Só que no caso da média harmônica estamos falando do inverso destes números, então teríamos a seguinte média aritmética: 1 x x x x n n Além disto, como vimos que a média harmônica é o inverso da média aritmética do inverso dos referidos números, então finalmente temos: n 1 x x x x n

5 3.1 Quando utilizamos a Média Harmônica A média harmônica é utilizada quando estamos trabalhando com grandezas inversamente proporcionais. Um exemplo clássico é aquele onde estamos trabalhando com velocidade e tempo, pois ao aumentarmos a velocidade diminuímos o tempo necessário para percorrer um determinado trajeto e vice-versa. 3.2 Compreendendo o Conceito de Média Harmônica Já estudamos a média aritmética e a média geométrica, que conceitualmente são de mais fácil compreensão, no entanto apesar de simples o seu cálculo, a média harmônica é um conceito um pouco mais difícil de entender. Para uma maior facilidade de assimilação do conceito, como de costume vamos recorrer a um exemplo: - Um veículo realizou o trajeto de ida e volta entre as cidades A e B. Na ida ele desenvolveu uma velocidade média de 80 km/h, na volta a velocidade média desenvolvida foi de 120 km/h. Qual a velocidade média para realizar todo o percurso de ida e volta? Embora não tenha sido dito no enunciado, estamos considerando que os trajetos de ida e de volta tem a mesma medida. É fácil entender que a média aritmética das velocidades seria de 100 km/h: = 100 Porém, a pergunta não foi qual a média das velocidades, mas sim qual a velocidade média para realizar todo o percurso. A resposta para esta pergunta seria a média harmônica de 96 km/h: Mas por que 96 km/h? Em que se baseia este resultado? Vamos fazer o seguinte, já que independentemente da distância entre as cidades as velocidades médias foram de 80 km/h na ida e de 100 km/h na volta, para facilitar a explicação vamos arbitrar que a distância entre as cidades A e B seja de 120 km. Como base nestas informações, podemos concluir que o tempo gasto na ida seria de uma hora e meia, que é a distância entre as cidades dividida pela velocidade média da ida: = 1, Analogamente na volta o tempo gasto seria de uma hora:

6 = 1 Então, para realizar o percurso total de 240 km se gastaria 2, h, donde concluímos que a velocidade média foi de 96 km/h: 240 2, = 96 Para ficar mais claro que os 96 km/h se referem à média harmônica, vamos incluir um passo a mais no cálculo realizado acima para apurá-la: Percebeu? = = = 480 = 96 Portanto: A velocidade média para se percorrer todo o percurso de ida e volta seria de 96 km/h. 4 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Média Aritmética Simples e Ponderada e Média Geométrica 1) Qual é a média aritmética simples dos números 11, 7, 13 e 9? Como visto na parte teórica, a solução deste exercício resume-se em somarmos os números e dividirmos este total por quatro, que é a quantidade de números: = 40 4 = 10 Logo: A média aritmética simples destes números é 10. 2) Qual é a média aritmética ponderada dos números 10, 14, 18 e 30 sabendo-se que os seus pesos são respectivamente 1, 2, 3 e? Neste outro caso a solução consiste em multiplicarmos cada número pelo seu respectivo peso e somarmos todos estes produtos. Este total deve ser então dividido pela soma total dos pesos: Assim sendo: A média aritmética ponderada deste conjunto de números é 22. 3) Qual é a média geométrica dos números 2, 4, 8, 16 e 32? Se dispusermos de uma calculadora científica, este exercício pode ser solucionado multiplicando-se todos os números e extraindo-se do produto final, a raiz de índice cinco, pois se tratam de cinco números:

7 = = 8 Se não dispusermos de uma calculadora científica esta solução ficaria meio inviável, pois como iríamos extrair tal raiz, isto sem contar na dificuldade em realizarmos as multiplicações? Repare que todos os números são potência de 2, podemos então escrever: Como dentro do radical temos um produto de potências de mesma base, somando-se os expoentes temos: Finalmente dividindo-se o índice e o expoente por e resolvendo a potência resultante: Então: A média geométrica deste conjunto de números é 8. 4) Dado um conjunto de quatro números cuja média aritmética simples é 2,, se incluirmos o número 8 neste conjunto, quanto passará a ser a nova média aritmética simples? Na parte teórica vimos que a soma dos elementos de um conjunto de números, dividida pela quantidade de elementos deste conjunto, resulta na média aritmética simples entre eles. Se chamarmos esta soma de S, em função do enunciado podemos nos expressar matematicamente assim: S 4 = 2, Passando o divisor 4 para o segundo membro e o multiplicando pelo termo 2,, obteremos a soma destes quatro números que é igual a 10: Ao incluirmos o número 8 neste conjunto de números, a soma dos mesmos passará de 10 para 18 e como agora teremos números ao invés de 4, a média dos mesmos será 18 dividido por que é igual a 3,6: = 3,6 Portanto: Ao inserirmos o número 8 neste conjunto de números, a média aritmética simples passará a ser igual a 3,6. ) Em uma sala de aula os alunos têm altura desde 130 cm até 163 cm, cuja média aritmética simples é de 10 cm. Oito destes alunos possuem exatamente 163 cm. Se estes oito alunos forem retirados desta classe, a nova média aritmética será de 148 cm. Quantos alunos há nesta sala de aula? Sabemos que a média aritmética simples de um conjunto de números é igual à soma dos mesmos, dividida pela quantidade de números deste conjunto. Se chamarmos

8 de S a soma da altura de todos os alunos desta classe e de n o número total de alunos, podemos escrever a seguinte equação: Isolando a variável S temos: S n = 10 S = 10 n O enunciado nos diz que se retirarmos todos os oito alunos que medem 163 cm, teremos 148 cm como a nova média de altura da turma. Expressando esta informação em forma de equação temos: S n 8 Novamente isolemos a variável S: S n 8 = = 148 S 1304 n 8 = 148 S = 148(n 8) S = 148n Como na primeira equação calculamos que S = 10n, vamos trocar S na segunda equação por 10n: S = 148n = 10n 2n = 120 n = 60 Enfim: Nesta sala de aula há 60 alunos. 6) Dados dois números quaisquer, a média aritmética simples e a média geométrica deles são respectivamente 20, e 20. Quais são estes dois números? Chamemos de a e b estes dois números. A média aritmética deles pode ser expressa como: a + b 2 = 20, Já média geométrica pode ser expressa como: a b = 20

9 Vamos isolar a na primeira equação: Agora, para que possamos solucionar a segunda equação, é necessário que fiquemos com apenas uma variável na mesma. Para conseguirmos isto iremos substituir a por 41 - b: Note que acabamos obtendo uma equação do segundo grau: Solucionando a mesma temos: b b 400 = 0 O número b pode assumir, portanto os valores 16 e 2. É de se esperar, portanto que quando b for igual a 16, que a seja igual a 2 e quando b for igual a 2, que a seja igual a 16. Vamos conferir. Sabemos que a = 41 b, portanto atribuindo a b um de seus possíveis valores, iremos encontrar o valor de a. Para b = 16 temos: Para b = 2 temos: a = 41 b a = a = 2 a = 41 b a = 41 2 a = 16 Concluindo: Os dois números são 16 e 2. 7) A média geométrica entre dois números é igual a 6. Se a eles juntarmos o número 48, qual será a média geométrica entre estes três números? Se chamarmos de P o produto destes dois números, a partir do que foi dito no enunciado podemos montar a seguinte equação: P = 6 Elevando ambos os membros desta equação ao quadrado, iremos obter o valor numérico do produto destes dois números: P = 6 ( P) 2 = 6 2 P = 36 Agora que sabemos que o produto de um número pelo outro é igual 36, resta-nos multiplicá-lo por 48 e extrairmos a raiz cúbica deste novo produto para encontrarmos a média desejada: Note que para facilitar a extração da raiz cúbica, realizamos a decomposição dos números 36 e 48 em fatores primos. Acesse a página decomposição de um número natural em fatores primos para maiores informações sobre este assunto.

10 Respondendo à pergunta: Ao juntarmos o número 48 aos dois números iniciais, a média geométrica passará a ser 12. 8) Um comerciante pretende misturar 30 kg de um produto A, que custa R$ 6,80/kg com um produto B que custa R$ 4,00/kg para obter um produto de qualidade intermediária que custe R$ 6,00/kg. Quantos quilogramas do produto B serão utilizados nesta mistura? Interpretando o enunciado, entendemos que devemos somar o valor total de dois produtos e depois dividir este total pela soma da quantidade destes dois produtos, de sorte que o resultado, ou seja, a média, resulte em R$ 6,00/kg. A representação matemática desta situação pode ser vista abaixo: A 6,8 + B 4 A + B Como sabemos que A = 30, vamos substituí-lo na equação a fim de podermos encontrar o valor de B: Portanto: 12 kg do produto B serão utilizados nesta mistura para que o quilograma do produto final custe R$ 6,00. 9) A média das notas dos 0 alunos de uma classe e 7,7. Se considerarmos apenas as notas dos 1 meninos, a nota média é igual a 7. Qual a média das notas se considerarmos apenas as meninas? Nesta classe de 0 alunos temos 1 meninos e consequentemente temos 3 meninas. Se somarmos a pontuação total obtida pelas meninas, à pontuação total obtida pelos meninos e dividirmos o valor desta soma pelo número de alunos da classe, iremos obter a sua média que é igual a 7,7. Como sabemos, ao multiplicarmos o valor da média pela quantidade de elementos, obtemos o somatório dos mesmos. Em função do explanado acima, para solucionar o problema vamos montar uma equação onde chamaremos de x a média das notas das meninas: 3 x = 6 = 7,7 Solucionando a equação temos que média das notas das meninas é igual a 8. 10) A média aritmética simples de 4 números pares distintos, pertencentes ao conjunto do números inteiros não nulos é igual a 44. Qual é o maior valor que um desses números pode ter? Quando falamos de média aritmética simples, ao diminuirmos um dos valores que a compõe, precisamos aumentar a mesma quantidade em outro valor, ou distribuí-la

11 entre vários outros valores, de sorte que a soma total não se altere, se quisermos obter a mesma média. Neste exercício, três dos elementos devem ter o menor valor possível, de sorte que o quarto elemento tenha o maior valor dentre eles, tal que a média aritmética seja igual a 44. Este será o maior valor que o quarto elemento poderá assumir. Em função do enunciado, os três menores valores inteiros, pares, distintos e não nulos são: 2, 4 e 6. Identificando como x este quarto valor, vamos montar a seguinte equação: x 4 = 44 Solucionando-a temos que o maior valor que um desses números pode ter é 164. REFERÊNCIAS