Transformações geométricas nos espaços bidimensional e tridimensional Prof. Dr. Carlos A. Nadal
CALIBRAÇÃO DA MESA DIGITALIZADORA pontos homólogos Mesa digitalizadora coordenadas x,y mapa coordenadas N,E afinidade
Primitivas básicas na transformação geométrica no plano
y Representação geral da afinidade no plano Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia Aula 06 x x x o y o x
Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia Aula 06 Novo sistema - oxy é ortogonal Antigo sistema - o x y não é ortogonal Forma Geral (afinidade) Fórmula para transfomação: x = k x. x. cos + k y. y. sen + x y = - k x. x. sen ( + ) + k y. y. cos ( + ) + x 2 parâmetros de escala: k x, k y. 1 parâmetro de rotação: 1 parâmetro de não ortogonalidade: 2 parâmetros de translação: x, y Não mantém a forma nem a escala (tamanho) na Transformação usada na calibração de mesas digitalizadoras
Transformação ortogonal (de corpo rígido) ambos os sistemas são ortogonais x = k x. x. cos + k y. y. sen + x y = - k x. x. sen + k y. y. cos + y As escalas variam de eixo para eixo tem-se 5 parâmetros. Não mantém o tamanho, nem a escala, mantém os ângulos usada na verificação de escala em direções perpendiculares
Transformação Isogonal (similaridade) eixos ortogonais e coeficientes de escalas iguais x = k. x. cos + k. y. sen + x y = - k. x. sen + k. y. cos + y Tem-se quatro parâmetros. Preserva a forma e não preserva o tamanho usada na qualidade geométrica de dados vetoriais ou matriciais
Transformação de corpo rígido (ortogonal) x = x. cos + y. sen + x y = - x. sen + y. cos + y Três parâmetros Preserva a forma e os tamanhos usada na qualidade geométrica de dados vetoriais
TRANSFORMAÇÃO DE HELMERT Aplicação: mais de dois pontos cujas coordenadas são conhecidas em dois sistemas Caso ideal: pontos fazem parte das margens da área na Qual deseja-se transformar coordenadas Sejam os pontos: P1, P2, Pn com coordenadas nos sistemas p,q (sistema antigo) e x, y (novo sistema)
Cálculo do centro de gravidade dos pontos x s = x/n y s = y/n p s = p/n q s = q/n De acordo com Wolf (1975) tem-se que: dy = y - y s, dx = x - x s dp = p - p s, dq = q - q s como checagem: dy = dx = dp = dq = 0
Com: a = f cos = ( dq.dy + dp.dx ) / ( dp 2 + dq 2 ) b = f sen = ( dq.dx - dp.dy ) / ( dp 2 + dq 2 ) f é o fator de escala: f = (a 2 + b 2 ) 1/2 ângulo de rotação de um sistema em relação a outro: = arctg b/a = arc cos a/f = arcsen b/f
As coordenadas do centro de rotação serão dadas por: x o = x s - a p s - b q s y o = y s + b p s - a q s Para um ponto j do qual se conhece as coordenadas no sistema p,q tem-se: x j = x o + a p j - b q j y j = y o - bp j + a q j
Dadas as coordenadas de três pontos situados no Estado do Paraná, referidas ao sistema geodésico que se utiliza do elipsóide de Hayford e tem origem no vértice Córrego Alegre (sistema anteriormente utilizado no Brasil): 1 = 25 00 00 S 1 = 49 00 00 W 2 = 23 00 00 S 2 = 50 00 00 W 3 = 24 00 00 S 3 = 53 00 00 W Calcular as coordenadas UTM destes pontos neste sistema geodésico: E 1 = 701854.408m N 1 = 7233525.719m E 2 = 602489.421m N 2 = 7456097.476m E 3 = 296541.529m N 3 = 7344293.513m
Transformar as coordenadas geodésicas dadas acima para o sistema geodésico brasileiro SAD69: 1 = 24 59 59.686 S 1 2 = 22 59 59.585 S 2 3 = 24 59 59.630 S 3 = 48 59 59.887 W = 50 00 00.020 W = 53 00 00.419 W Calcular as coordenadas UTM destes pontos no respectivo sistema geodésico: E 1 = 701849.996m N 1 = 7233563.065m E 2 = 602485.055m N 2 = 7456134.737m E 3 = 296537.271m N 3 = 7344330.830m
Aplicar a transformação de Helmert as coordenadas UTM nos dois sistemas geodésicos, calculando os parâmetros de transformação: Solução: x j = x o + a p j - b q j y j = y o - bp j + a q j com a = 0.999999625 b = 3.55334E-08 x o = -4.405969878 y o = 40.08440661
Transformações por Similaridade Dados: x,y,z (antigo sistema) X,Y,Z (novo sistema) Transformação geral linear afim no espaço (Leick and van Gelder,1975): X = Ax + Ao três parâmetros de translação três parâmetros de rotação três parâmetros de escalas para os três eixos três parâmetros descrevendo orientação dos eixos
Modelo de transformação BURSA-WOLF Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia Aula 06 X = S R Z ( Z )R Y ( Y )R X ( X )x +T
R R 1 ( Modelo x ) R 2 ( y ) R 3 ( z ) 1 0 0 R1 x 0 x x ( ) cos( ) sen( ) 0 sen( ) cos( ) x x R R 2 3 ( ) y ( ) z cos( ) 0 sen( ) y 0 1 0 sen( ) 0 cos( ) y cos( ) sen( ) z sen( ) cos( ) z z z y y 0 0 0 0 1 R cos cos cos sen sen y z y z y sen sen cos cos sen sen sen sen cos cos sen cos x y z x z x y z x z x y cos sen cos sen sen cos sen sen sen cos cos cos x y z x z x y z x z x y
Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia Aula 06 Modelo R z y z x y x 1 1 1 1 i i r R r 0 1 ( ).. X Y Z x y z x y z i i i z y z x y x i i i 0 0 0 1 1 1 1
Sistemas de equações com as coordenadas de três pontos AX=L X=(A T PA) -1 A T PL P=I X 1 0 -Z 1 Y 1 1 0 0 U 1 - X 1 Y 1 Z 1 0 X 1 0 1 0 k V 1 - Y 1 Z 1 -Y 1 X 1 0 0 0 1 ε x W 1 - Z 1 X 2 0 -Z 2 Y 2 1 0 0 ε Y U 2 X 2 Y 2 Z 2 0 X 2 0 1 0 ε z = V 2 Y 2 Z 2 -Y 2 X 2 0 0 0 1 X 0 W 2 Z 2 X 3 0 -Z 3 Y 3 1 0 0 Y 0 U 3 X 3 Y 3 Z 3 0 X 3 0 1 0 Z 0 V 3 Y 3 Z 3 -Y 3 X 3 0 0 0 1 W 3 Z 3
Ponto Exercício Prático Latitude (S) SAD69 Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia Aula 06 Longitude (W) SAD69 Altitude Ortométrica (m) Ondulação Geoidal (m) Curitiba 25º 25 58,53740 49º 20 24,61849 953 2,54 Iretama 24º25 12,64874 52º 07 19,12354 577 3,03 Londrina 23º 19 20,05643 51º 12 05,98103 583 3,44 Ponto Latitude (S) WGS84 Longitude (W) WGS84 Altitude Elipsoidal (m) Curitiba 25º 26 00,307198 49º 20 26,331982 952,6312 Iretama 24º25 14,372154 52º 07 20,901858 578,3287 Londrina 23º 19 21,775229 51º 12 07,719026 582,9934
Ponto X SAD-69 (m) Y SAD-69 (m) Z SAD-69 (m) Curitiba 3755934,03765507-4372874,06730675-2722881,94320635 Iretama 3568104,61755603-4587061,24412689-2620978,61374355 Londrina 3672162,00198784-4567519,61846058-2509770,52075258 Ponto X WGS84 (m) Y WGS84 (m) Z WGS84 (m) Curitiba 3755867,16008169-4372869,69888951-2722920,46934841 Iretama 3568037,74291102-4587056,87493790-2621017,13692018 Londrina 3672095,12742608-4567515,24943912-2509809,04402409
Matrix A Vetor L 3755934,038 0,000 2722881,943-4372874,067 1,000 0,000 0,000-4372874,067-2722881,943 0,000-3755934,038 0,000 1,000 0,000-2722881,943 4372874,067 3755934,038 0,000 0,000 0,000 1,000 3568104,618 0,000 2620978,614-4587061,244 1,000 0,000 0,000-4587061,244-2620978,614 0,000-3568104,618 0,000 1,000 0,000-2620978,614 4587061,244 3568104,618 0,000 0,000 0,000 1,000 3672162,002 0,000 2509770,521-4567519,618 1,000 0,000 0,000-4567519,618-2509770,521 0,000-3672162,002 0,000 1,000 0,000-2509770,521 4567519,618 3672162,002 0,000 0,000 0,000 1,000-66,878 4,368-38,526-66,875 4,369-38,523-66,875 4,369-38,523 X= (A T A) -1 A T L
Parâmetro Valor Fator de escala ( ) 0,999999999 Rotação em torno do eixo X ( ) 0,0000000062 rad Rotação em torno do eixo Y ( ) -0,0000000093 rad Rotação em torno do eixo Z ( ) -0,0000000043 rad Translação do eixo X ( x) -66,867m Translação do eixo Y ( y) 4,366m Translação do eixo Z ( z) -38,520m
EXEMPLO DE GEORREFERENCIAMENTO DE UMA IMAGEM Y ponto x(m) y(m) X(m) Y(m) 1 182 306 0,000 0,000 1 2 2 1947 320 0,477 0,000 3 1983 2725 0,477 0,669 X = -0,04765+0,00027x-0,000004y Y = -0,08473-0,000002x+0,00028y 3 X
MONTAGEM DO SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES X = a + bx +cy Y = d + ex +fy 0,000 = a + 182b + 306c 0,000 = d + 182e +306f 0,477 = a + 1947b +320c 0,000 = d + 1947e + 320f 0,477 = a + 1983b + 2725c 0,669 = d + 1983e + 2725f 0,000 = 1 182 306 0 0 0 a 0,000 = 0 0 0 1 182 306 b 0,477 = 1 1947 320 0 0 0 c 0,000 = 0 0 0 1 1947 320 d 0,477 = 1 1983 2725 0 0 0 e 0,669 = 0 0 0 1 1983 2725 f ponto x(m) y(m) X(m) Y(m) 1 182 306 0,000 0,000 2 1947 320 0,477 0,000 3 1983 2725 0,477 0,669