Aula 9. Superfícies de Revolução. Seja C uma curva e r uma reta contidas num plano π.

Aula 9 Superfícies de Revolução Seja C uma curva e r uma reta contidas num plano π. Fig. 1: Superfície de revolução S, geratriz C e eixo r contidos no plano π A superfície de revolução S de geratriz C e eixo de revolução r é a superfície descrita pela rotação da curva C em torno da reta r. A interseção de S com um plano π perpendicular à reta r, tal que π C é, pela definição, um círculo ou um conjunto de círculos centrados no ponto em que a reta r corta o plano π. Estes círculos são denominados paralelos da superfície de revolução S. Note que os pontos da geratriz C que pertencem ao eixo de revolução r permanecem fixos durante todo o movimento de rotação da curva C em torno de r. Neste caso, o paralelo que contém o ponto é um círculo degenerado que consiste apenas deste ponto. A interseção de S com um plano que contém o eixo r é uma cópia rotacionada da geratriz C mais a reflexão desta cópia Fig. : Superfície de revolução S e pontos P S e P C no mesmo paralelo com respeito à reta r. Essas cópias de C são denominadas meridianos da superfície S.

Geometria Analítica II - Aula 9 196 Veremos agora como determinar a equação cartesiana de uma superfície de revolução S cuja geratriz é uma curva contida no plano YZ, descrita de forma implícita pelas equações: fy, z) = 0 C : x = 0. Suponhamos primeiro que o eixo de revolução r é o eixo OZ. Pela definição, um ponto P = x, y, z) pertence a S se, e só se, existe um ponto P = 0, y, z ) pertencente a C tal que P e P estão sobre o mesmo paralelo. Fig. 3: Superfície de revolução S e pontos P S, P C no mesmo paralelo Como o eixo OZ é o eixo de revolução, este parelelo é um círculo contido no plano π perpendicular ao eixo OZ que contém os pontos P e P. Logo z = z e C = 0, 0, z) = 0, 0, z ) é o centro do paralelo, pois {C} = π r. Além disso, como P e P estão sobre um círculo de centro C, o raio deste círculo é dp, C) = dp, C), ou seja, y = x + y y = ± x + y Finalmente, como fy, z ) = 0, temos que P = x, y, z) pertence a S se, e só se, f± x + y, z) = 0, que é a equação cartesiana de S. Suponhamos agora que o eixo de revolução r seja o eixo OY. Então, um ponto P = x, y, z) pertence a S se, e só se, existe um ponto P = 0, y, z ) em C tal que P e P estão sobre o mesmo paralelo. Fig. 4: Superfície de revolução S Como os paralelos estão contidos nos planos y =const., perpendiculares ao eixo OY figura 4), temos que y = y e C = 0, y, 0) = 0, y, 0) é o centro do paralelo que passa por P e P. IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

197 Geometria Analítica II - Aula 9 Além disso, como dp, C) = dp, C) é o raio do paralelo, temos que z = x + z z = ± x + z Logo P = x, y, z) pertence a S se, e só se, satisfaz a equação fy, ± x + z ) = 0. De modo análogo, podemos mostrar que: fx, y) = 0 se a geratriz C : está contida no plano XY, então fx, ± y + z ) = 0 é a z = 0 equação cartesiana da superfície de revolução obtida girando a curva C em torno do eixo OX, e f± x + z, y) = 0 é a equação cartesiana da superfície de revolução de geratriz C e eixo de revolução = eixo OY. fx, z) = 0 se a geratriz C : está contida no plano XZ, então fx, ± y + z ) = 0 é a y = 0 equação cartesiana da superfície de revolução de geratriz C e eixo de revolução = eixo OX, e f± x + y, z) = 0 é a equação cartesiana da superfície de revolução obtida girando a curva C em torno do eixo OZ. Exemplo 1 Determine as equações cartesianas e paramétricas e faça um esboço da superfície de revolução S obtida girando a curva: z = 3y 3 a) C : em torno do eixo OZ. x = 0 A curva C está contida no plano YZ e é dada pela equação fy, z) = 0, onde fy, z) = z 3y 3. Fig. 5: Curva z = 3y 3 no plano x = 0 K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

Geometria Analítica II - Aula 9 198 Como a rotação é realizada em torno do eixo OZ, devemos manter a variável z e substituir a variável y pela expressão ± x + y, que define o raio dos paralelos, na equação fy, z) = 0, para obtermos a equação cartesiana de S. Assim, a equação cartesiana de S é dada por: f± x + y, z) = 0 z 3± x + y ) 3 = 0 z = ±3x + y ) 3/ z = 9x + y ) 3 Sendo xs) = 0 C : ys) = s, s R, zs) = 3s 3 Fig. 6: Superfície de revolução S uma parametrização da geratriz C, uma parametrização do paralelo P s contido no plano π s : z = 3s 3, que é um círculo de centro A s = 0, 0, 3s 3 ) e raio s, é dada por: x s t) = s cos t P s : y s t) = s sen t, s, t R. z s t) = 3s 3 Logo, xs, t) = s cos t S : ys, t) = s sen t, s, t R, zs, t) = 3s 3 Fig. 7: Paralelo obtido pela interseção π s S é uma parametrização da superfície de revolução S. z = 3y 3 b) C : x = 0 em torno do eixo OY. Como a rotação agora é realizada em torno do eixo OY, não mexemos na variável y e substituímos a variável z pela expressão ± x + z que define o raio dos paralelos. Logo, fy, ± x + z ) = 0 ± x + z = 3y 3 x + z = 9y 6 é a equação cartesiana de S. IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

199 Geometria Analítica II - Aula 9 Como, para todo s R, x s t) = 3s 3 cos t P s : y s t) = s z s t) = 3s 3 sen t, t R, é uma parametrização do paralelo de S contido no plano π s : y = s, que é um círculo de centro A s = 0, s, 0) e raio 3s 3, temos que Fig. 8: Curva C e o paralelo no plano π s xs, t) = 3s 3 cos t S : ys, t) = s zs, t) = 3s 3 sen t Fig. 9: Superfície de revolução S gerada pela curva C, s, t R, é uma parametrização da superfície de revolução S ver figura 9). z = e x c) C : y = 0 em torno do eixo OZ. Neste exemplo, a geratriz C está contida no plano XZ e fx, z) = 0 C :, y = 0 onde fx, z) = z e x. Como estamos girando a curva C em torno do eixo OZ, obtemos que f± x + y, z) = 0 z = e ± x +y Fig. 10: Curva C K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

Geometria Analítica II - Aula 9 00 é a equação cartesiana de S e o seu esboço é o mostrado na figura abaixo. Fig. 11: Superfície S obtida pela rotação da curva C em torno do eixo OZ Sendo xs) = s C : ys) = 0 ; s R, zs) = e s uma parametrização da geratriz, temos que x s t) = s cos t P s : y s t) = s sen t ; t R z s t) = e s é uma parametrização do círculo de centro A s = 0, 0, e s ) e raio s, que é o paralelo P s de S contido no plano π s : z = e s. Logo, xs, t) = s cos t S : ys, t) = s sen t ; s, t R zs, t) = e s Fig. 1: Curva C e um paralelo descrito pela sua revolução em torno do eixo OZ é uma parametrização da superfície de revolução S. z = e x d) C : y = 0 em torno do eixo OX. Como, neste exemplo, um ponto P = x, 0, z ) = x, 0, e x ) pertencente a C tem sempre a IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

01 Geometria Analítica II - Aula 9 terceira coordenada z positiva, devemos substituir, na equação fx, z ) = 0, a variável x por x e a variável z por y + z para obtermos a equação cartesiana de S: fx, y + z ) = 0 y + z = e x y + z = e x. Na figura 13 mostramos o esboço da superfície de revolução S. O paralelo P s, contido no plano π s : x = s, de centro no ponto A z = s, 0, 0) e raio e s, pode ser parametrizado do seguinte modo: x s t) = s P s : y s t) = e s cos t ; t R. z s t) = e s sen t Assim, xs, t) = s S : ys, t) = e s cos t zs, t) = e s sen t ; s, t R. Fig. 13: Superfície S é uma parametrização da superfície de revolução S. x = y e) C : em torno do eixo OY. z = 0 A curva C é uma reta contida no plano XY Fig. 14: Curva C Fig. 15: Superfície S : x + z = y A equação cartesiana da superfície de revolução S de geratriz C e eixo de revolução = eixo OY é obtida substituindo, na equação fx, y ) = x y = 0, a variável y por y e a variável x por ± x + z, ou seja: ± x + z = y y = x + z. K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

Geometria Analítica II - Aula 9 0 Portanto, S : x + z = y é um cone circular reto de vértice na origem e eixo OY figura 15). Parametrizando a geratriz, xs) = s C : ys) = s zs) = 0, s R, obtemos que o paralelo P s de S contido no plano π s : y = s, que é um círculo de centro A s = 0, s, 0) e raio s, pode ser parametrizado da seguinte maneira: x s t) = s cos t P s : y s t) = s, t R. z s t) = s sen t Logo, xs, t) = s cos t S : ys, t) = s zs, t) = s sen t, s, t R é uma parametrização do cone circular S. y = x + 1 f) C : z = 0 em torno do eixo OX. A curva C é uma parábola de vértice 0, 1, 0) e eixo-focal = eixo OY, contida no plano XY. Fig. 16: Parábola C Para obtermos a equação cartesiana da superfície S devemos substituir, na equação fx, y ) = y x 1 = 0, a variável x por x e a variável y por y + z, pois y > 0 para todo ponto x, y, 0) pertencente a C. Logo, y + z = x + 1 y + z = x + 1) é a equação cartesiana de S. IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

03 Geometria Analítica II - Aula 9 Como xs) = s C : ys) = s + 1 zs) = 0 ; s R, o paralelo P s contido no plano π s : x = s, que é um círculo de centro A s = s, 0, 0) e raio s + 1, pode ser parametrizado do seguinte modo: x s t) = s P s : y s t) = s + 1) cos t ; t R. z s t) = s + 1) sen t Logo, xs, t) = s S : ys, t) = s + 1) cos t zs, t) = s + 1) sen t ; s, t R, é uma parametrização da superfície S figura 17). Fig. 17: Superfície S : y + z = x + 1) Exemplo Determine a equação cartesiana e as equações paramétricas do toro obtido girando, em torno do eixo OZ, o círculo C no plano YZ de centro 0, 4, 1) e raio. A geratriz do toro é o círculo: C : { y 4) + z 1) = 4 x = 0 Como, para todo ponto P = 0, y, z ) pertencente a C, y 4) 4 y 4 + 4 y 4 + 0 < y 6, devemos substituir, na equação fy, z ) = y 4) + z 1) 4 = 0, a variável z por z e a variável y por x + y, para obtermos a equação cartesiana do toro: ) x + y 4 + z 1) = 4. Sendo xs) = 0 C : ys) = cos s + 4 zs) = sen s + 1 ; s R, uma parametrização do círculo C, K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

Geometria Analítica II - Aula 9 04 Fig. 18: Circulo C e paralelo P s temos que: x s t) = cos s + 4) cos t P s : y s t) = cos s + 4) sen t z s t) = sen s + 1 ; t R, é uma parametrização do paralelo P s, círculo de centro A s = 0, 0, sen s + 1) e raio cos s+4, contido no plano z = sen s+1. Então, xs, t) = cos s + 4) cos t T : ys, t) = cos s + 4) sen t ; s, t R, zs, t) = sen s + 1 Fig. 19: Toro de revolução T é uma parametrização do toro de revolução de geratriz C e eixo OZ. Exemplo 3 Seja E a elipse no plano x = 0 com centro no ponto C = 0, 5, 0), reta focal paralela ao eixo OY, um foco no ponto F = 0,, 0) e um vértice no ponto V = 0, 0, 0). Determine a equação cartesiana e as equações paramétricas da superfície de revolução S obtida girando a elipse E em torno do eixo OY. Como CF = 0, 3, 0) e CV = 0, 5, 0), temos que c = CF = 3 e a = CV = 5. Portanto, b = a c = 4 e y 5) E : 5 x = 0 + z 16 = 1 IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

05 Geometria Analítica II - Aula 9 Para determinarmos a equação cartesiana da superfície S, devemos substituir, na equação fy, z ) = y 5) 5 + z 16 1 = 0, a variável y por y e a variável z por ± x + z : fy, ± x + z ) = 0 y 5) 5 + x 16 + z 16 = 1. Sendo xt) = 0 Et) : yt) = 5 cos t + 5 ; t R; zt) = 4 sen t uma parametrização da elipse, e o paralelo P t, contido no plano y = 5 cos t + 5, um círculo de centro no ponto A t = 0, 5 cos t + 5, 0) e raio 4 sen t, temos que: Fig. 0: Elipse E Fig. 1: Elipsoide de revolução S xs, t) = 4 sen t cos s S : ys, t) = 5 cos t + 5 zs, t) = 4 sen t sen s ; s, t R; é uma parametrização da superfície de revolução S. Para verificarmos que uma superfície S é de revolução, devemos encontrar uma reta r tal que π S é um círculo de centro no ponto de interseção r π, onde π é um plano qualquer, que intersecta S, perpendicular à reta r. E para determinarmos uma geratriz de S, basta intersectá-la com um plano que contém o eixo de revolução r. K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

Geometria Analítica II - Aula 9 06 Exemplo 4 Mostre que cada uma das equações abaixo representa uma superfície de revolução S, determinando o seu eixo de revolução e a equação de uma de suas geratrizes. a) S : x + y + z = 9. A superfície S é uma esfera de centro na origem e raio 3. Intersectando-a com os planos π k : z = k, paralelos ao plano XY, { x + y = 9 k C k = S {z = k} :, z = k obtemos que: para k 3, 3), C k é um círculo de centro 0, 0, k) pertencente ao eixo OZ e raio 9 k ; para k = 3, C 3 = S {z = 3} = {0, 0, 3)}; para k = 3, C 3 = S {z = 3} = {0, 0, 3)}; para k, 3) 3, + ), C k = S {z = k} =. Logo S é uma superfície de revolução cujo eixo de revolução é o eixo OZ, sendo o semi-círculo { y + z = 9 γ :, y 0 x = 0 uma de suas geratrizes figura ). O plano x = 0 é um plano que contém o eixo OZ. Fig. : Geratriz γ Fig. 3: Esfera S De fato, seja S a superfície de revolução de geratriz γ e eixo de revolução = eixo OZ. Então, para obtermos a equação cartesiana de S, devemos substituir, na equação da geratriz y + z = 9, a variável z por z e a variável y por x + y, pois y 0. Assim, x + y + z = 9 é a equação cartesiana de S. Logo S = S. IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

07 Geometria Analítica II - Aula 9 b) S : x + z = 4. Intersectando a superfície S com os planos y = k, paralelos ao plano XZ, obtemos os círculos de raio, x + z = 4 γ k = S {y = k} :, y = k e centro 0, k, 0) sobre o eixo OY. Logo S é uma superfície de revolução obtida girando a reta z = γ : x = 0 em torno do eixo OY. Note que x = 0 é um plano que contém o eixo OY. Fig. 4: Cilindro gerado pela reta γ De fato, seja S a superfície de revolução de geratriz γ e eixo de revolução = eixo OY. A equação cartesiana de S é obtida substituindo, na equação z =, a variável z por x + y. Ou seja, S : x + z = S : x + z = 4. Provamos, assim, que S = S. c) S : x + y = z 3. Primeiro observe que a superfície está contida no semi-espaço z 0. Intersectando S com os planos z = k, k 0, x + y = k 3 C k = S {z = k} : z = k obtemos que C k é um círculo de raio k 3/ e centro 0, 0, k) pertencente ao eixo OZ, se k > 0, e, para k = 0, C 0 = S {z = 0} = {0, 0, 0)}. K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

Geometria Analítica II - Aula 9 08 Além disso, a interseção de S com o plano YZ, que contém o eixo OZ, é a curva: y = z 3 S {x = 0} : x = 0 Fig. 5: Curva y = z 3 no plano x = 0 Fig. 6: Superfície de revolução S Logo S é a superfície de revolução obtida girando a curva y = z 3/ γ :, z 0, x = 0 em torno do eixo OZ. Realmente, a equação cartesiana da superfície de revolução S de geratriz γ e eixo de revolução = eixo OZ é dada por: S : x + y = z 3/ S : x + y = z 3. Então S = S, como queríamos provar. d) S : x y + x z = 1. Fazendo x = k, k 0, na equação acima, vemos que a interseção de S com o plano x = k, paralelo ao plano YZ, é o círculo y + z = 1 C k = S {x = k} : k x = k de centro k, 0, 0), pertence ao eixo OX, e raio 1 k. Além disso, S {z = 0} = γ 1 γ 1, onde xy = 1 xy = 1 γ 1 : e γ 1 : z = 0 z = 0 são duas hipérboles com vértice na origem que possuem os eixos OX e OY como assíntotas. Observe que o plano z = 0 é um plano que contém o eixo OX. Fig. 7: Hipérboles γ 1 e γ IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

09 Geometria Analítica II - Aula 9 Seja S a superfície de revolução cuja geratriz é x y = 1 γ 1 γ 1 : z = 0 e cujo eixo de revolução é o eixo OX. Então, Fig. 8: Superfície de revolução S S : x ± y + z ) = 1 S : x y + z ) = 1 é a equação cartesiana de S. Assim, S = S, ou seja, S é uma superfície de revolução figura 8) obtida girando a curva S {z = 0} em torno do eixo OX. Veremos agora alguns exemplos de superfícies de revolução que possuem geratrizes contidas num dos planos coordenados, e eixos paralelos a um dos eixos coordenados. Exemplo 5 Detemine a equação cartesiana e as equações paramétricas da superfície de revolução obtida girando a curva γ em torno do eixo r, onde y = tg x γ : ; x z = 0 π, π ) x = π e r : z = 0. A curva γ está contida no plano XY e é dada pela equação fx, y) = 0, onde fx, y) = y tg x. Pela definição, P = x, y, z) S se, e só se, existe P = x, y, 0) γ, x π, π ), tal que P e P estão sobre o mesmo paralelo. Como o paralelo é um círculo contido num plano perpendicular ao eixo r e o centro A deste π ) π ) círculo pertence à reta r, temos que y = y e A =, y, 0 =, y, 0. K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

Geometria Analítica II - Aula 9 10 Fig. 9: Curva γ a girar em torno da reta r Além disso, sendo dp, A) = dp, A) o raio do paralelo, temos: x π = x π ) + z π x = x π ) + z pois x π, π ). x = π x π ) + z, Logo, f π ) x π ) π + z, y = 0 y = tg ) x π ) + z é a equação cartesiana de S e o seu esboço é mostrado na figura abaixo. Fig. 30: Superfície S IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

11 Geometria Analítica II - Aula 9 Por outro lado, sendo xs) = s γ : ys) = tg s zs) = 0, s π, π ), uma parametrização da geratriz, temos que x s t) = P s : y s t) = tg s z s t) = π s ) cos t + π π s ) sen t, t R, é uma parametrização do paralelo P s, contido no plano y = tg s, de centro A s = π ), tg s, 0 e raio igual a π s. Logo, x s t) = S : y s t) = tg s z s t) = π s ) cos t + π π s ) sen t, s π, π ), t R, é uma parametrização da superfície de revolução S. Podemos também achar a equação da superfície de revolução fazendo uma translação dos eixos de modo que o eixo r seja um dos eixos coordenados deste novo sistema. π ) De fato, seja O X Y Z o sistema de eixos ortogonais tal que O =, 0, 0 e os semi-eixos positivos O X,O Y e O Z têm a mesma direção e o mesmo sentido dos semi-eixos positivos OX, OY e OZ, respectivamente. Fig. 31: Translação do sistema de coordenadas Sejam x, y, z) e x, y, z) as coordenadas de um ponto P com respeito aos sistemas de eixos OXYZ e O X Y Z, respectivamente. Como OP = x, y, z), O P = x, y, z) e OP = O O + O P, K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

Geometria Analítica II - Aula 9 1 temos π ) x, y, z) =, 0, 0 + x, y, z) = x + π ), y, z. A geratriz γ e o eixo r nas coordenadas x, y, z são dados por: y = tg x + π ) γ :, x π, 0), z = 0 e x = 0 r : z = 0. Ou seja, no sistema de eixos O X Y Z, a geratriz é uma curva contida no plano O X Y e o eixo de revolução é o eixo O Y. Logo, na equação y = tg x + π ), devemos substituir y por y e x por x + z, pois x < 0, para obtermos a equação cartesiana de S nas coordnadas x, y, z: π ) y = tg x + z. Então, como temos que x, y, z) = x + π ), y, z, y = tg π ) x π ) + z é a equação cartesiana de S nas coordenadas x, y, z. Exemplo 6 Determine a equação cartesiana e uma equação paramétrica da superfície de revolução S obtida y = 1 girando a curva γt) = t, sen t, 0), t R, em torno da reta r :, e esboçe-a. z = 0 A curva γ é dada também da seguinte maneira: y = sen x γ : z = 0, x R. Por uma translação do sistema de coordenadas, obtemos um novo sistema de eixos ortogonais O X Y Z, onde O = 0, 1, 0). IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

13 Geometria Analítica II - Aula 9 Como x, y, z) = x, y, z) + 0, 1, 0) = x, y + 1, z), 1) temos que: xt) = t γt) = yt) = sen t 1 = cos t zt) = 0, t R, ou y = sen x 1 = cos x γ : z = 0, x R, é a geratriz, e y = 0 r : z = 0 ou r = eixo O X Fig. 3: Curva γ é o eixo de revolução de S nas coordenadas x, y, z. Fig. 33: Superfície S Neste novo sistema de eixos, a equação cartesiana da superfície S é: y + z = cos x cos 4 x = y + z, ) pois, se P = x, y, 0) γ, então y = cos x 0. Além disso, xs, t) = t S : ys, t) = cos t cos s zs, t) = cos t sen s, s, t R, 3) são as equações paramétricas de S nas coordenadas x, y, z, pois o paralelo P t, contido no plano x = t, é um círculo de centro At) = t, 0, 0) e raio igual a 1 cos t. K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

Geometria Analítica II - Aula 9 14 Logo, por 1), ) e 3), cos 4 x = y 1) + z é a equação cartesiana e xs, t) = t S : ys, t) = cos t cos s + 1, s, t R, zs, t) = cos t sen s são as equações paramétricas da superfície de revolução S de geratriz γ e eixo de revolução r. Exemplo 7 Determine a equação cartesiana e uma equação paramétrica da superfície de revolução S obtida girando a curva z = 1 γ : 1 + y x = 0 em torno da reta r : { z = 1 x = 0, e esboçe-a. Uma parametrização da geratriz γ é dada por: xt) = 0 γ : yt) = t, t R. zt) = 1 1 + t Por uma translação dos eixos, obtemos um novo sistema de eixos ortogonais O X Y Z, onde O = 0, 0, 1) e x, y, z) = x, y, z + 1). 4) Fig. 34: Curva γ A geratriz γ, nas coordenadas x, y, z, é dada por: z = 1 γ : 1 + y 1 xt) = 0, y R, ou γ : yt) = t x = 0 zt) = 1 1 + t 1 e o eixo de revolução r é dado por:, t R, IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

15 Geometria Analítica II - Aula 9 z = 0 r : x = 0 ou r = eixo O Y. Então, no sistema O X Y Z, a equação cartesiana de S é: pois, para todo P = 0, y, z ) γ, z = x + z = 1 y 1 1 + y 1 + y = x + z 5) 1 1 < 0, e suas equações paramétricas são: 1 + y xs, t) = t 1 + t cos s S : ys, t) = t zs, t) = t 1 + t sen s, s, t R, 6) pois o paralelo P t, contido no plano y = t, é um círculo de centro At) = 0, t, 0) e raio igual a 1 1 1 + t = t 1 + t. Logo, por 4), 5) e 6), obtemos que: Fig. 35: Superfície S y 1 + y = x + z 1) y 4 = 1 + y ) x + z 1) ) é a equação cartesiana, e xs, t) = t 1 + t cos s S : ys, t) = t zs, t) = t 1 + t sen s + 1, s, t R. são as equações paramétricas da superfície de revolução S nas coordenadas x, y e z. Nos exemplos abaixo, veremos como obter as equações de uma superfície de revolução quando a geratriz e o eixo estão contidos num plano arbitrário. K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

Geometria Analítica II - Aula 9 16 Exemplo 8 Determine a equação cartesiana e uma equação paramétrica da superfície de revolução S obtida girando o círculo y = z em torno da reta r : x = 0 y ) + z = 1 γ : x = 0 A geratriz γ é um círculo de centro 0,, 0) e raio 1, contido no plano YZ, e o eixo r é a reta paralela ao vetor u = 0, 1, 1) que passa pela origem. Primeiro observe que a curva γ não intersecta a reta r. De fato, se existisse P = 0, y, z ) pertencente a γ r, então y = z e y ) + z = 1, ou seja, y ) + y = 1 y 4y + 3 = 0, que não possui solução real, pois seu discriminante é = 16 4 3 < 0, uma contradição. Além disso, como o centro 0,, 0) pertence ao { y > z hiperplano, temos que: x = 0 y > z, 7) para todo ponto P = 0, y, z ) pertencente a γ. Fig. 36: Círculo γ Sendo o eixo r paralelo ao vetor u = 0, 1, 1), os paralelos de S estão contidos nos planos perpendiculares ao vetor u. y + z = const. 8) Pela definição, P = x, y, z) S se, e só se, existe P = 0, y, z ) γ tal que P e P estão sobre o mesmo paralelo P. Então, por 8), e, se C é o centro do paralelo, então é o raio de P. y + z = y + z, 9) dp C) = dp, C) Por outro lado, como os triângulos OPC e OP C são congruentes e retângulos em C, vemos que do, P ) = do, P) y + z = x + y + z. 10) IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

17 Geometria Analítica II - Aula 9 Logo, por 9) e 10), y + y + z y ) = x + y + z y y y + z) + y + z + yz = x + y + z y y y + z) + yz x = 0 y + z) ± 4y + z) 8yz x ) y = 4 y + z) ± y + z) yz x ) y = y = y + z) ± y + yz + z 4yz + x y + z) ± y z) + x ) y =. Mas, como por 7) e por 9), obtemos que: Assim, sendo y > z = y + z y y > y + z y = y + z) + y z) + x ) y ) + z = 1 y + z 4y + 3 = 0 temos, por 10) e 11), que: x + y + z y + z + ) y z) + x + 3 = 0 é a equação cartesiana de S., Fig. 37: Círculo γ e P S. 11) Vamos determinar agora as equações de S por uma rotação dos eixos OX, OY e OZ. Seja O X Y Z um sistema de eixos ortogonais, no qual os semi-eixos positivos O X, O Y e O Z têm a direção e o mesmo sentido, respectivamente, dos vetores: v 1 = 1, 0, 0) ; 1 v = 0,, 1 ) ; v 3 = onde v 3 é um vetor unitário paralelo ao eixo r. 0, 1, ) 1, Sendo ou seja, x, y, z) = x 1, 0, 0) + y x, y, z) = x v 1 + y v + z v 3, 0, 1, 1 ) + z 0, 1, ) 1, 1) a geratriz e o eixo r nas coordenadas x, y e z são dados por: K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

Geometria Analítica II - Aula 9 18 1 γ : y + z) + 1 y + z) 4 y + z) + 3 = 0 x = 0 y 4 y + z 4 z = 3 γ : x = 0 y ) + z ) = 3 + 4 γ : + 4 = 1 x = 0 e Fig. 38: Rotação do sistema de eixos y + z) = r : x = 0 y + z) y = 0 r : x = 0 r = eixo OZ. Além disso, x = x, y, z), v 1 = x y = x, y, z), v = y z) z = x, y, z), v 3 = y + z). 13) Assim, como, por 7), y = y z ) > 0 para todo ponto P = 0, y, z ) pertencente a γ, devemos substituir z por z e y por x + y em y + z 4 y + z ) + 3 = 0, para obtermos a equação cartesiana de S nas coordenadas x, y e z: x + y + z ) x + y + z + 3 = 0. Fig. 39: Ponto P girando em torno do eixo O Z Logo, por 13), x + 1 y z) + 1 y + z) x + 1 ) y z) + y + z) + 3 = 0 x + y + z x + y z) + y + z) + 3 = 0 x + y + z y + z + ) x + y z) + 3 = 0, é a equação cartesiana de S nas coordenadas x, y e z. IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

19 Geometria Analítica II - Aula 9 Para parametrizarmos a superfície S, devemos primeiro parametrizar a geratriz γ nas coordenadas x, y, z: xs) = 0 γ : ys) = cos s + zs) = sen s +, s R. Assim, xs, t) = + cos s) cos t S : ys, t) = + cos s) sen t zs, t) = sen s +, s, t R, é uma parametrização de S nas coordenadas x, y e z, pois o paralelo P s, contido no plano z = sen s+, é um círculo de centro As) = 0, 0, sen s + ) e raio igual a cos s +. Fig. 40: Parametrização da geratriz γ Finalmente, por 1), xs, t) = xs, t) = + cos s) cos t S : ys, t) = ys, t) + zs, t)) = + cos s) sen t + sen s + ) zs, t) = ys, t) + zs, t)) = + cos s) sen t + sen s + ) é uma parametrização da superfície de revolução S nas coordenadas x, y z., s, t R, Fig. 41: Superfície S, toro de revolução obtido girando a geratriz γ em torno da reta r K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

Geometria Analítica II - Aula 9 0 Exemplo 9 Determine a equação cartesiana e uma equação paramétrica da superfície de revolução S obtida z = y + y = z girando a curva γ :, em torno do eixo r : x = 0 x = 0. A curva γ é uma parábola, contida no plano YZ, de vértice V = 0, 0, ) e eixo-focal = eixo OZ, e r é uma reta paralela ao vetor u = 0, 1, 1) que passa pela origem. Observe que a curva γ não intersecta a reta r. De fato, se existisse P = 0, y, z ) pertencente a γ r, então y = z e z = y + y = y + y y + = 0, que não possui solução real, pois o seu discriminante é = 1 4 < 0, uma contradição. Como o vértice V = 0, 0, ) de γ pertence ao semiplano > y { z x = 0, então, para todo P = 0, y, z ) pertencente a γ, z > y. 14) Fig. 4: Curva γ a rotacionar em torno da reta r Seja O X Y Z o sistema de eixos ortogonais no qual os semi-eixos positivos O X, O Y e O Z têm a mesma direção e o mesmo sentido, respectivamente, dos vetores: v 1 = 1, 0, 0), 1 v = 0,, 1 ), v 3 = 0, 1, ) 1, onde v 3 é um vetor unitário na direção do eixo r. Nesse sistema de eixos, como x, y, z) = x v 1 + y v + z v 3 = x 1, 0, 0) + y 0, 1, 1 ) + z 0, 1, ) 1, 15) temos que: 1 y + z) = 1 γ : y + z) + x = 0 y + z) = y + z) + 4 γ : x = 0 16) e r : { 1 y + z) = 1 y + z) r : y = 0 x = 0 r = eixo OZ, são a geratriz γ e o eixo r nas coordenadas x, y e z. IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

1 Geometria Analítica II - Aula 9 Assim, como, por 15) e por 14), y = x, y, z ), v = 1 y z ) < 0, para todo ponto 0, y, z ) γ, vemos que, por 16): ) x + y + z = x + y + z) + 4 é a equação cartesiana de S nas coordenadas x, y, z. Além disso, sendo x = x, y, z), v 1 = x, y = x, y, z), v = y z), z = x, y, z), v 3 = y + z), 17) Fig. 43: Rotação da curva γ no sistema O X Y Z obtemos que: x + 1 ) y z) + y + z) = x + 1 ) y z) + y + z) + 4 x + y z) + y + z) = 1 x + y z) + y + z)) + 4 é a equação cartesiana de S nas coordenadas x, y e z. Parametrizando γ nas coordenadas x, y e z, xs) = 0 γ : ys) = s, s R, zs) = s + temos, por 17), que: xs) = xs) = 0 γ : ys) = ys) zs)) = s s ), s R, zs) = ys) + zs)) = s + s + ) é uma parametrização de γ nas coordenadas x, y e z. Então, xs, t) = s s + ) cos t S : ys, t) = s s + ) sen t zs, t) = s + s + ) Fig. 44: Curva γ no sistema rotacionado K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

Geometria Analítica II - Aula 9 é uma parametrização de S nas coordenadas x, y e z, pois o paralelo P s, contido no ) plano z = s + s + ), é um círculo de centro As) = 0, 0, s + s + ) e raio igual a s s ) = s s + ). Finalmente, por 15), Fig. 45: Superfície de revolução S xs, t) = xs, t) = s s + ) cos t S : ys, t) = ys, t) + zs, t)) = 1 s s + ) sen t + s + s + ) zs, t) = ys, t) + zs, t)) = 1 s s + ) sen t + s + s + ) é uma parametrização da superfície de revolução S., s, t R Exemplo 10 Seja H a hipérbole, contida no plano π : x+y = 0, com centro no ponto C =, 1, 0), reta focal paralela ao vetor 0, 0, 1), cuja distância do centro aos vértices é de unidades e a distância do centro aos focos é de 4 unidades. a) Determine uma equação paramétrica da hipérbole H. b) Determine a equação cartesiana e uma equação paramétrica da superfície de revolução S obtida girando a hipérbole H em torno da reta xt) = t + r : yt) = t 1 zt) = 0 contida no plano π., t R, IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

3 Geometria Analítica II - Aula 9 a) Sendo a = e c = 4, vemos que b = c a = 16 4 = 3. Por uma translação e uma rotação dos eixos, obtemos um novo sistema de eixos ortogonais O X Y Z, no qual O = C =, 1, 0) e os semi-eixos positivos O X, O Y e O Z possuem, respectivamente, a mesma direção e o mesmo sentido dos vetores unitários: v 1 = 0, 0, 1), v = 5, 1 ), 0 e v 3 = 5 1 5, ), 0. 5 Observe que v 1 é paralelo à reta-focal, v é paralelo à reta não-focal e v 3 é normal ao plano π. Neste sistema de eixos ortogonais, a hipérbole H está contida no plano π : z = 0, tem centro na origem e reta-focal = eixo O X. Então, sendo x H : 4 y 1 = 1 z = 0 obtemos que: xs) = ± cosh s H : ys) = 3 senh s zs) = 0, s R Fig. 46: Hipérbole H é uma parametrização de H nas coordenadas x, y e z. Logo, como x, y, z) = x v 1 + y v + z v 3 + C, 18) vemos que: xs), ys), zs)) = ± cosh s0, 0, 1) + 3 senh s 5, 1 ), 0 +, 1, 0), 5 ou seja, xs) = 4 3 senh s + 5 H : ys) = 3 senh s 1 5 zs) = ± cosh s, s R, é uma parametrização de H nas coordenadas x, y, z b) O eixo de revolução r é a reta paralela ao vetor v O X Y Z, é o eixo O Y. que passa pelo centro C que, no sistema Assim, no sistema O X Y Z, S é a superfície de revolução obtida girando a hipérbole K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

Geometria Analítica II - Aula 9 4 x H : 4 y 1 = 1 z = 0, em torno do eixo O Y. Devemos, então, substituir y por y e x por ± x + z na equação x 4 y 16 = 1, para obtermos a equação cartesiana de S nas variáveis x, y e z: x + z 4 y 16 = 1 x 4 y 16 + z 4 = 1 19) Observe que aplicando a um ramo da hipérbole H uma rotação de 180 o em torno do eixo O Y obtemos o outro ramo. Portanto, basta escolher um desses ramos para gerar S. Sendo xs) = cosh s γ : ys) = 3 sinh s, s R, zs) = 0 uma parametrização de um ramo da hipérbole, temos que: xs, t) = cosh s cos t S : ys, t) = 3 sinh s, s, t R, 0) zs, t) = cosh s sen t é uma parametrização de S nas coordenadas x, y e z, pois o paralelo P s, contido no plano y = 3 senh s, é um círculo de centro As) = 0, 3 senh s, 0) e raio igual a cosh s. Fig. 47: Paralelo P s de centro A s = As) passando por γs) IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

5 Geometria Analítica II - Aula 9 Como x, y, z) = x0, 0, 1) + y 5, 1 ) ) 1, 0 + z 5,, 0 +, 1, 0), 1) 5 5 obtemos que: x = x, y, z), 1, 0), 0, 0, 1) = z, y = z = x, y, z), 1, 0), 5, 1 ), 0 = 1 x 4 y 1) = 1 x y 5), 5 5 5 ) 1 x, y, z), 1, 0), 5,, 0 = 1 x + y + ) = 1 x + y). 5 5 5 ) Então, por 0) e 1) xs, t) = 4 3 senh s + cosh s sen t + 5 5 S : ys, t) = 3 senh s + 4 cosh s sen t 1 5 5 zs, t) = cosh s cos t, s, t R é uma parametrização de S e, por 19) e ), z 4 1 16 5 x y 5) + 1 4 5 x + y) = 1 0z x y 5) + 4x + y) = 80 0z x y) + 10x y) 5 + 4x + 8xy + 16y = 80 0z 4x + 4xy y + 0x 10y 5 + 4x + 8xy + 16y = 80 15y + 0z + 1xy + 0x 10y 105 = 0 é a equação cartesiana da superfície de revolução S, nas coordenadas x, y e z. Exemplo 11 Seja P a parábola contida no plano π : x + z = 0, com vértice no ponto V =, 0, 1) e foco no ponto F = 4, 0, ). a) Parametrize a parábola P. b) Determine a equação cartesiana e uma equação paramétrica da superfície de revolução S obtida girando a parábola P em torno da reta l contida no plano π que passa pelo foco F e é perpendicular à reta-focal da parábola. a) Como, pelo item b), a superfície S é obtida girando a parábola em torno da reta l contida no plano π que passa pelo foco e é perpendicular à reta-focal r da parábola, vamos fazer K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

Geometria Analítica II - Aula 9 6 uma translação e uma rotação dos eixos coordenados para obter um novo sistema de eixos ortogonais O X Y Z, no qual O = F e os semi-eixos positivos O X, O Y, O Z têm a mesma direção e o mesmo sentido, respectivamente, dos vetores unitários: VF v 1 = = 5, 0, 1 ) r) VF 5 v = v 3 v 1 = 0, 1, 0) l) ) 1 v 3 = 5, 0, π). 5 Neste sistema de eixos, a parábola está contida no plano π : z = 0 e tem foco na origem, reta-focal = eixo O X, p = dv, F) = 5, vértice V = 5, 0, 0), ou seja, y = 4 5 x + 5) P : z = 0. Fig. 48: Parábola P no plano π Fig. 49: Ponto γs) na parábola P descrevendo o paralelo de centro As) Sendo xs) = s 4 5 5 = s 0 4 5 γ : ys) = s zs) = 0, s R, 3) uma parametrização de P nas coordenadas x, y, z, e x, y, z) = x v 1 + y v + z v 3 + F, 4) IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

7 Geometria Analítica II - Aula 9 temos que: ou seja, xs), ys), zs)) = s 0 4 5 xs) = s 0) 0 P : ys) = s zs) = s 0 0 5, 0, 1 5 ) + s0, 1, 0) + 4, 0, ), + 4 = s + 0 10 = s 0 0 é uma parametrização de P nas coordenadas x, y, z., s R, b) Por 3), o paralelo contido no plano y = s é um círculo de centro As) = 0, s, 0) e raio igual a s 0 4 5. Assim, x = s 0 4 cos t 5 S : y = s, s, t R, z = s 0 4 sen t 5 é uma parametrização de S nas coordenadas x, y, z. Então, por 4), { s S = 0 4 cos t 5 ou seja, 5, 0, 1 ) + s0, 1, 0) + s 0 5 4 5 xs, t) = s 0 10 S : ys, t) = s zs, t) = s 0 0 cos t + s 0 0 é uma parametrização de S nas coordenadas x, y, z. cos t + s 0 10 1 sen t 5, 0, sen t + 4 sen t ) } + 4, 0, ) 5 s, t R, Como, nas coordenadas x, y, z, o eixo de revolução é o eixo O Y, devemos substituir na equação da geratriz, y ) = 4 5x + 5), y por y e x por ± x + z, para obtemos a equação cartesiana da superfície de revolução S nestas coordenadas: S : y = 4 5 ± x + z + ) 5 S : y 0 = ±4 5 x + z S : ) y 0 = 80 x + z ). 5) K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

Geometria Analítica II - Aula 9 8 Além disso, por 4), x = x, y, z) 4, 0, ), v 1 = x 4) 5 z + 5 = y = x, y, z) 4, 0, ), v = y ; z = x, y, z) 4, 0, ), x 4 z + ) v 3 = + 5 5 x z 10 5 ; = x + z 5 ; Então, por 5), S : y 0) = 80 5 Fig. 50: Superfície S nos sistemas OXYZ e O X Y Z x z 10) + x + z) ) S : y 4 40y + 400 = 164x + z 4xz 0x z) + 100 + x + 4z + 4xz) S : y 4 + 80x + 40y + 80z 640x + 30z + 100 = 0 é a equação cartesiana de S nas coordenadas x, y, z. IM-UFF K. Frensel - J. Delgado