Relação potência ou alométrica

Relação potência ou alométrica Relação potência : Y = α β (,y > 0 ; α > 0) 0.5 * ^2 0 2 4 6 8 10 12 β > 1 y = α 0.5 * ^(1/2) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 y = α β < 1 Transformação : Logaritmizando, obtém-se: 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 ln(y) = ln(α) + β ln() Y = α + β que é uma relação linear entre Y = ln(y) e = ln(). Uma relação potência resulta de admitir que y e são funções de t e que a taa de variação relativa de y é proporcional à taa de variação relativa de : y (t) y(t) = β (t) (t). J. Cadima (ISA) Estatística e Delineamento 2010-11 28 / 437

Relação hiperbólica ou de proporcionalidade inversa Relação hiperbólica : Y = 1 α +β. 1/(0.2 + 3 * ) 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6 Transformação : Tomando recíprocos, obtém-se uma relação linear entre Y = 1/Y e : 1 Y = α + β Y = α + β. Usado na modelação de rendimento por planta (y) vs. densidade da cultura ou povoamento (). J. Cadima (ISA) Estatística e Delineamento 2010-11 29 / 437

Relação Michaelis-Menten Relação Michaelis-Menten : Y = c+d /(2 + 3 * ) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0 1 2 3 4 5 6 Transformação : Tomando recíprocos, obtém-se uma relação linear entre Y = 1 Y e = 1, com α = d e β = c: 1 Y = c + d Y = α + β, Em modelos de Rendimento é conhecido como modelo Shinozaki-Kira, com Y o rendimento total e a densidade duma cultura ou povoamento. Nas pescas é conhecido como modelo Beverton-Holt com Y o recrutamento e a dimensão do manancial (stock) de progenitores. J. Cadima (ISA) Estatística e Delineamento 2010-11 30 / 437

Advertência sobre transformações linearizantes A regressão linear simples não modela directamente relações não lineares entre e y. RLS modela a relação linear que se forma após a transformação linearizante, ou seja, a relação linear entre as variáveis transformadas. Linearizar, obter os parâmetros a e b da recta e depois desfazer a relação não linear não produz os mesmos valores dos parâmetros do que tentar obter directamente os valores que minimizam a soma de quadrados dos resíduos na relação não linear. J. Cadima (ISA) Estatística e Delineamento 2010-11 31 / 437

Regressão Linear Simples Até aqui a RLS foi usada apenas como técnica descritiva. Se as n observações fossem a totalidade da população de interesse, pouco mais haveria a dizer. Mas, com frequência, as n observações são apenas uma amostra aleatória de uma população maior. A recta de regressão y = a+b obtida é apenas uma estimativa de uma recta populacional y = α + β. Outras amostras dariam outras rectas ajustadas (estimadas). Coloca-se o problema da inferência estatística. J. Cadima (ISA) Estatística e Delineamento 2010-11 32 / 437

O problema da Inferência Estatística POPULACAO (desconhecida) AMOSTRAGEM ALEATORIA INFERENCIA ESTATISTICA AMOSTRA (conhecida) J. Cadima (ISA) Estatística e Delineamento 2010-11 33 / 437

MODELO - Regressão Linear Simples Admitimos pressupostos adicionais para permitir a inferência. {( i,y i )} n i=1 Y variável resposta aleatória. variável preditora conhecida (ou trabalha-se condicionalmente aos valores de ) n pares de observações de e Y sobre n unidades eperimentais. J. Cadima (ISA) Estatística e Delineamento 2010-11 34 / 437

MODELO RLS Linearidade Vamos ainda admitir que a relação de fundo entre e Y é linear, com uma variabilidade aleatória em torno dessa relação, representada por um erro aleatório ε. Para todo o i = 1,...,n: Y i = α + β i + ε i v.a. cte. cte. cte. v.a. J. Cadima (ISA) Estatística e Delineamento 2010-11 35 / 437

MODELO RLS Os erros aleatórios Vamos ainda admitir que os erros aleatórios ε i : Têm valor esperado nulo: E[ε i ] = 0, i = 1,...,n (não é hipótese restritiva). Têm distribuição Normal (é restritiva, mas bastante geral). Homogeneidade de variâncias: têm sempre a mesma variância: V[ε i ] = σ 2, i = 1,...,n (é restritiva, mas conveniente). São variáveis aleatórias independentes (é restritiva, mas conveniente). J. Cadima (ISA) Estatística e Delineamento 2010-11 36 / 437

MODELO Regressão Linear Simples Y Y = α + β J. Cadima (ISA) Estatística e Delineamento 2010-11 37 / 437

MODELO - Regressão Linear Simples Definição (O Modelo da Regressão Linear Simples) 1 Y i = α + β i + ε i, i = 1,...,n. 2 ε i N (0, σ 2 ), i = 1,...,n. 3 {ε i } n i=1 v.a. independentes. NOTA: Os erros aleatórios são i.i.d. (independentes e identicamente distribuídos) J. Cadima (ISA) Estatística e Delineamento 2010-11 38 / 437