Representação de Circuitos Lógicos

1 Representação de Circuitos Lógicos Formas de representação de um circuito lógico: Representação gráfica de uma rede de portas lógicas Expressão booleana Tabela verdade 3 representações são equivalentes: Dado um circuito representado de uma forma, obtemos as outras representações do circuito

2 Representação de Circuito Lógico com Expressão Booleana Expressão booleana de um circuito: Representa o valor do sinal lógico de saída do circuito em função do valor dos sinais lógicos de entrada Operações lógicas: NOT: complemento AND ( ): multiplicação booleana (operador pode ser omitido) OR (+): adição booleana Precedência das operações lógicas: NOT, AND, OR Exemplos: X = A + B + C + D Y = A B C D Z = A (B + C D) W = A (B + C D) K = A + B + C D T = A B C + A B C + A C

3 Representação Gráfica de Circuito Lógico Rede de portas lógicas interligadas Convenções: Em geral, sinais de entrada do lado esquerdo Em geral, sinais de saída do lado direito Em geral, sinais fluem da esquerda para direita Conexão entre fios: simbolizada por Exemplo:

4 Representação de Circuito Lógico com Tabela Verdade Tabela Verdade de um circuito lógico: Representa o valor do sinal lógico de saída do circuito para todos os possíveis valores dos sinais lógicos de entrada Dado um circuito com n entradas, tabela verdade possui: Uma coluna para: Cada sinal de entrada do circuito Sinal de saída do circuito 2 n linhas Convenção: Valores das entradas em ordem crescente na sequência binária Exemplo: Entradas Saída A B C A + B C 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

5 Expressão Booleana a partir de Circuito Lógico Dado um circuito lógico, obter expressão booleana: Da esquerda da direita, escreve expressão booleana de cada porta lógica Exemplo: X = A (B + C D)

Exemplo: Expressão Booleana a partir de Circuito Lógico 6

Exemplo: Expressão Booleana a partir de Circuito Lógico 7

8 Circuito Lógico a partir de Expressão Booleana Dado uma expressão booleana, obter circuito lógico: Listar todos os sinais de entrada do lado esquerdo Colocar portas lógicas de acordo com precedência das operações Exemplo: X = A B + B C D + A C

9 Exemplo: Circuito Lógico a partir de Expressão Booleana X = A (B + C D)

10 Exemplo: Circuito Lógico a partir de Expressão Booleana Y = A B + C D

11 Exemplo: Circuito Lógico a partir de Expressão Booleana Z = A B C D + A B C + B C D

12 Exemplo: Circuito Lógico a partir de Expressão Booleana Z = A B C D + A B C + B C D

13 Tabela Verdade a partir de Expressão Booleana Dado uma expressão booleana, obter tabela verdade: Montar tabela verdade Criar colunas para avaliar sub-expressões Avaliar expressão completa Exemplo: X = A (B + C) Entradas Auxiliares Saída A B C A B + C A (B + C) 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0

14 Exemplo: Tabela Verdade a partir de Expressão Booleana Entradas Auxiliares Saída A B C D X = A (B + C D) 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1

15 2 circuitos equivalentes: Equivalência de Circuitos Produzem o mesmo valor de saída para os mesmos valores de entrada Determinar se 2 circuitos são equivalentes: Usando a tabela verdade: Construir tabela verdade para os 2 circuitos Comparar valores das saídas Usando propriedades da Álgebra Booleana: A partir da expressão booleana de um circuito, aplicar propriedades transformando expressão, até chegar na expressão booleana do outro circuito

16 Exemplo: Equivalência de Circuitos Equivalentes? X = A XOR B e Y = A B + A B Entradas Saída Saída A B X = A B Y = A B + A B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Exemplo: Equivalência de Circuitos Equivalentes? Entradas Auxiliares Saída Saída A B C A B + A (B+C) + B (B+C) B + A C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 17

18 Propriedade comutativa Propriedade associativa Propriedade distributiva Identidades Teorema de De Morgan Propriedades da Álgebra Booleana

19 Propriedade Comutativa Para OR: A + B = B + A Para AND: A B = B A

20 Propriedade Associativa Para OR: A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C Para AND: A (B C) = (A B) C = A B C

Propriedade Distributiva Para AND: A (B + C) = A B + A C Para OR: A + (B C) = (A + B) (A + C) Entradas Saída Saída A B C A + (B C) (A + B) (A + C) 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 21

22 Lei do Elemento Neutro Para OR: A + 0 = A Para AND: A 1 = A

23 Para OR: A + 1 = 1 Lei do Elemento Dominante Para AND: A 0 = 0

24 Lei da Idempotência Para OR: A + A = A Para AND: A A = A

25 Para OR: A + A = 1 Lei do Complemento Para AND: A A = 0 Para NOT: A = A

26 Lei da Absorção Para OR: A + A B = A Entradas Saída A B A + A B 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 Para AND: A (A + B) = A Entradas Saída A B A (A + B) 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1

27 Para OR: A + A B = A 1 + A B = A (1 + B) = A 1 = A Lei da Absorção A + A B = A Elemento Neutro Distributiva Elemento Dominante Elemento Neutro Para AND: A (A + B) = A A + A B = A + A B = A 1 + A B = A (1 + B) = A 1 = A A (A + B) = A Distributiva Idempotência Elemento Neutro Distributiva Elemento Dominante Elemento Neutro

28 Lei da Identidade Auxiliar Para OR: A + A B = A + B Entradas Saída Saída A B A + A B A + B 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 Para AND: A (A + B) = A B Entradas Saída Saída A B A (A + B) A B 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1

29 Lei da Identidade Auxiliar Para OR: A + A B = A + B A + A B = A + A B + A B = A + B (A + A) = A + B 1 = A + B Absorção Distributiva Complemento Elemento Neutro Para AND: A (A + B) = A B A (A + B) = A A + A B = Distributiva Complemento 0 + A B = Elemento Neutro A B

30 Lei de De Morgan Para OR: A + B = A B Entradas Saída Saída A B A + B A B 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 Para AND: A B = A + B Entradas Saída Saída A B A B A + B 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0

31 Lei de De Morgan Para OR: A + B = A B A + B + C = A B C Para AND: A B = A + B A B C = A + B + C

32 Simplificação de Circuitos Lógicos Métodos de simplificação de circuitos: Aplicação das leis da Álgebra Booleana Mapa de Karnaugh Simplificação do circuito lógico: Obter circuito lógico equivalente ao original, com menos portas lógicas ou portas lógicas mais simples Minimização do circuito lógico: Obter circuito lógico equivalente ao original, com o menor número de portas lógicas possível

33 Simplificação de Circuito usando Leis da Álgebra Booleana Exemplo: AB + A(B + C) + B(B + C) = AB + AB + AC + BB + BC = AB + AC + BB + BC = AB + AC + B + BC = AB + AC + B = AB + B + AC = Distributiva Idempotência Idempotência Absorção Comutatividade Absorção B + AC

34 Simplificação de Circuito usando Leis da Álgebra Booleana Exemplo: A B + A C + A B C = De Morgan (A B) (A C) + A B C = De Morgan (A + B) (A C) + A B C = De Morgan (A + B) (A + C) + A B C = Distributiva A A + A B + A C + B C + A B C = A + A B + A C + B C + A B C = A + A C + B C + A B C = A + B C + A B C = Idempotência Absorção Absorção Absorção A + B C

35 Formas Padronizadas de Expressões Booleanas Toda expressão booleana pode ser convertida para formas padronizadas Objetivo: Facilitar a simplificação do circuito Formas padronizadas: Soma de Produtos Soma de Mintermos Produto de Somas Produto de Maxtermos...

Soma de Produtos (SOP) Soma de Produtos (Sum-Of-Products): Expressão booleana é soma (OR) de parcelas Cada parcela é produto (AND) de sinais de entrada ou seus complementos Exemplos: Expressões na forma SOP: A B + A B C A B + A B C + A C A B C A + A B C + B C D Expressões não estão na forma SOP: A (B + C D) (A + B) (A + C) A B C + A B 36

37 Produtos de Somas (POS) Produtos de Somas (Product-Of-Sums): Expressão booleana é produto (AND) de fatores Cada fator é soma (OR) de sinais de entrada ou seus complementos Exemplos: Expressões na forma POS: (A + B) (A + B + C) (A + B + C) (C + D + E) (B + C + D) A (A + B + C) A + B + C Expressões não estão na forma POS: A B + A B C (A + B + C) (A + B)

38 Circuito Lógico de uma Soma de Produtos Circuito lógico obtido a partir de expressão booleana na forma SOP: Portas NOT para os sinais de entrada Uma porta AND para cada parcela: Entradas: sinais de entrada ou seus complementos Saída: produto Uma porta OR: Entradas: produtos Saída: resultado da expressão booleana 2 níveis de lógica Exemplo:

39 Circuito Lógico de um Produto de Somas Circuito lógico obtido a partir de expressão booleana na forma POS: Portas NOT para os sinais de entrada Uma porta OR para cada fator: Entradas: sinais de entrada ou seus complementos Saída: soma Uma porta AND: Entradas: somas Saída: resultado da expressão booleana 2 níveis de lógica Exemplo:

40 Mintermos e Maxtermos Dada uma função boolena com n sinais de entrada Mintermo: Corresponde a uma linha da tabela verdade Produto (AND) dos n sinais de entrada: Se sinal é 1, sinal de entrada é usado diretamente Se sinal é 0, sinal de entrada é complementado Maxtermo: Corresponde a uma linha da tabela verdade Soma (OR) dos n sinais de entrada: Se sinal é 0, sinal de entrada é usado diretamente Se sinal é 1, sinal de entrada é complementado

41 Exemplo: Mintermos e Maxtermos Entradas Saída Termos A B C X Mintermos Maxtermos 0 0 0 1 m 0 = A B C M 0 = A + B + C 0 0 1 0 m 1 = A B C M 1 = A + B + C 0 1 0 1 m 2 = A B C M 2 = A + B + C 0 1 1 1 m 3 = A B C M 3 = A + B + C 1 0 0 0 m 4 = A B C M 4 = A + B + C 1 0 1 0 m 5 = A B C M 5 = A + B + C 1 1 0 1 m 6 = A B C M 6 = A + B + C 1 1 1 1 m 7 = A B C M 7 = A + B + C

42 Soma de Mintermos a partir da Tabela Verdade Dada a tabela verdade, obter expressão booleana na forma SOP: Expressão booleana: Soma (OR) de mintermos das linhas da tabela verdade em que saída é 1 Exemplo: Entradas Saída A B X 0 0 0 0 1 1 m 1 = A B 1 0 1 m 2 = A B 1 1 0 X = m 1 + m 2 = A B + A B

43 Produto de Maxtermos a partir da Tabela Verdade Dada a tabela verdade, obter expressão booleana na forma POS: Expressão booleana: Produto (AND) de maxtermos das linhas da tabela verdade em que saída é 0 Exemplo: Entradas Saída A B X 0 0 0 M 0 = A + B 0 1 1 1 0 1 1 1 0 M 3 = A + B X = M 0 M 3 = (A + B) (A + B)

Exemplo: Soma de Mintermos e Produto de Maxtermos Entradas Saída Mintermo Maxtermo A B C X 0 0 0 0 M 0 0 0 1 0 M 1 0 1 0 0 M 2 0 1 1 1 m 3 1 0 0 1 m 4 1 0 1 0 M 5 1 1 0 1 m 6 1 1 1 1 m 7 X = m 3 + m 4 + m 6 + m 7 = A B C + A B C + A B C + A B C X = M 0 M 1 M 2 M 5 = (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) 44

45 Exemplo: SOP e POS a partir da Tabela Verdade Entradas Saída A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

46 Equivalência de Circuitos: SOP e POS Entradas Saída A B X 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 SOP: X = A B + A B POS: X = (A + B) (A + B) A B + A B? (A + B) (A + B) Entradas Auxiliares Saída Auxiliares Saída A B A B A B A B + A B A + B A + B (A + B) (A + B) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0

47 Equivalência de Circuitos: SOP e POS SOP: X = A B + A B POS: X = (A + B) (A + B) A B + A B? (A + B) (A + B) (A + B) (A + B) = Distributiva A A + A B + B A + B B = Complemento 0 + A B + B A + 0 = Elemento Neutro A B + B A = Comutatividade A B + A B