MÓDULO XII EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 1. Epressão algébrica Em álgebra, se empregam outros símbolos além dos algarismos. Damos o nome de epressão algébrica ao conjunto de letras e números ligados entre si por operações quaisquer, tais como adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. 5 + y (epressão algébrica) 1 (epressão algébrica fracionária) + 1 + + (epressão algébrica inteira) 1 (epressão algébrica irracional) 7 (epressão algébrica racional) O elemento fundamental da epressão algébrica é o termo, ou seja, o conjunto de letras e números ligados entre si por operações quaisquer, com eceção da adição e subtração. A grande utilidade das epressões algébricas, na Matemática, é permitir a substituição de frases etensas por epressões simbólicas: Linguagem Comum Símbolos O dobro de um número O quadrado da soma de dois números ( + y) A soma dos quadrados de dois números + y O cubo da soma dos dois números ( + y) A soma dos cubos de dois números + y Eercício Proposto EP.01) Escreva com símbolos matemáticos (epressão algébrica), cada frase abaio: a) O triplo de um número somado com o seu quadrado. b) A metade de um número diminuído de um outro número. c) A raiz quadrada da diferença entre dois números distintos. d) O quociente entre a soma de um número com dois e a diferença entre 5 e um outro número.. Valor numérico de uma epressão algébrica É o número que se obtém atribuindo valores às letras que aparecem em uma epressão algébrica. Eemplo: O valor numérico da epressão algébrica 7 y, para = e y = será: v.n. = 7.. = 11. EP.0) Determine o valor numérico da epressão algébrica yz y z para = 1, y = 1 e z =. EP.0) Uma chapa de zinco tem área de 6m a uma temperatura inicial de 16º C. Calcule sua área final a uma temperatura final de 6ºC, sabendo que o coeficiente de dilatação superficial do zinco é igual β = 57 10 6 ºC 1. Sugestão: utilize A final = A inicial. [1 + β. (t final t inicial )]. EP.0) Efetue as operações nas epressões algébricas, reduzindo na forma mais simplificada possível: a) ( + 9) ( 1).( + ) b) ( + 6).( 1) + ( + ).( ) c) y.(y + 1) + d) 6.( 1).( + ) ( 5) -.( 1) y 6 +. Fatoração de epressões algébricas Fatorar uma epressão algébrica significa decompôla em um produto de epressões algébricas mais simples. a) 6 + 8 =.( + ) b) 9 = ( ).( + ) Os casos mais simples de fatoração são:.1. Fator comum Quando todos os termos da epressão algébrica admitem um divisor comum, divide-se a epressão por esse divisor comum e em seguida iguala-se a epressão ao produto do divisor comum pelo quociente obtido. Obtém-se o divisor comum da seguinte maneira: 1º) determina-se o máimo divisor comum dos coeficientes numéricos de todos os termos da epressão algébrica; º) agrupa-se ao número acima a parte literal, formada por todas as letras comuns aos termos da epressão, cada letra com o menor epoente comparando os termos da epressão algébrica. a) Fatorar a epressão 9 7 + 1 5 +. m.d.c.(9, 1, ) = parte literal = Temos então: 9 7 + 1 5 + =.( + + 1) b) Fatorar a epressão 15.y 10.y. m.d.c.(15, 10) = 5 parte literal =.y Temos então: 15.y 10.y = 5..y.(y ) Matemática Básica XII 1
Eercício Proposto EP.05) Fatorar as epressões algébricas abaio: a) 15ab 9a b b) y 66y.. Agrupamento É uma aplicação do primeiro caso. Quando uma epressão com quatro termos admite um fator comum a dois de seus termos, e outro aos outros dois, colocamos em evidência os fatores comuns aos dois primeiros termos, e aos dois últimos. Se os parênteses assim obtidos encerram o mesmo binômio, colocamos este em evidência. a) Fatorar a epressão + + +. Os dois primeiros termos admitem o fator comum e os dois últimos o fator comum. Colocando-os em evidência, temos: + + + =.( + ) +.( + ) Os dois termos à direita têm o fator comum ( + ). Colocando-os em evidência, temos: + + + = ( + ).( + ) b) Fatorar a epressão a + ay + b + by. a + ay + b + by = a.( + y) + b.( + y) = ( + y).(a + b) Eercício Proposto EP.06) Fatorar as epressões abaio: a) + + + b) 6a b + ay by.. Quadrado da soma e da diferença Sabemos que: a) ( + y) = + y + y b) ( y) = y + y Se em uma epressão algébrica de três termos o primeiro e o terceiro termos são quadrados perfeitos, etraem-se as raízes quadradas dos mesmos. Em seguida, constrói-se um binômio que é a soma ou a diferença das raízes quadradas acima, conforme o sinal do segundo termo da epressão dada seja positivo ou negativo. Se o duplo produto dos termos dessa epressão coincidir com o segundo termo da epressão dada, este será igual ao quadrado do binômio construído, de acordo com relações a) e b) descritas acima. a) Fatorar 6a + 80 ab + 5b. 6a = 8a e 5b = 5b Como o segundo termo da epressão tem sinal positivo, forma-se o binômio (8a + 5b ). Como 8a 5b = 80ab, que é o segundo termo da epressão, este é um quadrado perfeito e podemos então escrever: 6a + 80 ab + 5b = (8a + 5b ) b) Fatorar o trinômio 16t tw + 9w. 16t = t e 9w = w Como o segundo termo da epressão tem sinal negativo, forma-se o binômio (t w). Como t w = tw, que é o segundo termo da epressão, este é um quadrado perfeito e podemos então escrever: 16t tw + 9w = (t w) Eercício Proposto EP.07) Fatorar as epressões abaio, se possível: a) 6 + 60y + 5y b) 9 + 6.. Diferença de dois quadrados Já vimos que a b = (a + b)(a b) A diferença de dois quadrados então se decompõe no produto da soma das raízes quadradas dos mesmos, pela sua diferença. a) Fatorar a epressão algébrica 9. = e 9 = 9 = ( + ).( ) b) Fatorar a epressão algébrica 1. = e 1 = 1 1 = ( + 1).( 1) Como o segundo binômio também é uma diferença de quadrados, fatoramos esse segundo termo pelo mesmo processo: 1 = ( + 1).( 1) 1 = ( + 1).( + 1).( 1) Observação: a epressão a + b não é fatorável em R. EP.08) Fatorar as epressões abaio: a) 6 b) 16a b 6 5c 8 c) 8 1 EP.09) Simplifique a epressão 9. 6 Matemática Básica XII
.5. Trinômio do segundo grau Em alguns casos de fatoração, a epressão algébrica apresentada na forma + p + q pode ser decomposta em um produto de dois binômios do primeiro grau, ou seja: + p + q = ( a).( b) Os números a e b são encontrados da seguinte maneira: 1º) o coeficiente p é a soma dos números a e b, com o sinal resultante da soma invertido; º) o coeficiente q é o produto dos números a e b, com o mesmo sinal resultante do produto. º) com os valores a e b determinados, efetua-se a fatoração da epressão algébrica conforme descrito acima. a) Fatorar o trinômio 8 + 1. Queremos determinar dois números a e b tais que: 8 + 1 = ( a).( b) Nesse caso, temos: p = (a + b) = 8 a + b = 8 q = a.b = 1 a. b = 1 Dessa maneira, devemos determinar dois números que somados resultam em 8 e que multiplicados resultem em 1. Considerando os possíveis produtos de dois números inteiros iguais a 1 e analisando a soma dos mesmos números, temos: a. b = 0 a + b 1. 1 1. 6 8. 7 ( 1) ( 1) 1 ( ) ( 6) 8 ( ) ( ) 7 O segundo dos possíveis produtos tem a soma dos números igual a 8. Temos então a = e b = 6. 8 + 1 = ( a).( b) 8 + 1 = ( ).( 6) b) Fatorar o trinômio + 9 + 0. Queremos determinar dois números a e b tais que: + 9 + 0 = ( a).( b) Nesse caso, temos: p = (a + b) = 9 a + b = 9 q = a.b = 0 a. b = 0 Dessa maneira, devemos determinar dois números que somados resultam em 9 e que multiplicados resultem em 0. Considerando os possíveis produtos de dois números inteiros iguais a 0 e analisando a soma dos mesmos números, temos: a. b = 0 a + b 1. 0 1. 10 1. 5 9 ( 1) ( 0) 1 ( ) ( 10) 1 ( ) ( 5) 9 O último desses possíveis produtos tem a soma dos números igual a 9. Temos então a = e b = 5. + 9 + 0 = ( a).( b) + 9 + 0 = ( ( )).( ( 5)) + 9 + 0 = ( + ).( + 5) Eercício Proposto EP.10) Simplificar ou fatorar as epressões algébricas abaio: + 6 a) 9 b) a 10a + 9.6. Soma e diferença de cubos a + b = (a + b )(a ab + b ) a b = (a b) (a + ab + b ) a) Fatorar + 15. + 15 = + 5 + 15 = ( + 5).( 5 + 5 ) + 15 = ( + 5).( 5 + 5) b) Fatorar t 16. t 16 = 6 t 16 = (t 6).(t + 5t + 6 ) t 16 = (t 6).(t + 6t + 6) EP.11) Fatorar as epressões: a) 1 7a b) 6m 6 + 1 EP.1) Fatorar e simplificar a epressão: + y y y y.7. Cubo da Soma e da Diferença (a + b) = a + a b + ab + b (a b) = a a b + ab b a) Fatorar a epressão + 6 + 1 + 8. + 6 + 1 + 8 = +.. +.. + + 6 + 1 + 8 = ( + ) b) Fatorar a epressão 8 6 + 5 7. 8 6 + 5 7 = ().(). +.. 8 6 + 5 7 = ( ) Matemática Básica XII
Eercício Proposto EP.1) Fatorar as epressões algébricas abaio: a) a + 9a + 7a + 7 b) 15 + 75 15. M.M.C. de epressões algébricas É o produto dos fatores comuns e não comuns que aparecem na decomposição das mesmas, tomando cada fator uma única vez, com o maior epoente comparando os termos da epressão. a) Calcular o m.m.c entre os números, e 15. decompondo em fatores primos =. decompondo em fatores primos = 5 decompondo 15 em fatores primos =.5 Separando os fatores comuns e não comuns de maior epoente = 5, e 5. m.m.c.(,, 15) = 5..5 = 80 b) 16 e + Fatorando 16 = ( + ).( ) Fatorando + =.( + ) Separando os fatores comuns e os não comuns de maior epoente das fatorações =, ( + ) e ( ) m.m.c.( 16; + ) =.( + ).( ). EP.1) Encontre o M.M.C. das epressões 1 y e 0 y. EP.15) Efetue e simplifique a epressão algébrica: 1+ + 1+ 1 1 + Eercícios Complementares EC.01) Encontre o valor da epressão e 1 b =. a + b ab para 1 a = EC.0) Se a =, b = e c = 1, determine o valor da epressão algébrica ab + c b + 6 1 EC.0) Um cubo metálico tem volume inicial de 0cm à temperatura inicial de 15ºC. Determinar o seu volume à temperatura final de 5ºC, sendo o coeficiente de dilatação volumétrica do metal γ = 66 10 6 ºC 1. Sugestão: utilize V final = V inicial. [1 + γ. ( t final t inicial )]. EC.0) O comprimento inicial de um fio de aço é de 0m à ºC. Determine o seu comprimento final num dia em que a temperatura é de º C, sabendo que o coeficiente de dilatação linear do aço é igual a α = 11 10 6 ºC 1. Sugestão: utilize L final = L inicial. [1 + α. ( t final t inicial )]. EC.05) Calcule o módulo do vetor resultante V R da soma de dois vetores e y perpendicularmente entre si, de intensidade =,0m e y =,0m. Sugestão: utilize V R = + y. EC.06) Um automóvel parte do repouso (v 0 = 0 m/s) em movimento retilíneo com aceleração constante de a =,0 m s. Qual a velocidade desse automóvel após o percurso s = 50m? Sugestão: utilize v = (v 0 ) +.a. s. EC.07) A uma mola de constante elástica k = 10 N/m é aplicada uma força F de intensidade 80N. Assim, qual será a deformação sofrida pela mola? Sugestão: utilize F = k.. EC.08) Fatorar as epressões algébricas: a) 6 5y + y. b) ty + 9t Fatoração - Resumo Fator Comum a + b = ( a + b). Agrupamento a + b + ay + by = ( a + b )(. + y) Quadrado da Soma a + b = a + ab + b Quadrado da Diferença a b = a ab + b Diferença de Quadrados a b = ( a + b )(. a b) Soma de Cubos a + b = ( a + b )(. a ab + b ) Diferença de Cubos a b = ( a b )(. a + ab + b ) Cubo da Soma a + b = a + a b + ab + b Cubo da Diferença a b = a a b + ab b c) yz + y + yz d) 15a + 5a + ab + b e) m n + n m 1 f) + 10y + 5y g) 1y + 9y h) + + 1 i) 6 + 9 j) + 6 + 9 Matemática Básica XII
k) 81a 18a + 1 l) 6y + 9y m) 9a + 6ab + b n) y y z + z o) 0 5a p) q) 9 6 r) 9 6 y 1 s) 9a 1 t) ( + a) a u) 7a³ + 5a²b² + 6ab + 8b 6 v) y + 8 ) 6 6 z) a³ b³ a.(a² b²) + b.(a b)² EC.09) Determine o m.m.c. das epressões algébricas em cada item: a) 1, + 1 e 1. b) a 6a + 9 e a. c) ( 1).( + 1) e ( 1).( + 1). GABARITO EP.01) a) + b) y c) y + d) 5 y EP.0) v.n. = EP.0) A final = 6,0068m EP.0) a) 1 + 1 b) + 5 c) y y + y + 1 d) + EP.05) a) ab.(5b a) b) y.( y) EP.06) a) ( + 1).( + ) b) (a b).( + y) EP.07) a) (6 + 5y ) b) EP.08) a) ( + 8).( 8) b) (a b + 5c ). (a b 5c ) c) ( + 1).( + 1).( + 1).( 1) + EP.09) EP.10) a) b) (a + 1).(a 1).(a + ).(a ) EP.11) a) (1 a).(1 + a + 9a ) b) (m + 1).(16m m + 1) EP.1) + 1 EP.1) a) (a + ) b) ( 5) EP.1) 60 y + EP.15) + Eercícios Complementares EC.01) 1 EC.0) EC.0) V final = 0,01cm EC.0) L final = 0,0058m EC.05) 5m EC.06) 10 m s EC.07) 8m EC.08) a) ( y).( y) b) t.( y) c) y.(z + 1 + z) d) (a + 1).(5a + b ) e) (m + 1).(n 1) f) ( + 5y) g) ( y) h) ( + 1) i) ( ) j) ( + ) k) (9a 1) l) ( y) m) (a + b) n) (y z) o) 5.( + a).( a) p).( + 1).( 1) q) 9( + ).( ) r) ( y + 1).( y 1) s) (a + 1). (a 1) t).( + a) u) (a + b ) v) (y + ).(y y + ) ) ( + ).( ).( + + 16) z) ab.(a b) EC.09) a) ( + 1).( 1) b) (a ) c) ( 1).( + 1) Matemática Básica XII 5