Cálculo Diferencial e Integral I

Cálculo Diferencial e Integral I 1 Os Números reais e suas propriedades O conjunto R dos números reais satisfaz algumas propriedades fundamentais: dados quaisquer x, y R, estão definidos a soma x + y e produto xy e tem-se 1 - x + y = y + x; x + (y + z) = (x + y) + z (a soma é comutativa e associativa); 2 - xy = yx; x(yz) = (xy)z (o produto é comutativo e associativo); 3 - x(y + z) = xy + xz (o produto é distributivo em relação à soma); 4 - existe um elemento neutro para a soma (o zero 0) 0 + x = x, x; 5 - todo o x tem um simétrico x tal que x + ( x) = 0; 6 - existe um elemento neutro para o produto (o um 1) 1x = x, x; 7 - todo o x 0 tem um inverso, que se representa por x 1 ou por 1 x, tal que xx 1 = 1. Como consequência destas propriedades deduzem-se todas as propriedades aritméticas dos números reais, incluindo as leis do corte : x + y = x + z ( x) + (x + y) = ( x) + (x + z) (( x) + x) + y = (( x) + x) + z y = z e x 0 xy = xz y = z que implicam por sua vez que o simétrico e o inverso de x são únicos; e as regras de sinais : note-se primeiro que, por 5, se tem a + x = x a = 0; portanto, usando 3 e 6, 0x + x = (0 + 1)x = x 0x = 0; 1

e então ( x)y + xy = (( x) + x)y = 0y = 0 donde se conclui que ( x)y = (xy), e portanto também ( x)( y) = (x( y)) = xy. Estas propriedades são constantemente aplicadas no cálculo; por exemplo, na igualdade, válida para quaisquer a, b R, (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 esto envolvidas a propriedade comutativa da soma e do produto bem como a distributividade do produto em relação à soma. Um outro exemplo, em que se aplica esta fórmula: Exemplo 1.1 4x 2 + x 3 = 0 4x 2 + 2 1 4 2x + 1 16 1 16 3 = 0 ( 2x + 1 ) 2 = 49 4 16 2x + 1 4 = 7 4 2x + 1 4 = 7 4 x = 3 4 x = 1 Este exemplo generaliza-se facilmente para a dedução da conhecida fórmula resolvente dos polinómios de segundo grau. Além disso, está definida em R uma relação < satisfazendo as condições seguintes: 8 - x < y y < z x < z; 9 - x, y verifica-se uma e uma só das condições 10 - x < y x + z < y + z; 11 - x < y 0 < z xz < yz; x < y, y < x, x = y; As propriedades 8 e 9 definem < como uma relação de ordem total, enquanto que 10 e 11 descrevem a relação entre a ordem e as operações aritméticas. 2

Notação 1.2 Usamos igualmente a notação x y para a condição x < y x = y. O conjunto dos números reais positivos, ou seja designa-se R +. {x R : 0 < x} Como consequência destas propriedades: a) 0 < x < y 0 < (y) 1 < x 1 ; b) x < y y < x; c) k N 0 < x < y 0 < x k < y k ; d) x 0 0 < x 2. Esta relação de ordem traduz a ideia intuitiva de representar os números reais como pontos numa recta. Definição 1.3 A função módulo ou valor absoluto é definida por x se x 0 x = x sex < 0 e corresponde à noção geométrica de distância: x y é a distância entre os pontos correspondentes. O módulo satisfaz as propriedades a) x a < b b < x a < b b) x + y x + y c) xy = x y 3

d) x y x z + z y e) x y x y que se deduzem por aplicação directa da definição. Definição 1.4 Dados reais a < b, o intervalo aberto ]a, b[ é definido como sendo o conjunto {x R : a < x < b}, e o intervalo fechado [a, b] é {x R : a x b}. Além disso ], a[= {x R : x < a} ]a, + [= {x R : a < x} e de forma análoga para os intervalos fechados correspondentes. Definição 1.5 Um conjunto X R diz-se limitado se existem a, b R tais que X ]a, b[. Um conjunto X R diz-se aberto se para todo o x X existe um intervalo ]a, b[ tal que x ]a, b[ X. X diz-se fechado se o seu complementar R \ X é aberto. Seguem-se dois exemplos de aplicação das propriedades enunciadas à resolução de inequações: Exemplo 1.6 Determinar as soluções de x 2 1 x x 1 0 Para x > 1, x = x e x 1 = x 1, e a desigualdade fica equivalente a x 2 1 x (x 1) 0 x2 < 1 4

Portanto não existem soluções da inequação em ]1, + [. Se 0 x 1, x = x mas x 1 = 1 x, e portanto a desigualdade fica equivalente a x 2 1 2x 1 0 Como naquele intervalo x 2 1 0, a desigualdade verifica-se se o denominador for positivo ou se o numerador se anular, e obtemos o conjunto solução ]1/2, 1]. Para x < 0, a desigualdade fica equivalente a x 2 1 x (1 x) 0 (x2 1) 0 x 2 1 0 que, naquele intervalo, é equivalente a x 1. Portanto a inequação inicial tem como conjunto solução ], 1] ]1/2, 1] Exemplo 1.7 Determinar as soluções de 2 x 1 3 < 6 2 x 1 3 < 6 6 < 2 x 1 3 < 6 3 2 < x 1 < 9 2 Como o módulo é sempre não negativo, estas desigualdades são equivalentes a x 1 < 9 2 9 2 < x 1 < 9 2 7 2 < x 1 < 11 2 5

1.1 Números racionais e irracionais. Princípio dos Intervalos Encaixados Os números usados em muitas situações práticas elementares (e no cálculo numérico efectivo) são os números racionais, ou seja, os que se podem representar pela razão entre números inteiros Q = { m n : m Z, n N} Quando efectuamos a divisão de m por n, obtemos a representação de m como uma dízima eventualmente periódica. Por exemplo n 5 = 0.833... = 0.8(3) 6 Isso decorre de que os sucessivos restos na divisão tomam sempre valores inteiros entre 0 e n, pelo que o valor de algum desses restos tem que ser repetido, dando lugar a uma sucessão eventualmente periódica de dígitos no quociente e de restos. Reciprocamente, uma dízima eventualmente periódica representa um número racional; seja por exemplo 3.14(15) = 3.14 + 0.00(15); 3.14 = 314 100 se x = 0.(15), tem-se 100x = 15 + x donde se conclui que x = 15 99 e portanto 3.14(15) = 314 100 + 15 9900 = 31101 9900 Observação 1.8 O significado preciso da representação de um número como dízima será esclarecido mais à frente. O conjunto dos racionais satisfaz todas as propriedades 1 a 11 enunciadas mais acima. 6

No entanto, mesmo problemas simples exigem a utilização de números irracionais; o primeiro e mais elementar dos exemplos é-nos dados como consequência do Teorema de Pitágoras: o comprimento a da hipotenusa de um triângulo rectângulo com catetos de comprimento 1 tem que satisfazer a equação a 2 = 2, ou seja a = 2. Ora, se a = m com m, n primos entre si, somos conduzidos a uma n contradição: ( m ) 2 = a 2 = 2 n logo m 2 = 2n 2 e portanto m é par, digamos m = 2k; mas então 2n 2 = (2k) 2 = 4k 2 logo n 2 = 2k 2 e portanto n é par. Assim, m e n são forçosamente ambos pares, contradizendo a hipótese de serem primos entre si. Conclui-se que a não pode ser racional. Raciocínios do mesmo tipo levam à conclusão de que muitas das soluções de equações do tipo p(x) = 0, onde p(x) é um polinómio com coeficientes racionais, não podem ser racionais. Se quisermos conhecer com maior precisão o valor de a, podemos proceder do seguinte modo: é óbvio que 1 < a < 2, isto é, a [1, 2]; como (3/2) 2 = 9/4 > 2, verificamos que a [1, 1.5]; repetindo o cálculo com o ponto médio deste intervalo temos (5/4) 2 = 25 16 < 2 e portanto a [1.25, 1.5]. Vamos determinando assim uma sucessão de intervalos I 0 I 1 I 2 I n de tal modo que o comprimento de I n é 1 2 n e a I n n; por exemplo, para n = 25 obtemos 1.41406247 < a < 1.41406250 7

e é intuitivamente claro que devemos ter {a} = n 0 I n Nota: É claro que a condição necessária para que a intersecção dos intervalos contenha um único elemento não é que o comprimento de I n seja 1 2n, mas sim que esses comprimentos tomem valores arbitrariamente pequenos. Podemos então enunciar a propriedade descrita da seguinte forma: 1.9 Princípio dos Intervalos Encaixados: Se I 0 I 1 I 2 I n é uma sucessão de intervalos fechados encaixados com I n = [a n, b n ] R, tal que m N n : b n a n < 1 m, então existe um único s que pertence à intersecção de todos os intervalos I n : {s} = n 0 I n Aceitando a validade deste princípio, verificamos que no caso concreto da sucessão de intervalos descrita atrás, o número s em questão tem que satisfazer de facto a equação s 2 = 2: temos, para qualquer n, s 2 2 = s 2 x 2 n + x 2 n 2 s 2 x 2 n + x 2 n 2 ; ora, como para qualquer n, y n x n = 1 2 n e x n < y n y 0 = 2, temos yn 2 x 2 n = (y n x n )(y n + x n ) = y n + x n < 2y n 2 n 2 1 n portanto x 2 n < 2 < yn 2 2 x 2 n < yn 2 x 2 n < 1 2 n 2 8 2 n 2;

e, do mesmo modo portanto x 2 n < s 2 < y 2 n s 2 x 2 n < y 2 n x 2 n < 1 2 n 2; s 2 2 < 1 2 + 1 n 2 2 = 1 n. n 2 2n 1 Mas o próprio Princípio dos Intervalos Encaixados implica que então s 2 2 = 0 ou seja s 2 = 2: de facto a desigualdade obtida diz-nos que s 2 2 está contido na intersecção dos intervalos I n = [0, 1 2 n ]; esta sucessão de intervalos está nas condições do enunciado e portanto a sua intersecção contém um único número real que tem que ser o 0 (que pertence claramente a todos os I n ). Observação 1.10 Este Princípio não é válido em Q, como vimos atrás pelo exemplo das aproximações de 2; e por outro lado a sua validade em R não pode ser deduzida das outras propriedades fundamentais dos números reais, descritas anteriormente. Mas, juntamente com elas, ele permite caracterizar completamente o conjunto dos números reais: R é um corpo (propriedades 1 a 7) ordenado (propriedades 8 a 11) completo (validade do Princípio dos Intervalos Encaixados). Estas propriedades podem ser tomadas como Axiomas, ou seja, proposições que se assumem como verdades básicas, e a partir das quais se podem demonstrar todas as outras propriedades dos números reais. Note-se que quando representamos um número real como uma dízima infinita, estamos precisamente a definir uma sucessão de intervalos encaixados cuja intersecção é esse número; por exemplo: π = 3.14159265358979323846264... 9

quer dizer que 3 < π < 4 π I 0 = [3, 4] 3.1 < π < 3.2 π I 1 = [3.1, 3.2] 3.14 < π < 3.15 π I 2 = [3.14, 3.15] a < π < b π I 18 = [a, b] onde a = 3.141592653589793238 b = 3.141592653589793239. Os irracionais correspondem às dízimas infinitas não periódicas. Dados racionais a < b existem sempre irracionais no intervalo [a, b]; por exemplo, se m N é tal que 1 < b a, um desses irracionais é m 2 a + 2m Mas dados irracionais α < β também existem racionais no intervalo [α, β]: se as expansões decimais de α e β coincidem até ao n-ésimo dígito (e portanto o (n+1)-ésimo dígito de β é maior que o de α), basta considerar o racional representado pela dízima finita dada pela expansão decimal de β até ao (n+1)-ésimo dígito, seguida de zeros. No entanto, os racionais e os irracionais não estão em pé de igualdade; considere-se, para simplificar, o intervalo [0, 1]. Q [0, 1] pode ser representado como o conjunto dos termos de uma sucessão; dizemos que se trata de um conjunto numerável; por exemplo x 1 = 0; x 2 = 1; x 3 = 1/2; x 4 = 1/3; x 5 = 2/3; 10

x 6 = 1/4; x 7 = 3/4; x 8 = 1/5; x 9 = 2/5; Mas o conjunto de todos os números reais do intervalo [0, 1] não é numerável; dada uma sucessão x n qualquer de termos em [0, 1], mostramos que existe um real a que não pode ser termo dessa sucessão. A ideia é mostrar que existe uma sucessão I n de intervalos encaixados tal que, para cada n N, x n não pertence a I n ; uma construção concreta de uma tal sucessão pode ser a seguinte: x 1 não pertence a pelo menos um dos intervalos [0, 1/3], [1/3, 2/3], [2/3, 1]; escolhemos um desses para I 1 ; dividimos I 1 em três intervalos de comprimento 1 9 ; x 2 não pertence a pelo menos um desses intervalos e escolhemos para I 2 um deles. E assim sucessivamente; o número a que pertence a todos os intervalos I n não pode ser nenhum dos x n. O facto de o conjunto dos racionais ser numerável tem aliás consequências interessantes e um pouco inesperadas: é possível escolher para cada racional do intervalo [0, 1] um intervalo com ponto médio nesse racional, e mesmo assim não cobrir todo o intervalo; suponhamos que, para cada racional m, com 0 m n, temos o intervalo n ] m n 1 m 4n 2, n + 1 2 4n2[; verificamos que, por exemplo, o real 2 não está contido na união destes intervalos: m 2 n 2 = 2m n 2 2n = 4m 2 2n 2 2n(2m + n 2) = 2m 2 n 2 n(2m + n 2) 1 n(2m + n 2) 1 n 2 (2 + 2) 1 4n 2 11

1.2 O Axioma do supremo Um conjunto X R diz-se majorado se existe a R tal que X ], a[; qualquer a que satisfaça esta condição chama-se um majorante de X. Analogamente, X diz-se minorado se existe a R tal que X ]a, + [, e qualquer a que satisfaça esta condição chama-se um minorante de X. De acordo com a definição X é limitado se for majorado e minorado. É claro que se a for majorante de X, qualquer real maior que a também o é: o conjunto dos majorantes de X não é ele próprio majorado; mas o princípio dos intervalos encaixados é equivalente ao 1.11 Axioma do supremo: Se X R é um conjunto não vazio e majorado, o conjunto dos majorantes de X tem um elemento mínimo sup(x), que se designa o supremo de X. Ou seja, sup(x) é um majorante de X e qualquer outro majorante b é maior que sup(x). Esta proposição é ainda equivalente a Se X R é um conjunto não vazio e minorado, o conjunto dos minorantes de X tem um elemento máximo inf(x), que se designa o ínfimo de X; ou seja, inf(x) é um minorante de X e qualquer outro minorante c é menor que inf(x). De facto, dizer que o conjunto X tem ínfimo é equivalente a dizer que X = {y R : y X} tem supremo, e vice-versa. sup(x) é o real que satisfaz as duas condições: 12

i) x X x sup(x) ii) δ > 0, x X : sup(x) δ < x Ou seja, i) diz que sup(x) é majorante de X, e ii) diz que nenhum real menor que sup(x) é majorante de X. Se sup(x) X então ele é o máximo de X. Vamos verificar que de facto o Princípio dos Intervalos Encaixados e o Axioma do supremo são equivalentes. Provamos primeiro que o Princípio dos Intervalos Encaixados implica o Axioma do supremo: Seja X R um conjunto não vazio e majorado; podemos escolher um majorante b 0 e um a 0 que não seja majorante, e definir I 0 = [a 0, b 0 ]. Se a 0 + b 0 2 for majorante de X, definimos a 1 = a 0, b 1 = a 0 + b 0 2 se não for a 1 = a 0 + b 0, b 1 = b 0 2 e pomos I 1 = [a 1, b 1 ]. Continuamos do mesmo modo, o que implica que em cada intervalo I n = [a n, b n ] obtido ao longo do processo de subdivisão, a n não é majorante de X enquanto que b n é. Pelo Princípio dos Intervalos Encaixados, existe um (único) s na intersecção de todos os I n. s tem que ser majorante: caso contrário, existiria x X tal que s < x; mas como os b n são todos majorantes, teríamos a n < s < x b n n ou seja, a intersecção dos I n conteria mais do que um elemento. Mas além disso, s tem que ser o menor dos majorantes: caso contrário, 13

existiria um majorante s menor que s; mas como os a n não são majorantes de X, teríamos a n < s < s b n n e chegamos também a uma contradição. Tal como vimos com o Princípio dos Intervalos Encaixados, o Axioma do supremo implica a Proposição 1.12 : Se a > 0, para qualquer M R existe n N tal que na > M. Demonstração 1.13 De facto, se não fosse assim, o conjunto {na : n N} seria majorado e teria portanto supremo s; como este é o menor dos majorantes, existe n tal que s a < na < s; mas então (n + 1)a = na + a > s a + a = s contradizendo a hipótese de s ser o supremo daquele conjunto. Assumindo agora a validade do Axioma do supremo, se I n = [x n, y n ] for uma sucessão de intervalos encaixados tal que m, n : y n x n < 1 m, o conjunto {x n : n N} é majorado (por exemplo, qualquer y n é um majorante) e portanto tem supremo s; temos então x n s n, mas também s y n n: caso contrário, isto é se existisse n tal que y n < s, esse y n seria um majorante do conjunto {x n } menor que s, contradizendo a definição de supremo. Como s y n para todo o n, temos então s t = inf{y n }. E portanto temos x n s t y n n. Mas pela proposição anterior, se se tivesse s < t existiria um natural m tal que m(t s) > 1 t s > 1 m, 14

enquanto que por outro lado, de acordo com a hipótese sobre os intervalos I n, existe algum n tal que y n x n < 1 m. 1.3 Potências de expoente real Nos parágrafos seguintes aplicam-se as ideias desenvolvidas anteriormente ao estudo das potências a x com 0 < a e x R. A definição dessas potências e a dedução das suas propriedades pode ser feita de forma diferente, como veremos noutro capítulo. Estes parágrafos servem apenas para ilustrar o uso do axioma do supremo (ou do princípio dos intervalos encaixados) e para relembrar aquelas definições e propriedades. Se a R e m N, a m designa o produto de m factores todos iguais a a. As propriedades comutativa e associativa da multiplicação implicam as conhecidas igualdades a m b m = (ab) m, a mn = (a m ) n, a m a n = a m+n ; se quisermos estender esta propriedade a outros expoentes inteiros, temos a m a 0 = a m+0 = a m e portanto tem que ser a 0 = 1; do mesmo modo, se faz sentido definir, para a 0, a m a m = a m+( m) = a 0 = 1, a m = 1 a m, como aliás fizémos logo de início, ao usar a notação a 1 para o inverso de a. Como se lembrou mais atrás, 2 designa o número real positivo tal que 2 2 = 2; é portanto também natural que se use a notação 15

2 = 2 1/2. E, tal como se fez para este caso, podemos demonstrar que, como consequência do Princípio dos Intervalos Encaixados (ou do Axioma do supremo), para qualquer a > 0 e qualquer natural n, existe um real positivo (único) que satisfaz a equação x n = a, e que designamos com uma das notações n a ou a 1/n. E ficam portanto bem definidas, sempre para uma base positiva a, as potências de expoente racional a m n. Estas potências têm as mesmas propriedades referidas acima. Verificamos apenas, como exemplo, a última delas: como ( ) a m n a p nq ( ) q = a m nq ( ) n a p nq ) q = ((a m q ( ) n ) n (a p n q ) q = = (a m ) q (a p ) n = a mq a pn = a mq+pn mas também ( a m n +p q ) nq ) = (a mq+pn nq nq = a mq+pn, a unicidade da raiz implica que a m n a p q = a m n +p q. Dados reais 0 < a < b, tem-se a m < b m para todo o natural m; isso pode verificar-se, por exemplo, usando a factorização b m a m = (b a) m 1 b m k a k que deduziremos mais adiante, e notando que ambos os factores no lado direito da igualdade são positivos. Em consequência, para todo o racional positivo 0 < m n tem-se igualmente a m n < b m n, porque, se fosse a m n b m n 16

o mesmo raciocínio implicaria ( ) a m = a m n ( ) n b m n n = b m. Por outro lado, se 1 < a, então a m < a m+1, para todo o natural m, enquanto que se 0 < a < 1 se tem a m+1 < a m. O mesmo raciocínio dos parágrafos anteriores mostra que se 1 < a e 0 < m n < p q então a m n < a p q, enquanto que se 0 < a < 1 se tem a desigualdade contrária. Estas observações conduzem à definição de potências com expoente real qualquer: dado um real x > 0 seja I n = [x n, y n ] uma sucessão de intervalos encaixados, com extremos racionais e satisfazendo a condição de os comprimentos dos intervalos tomarem valores arbitrariamente pequenos: tal que se 1 < a N n : y n x n < 1 N, {x} = n 0 I n ; J n = [a x n, a y n ] é também uma sucessão de intervalos encaixados; além disso, dado N, podemos escolher n tal que a y n a x n = a x n (a y n x n 1) a y 0(a 1/N 1); e como teremos ocasião de verificar mais adiante, a 1/N 1 a 1 N ; concluímos que a sucessão de intervalos J n está nas condições do Princípio dos Intervalos Encaixados e que existe portanto um único real z tal que a x n < z < a y n, n; definimos então a x = z; 17

se 0 < a < 1, o raciocínio é idêntico, com a única alteração de se definirem os intervalos J n como J n = [a y n, a x n ]. Note-se que esta definição se pode enunciar igualmente (no caso 1 < a) como a x = sup{a m n : m n x} = inf{ap q : p q x}. As potências de expoente negativo ficam também definidas: dado x > 0, a x = ( 1 a )x. Se 0 < x < y existe um racional m n tal que x < m n se 1 < a a x = inf{a p/q : x < p q } < am/n < sup{a p/q : p q < y. Portanto, < y} = ay e concluímos que as potências de expoente real satisfazem a mesma propriedade de ordem. Terminamos mostrando que com esta definição se tem também a x a y = a x+y, a x b x = (ab) x. Consideramos apenas o caso em que a e b são maiores que 1, já que os outros casos são semelhantes. Para isso começamos por observar os seguintes factos: Proposição 1.14 Se X Y R são não vazios, tem-se sup(x) sup(y ). Se, além disso, para todo o y Y existe x X tal que y x então sup(x) = sup(y ). Proposição 1.15 Se X e Y são subconjuntos nã vazios de R + e XY = {xy : x X, y Y }, então sup(xy ) = sup(x) sup(y ). Demonstramos a segunda destas proposições: 18

Demonstração 1.16 Como para todos os x x e y Y, se tem xy sup(x) sup(y ) é óbvio que sup(xy ) sup(x) sup(y ). Dado um y Y, como para todo o x X se tem xy sup(xy ) temos x sup(xy ), x X = sup(x) sup(xy ) y y mas como isto é verdade para qualquer y Y, temos sup(y ) sup(xy ) sup(x) Sejam então x e y positivos. Como = sup(x) sup(y ) sup(xy ). a x = sup{a m n : m n x}, ay = sup{a p q : p q y} o resultado anterior diz-nos que a x a y = sup{a m n a p q : m n x p q y}. Mas este conjunto é igual a {a t s : t s x + y}, = y sup(xy ) sup(x) porque qualquer t s x + y se pode escrever como soma de dois racionais, um menor que x e o outro menor que y. Portanto a x a y = a x+y. Do mesmo modo implica que a x = sup{a m n : m n x}, bx = sup{b p q : p q x} a x b x = sup{a m/n b p/q : m n x p q x}; ora se, por exemplo, m n p q, então a m/n b p/q a p/q b p/q = (ab) p/q ; 19

usando a primeira proposição deduz-se que a x a y = sup{a m/n b p/q : m n x p q x} = sup{(ab)t/s : t s x} = (ab)x. Resumindo: Para todo o a R + e todo o x R, está definido o número real positivo a x. a x = (1/a) x. a x b x = (ab) x. a x a y = a x+y. (a x ) y = a xy. Se x > 0 e 0 < a < b, então a x < b x ; se x < 0 e 0 < a < b, então a x > b x. Se a > 1 e x < y então a x < a y ; se 0 < a < 1 e x < y, então a x > a y. 1.4 Princípio de Indução finita. Começamos com um exemplo: a soma dos ângulos internos de um triângulo (no plano) é igual a π; e no caso de um quadrilátero convexo, é igual a 2π; este facto podia ser verificado do seguinte modo: 20

se traçarmos uma diagonal do quadrilátero, unindo dois vértices não adjacentes, ficamos com dois triângulos e a soma dos ângulos internos do quadrilátero é igual à soma dos ângulos internos dos dois triângulos. Podemos então tentar generalizar esta propriedade e enunciar a proposição: Proposição 1.17 Para todo o n 3, a soma dos ângulos internos de um polígono plano convexo com n lados é igual a (n 2)π. Note-se que esta proposição equivale à conjunção de infinitas proposições (uma para cada n 3) e que verificámos os casos n = 3 e n = 4. Mas, inspirados pelo método de prova descrito acima para os quadriláteros, suponhamos que a propriedade se verifica para polígonos de n lados, em que n é um natural não especificado; então, se tivermos um polígono com n + 1 lados, podemos escolher dois vértices separados por duas arestas e um vértice intermédio e uni-los com um segmento; o polígono inicial ficou subdividido em um polígono com n lados e um triângulo, e a soma dos seus ângulos internos é igual à soma dos ângulos internos destes dois. Ora esta soma é π para o triângulo e a hipótese que fizémos diz que para o polígono com n lados ela é (n 2)π. Portanto a soma dos ângulos internos do polígono com n + 1 lados será π + (n 2)π = (n + 1 2)π e concluímos que a propriedade também se verifica para n + 1. Nota: de facto esta propriedade verifica-se para polígonos planos quaisquer e não só para os convexos. Este exemplo ilustra o seguinte resultado: 21

Teorema 1.18 Princípio de Indução Finita: Se, para cada n n 0, se tem uma proposição P (n) e se verificam as condições: 1- P (n 0 ) é verdadeira; 2- n n 0, P (n) P (n + 1) então P (n) é verdadeira para todo o n n 0. Demonstração 1.19 Se a conclusão não fosse verdadeira, existiria um m n 0 para o qual a propriedade P (m) não se verificaria; sendo m o menor natural nessas condições (tem que ser m > n 0 por causa da condição 1), a propriedade seria válida para m 1. Mas a condição 2 levaria à conclusão de que a propriedade também se verificaria para m, o que é um absurdo. Observação 1.20 Esta demonstração assenta no facto evidente que um conjunto não vazio de números naturais tem mínimo. Este facto é de facto consequência do Axioma do supremo. Aplicamos o Princípio de Indução Finita para demonstrar algumas igualdades e desigualdades relevantes. A primeira é a fórmula da soma de uma progressão geométrica: Proposição 1.21 dado a 1, tem-se para qualquer inteiro n 0 a k = 1 an+1 1 a. k=0 k=0 k=0 Demonstração 1.22 O caso n = 0 é evidente; suponhamos então que a fórmula se verifica para um certo n. Então ( n+1 ) a k = a k + a n+1 = 1 an+1 1 a + an+1 = 1 an+2 1 a e obtemos a igualdade para n + 1. Note-se que na segunda igualdade usámos a hipótese de que a fórmula se verifica para n. 22

Observação 1.23 É importante perceber que o que se prova neste passo não é a propriedade P (n) (neste exemplo, a fórmula da soma da progressão geométrica até ao termo de ordem n) nem a propriedade P (n+1), mas sim a implicação P (n) = P (n+1). Como consequência deste resultado, podemos deduzir a seguinte factorização, que já referimos: Proposição 1.24 dados reais positivos x e y e um natural n tem-se x n y n = (x y) n 1 k=0 x n 1 k y k. De facto, pondo em evidência x n (e assumindo que x y) obtemos x n y n = x n (1 = (x y) n 1 k=0 ( y n) = x x) n (1 y n 1 x ) k=0 ( y x ) k = ( y ) k n 1 x n 1 = (x y) x n 1 k y k x k=0 Para o próximo exemplo recorda-se que n! (n factorial) designa o produto dos inteiros positivos entre 1 e n: n! = n(n 1) 1. Convenciona-se que 0! = 1. Definição 1.25 Os números binomiais são definidos, para n, k naturais, por se 0 k n ( ) n k = n! k!(n k)! 0 se k < 0 n < k 23

Proposição 1.26 Fórmula do Binómio de Newton: Sejam a, b R. Então ( ) n n 1, (a + b) n = a n k b k. k k=0 Demonstração 1.27 Demonstramos a fórmula por indução em n: para n = 1 a fórmula é verdadeira, como se verifica directamente. Provamos em seguida que se for verdadeira para um certo n também o será para n + 1. Da hipótese de indução deduz-se (a + b) n = k=0 (a+b) n+1 = (a+b)(a+b) n = (a+b) ( n k k=0 ) a n k b k ( ) n a n k b k = k k=0 ( ) n a n+1 k b k + k mas se no segundo somatório fizermos j = k + 1, j varia entre 1 e n + 1 e o termo geral fica ( ) n a n (j 1) b j ; j 1 usando j como índice (mas voltando a chamar-lhe k) ficamos com ( ) n n+1 ( ) n = a n+1 k b k + a n+1 k b k k k 1 k=0 que, isolando o termo com k = 0 no primeiro somatório e o termo com k = n + 1 no segundo e juntando os termos semelhantes dos dois somatórios, fica a n+1 + (( n k ) + ( n k 1 24 )) a n+1 k b k + b n+1. ( k=0

Para chegarmos à fórmula do binómio para o expoente n+1 resta notar que ( ) ( ) n + 1 n + 1 = = 1 0 n + 1 e que ( ) ( ) ( ) n n n + 1 + =, 1 k n k k 1 k Esta última igualdade deduz-se directamente: ( ) ( ) n n n! + = k k 1 k!(n k)! + n! n!((n + 1 k) + k) = (k 1)!(n + 1 k)! k!(n + 1 k)! ( (n + 1)! n + 1 = k!(n + 1 k)! = k Proposição 1.28 Desigualdade de Bernoulli: Dado x > 1 n 1, (1 + x) n 1 + nx Demonstração 1.29 Mais uma vez, o caso n = 1 é óbvio. (1 + x) n 1 + nx (1 + x)(1 + x) n (1 + x)(1 + nx) porque 1 + x > 0, e portanto (1 + x) n+1 1 + (n + 1)x + nx 2 1 + (n + 1)x Observação 1.30 Para x 0 a desigualdade de Bernoulli é uma consequência imediata da fórmula do Binómio. Um último exemplo, um pouco mais complicado: 25

Proposição 1.31 Se b 1,, b n são números reais positivos então n b k = 1 = n. Recorde-se que n b k designa o produto dos b k. Demonstração 1.32 No caso n = 1 não há nada a provar; antes de passar ao passo de indução (provar que se a proposição se verifica para n ent ao também se verifica para n + 1) vamos ver o caso n = 2: se b 1 e b 2 são positivos e b 1 b 2 = 1 então ou b 1 = b 2 = 1 e então temos b 1 + b 2 = 2, ou então podemos supõr que b 1 < 1 < b 2 ; nesse caso verificamos que e portanto 0 < (b 2 1)(1 b 1 ) = b 1 + b 2 b 1 b 2 1 1 + b 1 b 2 < b 1 + b 2 ; mas b 1 b 2 = 1 e portanto concluímos que b 1 + b 2 > 2. Esta ideia vai ajudar-nos no caso geral. Vamos então assumir como hipótese de indução que a propriedade se verifica para um certo n e sejam b 1, b 2,, b n+1 números reais positivos tais que n+1 b k = 1. Para usarmos a hipótese de indução temos que ter n números satisfazendo as mesmas condições e não podemos simplesmente excluir um dos b k porque o produto dos restantes já poderia não ser 1. Se todos os b k fossem 1 a propriedade verifica-se (nesse caso temos n+1 b k = n + 1); se não, uma vez que a ordem dos b k é irrelevante, podemos mudar os índices se necessário para, mais uma vez, termos b 1 < 1 < b 2. Se considerarmos o produto b 1 b 2 como um único número, temos então n reais positivos (b 1 b 2 ), b 3,, b n+1 cujo produto é 1 e, por hipótese de indução, podemos concluir que b 1 b 2 + b 3 + + b n+1 n; 26

Mas, quando vimos o caso n = 2, verificámos que, se b 1 < 1 < b 2 então b 1 b 2 < b 1 + b 2 1; substituindo na igualdade anterior, ficamos com b 1 + b 2 1 + b 3 + + b n+1 n como queríamos demonstrar. n+1 n + 1 Esta proposição permite deduzir as desigualdades seguintes: Proposição 1.33 se a 1,, a n são números reais positivos então n a k n n n a k n n 1. a k Estas três expressões são respectivamente a média aritmética, geométrica e harmónica dos reais a 1,, a n. Para deduzir a primeira desigualdade a partir do resultado anterior, definimos, para cada 1 k n, b k = a k n n a k e verificamos que n b k = 1 e portanto n significa que a k n n a k n 1 n a k n a k n a k n n. Mas isso n n a k. A outra desigualdade deduz-se de modo semelhante, substituindo no raciocínio anterior a k por 1 a k. 27

Observação 1.34 A verificação do caso inicial, embora seja em muitos exemplos muito simples ou até trivial, é absolutamente necessária, já que sem ela todo o raciocínio em que se baseia o Princípio de Indução cai por terra. Suponha-se por exemplo que, devido a uma gralha, se pede para demonstrar a seguinte fórmula: n N : k = n2 + n + 1 ; 2 se a igualdade se verificasse para um certo n então teríamos ( n+1 ) k = k + (n + 1) = por hipótese de indução = n2 + n + 1 2 + (n + 1) = n2 + 3n + 3 2 = (n + 1)2 + (n + 1) + 1 2 ou seja a igualdade seria também verdadeira para n + 1. No entanto a fórmula enunciada é falsa, como facilmente se verifica. A proposição verdadeira é n N : k = n2 + n 2 que pode de facto ser provada por indução. 28