Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 006/007 11 uperfícies Quádricas 1. Identifique e faça um esboço gráfico das seguintes superfícies: a) x + y + z =1 f) y =3 z =4 b) y =3 g) x +y ) =1 c) z =4 h) z = y x + y =1 d) z =3 i) z =4 x e) x + y =1 z =0 j) z =4 x y. Identifique e faça um esboço gráfico de cada uma das seguintes superfícies quádricas: a) x +y + z =1 b) x + z =9 c) x + y + z = z d) x + y =4 z e) z 4) = x + y f) y = x z = y g) x h) x +y z =1 i) x y z =9 3. Represente geometricamente o sólido definido pelas condições: a) x + y z x y b) x + y 4 e x + y z 6) c) x + y 1 e 0 z x + y d) 0 z e x + y z 1 4. Faça o esboço gráfico dos seguintes subconjuntos de IR 3 : a) V = x, y, x) IR 3 : x 0, y 0, z 0, 6x +3y +z 1 ª b) V = x, y, x) IR 3 : x + y =6y e x + y + z 36 ª c) V = nx, y, x) IR 3 :4+z x + y e z p o x + y
Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 006/007 1 3 álculo Integral 3.1 Integral Duplo 3.1.1 álculo do integral duplo em coordenadas cartesianas 1. alcule fx, y) da, sendo: D a) fx, y) =x + y e D =[0, 1] x [0, 1]; R: 3 1 x y se x + y 1 b) fx, y) = e D =[0, 1] [0, 1]; R: 1 6 0 se x + y>1 c) fx, y) =xy 1 e D aregiãodeir definida por y x e x y ; R: 1 4 d) fx, y) =sinx e D aregiãodeir definida por y sin x, πy x e x 0; R: π 8 4π e) fx, y) = x + y e D = {x, y) IR : x 1, y 1}; R: 8 3 1 f) fx, y) = e a x D = {x, y) R :x a) +y a) a, 0 x a, 0 y a}; R: 8 3 + a 3. Inverta a ordem de integração e calcule, nos casos em que é dada a função integranda, os seguintes integrais: a) b) 1 0 x 9 3 0 e y dydx; R: e4 1 4 y sinx 3 ) dx dy; R: 1 cos 7 3 c) e ln x 1 0 ydydx; R: e d) 1 1 0 x 1 y sin y cosx ) dy dx; R: sin 1 1 cos 1) y e) 4 x 4 x fx, y) dy dx; f) r 0 rx x dx fx, y) dy; x
Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 006/007 13 g) h) i) 1 x 0 1 0 y +1 1 y 1 x 0 fx, y) dy dx + x x f x, y) dxdy; 3 1 f x, y) dydx; 3 x 0 fx, y) dy dx; 3.1. Mudança de variável no integral duplo 3. alcule os seguintes integrais, passando para coordenadas polares: a) xdxdy onde D = {x, y) IR : y x, x 0,x + y 9 e x + y 4}; b) c) d) D R: 19 ) 6 4 x 0 1 1 x 0 D 0 dxdy R: 7π 6 3 4 x + y ) 3 dy dx; R: 3π 5 ep x + y dy dx; R: π onde D = {x, y) IR : x + y x 0,x + y 4 e y 3x}; 4. alcule os seguintes integrais, efectuando a mudança de variável indicada: x = u + v a) dxdy, fazendo y = u v,com D b) D = {x, y) IR : y 0,x 0 e x + y 1}; R: 1 x + y) dxdy, fazendo u = x + y e v =x y, sendo D D = {x, y) IR : y 0,x 0 e x + y 1}; R: 1 3 5. Usando uma mudança de variável adequada, calcule: a) e y x y+x dxdy, onde D é o triângulo limitado pelas rectas x =0, y =0e x + y =; D b) D R: e 1 e x y) sin x + y) dxdy, onde D é o polígono de vértices nos pontos de coordenadas π, 0), π, π), π, π), 0,π). R: π4 3
Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 006/007 14 6. Usando a transformação x + y = u, y = uv mostre que 1 1 x e y 1 x+y dy dx = e 1). 0 0 7. Usando mudanças de coordenadas convenientes, calcule xy dxdy, onde D = {x, y) IR :x + y 4 x 0 y 0) 4x + y 4 x 0 y 0)}. D R: 3 8. alcule onde R: e 3 E x y) e x+y dxdy, E = x, y) IR :x + y) +x y) 3, x+ y 0, x y 0 ª. 1 3 + 1 4 3.1.3 Aplicações do integral duplo 9. Usando integrais duplos, determine as áreas dos domínios planos definidos por: a) D = {x, y) IR : y 6x x e y x x}; R: 64 3 b) D = {x, y) R : x + y 16, x +) + y 4 e y 0}; c) D = {x, y) R : x + y x, y 3x e y x}; d) D = {x, y) R :x + y 1, y x e y 0}; R: R: 6π R: 3 3+π 6 1 arctan 4 e) D = {x, y) R : x 4 + y 1, x 4 + y 1, y x, x 0 e y 0}; 9 R: 3 arctan π + arctan 1 3 f) D = {x, y) R : y 4x e y x 4}; R: 9 10. Usando integrais duplos, calcule a área da região plana D definida por R: π 3 3 4 D = {x, y) IR : x + y 1, x 1) + y 1 e y 0}.
Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 006/007 15 11. alcule as áreas das superfícies seguintes: a) Porção do plano de equação 6x +3y +z =1situadanoprimeirooctante; R:14 b) Porção do parabolóide de equação x + y =z situada no interior da superfície cilíndrica x + y =1; R: 1)π 3 c) uperfície esférica; R: 4πr d) Porçãodasuperfíciecónicadeequaçãox + y = z situadanointeriordasuperfície cilíndrica de equação x + y =1; R: π e) = {x, y, z) IR 3 : x + y + z =4e x + y z }; R: 8π. 1. Usando integrais duplos, calcule o volume dos subconjuntos de IR 3 definidos pelas seguintes condições: x + y 1 a) R: 0 z x + y 3 b) x + y z x y R: π c) d) e) f) x 4 + y 1 1 z 1 3x 4y x + y + z 4 x + y x z 16) x + y x + y 4 z x + y ) y + z R: π R: 16 3 π 64 9 R: 3 3 π R: π 3 13. eja E = {x, y, z) IR 3 : x + z 1, x + z y e 0 y }. Determine o volume de E usando integrais duplos. R: 4 3 π 14. Estabeleça, através de integrais iterados, o volume do sólido do 1 o octante limitado pelas superfícies y = x, y =x, z =1 y e z =0, considerando que o sólido é projectado a) no plano xoy;
Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 006/007 16 b) no plano xoz; c) no plano yoz. 15. Utilizando integrais duplos, determine a massa m,osmomentosm x e M y e o centro de massa x 0,y 0 ),deumalâminat, cuja densidade em cada ponto P x, y) de T é dada por ρx, y), quando: a) T é um triângulo rectângulo isósceles, cujos catetos medem a, eρx, y) é directamente proporcional ao quadrado da distância de P ao vértice do ângulo recto; R: m = ka4 ; M 6 y = M x = ka5 ; x 15 0,y 0 )= a, a 5 5 b) T = {x, y) IR :0 y a x } a IR + ) e ρx, y) éadistânciadep ao ponto O0, 0); R: m = a3 π ; M 3 x = a4 ; M y =0; x 0,y 0 )= 0, 3a π
Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 006/007 17 3. Integral Triplo 3..1 álculo do integral triplo em coordenadas cartesianas 16. alcule os seguintes integrais triplos: 1 a) dxdydz, com x+y+z+1) 3 E E = x, y, z) IR 3 : x + y + z 1 x 0 y 0 z 0 ª. b) c) R: 5 + 1 ln 16 zdxdydz,em que E éaregiãodo1 o octante limitada pelas superfícies R: 17 1 E E x + y =, x +y = e y + z =4. ydxdydz,em que E é limitado pelas superfícies de equações y = x + z e y = 0 x z. R: 76 3 π 17. Em cada um dos integrais seguintes, identifique o domínio de integração, escreva, se possível, os integrais dados por uma ordem de integração diferente, e calcule-os: a) b) c) x 4x y 0 0 0 1 1 x 3 0 0 1 4 x 6 z 1 3x 0 xdzdydx. R: 4 3 π +x +y dz dy dx. R: π 8 dy dz dx. R: 304 15 3.. Mudança de variável no integral triplo 18. Usando uma mudança de variável conveniente, calcule os seguintes integrais triplos 1 a) dv com E 1 x y ) 3 E = {x, y, z) IR 3 : x + y z x y } ; R: 4π
Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 006/007 18 b) E 1 x + y + z ) 3 dv com E = {x, y, z) IR 3 :4 x + y + z 9} ; c) R: 4π ln 3 p x + y + z dxdydz com E E = {x, y, z) IR 3 : x + y + z 1 x + y +z 1) 1} ; d) 3 R: 10 π E ydv com E = {x, y, z) IR 3 : x + y + z 1 z p x + y } ; e) R: 0 zdv com E E = {x, y, z) IR 3 : x + y z x + y + z z} ; f) R: π 6 r 1 x 4 + y + z ) dxdydz com 9 E E = {x, y, z) IR 3 :9x +36y +4z 36}. R: 3 π 19. onsidere o integral triplo I escrito na seguinte forma I = π 1 rcosθ 0 0 r 1 4r sin θdzdrdθ. a) alcule o valor de I; R: 0 b) Represente graficamente o domínio de integração E; c) Escreva I como um integral iterado usando coordenadas cartesianas. R: R 1 1 dx R 1 x 1 x dy R x 1+x +y 4ydz
Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 006/007 19 3..3 Aplicações do integral triplo 0. Usando integrais triplos, calcule o volume das regiões de R 3 definidas por: a) x + y z 1) 0 z 1 ; R: π 3 b) x + y z p x + y ; x + y + z 8 c) ; R: z x + y d) e) x + y + z 4 x + y +z ) 4. x + y z 1 z. R: 3π R: π 6 64 1)π 3 R: 10 3 π 1. Determine o volume dos seguintes sólidos a) V = {x, y, z) R 3 :0 z e x + y z 1}; R: 14 3 π b) V = {x, y, z) R 3 : x + y + z z, x + y + z 3 e y x}. R: 3 9 8 π c) V = {x, y, z) R 3 : z + x 4,y+ z 4, y 0 e z 0}. R: 18 5. eja Q = {x, y, z) R 3 : 1+ p x + y z 1 p x + y }. a) alcule o volume de Q; R: π 3 b) alcule o volume de T Q), ondet : R 3 R 3 édefinida por R: 4 3 π 3. Determine a massa do sólido T x, y, z) =x y, y + z,z x). Q = {x, y, z) R 3 :1 x + y + z 4}, sabendo que a densidade, em cada ponto, é directamente proporcional ao quadrado da distância desse ponto à origem. R: m = 18 5 kπ
Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 006/007 0 4. upondo que o sólido V, limitado pelas superficíes de equações z = p x + y e z = x +y, é homogéneo, determine a sua massa e o momento emrelaçãoaoplanoxoy. R: m = kπ 6 ; M xy = kπ 1 5. Determine as coordenadas do centro de massa do sólido sabendo que ρx, y, z) =k z. R: 0, 0, 9 4 6. onsidere o sólido definido por Q = {x, y, z) R 3 :1 z 5 x y e x + y 1}, = {x, y, z) R 3 : x 0, y 3x, z 4x + y ) e 1 x + y + z 4}. Determine a massa total de, sabendoque ρx, y, z) = 1 p x + y. R: m = π arctan 1 7. eja E o sólido definido por z 4x + y ) x + y +z 6) 17 0 z 5. alcule a massa total de E, sabendo que a densidade, em cada ponto x, y, z) de E, é directamente proporcional à distância desse ponto ao plano de equação z =6. R: m = 11 4 π
Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 006/007 1 3.3 Integral urvilíneo de uma função vectorial 3.3.1 álculo do integral curvilíneo de uma função vectorial 8. alcule F d r onde a) F x, y) =x xy)î +y xy)ˆ e é o arco da parábola de equação y = x que vai de A, 4) a B1, 1); R: 369 10 urva e campo vectorial F b) F x, y) =x y )î + xˆ e é o arco da circunferência de equação x + y =4, orientada no sentido directo, que vai de A0, ) a B, 0); R: 3π 8 3 urva e campo vectorial F c) F x, y, z) =y + z)î +x + z)ˆ +x + y)ˆk e éoarcodacurvadeequação y = x z = x 4 que une os pontos A0, 0, 0) e B1, 1, 1) e orientada de A para B; R: 3
Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 006/007 urva e campo vectorial F d) F x, y, z) =x z)î + yˆ + xˆk e é a curva que se obtem por justaposição do segmento de recta de extremos 0, 0, 0) e 1, 0, 0) com a curva parametrizada por x =cost y =sint, 0 t π ; z = t π R: e) F x, y, z) = yî + xˆ + zˆk e éacurvadefinida por = nx, y, z) R 3 : x + y + z =1e z = p o x + y, orientada no sentido directo. R: π f) F x, y) =y +1, x ) e éacurvadefinida por = {x, y) R :y = x y =4) x [, ]}, orientada no sentido directo; R: 3 3 g) F x, y, z) =y z,z x, x y) e é a elipse definida por R: 4π x + y =1 e x + z =1. 9. endo Q = {x, y, z) R 3 : p x + y z e x + y 1} e acurvafechadadefinida pela intersecção de Q com o plano z =1e orientada no sentido directo, calcule ydx+ xdy+ zdz. R: 0
Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 006/007 3 30. Determine o trabalho realizado pelo campo de forças F x, y, z) =xî +yˆ zˆk, nodeslocamentoaolongodacurva definida por: z = y 4, desde 1, 0, 0) a 1, 1, 1). x =1 R: 1 31. onsidere as duas superfícies de equações 1 : x +y + z =4 e : z = 3, e seja Γ a linha de intersecção de 1 com.alculeotrabalhorealizadopelocampo Gx, y, z) = y î + xyˆ +z +1)ˆk, para deslocar uma partícula material ao longo da curva Γ, orientada no sentido directo. R: 0
Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 006/007 4 3.3. ampos conservativos. Independência do caminho 3. alcule e x sin ydx+ e x cos ydy, onde é uma curva entre o ponto P 0, 0) eopontoq R: e π 33. alcule y x ) dx + xdy, onde ³ π, π. = {x, y) IR :y =x x 0 x 1) x +3y =4 1 x 4)} e está orientada de A =4, 0) para B =0, 0). R: 64 3 34. Determine a função φx), com primeira derivada contínua, que se anula para x =etal que o integral y dx+ φx) dy é independente do caminho de integração. R: φ x) =x 4 ydx xdy 35. alcule o integral onde é uma curva simples, fechada e parcialmente y suave, que não intersecta o eixo das abcissas. R: 0 36. alcule: a) xyz dx +x z + z ) dy +x y +yz) dz, γ onde γ éumacurvasuavequeligaospontosa =1, 5, 0) e B =1, 0, 1). R: 0 b) y cos xdx+ysin x + e z ) dy +ye z dz, γ onde γ éumacurvasuavequeligaospontoso e A = π, 1, 1. R: 1+e 3.3.3 Teorema de Green 37. Por aplicação do Teorema de Green, calcule o integral circunferência de equação x + y = a, orientada no sentido directo. R: π a4 x ydx+ xy dy, onde éa
Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 006/007 5 38. endo ¾ R = ½x, y) IR : x y e x y +, use o Teorema de Green para calcular o integral y dxdy. R: 64 15 39. eja K = ydx+ e y y dy onde é a fronteira, orientada no sentido directo, da região plana R determinada pelas condições R x e y x +). Apresente o valor da área de R em função de K. R: k 40. onsidere o campo de vectores definido por µ 1 F x, y) = arccos x,x+1, x, y) ] 1, 1[ R. alcule o trabalho realizado pelo campo F para deslocar uma partícula desde o ponto A = 0, 1 até ao ponto B = 0, 1, ao longo do arco de circunferência definido por x + y = 1 4 e x 0. R: 1 8 π +1 41. alcule e x dx + 1+y dy, Γ onde Γ é a curva que se obtém por justaposição da curva definida por x + y =4com x 0 e y 0, orientadadea 0, ) para B, 0), com a curva definida parametricamente por x = t,t [0, 1]. y =4t 8t R: 30 4. onsidere a região plana R = {x, y) IR : y x e x + y x}. 1 a) alcule o valor da constante k dada por k = yda. R: 6 R
Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 006/007 6 b) endo a curva com orientação positiva, que é fronteira da região R, mostreque x +y ) dx +xy + y ) dy = 3k. 43. onsidere a seguinte região plana R = {x, y) IR :0 y 1 x +1) } e a curva que é a fronteira de R, orientada positivamente. a) alcule R: 56 15 x dy y dx. b) Use o resultado anterior para determinar o volume do sólido E = {x, y, z) R 3 :x, y) R e 0 z y x}. R: 8 15 44. Recorrendo ao Teorema de Green, determine condições que definamumsólidocujovolume é dado por y 3 +yx ) dx +x + y x) dy, onde representa a circunferência de equação x + y =1, percorrida no sentido directo. R: z e z x + y ) ou z 0 e z x + y ) 45. eja a curva de equações paramétricas xt) =a cos t, t [0, π] e yt) = a sin t, t [0,π] 0, t ]π, π]. Usando o Teorema de Green, determine a por forma a que xdx+ xy dy =18. R: a =3 46. eja F x, y) = y x + y î + x x + y ˆ.
Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 006/007 7 a) Prove que F d r tem sempre o mesmo valor, qualquer que seja a curva fechada, simples e parcialmente suave que circunda a origem. b) Prove que esse valor é π. c) Prove ainda que, se a curva não circundar nem passar na origem, então F d r =0. 47. eja r um parâmetro real positivo e diferente de. Discuta, para os diferentes valores de r, ovalorde y dx+ xdy, x + y sendo a curva plana de equação x 1) +y 1) = r. R: 0, se r< ; π, se r>
Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 006/007 8 3.4 Integral urvilíneo de uma função escalar 3.4.1 álculo do integral curvilíneo de uma função escalar 48. alcule o fx, y, z) ds, onde a) fx, y, z) =x + y + z e é a curva de equações paramétricas R: π x =sint y =cost z = t,t [0, π]; b) fx, y, z) =x cos z e é a curva de equações paramétricas 1 R: 1 5 5 1 c) fx, y, z) = R: 5 1 x = t y = t z =0,t [0, 1]; z e éacurvadeequaçõesparamétricas 1+x y x = 3 t y =t z =5t,t [0, 1]. 49. alcule: 1 a) x y ds, emque é o segmento de recta de equação y = 1 x, compreendido entreospontosa0, ) e B4, 0); R: 5ln b) xy ds, onde é a circunferência de equação x + y 6x 4y +1=0; R: 1π c) x yds,onde R: 49 6 17 6 17 d) R x y ds, onde R: 0 = {x, y) R :y = x y =4) x } ; = {x, y, z) R 3 : x + y =1 x + y + z =0}.
Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 006/007 9 3.4. Aplicações do integral curvilíneo de uma função escalar 50. ejam 1 e as curvas de equações paramétricas x =cost, t [0, π] e y =3sint x =cos4t y =3sin4t, t [0, π], respectivamente. a) Faça um esboço de 1 e ; b) Mostre que o comprimento de é igual a 4 vezes o comprimento de 1. 51. onsidere uma lata cilíndrica cuja base é modelada parametricamente por cos t, sin t, 0), t [0, π], e à qual foi feito um corte, no topo, modelado pela função z =+ 1 sin 3t). alcule a área da superfície lateral da lata. R: 4π 5. alcule a área da superfície definida por ½ = x, y, z) R 3 :x, y) 0 z y ¾, 3 x onde é o arco da curva de equação 1 x) =y que une os pontos A = 0, e B = 0,. R: 53. Pretendem-se caiar ambos os lados de uma cerca que tem por base a curva ½ ³ x ³ ¾ = x, y) R 3 y 3 : + =1e y 0 30 30 e em que a altura é dada em cada ponto x, y) por ax, y) =1+ y. Desprezando os 3 encargos com a cal, e sabendo que o pintor leva 10 euros por caiar 5 u.a., determine o preço a que fica o trabalho. R: 360 euros 54. Um anel de arame, com a forma da curva de equação x + y = a, a>0, temdensidade fx, y) = x + y. Determine a massa e o centro de massa do anel. R: m =8a ;x 0,y 0 )=0, 0) 55. Determine o comprimento e o centro de massa de uma catenária uniforme a densidade é constante), de equação y =cosh x, entre os pontos de abcissas 5 e 5. ³ R: l) =4sinh 5;x 0,y 0 )= 0, 5+sinh 5 sinh 5
Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 006/007 30 3.5 Integral de uperfície de uma função escalar 3.5.1 álculo do Integral de uperfície de uma função escalar 56. alcule os seguintes integrais de superfície a) z d, onde é a porção da superfície cónica z = p x + y, b) c) limitada pelos planos z =1e z =3; R: 40 π zd, onde é o elipsóide de equação x + y 4 + z 9 =1; R: 0 x + y ) d, onde é a reunião da porção do parabolóide z =1 x + y ), d) situada acima do plano XOY, com a porção desse mesmo plano definida por x + y 1; R: 5 5+1 60 π + π xd,onde = nx, y, z) IR 3 : x + y =x e 0 z p o x + y R: 3. 3 57. onsidere a superfície definida por = {x, y, z) IR 3 : x + y =4e 0 z x +3}. alcule os seguintes integrais: a) y d; R: 4π b) z d. R: 60π
Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 006/007 31 3.5. Aplicações do Integral de uperfície de uma função escalar 58. alcule a área de superfície de quando: a) é uma superfície esférica de raio igual a a, coma>0; R: 4πa b) écompostapelaporçãodoparabolóidex + y =4 z, situada acima do plano XOY, e pela porção da superfície esférica x + y + z =4 situada abaixo desse mesmo plano; 17 17 1 +8π R: π 6 c) é a superfície que limita o sólido Q definido por Q = {x, y, z) IR 3 : x + y z 6) 0 e 0 z 6}. R: 36π 1+ 59. Determine o centro de massa do hemisfério x + y + z = a,z 0, se ele tiver densidade constante. R: 0, 0, a 60. Determine a massa de um funil fino com o formato da superfície definida por z = p x + y, 1 z 4, se a sua função densidade for ρ x, y, z) =10 z. R: 108π
Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 006/007 3 3.6 Integral de uperfície de uma função vectorial 3.6.1 álculo do Integral de uperfície de uma função vectorial 61. alcule F ˆn dquando: a) F x, y, z) =yî xˆ +8ˆk e é a porção do parabolóide z =9 x y situada acima do plano XOY,comˆn dirigida para cima; R: 7π que fica b) F x, y, z) =xî ˆ +x ˆk, sendo aporçãodoparabolóidez = x + y, limitada pelas superfícies x =1 y e x = y 1, orientada com a normal ˆn dirigida para baixo; R: 0 c) F x, y, z) = yî + xˆ + zˆk e é a superfície esférica x + y + z =4,orientadacom anormalˆn dirigida para dentro; R: 3π 3 d) F x, y, z) =xzî + xyˆ + yzˆk e édefinida por = {x, y, z) IR 3 : x + y = r x 0 y 0 0 z h} r >0, h>0) e orientada com ˆn aapontarparaoexterior. R: r h π + hr3 8 3 e) F x, y, z) =xz, y, z) e édefinida por = x, y, z) 1 o octante : y = x, 0 z 1, 0 y 4 ª e orientada com ˆn dirigida para a parte positiva do eixo Ox. R: 0 6. alcule o fluxo de através da parte do cilindro F x, y, z) = sin xyz),x y, z e x 5 4x + z =4 situada acima do plano xoy e entre os planos y = e y =, com orientação para cima. R: 800 ³ 4 5 e + 5 1 e. 63. eja F x, y, z) =xî + x ˆ + yzˆk o campo vectorial que representa a velocidade em m/s) de uma corrente de fluido.
Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 006/007 33 a) Determine quantos metros cúbicos de fluido atravessam, por segundo, o plano XOY através do quadrado definido por 0 x 1 e 0 y 1. R: 0 m 3 b) Determine quantos metros cúbicos de fluido atravessam, por segundo, o plano z =1 através do quadrado definido por z =1, 0 x 1 e 0 y 1. R: 0.5 m 3 3.6. Teorema de tokes 64. Usando o Teorema de tokes, transforme o integral de superfície curvilíneo e calcule o seu valor, para cada um dos casos seguintes: rot F d num integral a) F x, y, z) =yî + zˆ +3ˆk e é a superfície do parabolóide z =1 x + y ),situada acima do plano XOY, com a orientação canónica. R: π b) F x, y, z) =xzî yˆ x yˆk, é composta pelas 3 faces, não situadas no plano XO, do tetraedro limitado pelos 3 planos coordenados e pelo plano 3x + y +3z =6,com orientação determinada pela normal unitária exterior do tetraedro. R: 4 3 65. Usando o Teorema de tokes, mostre que cada um dos seguintes integrais curvilíneos tem ovalorindicado. Emcadacasodigaemquesentidoéqueacurva é percorrida, para obter o resultado pretendido. I a) x yz) dx +y zx) dy +z xy) dz =0,com uma curva simples, fechada eparcialmentesuave. b) c) d) I I ydx+ zdy+ xdz= π, sendo a circunferência x + y =1 z =0 ydx+ zdy+ xdz= π 3, sendo a curva de intersecção da superfície esférica x + y + z =1com o plano x + y + z =0. I y + z) dx +z + x) dy +x + y) dz =0, sendo acurvadeintersecçãodasuperfície cilíndrica x + y =y com o plano y = z. 3.6.3 Teorema da Divergência 66. Utilizando o Teorema da Divergência, calcule: a) yz, xz, xy) ˆn d onde é composta pelas faces do tetraedro limitado pelos planos x =0, y =0, z =0ex + y + z =3,e ˆn é a normal unitária exterior a ; R: 0 b) x,y,z ˆn donde ˆn é a normal unitária exterior a e.
Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 006/007 34 i. é composta pelas faces do cubo de vértices 0, 0, 0),, 0, 0), 0,, 0), 0, 0, ),,, 0) e,, ); R: 48 ii. é a superfície que limita o sólido Q = {x, y, z) IR 3 : x + y + z 1 e z 0} ; R: π iii. é a superfície que limita o sólido Q = {x, y, z) IR 3 :4x + y ) z e 0 z 1}. R: π 8 67. onsidere o sólido V definido por V = {x, y, z) IR 3 : x + y + z 5 e z 3}. endo ˆn anormalexteriora, com = frv ), calcule xz, yz, 1) ˆn d a) utilizando a definição; b) usando o teorema da divergência. R: 18π 68. O filtro de uma máquina de lavar loiça tem a forma aproximada da superfície que é a fronteiradoconjunto V = {x, y, z) IR 3 : p x + y z 3}, eestáimerso,durantealavagem,numacorrentedeáguacomumavelocidadedadapelo campo F x, y, z) = yz cos y, xz cos x, 1. a) Mostre que a quantidade da água no interior do filtro se mantém constante durante alavagem. b) alcule o fluxodeáguaqueatravessa ofiltro, através da sua parede curva. Interprete o resultado obtido. R: 9π
Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 006/007 35 Exercícios de Exames 69. Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial: y 00 + y =6cost y 0) = 3. y 0 0) = 1 R: y =3cost +3t +1)sint 70. endo L o operador transformada de Laplace, calcule: se 0 t<5 a) L{f t)}, comf t) =. e 3t se t 5 R: s e 5s )+ e 5s 3) s 3 n o b) L 1 3. s s R: 4 π t 3 71. Usando transformada de Laplace, determine a função y t), definida em IR +,queverifica y 0) = 0 e t y 0 t) =1 sin t y τ) dτ. R: sin t t sin t 1. endo k uma constante real não nula prove, a partir da igualdade [cos kt)] 00 = k cos kt), que s L{cos kt)} = s + k. 7. eja F x, y, z) =x 1) î y ˆ e asuperfíciedefinida por z =4 y e x + y 1. a) alcule F d supondo com orientação canónica; R: π I b) Use a alínea anterior para calcular G d r com e acurvadefinida por R: π Gx, y, z) =x î + z ˆ + xy ˆk x + y =1 z =4 y. 0
Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 006/007 36 73. eja a fronteira da região Q de IR 3 definida por Q = {x, y, z) IR 3 : x + y 4, 0 z 6 x y }. eja ainda F x, y, z) =e xyz sin x î +cosx + y + z)e x / ˆ +sine x + y + z ) ˆk. Determine rot F ˆn dsendo ˆn anormalexteriora. R: 0 74. a) alcule o volume do sólido Q determinado por z x + y + z 4z e x + y z. R: 7π b) eja F x, y, z) =x + y )î +3y + z 3 )ˆ +4z + e x4 ) ˆk e sejam ainda a fronteira do sólido Q e ˆn anormalexteriora. Recorrendo ao resultado obtido na alínea anterior, determine o valor de F ˆn d. R: 63π 75. eja a fronteira da região D definida por D = {x, y, z) IR 3 : z x + y e x + y + z z} e suponha orientada para fora.. eja ainda F x, y, z) =e yz sin z + x)î +e sin x 3y) ˆ +z +z + x sin ye xy ) ˆk. a) alcule F ˆn d. R: 7π 3 b) alcule 3 rot F ˆn d. R: 0 76. eja alcule F dr, onde F x, y) = µ x y x + y ), x 3 x + y ). = x, y) IR : x + y =4 ª, e está orientada no sentido directo. R: π.
Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 006/007 37 77. a) alcule o volume do sólido Q definido por Q = x, y, z) IR 3 : x + y 1 e 0 z y ª. R: 3 b) Usando o Teorema de tokes, calcule F dr, onde éacurvadefinida por r t) =cost, sin t, sin t), t [0, π], e F x, y, z) = xyz, x yz, e z. R: 0 78. eja F o campo de vectores definido por µ F x, y) = a) alcule F dr, com orientada de B =0, ) para A =0, ). R: arctan b) alcule F dr, com orientada no sentido directo. R: π y x +1) + y, x +1 x +1) + y. = x, y) IR :4x +9y =36, x 0 ª, = x, y) IR :4x +9y =36 ª, c) alculeaáreadaregiãoplana R = ½x, y) IR :4x +9y 36 y 0 y 3 ¾ x. R: 3π 4 79. alcule a área da superfície definida por R: 4 3π = x, y, z) IR 3 : x + y + z =4 e x + y 1 e z 0 ª
Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 006/007 38 80. eja a superfície definida por orientada com a normal unitária exterior bn. = x, y, z) IR 3 :x = y + z x ª, a) Faça um esboço de. b) endo F x, y, z) =1, 0, 3z), calcule R: 8π Fd. c) Usando o resultado da alínea anterior, calcule o volume do sólido R: 4π 81. alcule onde éacurva orientadadaesquerdaparaadireita. R: π e 4 + e4 arctan E = x, y, z) IR 3 :x y + z x ª. x arctan ydx+ x 1+y dy, = x, y) IR : y =lnx e x e ª, 8. alcule rotf bn d, onde F x, y, z) = y, x,x 3 ) e = x, y, z) IR 3 : x + y + z =1 ª, orientada com a normal unitária exterior bn. R: 0 83. Efectuando uma mudança de variáveis, calcule sin x + y)cosx y) dxdy, D onde D = x, y) IR : x y x + π e 0 x y π ª. R: 3
Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 006/007 39 84. onsidere o integral duplo escrito em coordenadas polares, π 4 0 cos θ cosθ r 3 drdθ. a) Faça um esboço gráfico do domínio de integração D. Apresente todos os cálculos que efectuar. b) Usando coordenadas cartesianas, expresse o integral anterior através de integrais simples iterados. 85. eja a curva de equação x + y =1com y 0 b 6= 0). b Mostre que R yex dx +e x +y) dy =0. 86. eja o subconjunto de IR 3 definido por: = x, y, z) IR 3 : x + y =y e 0 z x + y ª. Determine uma expressão, em função de integrais simples, para calcular a área da superfície : a) através de um integral de superfície; b) através de um integral curvilíneo de uma função escalar. 87. onsidere o sólido E = a) FaçaumesboçodosólidoE. n x, y, z) IR 3 : x + y + z 4 e z p o 3x + y ). b) Estabeleça o integral triplo que lhe permita calcular o volume de E: i. usando coordenadas cilíndricas; ii. usando coordenadas esféricas. 88. ejam Q = x, y, z) IR 3 : x z 6 x e 0 y 4 ª uma região de IR 3 e F x, y, z) = x 3 + e y sin z,x y + arctan z, y uma função vectorial.
Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 006/007 40 a) FaçaumesboçodaregiãoQ. b) onsiderando a fronteira de Q orientada com a normal exterior bn, determine F bnd. frq) R: 500 89. ejam D = x, y) IR : x + y 4 e x 1 ª e a sua fronteira orientada no sentido directo. x a) alcule K = dxdy, usando coordenadas polares. R: x +y 3 3 3 π b) Mostre que R ln p x + y dy = K. 90. onsidere o sólido D E = x, y, z) IR 3 : x + y + z 4 e x + z 0 ª eja T a superfície plana que delimita E, orientada com a normal bn 1,exterioraE e F x, y, z) =y z, x 3,z). a) alcule F bn 1 d. R: 0 T b) UsandooTeoremadaDivergência,calcule F bn d, sendo asuperfíciecurva que delimita E, orientada com a normal bn exterior a E. R: 16π 3 91. ejam T = U = ½ x, y, z) IR 3 : z = 1 x + y ¾ e z 0, ½ x, y, z) IR 3 : z =3 p 3 ¾ x + y e z 0, duas superfícies com orientação canónica. a)façaumesboçodaregiãosólidaq que está situada acima do plano xoy eabaixo, simultaneamente, das superfícies T e U. b) Usando coordenadas cilíndricas, apresente uma expressão que permita determinar o volume de Q. c) endo F x, y, z) =y, x, sin z), calcule rotf d. R: 8π T
Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 006/007 41 9. a) onsidere a superfície = { x, y, z) R 3 : z =4 4x y,z 0, y x}. i. Determine a área A da projecção ortogonal de no plano XOY. R: π ii. Estabeleça um integral curvilíneo cujo valor seja igual a A. b) onsidere as superfícies 1 = x, y, z) IR 3 : z =4 4x y,x + y 1 ª e = x, y, z) IR 3 : x + y =1, z 4 4x y e z 0 ª. i. Através de um integral de superfície, estabeleça uma expressão que permita determinar a área de 1. ii. Através de um integral curvilíneo de função escalar, estabeleça uma expressão quepermitadeterminaraáreade. Nota: os cálculos das alíneas i) e ii) devem ser desenvolvidos até serem obtidos integrais simples. 93. Uma fonte de água, que consideramos na origem do referencial, emite um fluxo com velocidade F x, y, z) = x,y,z),emm/s. x +y +z Determine a quantidade de água que atravessa a semi-esfera x + y + z =1ez 0, durante um minuto. R: 10π m 3 94. a) alcule, mudando a ordem de integração, o valor do integral I = 1 0 y e x dxdy. R: e 1 b) Determine uma função M tal que I = domínio definido em a). R: M = ye x por exemplo). M x, y) dx, sendo a curva que limita o 95. a) Determine o integral curvilíneo I y 1 x 1) +y 1) dx + 1 x x 1) +y 1) dy, sendo
Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 006/007 4 i. a circunferência de equação x 1) +y 1) =1; R: π ii. a circunferência de equação x + y = 1. R: 0 4 b) Diga, justificando, qual o valor de I y 1 x 1) +y 1) dx + 1 x x 1) +y 1) dy, quando for uma curva simples, suave e fechada, que circunde, sem o conter, o ponto 1, 1). R: π