GRANDEZAS PROPORCIONAIS Matemática Financeira HERCULES SARTI Mestre
Profº. Hércules Sarti Bacharel e Licenciado em Matemática. Mestre em Educação Matemática. 16 anos no Ensino Superior. Disciplinas: Estatística, Matemática Financeira e Geometria. Cursos: Segurança do Trabalho, Administração e Matemática. Matemática (E. Fundamental e Médio) Casado, 2 filhas e Paulistano.
Proporções Proporção é a igualdade de duas razões. a b c d
Proporções a b c d a, c antecedentes (numeradores) b, d conseqüentes (denominadores)
Proporções a b c d a, c antecedentes (numeradores) b, d conseqüentes (denominadores) a. d b. c O produto dos extremos é igual ao produto dos meios
Exercício E1 Escreva uma proporção cujas razões sejam iguais a ¼ e cujos conseqüentes sejam 28 e 6.
Exercício E1 Escreva uma proporção cujas razões sejam iguais a ¼ e cujos conseqüentes sejam 28 e 6. 1 4 28 6
Exercício E1 Escreva uma proporção cujas razões sejam iguais a ¼ e cujos conseqüentes sejam 28 e 6. 1 4 28 6 28 : 4 6 : 4 7 9
Exercício E1 Escreva uma proporção cujas razões sejam iguais a ¼ e cujos conseqüentes sejam 28 e 6. 1 4 28 6 7 28 9 6
Exercício E Dois números, cuja diferença é 12, estão na relação 8/5. Quais são esses números?
Exercício E Dois números, cuja diferença é 12, estão na relação 8/5. Quais são esses números? a b 12 a b 8 5
Exercício E Dois números, cuja diferença é 12, estão na relação 8/5. Quais são esses números? a b 12 a b 8 5 5 a 8b
Exercício E Dois números, cuja diferença é 12, estão na relação 8/5. Quais são esses números? a b 12 a b 8 5 a b 12 5a 8b 0 5 a 8b
Exercício E Dois números, cuja diferença é 12, estão na relação 8/5. Quais são esses números? a b 12 a b 8 5 a b 12 5a 8b 0 8a 5a + 8b 8b 96 0 5 a 8b
Exercício E Dois números, cuja diferença é 12, estão na relação 8/5. Quais são esses números? a b 12 a b 8 5 a b 12 5a 8b 0 8a 5a + 8b 8b 96 0 5 a 8b
Exercício E Dois números, cuja diferença é 12, estão na relação 8/5. Quais são esses números? a b 12 a b 8 5 a b 12 5a 8b 0 8a + 8b 96 5a 8b 0 a 96 5 a 8b
Exercício E Dois números, cuja diferença é 12, estão na relação 8/5. Quais são esses números? a b 12 a b 8 5 5 a 8b a b 12 5a 8b 0 8a + 8b 96 5a 8b 0 a 96 a 2
Exercício E Dois números, cuja diferença é 12, estão na relação 8/5. Quais são esses números? a b 12 a b 8 5 5 a 8b a b 12 5a 8b 0 2 b 12 8a + 8b 96 5a 8b 0 a 96 a 2
Exercício E Dois números, cuja diferença é 12, estão na relação 8/5. Quais são esses números? a b 12 a b 8 5 5 a 8b a b 12 5a 8b 0 2 b 12 b 20 8a + 8b 96 5a 8b 0 a 96 a 2
Exercício E7 Qual é o número que, diminuído de unidades, está para o seu consecutivo assim como 5 está para 6?
Exercício E7 Qual é o número que, diminuído de unidades, está para o seu consecutivo assim como 5 está para 6? x x + 1 5 6
Exercício E7 Qual é o número que, diminuído de unidades, está para o seu consecutivo assim como 5 está para 6? x x + 1 5 6 6 ( x ) 5 ( x + 1)
Exercício E7 Qual é o número que, diminuído de unidades, está para o seu consecutivo assim como 5 está para 6? x x + 1 5 6 6 ( x ) 5 ( x + 1) 6 x 18 5x + 5
Exercício E7 Qual é o número que, diminuído de unidades, está para o seu consecutivo assim como 5 está para 6? x x + 1 5 6 6 ( x ) 5 ( x + 1) 6 x 18 5x + 5 6 x 5x 5 + 18
Exercício E7 P1 Qual é o número que, diminuído de unidades, está para o seu consecutivo assim como 5 está para 6? x x + 1 5 6 6 ( x ) 5 ( x + 1) 6 x 18 5x + 5 6 x 5x 5 + 18 x 2
Exercício E8 A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números?
Exercício E8 A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números? a + b + c 555
Exercício E8 A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números? a + b + c 555 a 8 b 5
Exercício E8 A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números? a + b + c 555 a 8 b 5 5 a 8b
Exercício E8 A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números? a + b + c 555 a 8 b 5 5 a 8b a b 69
Exercício E8 A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números? a + b + c 555 a 8 b 5 5 a 8b a b 69 a b 69 5a 8b 0
Exercício E8 A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números? a + b + c 555 a 8 b 5 5 a 8b a b 69 a b 69 5a 8b 0 8a + 8b 552 5a 8b 0
Exercício E8 A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números? a + b + c 555 a 8 b 5 5 a 8b a b 69 a b 69 5a 8b 0 8a + 8b 552 5a 8b 0
Exercício E8 A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números? a + b + c 555 a 8 b 5 5 a 8b a b 69 a b 69 5a 8b 0 8a + 8b 552 5a 8b 0 a 552
Exercício E8 A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números? a + b + c 555 a 8 5a 8b 0 5a 8b 0 b 5 a 552 5 a 8b a 184 a b 69 a b 69 8a + 8b 552
Exercício E8 A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números? a + b + c 555 a 8 5a 8b 0 5a 8b 0 b 5 184 b 69 a 552 5 a 8b a 184 a b 69 a b 69 8a + 8b 552
Exercício E8 A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números? a + b + c 555 a 8 5a 8b 0 5a 8b 0 b 5 184 b 69 a 552 5 a 8b b 115 a 184 a b 69 a b 69 8a + 8b 552
Exercício E8 A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números? a + b + c 555 a 8 5a 8b 0 5a 8b 0 b 5 184 b 69 a 552 5 a 8b b 115 a 184 a b 69 a b 69 184 + 115 + c 8a + 8b 555 552
Exercício E8 A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números? a + b + c 555 a 8 5a 8b 0 5a 8b 0 b 5 184 b 69 a 552 5 a 8b b 115 a 184 a b 69 a b 69 8a + 8b 552 184 + 115 + c 555 c 256
Proporção Múltipla a b Propriedade: c... d A soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo conseqüente. m n a b + + c d +... + m +... + n a b c d... m n
Exemplo : Determine dois números, sabendo que sua soma é 70 e que a razão entre eles é 2/.
Exemplo : Determine dois números, sabendo que sua soma é 70 e que a razão entre eles é 2/. x + y 70
Exemplo : Determine dois números, sabendo que sua soma é 70 e que a razão entre eles é 2/. x + y 70 x y 2
Exemplo : Determine dois números, sabendo que sua soma é 70 e que a razão entre eles é 2/. x + y x y x 2 2 y 70
Exemplo : Determine dois números, sabendo que sua soma é 70 e que a razão entre eles é 2/. x + y x y x 2 2 y 70 x + 2 + y x 2
Exemplo : Determine dois números, sabendo que sua soma é 70 e que a razão entre eles é 2/. x + y x y x 2 2 y 70 x + y x 2 + 2 70 x 5 2
Exemplo : Determine dois números, sabendo que sua soma é 70 e que a razão entre eles é 2/. x + y x y x 2 2 y 70 x + y x 2 + 2 70 x 5 2 5 x 140
Exemplo : Determine dois números, sabendo que sua soma é 70 e que a razão entre eles é 2/. x + y x y x 2 2 y 70 x + y x 2 + 2 70 x 5 2 5 x 140 x 28
Exemplo : Determine dois números, sabendo que sua soma é 70 e que a razão entre eles é 2/. x + y x y x 2 2 y 70 x + y x 2 + 2 70 x 5 2 5 x 140 x 28 x + 2 + y y
Exemplo : Determine dois números, sabendo que sua soma é 70 e que a razão entre eles é 2/. x + y x y x 2 2 y 70 x + y x 2 + 2 70 x 5 2 5 x 140 x 28 x + y y 2 + 70 y 5
Exemplo : Determine dois números, sabendo que sua soma é 70 e que a razão entre eles é 2/. x + y x y x 2 2 y 70 x + y x 2 + 2 70 x 5 2 5 x 140 x 28 x + y y 2 + 70 y 5 5 y 210
Exemplo : Determine dois números, sabendo que sua soma é 70 e que a razão entre eles é 2/. x + y x y x 2 2 y 70 x + y y 2 + 70 y 5 5 x 140 5 y 210 x 28 y 42 x + y x 2 + 2 70 x 5 2
Grandezas diretamente proporcionais Exemplo 5: Sendo X e Y grandezas diretamente proporcionais, calcule os valores de a e b nas seqüências X (7, 9, b) e Y (21, a, 9).
Grandezas diretamente proporcionais Exemplo 5: Sendo X e Y grandezas diretamente proporcionais, calcule os valores de a e b nas seqüências X (7, 9, b) e Y (21, a, 9). Sendo k a razão de proporcionalidade k 21 7
Grandezas diretamente proporcionais Exemplo 5: Sendo X e Y grandezas diretamente proporcionais, calcule os valores de a e b nas seqüências X (7, 9, b) e Y (21, a, 9). Sendo k a razão de proporcionalidade 21 a k a 27 7 9
Grandezas diretamente proporcionais Exemplo 5: Sendo X e Y grandezas diretamente proporcionais, calcule os valores de a e b nas seqüências X (7, 9, b) e Y (21, a, 9). Sendo k a razão de proporcionalidade 21 a k a 27 7 9 9 b 1 b
Exercício E16: Determine os quatro menores números inteiros proporcionais aos números:, 8 2, 5 4, 8 5
Exercício E16: Determine os quatro menores números inteiros proporcionais aos números: m. m. c.(8,,4,5) 8, 2, 5 4, 8 5 8,, 4, 5 4,, 2, 5 2,,1, 5 1,,1, 5 1,1, 1,1, 1, 5 1,1 2 2 2 5 120
Exercício E16: Determine os quatro menores números inteiros proporcionais aos números: m. m. c.(8,,4,5) 120 8, 2, 5 4, 8 5 8,, 4, 5 4,, 2, 5 2,,1, 5 1,,1, 5 1,1, 1,1, 1, 5 1,1 2 2 2 5 120
Exercício E16: Determine os quatro menores números inteiros proporcionais aos números: m. m. c.(8,,4,5) 120 120 8 45, 8 2, 5 4, 8 5
Exercício E16: Determine os quatro menores números inteiros proporcionais aos números: m. m. c.(8,,4,5) 120 120 8 45, 8 2, 5 4 2 120, 8 5 80
Exercício E16: Determine os quatro menores números inteiros proporcionais aos números: m. m. c.(8,,4,5) 120 120 8 5 120 4 45 150, 8 2, 5 4 2 120, 8 5 80
Exercício E16: P2 Determine os quatro menores números inteiros proporcionais aos números: m. m. c.(8,,4,5) 120 120 8 45 2 120 80 5 8 120 150 120 192 4 5 8, 2, 5 4, 8 5
Grandezas inversamente proporcionais Exemplo 7: Determine os valores da a e b nas seqüências de números inversamente proporcionais X(2,, b) e Y(15, a, 5).
Grandezas inversamente proporcionais Exemplo 7: Determine os valores da a e b nas seqüências de números inversamente proporcionais X(2,, b) e Y(15, a, 5). Sendo k a razão de proporcionalidade K' 2 15 K' 0
Grandezas inversamente proporcionais Exemplo 7: Determine os valores da a e b nas seqüências de números inversamente proporcionais X(2,, b) e Y(15, a, 5). Sendo k a razão de proporcionalidade K' 2 15 K' 0 a 0 a 10
Grandezas inversamente proporcionais Exemplo 7: Determine os valores da a e b nas seqüências de números inversamente proporcionais X(2,, b) e Y(15, a, 5). Sendo k a razão de proporcionalidade K' 2 15 K' 0 a 0 a 5 b 0 b 10 6
Divisão em partes diretamente proporcional E19. Para montar um negócio, um dos dois sócios entra com R$12.000,00 a mais do que o outro. O capital é dividido em 1.000 cotas, ficando, dessa forma o primeiro com 8.000 e o segundo com 5.000 cotas. Com quanto entrou cada um?
Divisão em partes diretamente proporcional E19. Para montar um negócio, um dos dois sócios entra com R$12.000,00 a mais do que o outro. O capital é dividido em 1.000 cotas, ficando, dessa forma o primeiro com 8.000 e o segundo com 5.000 cotas. Com quanto entrou cada um? 1º sócio x + 12000 2º sócio x
Divisão em partes diretamente proporcional E19. Para montar um negócio, um dos dois sócios entra com R$12.000,00 a mais do que o outro. O capital é dividido em 1.000 cotas, ficando, dessa forma o primeiro com 8.000 e o segundo com 5.000 cotas. Com quanto entrou cada um? 1º sócio x + 12000 2º sócio x x + 12000 x 8000 5000 8 5
Divisão em partes diretamente proporcional E19. Para montar um negócio, um dos dois sócios entra com R$12.000,00 a mais do que o outro. O capital é dividido em 1.000 cotas, ficando, dessa forma o primeiro com 8.000 e o segundo com 5.000 cotas. Com quanto entrou cada um? 1º sócio x + 12000 2º sócio x x + 12000 x 8000 5000 8x 5 ( x + 12000) 8 5
Divisão em partes diretamente proporcional E19. Para montar um negócio, um dos dois sócios entra com R$12.000,00 a mais do que o outro. O capital é dividido em 1.000 cotas, ficando, dessa forma o primeiro com 8.000 e o segundo com 5.000 cotas. Com quanto entrou cada um? 1º sócio x + 12000 2º sócio 8x x 5x + 60 000 x + 12000 x 8000 5000 8x 5 ( x + 12000) 8 5
Divisão em partes diretamente proporcional E19. Para montar um negócio, um dos dois sócios entra com R$12.000,00 a mais do que o outro. O capital é dividido em 1.000 cotas, ficando, dessa forma o primeiro com 8.000 e o segundo com 5.000 cotas. Com quanto entrou cada um? 1º sócio x + 12000 2º sócio 8x x 5x + 60 000 x x + 12000 x 60 000 8000 5000 8x 5 ( x + 12000) 8 5
Divisão em partes diretamente proporcional E19. Para montar um negócio, um dos dois sócios entra com R$12.000,00 a mais do que o outro. O capital é dividido em 1.000 cotas, ficando, dessa forma o primeiro com 8.000 e o segundo com 5.000 cotas. Com quanto entrou cada um? 1º sócio x + 12000 2º sócio 8x x 5x + 60 000 x x + 12000 8000 8 x 5000 5 8x 5 ( x + 12000) 60 000 x 20 000 O 1º entrou com $2.000 e o 2º com $20.000
Regra da Sociedade E2. Uma máquina, que trabalhando sem interrupção fazia 90 fotocópias por minuto, foi substituída por outra 50% mais veloz. Suponha que a nova máquina tenha que fazer o mesmo número de cópias que a antiga, em uma hora de trabalho ininterrupto, fazia. O valor hora/máquina da 1ª é de R$560,00 e o da 2ª é de R$624,00. Quanto ficará fazer este trabalho com a 2ª máquina?
Regra da Sociedade E2. Uma máquina, que trabalhando sem interrupção fazia 90 fotocópias por minuto, foi substituída por outra 50% mais veloz. Suponha que a nova máquina tenha que fazer o mesmo número de cópias que a antiga, em uma hora de trabalho ininterrupto, fazia. O valor hora/máquina da 1ª é de R$560,00 e o da 2ª é de R$624,00. Quanto ficará fazer este trabalho com a 2ª máquina? 1ª máquina 90 cópias/min 5400 cópias/h 90 1,5 15 cópias 5400 :15 40 min 2ª máquina 15 cópias/min 5400 cópias/40 min
Regra da Sociedade PF E2. O valor hora/máquina da 1ª é de R$560,00 e o da 2ª é de R$624,00. Quanto ficará fazer este trabalho com a 2ª máquina? 1ª máquina 90 cópias/min 5400 cópias/h 2ª máquina 15 cópias/min 5400 cópias/40 min Custo da 1ª máquina por hora $560,00 Custo da 2ª máquina por hora $624,00 40 624 60 416 Custo da 2ª máquina por 40 $416,00