TEORIA DO RISCO. LUIZ SANTOS / MAICKEL BATISTA economia.prof.luiz@hotmail.com maickel_ewerson@hotmail.com

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1 TEORIA DO RISCO LUIZ SANTOS / MAICKEL BATISTA economia.prof.luiz@hotmail.com maickel_ewerson@hotmail.com

2 1 TARIFAÇÃO (FERREIRA, 2002) Diversos conceitos e metodologias envolvidos no cálculo do preço pago pelo segurado, o qual se denomina prêmio. Esses conceitos e metodologias e os diversos princípios de cálculos de prêmio serão abordados neste capítulo e ilustrados com alguns exemplos práticos. Os conceitos desenvolvidos neste minicurso podem ser classificados como básicos em um processo de precificação. TIPOS DE PRÊMIOS No processo de precificação do custo de um seguro existem três tipos de prêmio: a) Prêmio de Risco ou Prêmio Puro Esse prêmio cobre o risco médio (E[S]). P = E[S] Onde, S representa a variável aleatória 1 valor total das indenizações ocorridas em uma carteira de seguros em um determinado tempo. b) Prêmio Esperado É igual ao prêmio de risco mais um carregamento de segurança estatístico (θ). P = E[S]. (1+θ) O carregamento de segurança serve como uma margem de segurança para cobrir flutuações do risco, de modo que exista uma probabilidade pequena dos sinistros superarem o prêmio esperado. 1 É uma função matemática que associa um evento a um valor no conjunto dos reais. Ex: Ocorrência de um sinistro pode assumir valor 1, caso ocorra; e 0 caso não ocorra.

3 c) Prêmio Comercial (π) Corresponde ao prêmio esperado acrescido do carregamento para as demais despesas da seguradora (α), incluída uma margem para lucro. Π = E[S]. (1+θ) / 1-α Observação: alguns autores introduzem um quarto tipo de prêmio, chamado de prêmio bruto, o qual é igual ao prêmio comercial acrescido das despesas com impostos que incidem diretamente sobre o prêmio comercial e das despesas com custo de apólice. Observação: Sinistralidade = E[S]/ Π EXEMPLO 1: Uma carteira de seguros foi precificada considerando-se 10% de carregamento de segurança e 30% de carregamento para despesas. Qual a sinistralidade esperada sobre o prêmio comercial e sobre o prêmio puro? PRÊMIO INDIVIDUAL Após calcularmos o prêmio comercial suficiente para cobrir todos os sinistros esperados na carteira (E[S]) e as demais despesas da seguradora (απ), precisamos calcular o prêmio por cada unidade de exposição ao risco (π i ), ou seja: Onde F é o total de exposição ao Risco. π i = π / F Quando consideramos F como sendo o número de riscos expostos, πi representa o prêmio comercial individual a ser pago por cada segurado. Quando F é o total de importância segurada exposta, então πi é a taxa comercial individual a ser aplicada à importância segurada de cada apólice, resultando no prêmio comercial individual. No cálculo da exposição ao risco, leva-se em consideração a relação entre o tempo em que o risco ficou exposto no período de análise e o tempo total do período de análise, mesmo que o risco tenha iniciado antes do período de análise.

4 EXEMPLO 2: Calcular o prêmio de risco individual anual, taxa de risco anual, prêmio puro individual anual, taxa pura anual, prêmio comercial individual anual e taxa comercial anual no ano t de um seguro com as seguintes características: a) Valor esperado do montante de sinistros produzidos na carteira no ano civil t é de $ ,00; b) O número de riscos que produz esse montante de sinistros é de apólices com vigência anual iniciando-se em 1 de outubro do ano t-1 e mais 500 apólices com vigência semestral iniciando-se em 1 de setembro do ano t.; c) A importância segurada (IS) de cada apólice é fixa em $ ,00; d) Carregamento de segurança (θ) = 5%; e) O carregamento para despesas é de 50% do prêmio comercial. MÉTODOS DE TARIFAÇÃO Podemos citar 4 métodos de tarifação: a) Julgamento ou Subjetivo Esse método é utilizado quando não se tem informação suficiente no processo de tarifação. É um processo subjetivo, onde a tarifa é definida pelo underwriter através de comparação com riscos similares. A teoria da credibilidade pode ser classificada dentro desse contexto, pois, por vezes, conjuga a experiência própria da seguradora com a experiência de outras seguradoras. b) Sinistralidade A tarifa é atualizada em função da análise de sinistralidade. O prêmio de risco pode ser, por exemplo, calculado pela aplicação da sinistralidade ao prêmio comercial. Devemos tomar muito cuidado na utilização desse método em função de eventuais modificações na estrutura de prêmios no período sob análise. Se, por exemplo, a seguradora acabou de reduzir a sua tarifa, a sinistralidade passada ainda não reflete essa redução, e é inferior àquela que se teria caso a tarifa tivesse sido reduzida no

5 início do período de análise. Caso aplicada ao prêmio comercial recente, conduzirá a um cálculo de prêmio de risco ao necessário para equilibrar a carteira. c) Prêmio Puro Esse método começa com a estimativa do prêmio de risco, passando por um processo de regularização estatística (modelagem), e, por fim, adicionando-se um carregamento de segurança. O processo de modelagem é um componente importante no processo de tarifação, pois permite estimar o prêmio do seguro em classes de risco com pouca ou até nenhuma informação. d) Tábua de Mortalidade É o método utilizado nos seguros de vida e de anuidades. Trata-se de um método determinístico, pois aplica fórmulas determinísticas e probabilidades de morte definidas a partir de estudos prévios realizados por atuários, quando eles produzem as chamadas tábuas de mortalidade. As tábuas de mortalidade são construídas a partir de informações brutas de mortalidade, passando por um processo de regularização estatística, um processo de ajustamento analítico e finalmente é aplicado um carregamento de segurança; positivo, quando a tábua é utilizada em seguros de vida, ou negativo, quando a tábua é utilizada em seguros de anuidade. Apesar das tábuas já apresentarem uma margem de segurança para flutuações estatísticas, precisamos tomar muito cuidado na sua utilização, pois a margem de segurança embutida na tábua pode ser insuficiente para grupos com um pequeno número de segurados, onde se espera uma maior flutuação no risco. PRINCÍPIOS DE CÁLCULO DE PRÊMIOS Um princípio de cálculo de prêmio é uma função H: v R que associa a cada distribuição de sinistros agregada S um número real P tal que P = H[S]. Na verdade P é uma função de F s (x). Onde F s (x) representa a função de distribuição acumulada de S no ponto x.

6 O fluxo da operação para o segurador é o seguinte: Recebe o P (fixo, não é variável aleatória) Paga S (variável aleatória) Ganho P S (variável aleatória) Vejamos a seguir alguns princípios de cálculo de prêmios: Princípio da equivalência P = E[S] = Prêmio de risco ou prêmio estatístico Desta forma, se o segurador operar durante um número grande de anos, ele terá S 1, S 2,..., S n de sinistro agregado em cada ano e, na média, o sinistro agregado será: (S1 + S2 + Ʌ + Sn)/n E[S], quando n infinito Princípio do valor esperado P = E[S] + θ. E[S] = E[S]. (1+θ) É bastante utilizado na prática, sendo muito comum a escolha de θ igual a 10%. Observem-se escolhas ao redor de 5% e outras bem superiores a 10%, dependendo do grau de aversão ao risco da seguradora. Princípio do Desvio Padrão P = E[S] +β. σ[s], β>0 Onde β é escolhido arbitrariamente, sendo que na prática ele varia entre 1 e 2. Princípio da Utilidade Zero Seja µ(x) a função utilidade que o segurado/segurador associa a cada excedente x em relação à sua riqueza inicial W. Na prática utilizaremos µ(x) que atende ao conceito de utilidade marginal, ou seja:

7 µ (x) > 0 µ(x) é crescente, pois quanto maior o x (dinheiro), maior a utilidade; µ (x) quanto maior o x, menor o crescimento da utilidade para variações de x. Chama-se de côncava a função que obedece às propriedades acima. Sejam: µ(x) = função utilidade associada ao segurado; µ 1 (x)= função utilidade associada ao segurador; S = VA valor do sinistro agregado ; G = Prêmio aceito como bom pelo segurado devido à sua função utilidade; H = Prêmio proposto pelo segurador devido à sua função utilidade. Assim sendo, o prêmio que atende a este princípio de cálculo é aquele que não reduz a função utilidade do segurado em função da decisão de contratar ou não o seguro. Da mesma forma, para a seguradora, o prêmio a ser cobrado será aquele que não reduzirá a sua função utilidade pela decisão de aceitar o risco. Desta forma, então, podemos calcular o prêmio aceito pelo segurado ou pelo segurador que não reduzirá as respectivas funções utilidades conforme a seguir: a) Usando µ(x) do segurado cálculo de G µ(w G) = E[µ(W-S)] Onde: E[µ(W-S)] = o quanto o segurado espera de utilidade se ele não fizer o seguro µ(w G) = a utilidade do montante existente após o segurado contratar o seguro e pagar G. b) Usando µ(x) para o segurador cálculo de H Onde: µ 1 (W) = E [µ1(w+h-s)] E [µ 1 (W+H-S)] = o quanto o segurador espera de utilidade se ele aceitar o seguro

8 µ 1 (W) = a utilidade do montante existente se o segurador não aceita o seguro Como G e H independem de W, então: µ(0) = E[µ(G-S)] e µ 1 (0) = E[µ 1 (H-S)] Daí o nome de utilidade zero. EXEMPLOS DE µ(x) E RELAÇÃO ENTRE G, H E E[S] i) Exemplos de µ(x) linear µ(x) = ax + b Se µ(x) é uma reta G = E[S], pois a riqueza cresce na mesma proporção que a função utilidade. Demonstração: sob o ponto de vista do segurado, o prêmio que mantém a sua função utilidade será: µ(w-g) = E[µ(W-S)] a(w-g) + b = E [a(w-s)+b] = a(w-e[s])+b G = E[S] EXEMPLO 3: Seja um segurado com a seguinte função utilidade linear, representada no gráfico a seguir (fazer no quadro). Dado que o montante de sinistros agregados pode assumir o valor zero com probabilidade de 50% e o valor $20000 com probabilidade de 50%, calcular o prêmio G aceito pelo segurado de modo a não diminuir a sua função utilidade. Princípio Exponencial P = (1/a) ln (Ms(a)), a>0

9 Onde Ms(a) representa a Função Geratriz de Momentos de S no ponto a. Esse princípio é um caso particular do princípio da utilidade zero, quando utilizamos a seguinte função utilidade: µ(x) = (1-e -ax )/a, a>0 Princípio do Percentil E s (P) = P (S<P) = 1 α, 0< α <1 Neste caso, o prêmio é determinado de modo que exista uma probabilidade muito pequena (α) do montante de sinistros (S) superar o total de prêmio puro (P). O valor de α é escolhido arbitrariamente, sendo que na prática α varia entre 1% e 10%. PROPRIEDADES DESEJÁVEIS DE UM PRINCÍPIO DE CÁLCULO DE PRÊMIOS São cinco as propriedades desejáveis de um princípio de cálculo de prêmios: Carregamento de segurança não negativo Ou seja, P>E[S] Ѵ S Perda Máxima Seja r s o sinistro agregado máximo para a distribuição S< ou seja, r s é a perda máxima, P<r s ѴS Consistência H[S+C] = H[S] = C, sendo C = constante Exemplo: num determinado seguro, caso a seguradora queira pagar C = $ ,00 para todos os segurados, independentemente de haver ou não sinistro ao final do ano, então, ao prêmio de risco, devemos adicionar a constante C = $ ,00. Etc.

10 2 MODELO DO RISCO INDIVIDUAL ANUAL (FERREIRA, 2002) No processo de precificação é importante conhecermos a distribuição do valor total de sinistros produzidos em uma carteira de seguros em um determinado período. Neste capítulo desenvolveremos o modelo do risco individual para a determinação do valor total dos sinistros produzidos em uma carteira de seguros em 1 ano. No modelo do risco individual, todo o enfoque para obtenção do valor total dos sinistros é individual, pois utilizamos as distribuições do valor do sinistro e da ocorrência de sinistros individualmente em cada apólice. Neste modelo conhecemos a distribuição de sinistros de cada risco individualmente. Hipóteses: Conhecemos a probabilidade de ocorrência de sinistros em 1 ano em cada apólice (risco) qi; Conhecemos a distribuição da variável aleatória valor do sinistro de cada apólice Bi; Desprezamos a probabilidade de mais de 1 sinistro por apólice; Conhecemos o nº de apólices (n) e não levamos em conta novas entradas e saídas; Os riscos assumidos em cada apólice são independentes. Seja S ind = X 1 + X X n Onde X 1, X 2... X n e X i =I i. B i Sendo: S col variável aleatória valor total das indenizações na carteira em 1 ano ou valor do sinistro agregado da carteira em 1 ano. Xi variável aleatória que está associada ao sinistro da apólice i em 1 ano; I i variável aleatória ocorrência de sinistro da apólice i em 1 ano; B i variável aleatória valor do sinistro da apólice i dado que o sinistro ocorreu em 1 ano.

11 Sendo: I i = 1, com probabilidade q i I i = 0 com probabilidade p i = 1 q i Observações: 1) I i ~ Bernoulli (q i ) 2) B i é melhor definida por B i /I i = 1, ou seja, só faz sentido dado que o sinistro ocorreu. EXEMPLO DE UTILIZAÇÃO DO MODELO Este modelo pode ser utilizado no cálculo do prêmio esperado P. Existem vários modelos que podem ser utilizados para se calcular o prêmio puro, conforme abordado no cap. 1. Basicamente o prêmio esperado é calculado de tal forma que exista uma probabilidade muito pequena de que o montante de indenizações exceda o montante de prêmios puros, como por exemplo: P = E[S ind ] + β. σ[s ind ] FS ind (P) = 1 α P = E[S ind ]. (1+θ) Onde θ é o carregamento de segurança. Dessa forma é importante conhecermos a distribuição de Sind ou, alternativamente, calcularmos E[S ind ] e V[S ind ], os quais definem a distribuição Normal se aplicarmos o Teorema Central do Limite. DISTRIBUIÇÃO DE S ind Podemos obter a distribuição de S ind de 2 maneiras: a) Por convolução a partir da distribuição de X i :

12 É um processo recursivo, onde primeiro se calcula a distribuição de X i e a partir da distribuição de X i, se calcula a distribuição de X 1 + X 2 e, assim sucessivamente, até se calcular a distribuição de S ind = X 1 + X X n. b) Pela função geratriz de momentos Ms ind = E[e tsind ] = M X1 (t) M X2 (t)... M Xn (t) CÁLCULO DE E[S ind ] e V [S ind ] Hipóteses: O valor do sinistro em cada apólice independe da sua ocorrência e as variáveis aleatórias ocorrência de sinistro em cada apólice são independentes e identicamente distribuídas. APROXIMAÇÃO NORMAL E[S ind ] = V[S ind ] = Sob certas condições S ind ~N(E[S ind ], V[S ind ]) Este modelo é aplicado quando não se conhece a distribuição de S ind, ou quando a sua obtenção é trabalhosa. N e n devem ser grandes. P = E[S ind ] + Z 1-α. σ[s ind ] Θ = EXEMPLO 4: Uma carteira de seguro de vida possui 3 faixas de importâncias seguradas, quais sejam: R$ ,00, R$ ,00 e R$ ,00. O número de apólices em cada faixa é de , e , respectivamente. Em cada uma dessas 3 faixas a probabilidade de morte em 1 ano é de 0,01, 0,005 e 0,02 respectivamente. Calcular o carregamento de segurança e o prêmio esperado total anual

13 de modo que a probabilidade do sinistro agregado superar o prêmio esperado total anual não exceda a 5%, utilizando a Aproximação Normal para S ind.

14 3 MODELO DO RISCO COLETIVO ANUAL (FERREIRA, 2002) Na construção do modelo de risco individual, abordado anteriormente, é utilizado a distribuição do valor do sinistro em cada apólice, assim como a distribuição da ocorrência de sinistros em cada apólice. Nesta parte do minicurso, desenvolveremos o modelo de risco coletivo, o qual utiliza o conceito de risco agregado, onde a variável aleatória sinistro total produzido por uma carteira de seguros, também chamada de variável aleatória sinistro agregado, é interpretada como a soma dos sinistros de toda a carteira. No modelo de risco coletivo precisamos conhecer a distribuição do valor de cada sinistro, independentemente da apólice à qual o sinistro pertence, e conhecer a distribuição do número total de sinistros produzidos em uma carteira. O MODELO DO RISCO COLETIVO ANUAL Neste modelo, estudamos a distribuição de sinistros de uma carteira como um todo, sem nos preocuparmos com as características dos sinistros produzidos por cada apólice, como acontece no modelo de risco individual. Descrição do Modelo: Onde: Variável aleatória que representa o sinistro agregado da carteira em um ano, ou variável aleatória que representa o valor total das indenizações da carteira em um ano; Variável aleatória que representa o número de sinistros na carteira em um ano; Variável aleatória que representa o valor do i-ésimo sinistro na carteira. Veja que é uma soma das variáveis aleatórias sendo o número de termos da soma também aleatório e igual a N.

15 Hipóteses: a) são independentes e identicamente distribuídas, sendo: p(x) Função de probabilidade de X; P(x) Função de distribuição acumulada de X. b) são independentes de N Vejamos a seguir, como determinar a distribuição de, ou, alternativamente, calcular, os quais definem a distribuição de se aplicarmos o Teorema Central do Limite, onde a distribuição de pode ser considerada Normal. DISTRIBUIÇÃO DE Podemos obter a distribuição de de duas maneiras: a) Por Convolução, a Partir das Distribuições de X e N ( ) ( ) ( ) Da mesma forma, ( ) ( ) ( ) Observações: a) ( ) ( ) são, respectivamente, a função de distribuição acumulada e a função de probabilidade da variável aleatória valor de n sinistros ( ); b) Se X tem distribuição discreta, então, terá distribuição discreta; Se X tem distribuição contínua, então, terá distribuição contínua.

16 Cálculo de ( ) ( ) mostrado: Para calcular ( ) ( ) utiliza-se o processo de convolução, conforme Seja y um dos possíveis valores que X pode assumir, então: ( ) ( ) ( ) Onde ( ) é chamada de n-ésima convolução de ( ), e pode ser representada por. Da mesma forma, ( ) ( ) ( ), onde, Logo, Ou seja, se ( ) é a função Geratriz de Momentos associada a ( ), então, a Função Geratriz de Momentos associada a ( ) será ( ) ( ). Observações: a) Se ( ), então, ( ) Consequência: Se ( ), então, ( ) Pois, ( ) é uma ( ) E, desta forma, então: ( ) ( ) b) A determinação da distribuição de é extremamente trabalhosa, tanto quando X possui distribuição paramétrica conhecida, o que implica em cálculos complexos de integral e somatórios, tanto quando trabalhamos com a distribuição empírica para X, o que requer recursos computacionais não triviais.

17 EXEMPLO 5: Uma carteira de seguros produz 0, 1 ou 2 sinistros com as respectivas probabilidades: 0,3; 0,4 e 0,3. Um sinistro dessa carteira assume valores $ 1, $ 2 ou $ 3, com as respectivas probabilidades: 0,6; 0,3 e 0,1. Obtenha ( ) ( ) CÁLCULO DE [ ] Cálculo de [ ] Esse resultado é bastante intuitivo, pois o valor esperado do sinistro agregado é igual ao número médio de sinistros multiplicado pelo valor médio de 1 sinistro. Cálculo de [ ] Este resultado nos mostra que a variância do sinistro agregado é diretamente proporcional à variância do número de sinistros e à variância do valor de 1 sinistro. EXEMPLO 6: Calcular no exemplo 5.

18 REFERÊNCIA FERREIRA, Paulo Pereira. Modelos de Precificação e Ruína para Seguros de Curto Prazo. Rio de Janeiro: FUNENSEG, 2002.