Para simplificar a notação, também usamos denotar uma sequência usando apenas a imagem de :

Sequências Uma sequência é uma função f de em, ou seja. Para todo número natural i associamos um número real por meio de uma determinada regra de formação. A sequencia pode ser denotada por: Ou, por meio de um gráfico de flechas: Para simplificar a notação, também usamos denotar uma sequência usando apenas a imagem de : Para indicar uma sequência qualquer, denotamos,onde é o conjunto onde encontramos os índices da sequência dada. Exemplos Sequências dadas por fórmulas de recorrência 1) Seja a sequência tal que, onde. Neste caso, e é uma sequência finita. 2) Seja a sequência tal que, onde, com. Neste caso, e é uma sequência infinita. 1

Sequências que expressam seus termos em função da sua posição 3) Seja uma sequência tal que seus termos são dados pela lei de formação, com. Neste caso, e é uma sequência finita. 4) Seja uma sequência tal que seus termos são dados pela lei de formação, para qualque natural maior ou igual a 1. Neste caso, e é uma sequência infinita. Progressões Aritméticas Chamamos de Progressão Aritmética a toda sequência que pode ser dada pela seguinte fórmula de recorrência:, onde e são número reais fixos dados. A constante é chamada de razão da PA. Exemplos São progressões aritméticas, onde o primeiro termo é a razão é., onde o primeiro termo é a razão é., onde o primeiro termo é a razão é., onde o primeiro termo é a razão é., onde o primeiro termo é a razão é. Note que, uma propriedade importante das PA s é a de que a diferença entre dois termos consecutivos quaisquer é sempre constante e é igual a sua razão. 2

Uma PA será classificada como crescente quando sua razão for positiva, como nas sequências acima. Uma PA será classificada como decrescente quando sua razão for negativa, como nas sequências acima. Uma PA será classificada como constante quando sua razão for nula, como na sequências acima. Termo Geral de uma PA Vimos uma definição de PA que usa uma definição de sequência por recorrência. Mas, uma vez conhecendo-se o primeiro termo e a razão de uma PA, podemos deduzir uma lei de formação que nos permite calcular qualquer termo da PA sem usar o cálculo por recorrência. Se denotarmos o primeiro termo da PA por e a razão por, temos: Se somarmos todos os membros do lado direito das igualdades e todos os membros do lado esquerdo das desigualdades teremos: Cancelando as parcelas iguais em ambos os lados da igualdade obtemos: A expressão acima é chamada de termo geral da PA, e fornece uma lei de formação para encontrarmos qualquer elemento da sequência sem o uso da recirrência. O termo geral da PA também pode ser demosntrado usando-se o princípio da indução finita (ver exercício 8). Também é possível obtermos uma lei de formação para obter o n-ésimo termo de uma PA partindo de seu k-ésimo termo. Se n<k temos: 3

Portanto, Interpolação Aritmética Interpolar k meios aritméticos entre os números a e b significa obter uma PA, cujos extremos são. A PA procurada terá termos. Assim: Então Por exemplo: Interpolar 5 meios aritméticos entre os números 2 e 4. Temos que este meios serão dados pela PA de primeiro termo igual a 2 e razão igual a Portanto os meio procurados são os meios da PA. Soma dos n primeiros termos de uma PA Resultado 1: Podemos mostrar, usando indução finita, que ao somarmos o números naturais de até, o resulta do da soma S será dado por Estamos interessados porém em elaborar uma expressão para a soma do n primeiros termos de uma PA qualquer, de primeiro termo e razão. Denotaremos esta soma por. 4

Temos Então Usando o Resultado 1, sabemos que a soma dos números naturais de 1 até (n- 1) será dada por. Portanto, Desenvolvendo a expressão acima ainda obtemos: E concluímos, Exemplo Calcular a soma dos 25 termos iniciais da PA (1,7,13,...) A PA tem primeiro termo igual a 1 e razão igual a 6. O 25º termo será dado por. Então a soma será dada por: 5

Progressões Geométricas Chamamos de Progressão Aritmética a toda sequência que pode ser dada pela seguinte fórmula de recorrência:, onde e são número reais fixos dados. A constante é chamada de razão da PG. Então, em uma PG, a razão entre dois termos consecutivos constante e coincide com a razão da própria PG. é sempre Exemplos São progressões geométricas, onde o primeiro termo é a razão é., onde o primeiro termo é a razão é., onde o primeiro termo é a razão é., onde o primeiro termo é a razão é., onde o primeiro termo é a razão é., onde o primeiro termo é a razão é. Uma PG será classificada como crescente quando cada termo for maior do que seu antecessor. Isto ocorre quando o temo inicial é positivo e a razão é maior do que 1, ou quando o primeiro termo é negativo e a razão é um número entre 0 e 1. Uma PG será classificada como decrescente quando cada termo for menor do que seu antecessor. Isto ocorre quando o temo inicial é positivo e a razão é um número entre 0 e 1, ou quando o primeiro termo é negativo e a razão é maior do que 1. Uma PG será classificada como constante quando cada termo for igual ao termo anterior. Isto ocorre quando o temo inicial é diferente de zero e a razão é igual a 1, ou quando o primeiro termo é zero e a razão é qualquer. 6

Uma PG será classificada como alternante quando cada termo tem o sinal contrário de seu antecessor. Isto ocorre quando a razão da PG é negativa. Por exemplo, a PG dada acima. Uma PG será classificada como estacionária quando o primeiro termo for não nulo e todos os outros forem nulos. Isto ocorre quando o temo inicial é diferente de zero e a razão é igual a zero. Por exemplo, a PG dada acima. Termo Geral de uma PG Vimos uma definição de PG que usa uma definição de sequência por recorrência. Mas, uma vez conhecendo-se o primeiro termo e a razão de uma PG, podemos deduzir uma lei de formação que nos permite calcular qualquer termo da PG sem usar o cálculo por recorrência. Se denotarmos o primeiro termo da PG por e a razão por, temos: Se multiplicarmos todos os membros do lado direito das igualdades e todos os membros do lado esquerdo das desigualdades teremos: Cancelando os fatores iguais em ambos os lados da igualdade obtemos: A expressão acima é chamada de termo geral da PG, e fornece uma lei de formação para encontrarmos qualquer elemento da sequência sem o uso da recirrência. O termo geral da PG também pode ser demosntrado usando-se o princípio da indução finita. 7

Interpolação Geométrica Interpolar k meios geométricos entre os números a e b significa obter uma PG, cujos extremos são. A PG procurada terá termos. Assim: Então Por exemplo: Num determinado semestre, a produção de uma indústria cresceu em PG. Em janeiro a produção foi de 1500 unidades, e, em junho, foi de 48000 unidades. Qual foi a produção em cada um dos meses entre janeiro e junho? O que temos que fazer é interpolar 4 meios geométricos entre os números 1500 e 48000. Temos que este meios serão dados pela PG de primeiro termo igual a 1500 e razão igual a Portanto os meios procurados são os meios da PG: Soma dos termos de uma PG Finita Da mesma forma como fizemos com as progressões aritméticas, vamos abordar o problema de encontrar a soma dos n primeiros termos de uma PG, elaborando uma fórmula para tal soma. A soma dos n primeiros termos de uma PG de primeiro termo e razão será dada por: 8

Ao multiplicarmos a soma toda pela razão da PG obtemos Subtraindo (2) de (1) temos: Do que reslta: E obtemos Note que a expressão para a soma somente está definida para PG de razão diferente de 1. Obs: ver outra forma de expressar a soma dos termos de uma PG no exercício 65. Limite de uma sequência e a soma dos termos de uma PG infinita Definição: Dizemos que uma sequência converge para uma determinado limite, se dado um, existe um natural de tal forma que se então o valor de está a uma distância menor do que de. Ou seja Neste caso indicamos Se E dizemos que a sequência converge para. O limite de uma PG infinida de razão cujo módulo é menor do que 1 Suponhamos que temos uma PG de razão tal que. Vamos mostrar que esta PG converge para zero. Suponha que temos dado tão peque quanto se queira. Temos 9

Queremos exibir um a partir do qual Temos Como, a desigualdade acima implica que Ou seja, basta tomarmos como o primeiro natural tal que tal que Então dado, podemos sempre exibir como sendo o primeiro natural maior do que, tal que Pela definição de limite de uma sequência temos que : Quando a razão da PG é um número entre -1 e 1, então Como consequência do resultado acima, se tomarmos uma PG de primeiro termo r e razão r com teremos que e então 10

Limite da soma de uma PG infinita Suponhamos uma PG com razão r de tal forma que calcularmos a soma dos n primeiros termo desta PG teremos.. Se Calculando o limite quando n vai para infinito temos Como é constante em relação a n Usando que se entçao, teremos E, Observações Importantes: Se, a PG tem todos os termos igual a zero e a soma dos termos converge para zero para qualquer que seja a razão da PG. Se e a razão r da PG é tal que ou, então a soma dos termos da PG não converge para nenhum valor, e não é possível exibir a soma dos termos da PG. 11

Produto dos Termos de uma PG Chamemos de ao produto dos n primeiros termos de uma PG finita. Temos Então Usando a formula da soma dos primeiros n números naturais temos 12

Exercícios 1)Determinar de tal forma que a sequência seja uma PA. 2)Determinar a de forma que seja uma PA. 3)Obter uma PA de 3 termos tais que a soma seja 24 e o produto seja 440. Sugestão: adote que a PA tem a forma 4)Obter números em PA sabendo que sua soma é e a soma de seus inversos é. ou 5)A soma de 4 termos consecutivos de uma PA é -6, o produto do primeiro deles pelo quarto é -54. Determine a PA. ou. 6)Obter uma PA crescente de 4 termos tais que o produto dos extremos seja 45 e o dos meios seja 77. ou. 7)Obter uma PA de 5 termos sabendo que sua soma é 25 e a soma de seus cubos é 3025. Sugestão: utilize uma PA dada genericamente por.. 8) Mostre, usando o princípio da indução finita, que o termos geral de uma PA de primeiro termo k e razão r é dado pela expressão 9)Calcule o vigésimo termo de uma PA cujo termo inicial é e a razão é. 62 13

10) Obter o 9º, o 23º e o 1000º termo da PA (3,7,11,15,...) Resposta : 35, 91 e 3999. 11) Obter a razão da PA em que o primeiro termo é -1 e o vigésimo primeiro é 59. 3. 12)Obter o primeiro termo de uma PA de razão 2, cujo 21º termo é 30. -10. 13)Qual é o termo igual a 71 na PA em que o 3º termo é 17 e a razão é 6? É o 12º termo. 14)Qual é a razão da PA em que e? -3. 15)Obter o termo geral da PA em que e. 16)Determinar a PA em que o 6º termo é 7 e o 10º termo é 15. (-3,-1,1,3,...) 17) Qual é a PA em que o 1º termo é 20 e o 9º é 44? (20,23,26,...) 18)Determinar a PA em que se verificam as relações: (89,93,27,...) 19)Qual é o primeiro termo negativo da PA (60,53,46,...)? 20) Qual é o primeiro termo positivo da PA (-101,-97,-93,...)?. 21) Intercalar (ou interpolar) 5 meios aritméticos entre -2 e 40. São os meios da PA (-2,5,12,19,26,33,40). 14

22) Inserir 12 meios aritméticos entre 100 e 200. Resultam da PA de primeiro termos e razão. 23)Quantos meios aritméticos devem ser interpolados entre 12 e 34 para que a razão da interpolação seja ½? 43 24) Quantos números inteiros e positivos, formados por 3 algarismos, são múltiplos de 13? 69 25)De 100 a 1000 quantos são múltiplos de 2 ou de 3? 601 26)Inscrevendo-se nove meios aritméticos entre 15 e 45, qual é o sexto termo da PA? d 30 27) Calcule a soma dos 90 primeiros números ímpares positivos. 8100 28)Obtenha uma fórmula genérica para a soma dos n primeiros números ímpares positivos. 29)Qual é a soma dos números inteiros de 1 a 150? 11325. 30)Obtenha a soma dos 10 primeiros termos da PA ( 3,7,11,15,...). 210. 31)Obter a soma dos n elementos iniciais da sequência: d 53 32)Determine o primeiro termo e a razão da PA em que o vigésimo termos é 2 e a soma dos 50 termos iniciais é 650.. 15

33) Qual é o 23º termo da PA de razão 3, em que a soma dos 30 termos iniciais é 255? 31 34)Quantos termos devem ser somados na PA (-5,-1,3,...), a partir do primeiro termo, para que a soma seja 1590? 30 35)Ao se efetuar a soma de 50 parcelas em PA (202,206,210,...), por distração não foi somada a 35º parcela. Qual foi a soma encontrada? 14662. 36)Determinar uma PA em que a soma dos 10 termos iniciais é 130 e a soma dos 50 termos iniciais é 3650.. 37)Qual é a soma dos múltiplos de 5 positivos, formados por três algarismos? 98550. 38)Qual é a soma dos múltiplos de 11 compreendidos entre 100 e 10000? 4549050. 39)Obter uma PA em que a soma dos n primeiros termos é todo n natural. (3,5,7,9,...) para 40)Calcular o primeiro termo e a razão de uma PA em que a soma dos n primeiros termos é para todo n natural. (5,7,9,...) 41)Qual deve ser o valor de x para que a sequência (5,15,45,135,x) seja uma PG? 405 42)Qual é o número que deve ser somado a 1,9 e 15 para que se tenha, nesta ordem, três números em PG? Devemos soma -33 a cada um dos números. 16

43) A sequência está em progressão geométrica? Se sim, qual é a razão? Sim, é uma PG de razão. 44)Qual é a razão da PG?. 45)Determine o 4º termo da PG. Reposta: 46)A população de um país é atualmente igual a e cresce 3% ao ano. Qual será a população do país daqui a t anos? 47)Um tanque de água tem capacidade. Após ficar completamente cheio, este tanque começou a escoar água perdendo 4% de seu volume a cada minuto. Qual será o volume de água no tanque daqui a t minutos? 48)Determinar 3 números reais positivo em PG, de forma que sua soma seja, e a soma de seus quadrados seja. ou 49)Obter a PG de 4 elementos em que a soma dos 2 primeiros é 12 e a soma dos 2 últimos é 300. (2,10,50,250) 50)De a fórmula do termo geral da PG (2,4,...) 51)Qual é o sétimo termo da PG (2,6,...)? 1458 52)Calcule o 1º termo da PG em que e. 17

53)Numa PG crescente, o 1º termo é 3 e o 5º termo é 30000. Qual é a razão desta PG. 10 54)Quantos elementos tem a PG? 15 termos. 55)Mostre que numa PG sempre vale que 56)Numa PG crescente, o 3º termo é 3 e o 5º termo é 48. Qual é o valor do 4º termo. Qual é a razão da PG? O valor o 4º termo é 12 e a razão é 4. 57)Numa PG temos e. Calcule o primeiro termo e a razão desta PG. e. 58)Numa PG, a soma do 3º e do 5º termo é igual a 360 e a soma do 4º e do 6º termo é igual a 1080. Determine a razão e o primeiro termo desta PG. e. 59)Três números estão em PG de forma que o produto deles é 729 e a soma é 39. Calcule os 3 números. 3,9 e 27. 60)Inserir 3 meios geométricos entre 3 e 48. (3,6,12,24,48) ou (3,-6,12,-24,48). 61)Qual é a razão da PG que obtemos ao interpolar 4 meios geométricos entre 1 e 243? 3 62)Quantos meios geométricos devemos inserir entre e de modo que a sequência obtida tenha razão 4? A PG deve ter 6 termos e temos que inserir 4 meios geométricos. 18

63)Quantos meios geométricos devem ser inseridos entre 32 e 2048 para que se obtenha uma PG de razão 2? A PG deve ter 7 termos e temos que inserir 5 meios geométricos. 64)Dados e, encontre e de tal forma que a sequência seja uma PG. Exiba esta sequência em função de e. 65) Mostre que a soma dos n primeiros termos de uma PG finita pode ser expressa em função do primeiro termos, do último termo e da razão através da expressão 66) Determine a soma: a. dos 10 primeiros termos da PG (3,6,...) b. dos termos da PG a) 3069. b)2046 67)Calcular a soma das 10 parcelas iniciais da série 68) A soma de uma PG finita é 728. Sabendo-se que o último termo é 486 e a razão é igual a 3, calcule o primeiro termos desta sequência. 69)Calcule o valor de x na igualdade, sabendo que os termos do 1º membro formam uma PG.. 70) Se a e q são números reais não nulos, calcular a soma dos n primeiros termos da PG Resposta : 71) Partindo de um quadrado, cujo lado mede metros, consideremos os quadrados,,,..., tais que os vértices de cada quadrado 19

sejam os pontos médios dos lado do quadrado anterior. Calcular a soma das áreas dos quadrados,,,...,. 72)Quantos termos da PG soma seja 3280. 8 termos. devem ser somados para que a 73)Determinar tal que 74)Determinar tal que 75) Uma empresa produziu 10000 unidades de certo produto em 2009. A meta é produzir, a cada ano, 20% a mais do que no ano anterior. Quantas unidades deverão ser produzidas no período de 2009 a 2013? 74416. 76) Qual é o limite da soma quando o número de termos tendo ao infinito? 77)Determine o limite da soma da PG infinita 1 78)Determine o limite da soma da PG infinita 79)Determine o limite da soma da PG sendo. 20

80)Resolva a equação é o limite da soma de uma PG infinita., na qual o primeiro membro 81)Determine o valor de na igualdade, na qual o primeiro membro é o limite da soma de uma PG infinita. 82)A medida do lado de um triângulo eqüilátero é 10. Unindo-se os pontos médios de seus lados obtém-se um segundo triângulo eqüilátero. Unindo-se os pontos médios desse novo triângulo obtém-se um terceiro,e, assim por diante, indefinidamente. Calcule a soma dos perímetros de todos os triângulos. 60. 83)Determine o conjunto solução da equação na qual o primeiro membro é o limite da soma de uma PG infinita. 84)Calcular a soma da série infinita 4 85)Determinar a fração geratriz das dízimas periódicas: a. 0,3333... b. 0,5212121 Respostas: a) b) 86) Qual é a fração geratriz das dízimas periódicas abaixo a. b. c. d. Respostas: a) ; b) ; c) ;d) 21

87) Qual é o número para o qual converge a série 88)Em cada uma das PGs abaixo calcule o produto dos n termos iniciais: a. b. c. d. e. f. Respostas: a) ; b) ; c) ; d) ; e) 1; f) 89)Calcular a soma valor de a se?. Se então. Qual é o 90) Calcular o produtos dos 101 termos iniciais da PG alternante em que. -1 Referências Dante, L. Roberto. Matemática: Contexto e aplicações. Volume 1. Ed. 3. Impressão 1. Editora Ática. São Paulo.2003. Iezzi, Gelson (e outros). Fundamentos de Matemática Elementar. Volume 4. Ed Atual. São Paulo. 1977. 22