Matemática Financeira Prof. Me. Marcelo Stefaniak Aveline 1
Matemática Financeira Aula Inaugural 2
Matemática Financeira Apresentação Professor 3
Apresentação do Professor Nome: Marcelo Stefaniak Aveline Graduação: Administração de Empresas Pós-Graduação: MBA em Gestão de Negócios (In Company) Pós-Graduação: Docência do Ensino Superior Mestrado: Administração Atuo há 23 anos no mercado financeiro tendo ao longo do tempo desempenhado minhas atividades em instituições financeiras nacionais e multinacionais de grande porte. 4
Matemática Financeira Apresentação Disciplina 5
Ementa Esta disciplina trata das ferramentas quantitativas aplicadas ao setor financeiro, no que se refere aos cálculos de juros simples e compostos, bem como aos cálculos de descontos. Contempla ainda as principais operações financeiras, tais como o financiamento, a capitalização e os empréstimos. De caráter essencialmente aplicado, esta disciplina tem o seu foco em resolução de problemas práticos ligados às operações bancárias comuns. Além da questão prática, há uma preocupação em desenvolver e aprimorar os conceitos pertinentes às operações que envolvem a cobrança de juros. 6
Objetivos Gerais A disciplina de Matemática Financeira deverá criar condições para que os alunos possam adquirir e produzir os conhecimentos necessários para o desenvolvimento das competências: Comunicação e expressão. Capacidade de identificar, analisar e solucionar problemas. Utilização de ferramentas tecnológicas ligadas aos cálculos financeiros 7
Objetivos Específicos O objetivo fundamental da disciplina é conceituar os fundamentos das principais operações financeiras, focando suas aplicações ligadas à formação do profissional de Administração de Empresas. A estrutura da disciplina foi pensada para que os conceitos matemáticos envolvidos estejam sempre relacionados com as necessidades da Administração, permitindo ao aluno a integração da mesma com as demais matérias de cunho profissionalizante. É também objetivo da disciplina reforçar aos alunos os ditames do pensamento lógico em termos quantitativos, que pautam os cálculos financeiros em seus diversos níveis. 8
Objetivos Específicos 1) Introdução à Matemática Financeira 1.1) Porcentagem. 1.2 ) Conceitos básicos de capital, juro, taxa, prazo, montante. 2) Capitalização Simples 2.1) Juros simples utilizando o prazo exato e o prazo comercial. 2.2 ) Desconto Simples 3) Capitalização Composta 3.1) Juro e Montante compostos 3.2 ) Desconto composto 3.3 ) Taxas equivalentes, efetivas, nominais e proporcionais. 3.4 ) Equivalência composta de capitais 4) Rendas 4.1) Financiamento 4.2) Capitalização 5) Empréstimos 5.1) SAC 5.2) Sistema Francês (Price) 9
Estratégias de Trabalho As aulas serão expositivas devendo conter como regra geral amplo período reservado para exercícios, por parte dos alunos, das técnicas e ferramentas apresentadas. Será dada ênfase ao trabalho com ferramentas tecnológicas, em especial à calculadora HP- 12C. 10
Avaliação Serão respeitados os critérios de avaliação e aprovação definidos pela Universidade, procurando sempre entender a avaliação como mais uma oportunidade de aprendizado, e de desenvolvimento das competências. Em todas as avaliações deve-se ter em mente a necessidade do aluno integrar a disciplina com a Administração, usando-se problemas de aplicação prática. 11
Bibliografia Básica CAMPOS, C. R. Matemática Financeira - Série Economia de Bolso. São Paulo: LCTE, 2010. PUCCINI, A. L. Matemática Financeira objetiva e aplicada. 8ª ed. São Paulo: Saraiva, 2009. SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira. 5ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 12
Bibliografia Complementar ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas aplicações. 11ª ed. São Paulo: Atlas, 2009. BISPO, D.; LEAL, F.; NERES, H. Matemática financeira com uso da HP 12C. Goiânia: Editora da PUC de Goiás,. BRANCO, A. C. C. Matemática Financeira Aplicada método algébrico, HP-12C, Microsoft Excel. São Paulo: Pioneira Yhomson Learning, 2002. FARO, C. Fundamentos da Matemática Financeira uma introdução ao cálculo financeiro e à análise de investimento de risco. São Paulo: Saraiva, 2006. HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática Financeira. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 2007. 13
Bibliografia Virtual CASTANHEIRA, C. P. Noções Básicas de Matemática Comercial e Financeira. São Paulo: IBPEX, 2008 CASTANHEIRA, C. P.; MACEDO, L. R. D. Matemática Financeira Aplicada. São Paulo: IBPEX, 2008. GIMENES, C. M. Matemática Financeira com HP 12C e Excel. São Paulo: Pearson, 2010. 14
Matemática Financeira Introdução à Matemática Financeira 15
Matemática Financeira A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de alternativas de investimentos ou financiamentos de bens, produtos ou serviços. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um fluxo de caixa. CAPITAL é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Presente Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras). JUROS representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva ou operação financeira. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes de capitalização: 1) regime de capitalização simples; e 2) regime de capitalização composto. JUROS SIMPLES é o juro de cada intervalo de tempo calculado sempre sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. JUROS COMPOSTOS é o juro de cada intervalo de tempo calculado a partir do saldo do início do correspondente intervalo, sendo que, o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também. 16
Matemática Financeira O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isso. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste interim estiver disposto a emprestar essa quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por essa abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros. Quando usamos juros simples e juros compostos? A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazos, compras com cartões de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e Fundos de Renda Fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de capitalização por juros simples: é o caso de operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas. Prof. Me. Marcelo Stefaniak Aveline 17
Matemática Financeira TAXA DE JUROS: indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, ou investido, para um determinado período de tempo. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, e seguida pela especificação do período de tempo a que se refere. 8% a.a. a.a. significa ao ano 10% a.t. a.t. significa ao trimestre Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária que é igual a taxa percentual divida por 100, sem o símbolo %. 0,08 a.a. a.a. significa ao ano 0,10 a.t. a.t. significa ao trimestre 18
Matemática Financeira Capitalização Simples Juros Simples 19
Matemática Financeira JUROS SIMPLES O regime de JUROS será SIMPLES quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente Principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fóruma temos: Assim temos: J = juros P = principal (capital) i = taxa de juros n = número de períodos J = P. i. n 20
Matemática Financeira JUROS SIMPLES 01) Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de capitalização por juros simples, e devemos pagá-la em 1 mês. Os juros que pagarei serão? Assim temos: J = P = i = n = J = P. i. n 21
Matemática Financeira JUROS SIMPLES 01) Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de capitalização por juros simples, e devemos pagá-la em 1 meses. Os juros que pagarei serão? Assim temos: J =? P = R$ 1.000,00 i = 8% a.m. n = 1 J = P. i. n J = 1.000 X 0,08 x 1 J = 80 22
Matemática Financeira JUROS SIMPLES 02) Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de capitalização por juros simples, e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão? Assim temos: J =? P = R$ 1.000,00 i = 8% a.m. n = 2 J = P. i. n Prof. 23 Me. Marcelo Stefaniak Aveline
Matemática Financeira JUROS SIMPLES 02) Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de capitalização por juros simples, e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão? Assim temos: J =? P = R$ 1.000,00 i = 8% a.m. n = 2 J = P. i. n J = 1.000 X 0,08 x 2 J = 160 24
Matemática Financeira JUROS SIMPLES 03) Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de capitalização por juros simples, e devemos pagá-la em 3 meses. Os juros que pagarei serão? Assim temos: J =? P = R$ 1.000,00 i = 8% a.m. n = 3 J = P. i. n J = 1.000 X 0,08 x 3 J = 240 25
Matemática Financeira JUROS SIMPLES 04) Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de capitalização por juros simples, e devemos pagá-la em 4 meses. Os juros que pagarei serão? Assim temos: J =? P = R$ 1.000,00 i = 8% a.m. n = 4 J = P. i. n J = 1.000 X 0,08 x 4 J = 320 26
Matemática Financeira JUROS SIMPLES 05) Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de capitalização por juros simples, e devemos pagá-la em 5 meses. Os juros que pagarei serão? Assim temos: J =? P = R$ 1.000,00 i = 8% a.m. n = 5 J = P. i. n J = 1.000 X 0,08 x 5 J = 400 27
Matemática Financeira JUROS SIMPLES Ao somarmos os juros ao valor principal encontramos o montante, que é o valor final. Montante = Principal + Juros Montante = Principal + (Principal x Taxa de Juros X Número de Períodos) M = P + J M = P + P. i. n M = P. (1 + (i. n)) Assim temos: M = Montante P = Principal i = Taxa de Juros n = Número de Períodos 28
Matemática Financeira JUROS SIMPLES 06) Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de capitalização por juros simples, e devemos pagá-la em 5 meses. Calcule: O Montante resultante dessa operação J = P. i. n Assim temos: J =? P = R$ 1.000,00 i = 8% a.m. n = 5 J = 1.000 X 0,08 x 5 J = 400 M = P + J Assim temos: M =? P = R$ 1.000,00 J = 400 M = 1.000 + 400 M = 1.400 M = P. (1+ (i. n)) Assim temos: M =? P = R$ 1.000,00 i = 8% a.m. n = 5 M = 1.000 X (1+ (0,08 x 5)) M = 1000 x (1+ (0,40)) M = 1.000 x (1,40) M = 1.400 29
Matemática Financeira JUROS SIMPLES 07) Calcule o Montante resultante da aplicação de R$ 70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias, com capitalização pelo regime de juros simples. M = P. (1+ (i. n)) Assim temos: M =? P = R$ 70.000,00 i = 10,5 % a.a. n = 145 dias M = 70.000 x (1+ ((10,5/100)x(145/360))) M = 70.000 x (1+ (0,105)x(0,40) M = 70.000 x (1+ (0,042291667) M = 70.000 x (1,042291667) M = 72.960,42 Observação: devemos expressar a taxa i e o período n na mesma unidade de tempo, ou seja, nesse caso, em anos. Então devemos dividir 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial tem 360 dias. 30
Matemática Financeira JUROS SIMPLES 08) Calcular os juros simples de R$ 1.200,00 a 13% a.t. Por 4 meses e 15 dias. R.: 234,00 9) Calcular os juros simples produzidos por R$ 40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a. durante 125 dias. R.: R$ 5.000,00 10) Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. Rende R$ 3.500,00 de juros em 75 dias? R.: R$ 116.666,67 11) Se a taxa de uma aplicação é de 150% a.a., quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização de juros simples? R.: 8 meses 12) Qual o juro obtido na aplicação, durante 2 meses, de um capital de R$ 100.000,00, à taxa de juros de 60% a.m.? R.: 120.000,00 13) Um capital de R$ 100.000,00, foi aplicado à taxa de juros simple de 40% a.m.. Após um semestre qual o valor do montante obtido? R.: 340.000,00 14) O capital de R$ 9.000,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 36% a.a.. Após quatro meses, qual o valor do montante? R.: 10.080,00 15) De quanto será o juro produzido por um capital de R$ 39.000,00, aplicado durante 300 dias, à taxa de juros de 15% a.a., capaitalizados sob o regime de juros simples? R.: 4.875,00 31
Matemática Financeira JUROS SIMPLES 08) Calcular os juros simples de R$ 1.200,00 a 13% a.t. Por 4 meses e 15 dias. Resp: R$ 234,00 Dados: P = 1.200 i = 13% a.t. n = 4 meses e 15 dias 32
Matemática Financeira JUROS SIMPLES 08) Calcular os juros simples de R$ 1.200,00 a 13% a.t. Por 4 meses e 15 dias. Resp: R$ 234,00 Dados: P = 1.200 i = 13% a.t. n = 4 meses e 15 dias J = P. i. n J = 1.200 x 0,13/3 x 4,5 J = 1.200 x 0,04333333 x 4,5 J = 234 33
Matemática Financeira JUROS SIMPLES 09) Calcular os juros simples produzidos por R$ 40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a. durante 125 dias. Resp.: R$ 5.000,00 Dados P = 40.000 i = 36% a.a. n = 125 dias 34
Matemática Financeira JUROS SIMPLES 09) Calcular os juros simples produzidos por R$ 40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a. durante 125 dias. Resp.: R$ 5.000,00 Dados P = 40.000 i = 36% a.a. n = 125 dias J = P. i. n J = 40.000 x 0,36/360 x 125 J = 40.000 x 0,125 J = 5.000 35
Matemática Financeira JUROS SIMPLES 10) Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. Rende R$ 3.500,00 de juros em 75 dias? Resp.: R$ 116.666,67 Dados P = i = 1,2% a.m. n = 75 dias M = 3.500,00 36
Matemática Financeira JUROS SIMPLES 10) Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. Rende R$ 3.500,00 de juros em 75 dias? Resp.: R$ 116.666,67 Dados P = i = 1,2% a.m. n = 75 dias J = 3.500,00 J = P. i. n 3.500 = P x 0,012 /30 x 75 3.500 = P x 0,03 3.500 / 0,03 = P P = 116.666,67 37
Matemática Financeira JUROS SIMPLES 11) Se a taxa de uma aplicação é de 150% a.a., quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização de juros simples? Resp.: 8 meses Dados: P = 1 i = 150% a.a. n = M = 2 38
Matemática Financeira JUROS SIMPLES 11) Se a taxa de uma aplicação é de 150% a.a., quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização de juros simples? Resp.: 8 meses Dados: P = 1 i = 150% a.a. n = M = 2 M = P ( 1 + i. n ) 2 = 1 ( 1 + 1,5. n ) 2 = 1 + 1,5 n 1,5 n = 1 n = 1 / 1,5 n = 0,66666667 anos n = 0,66666667 x 12 n = 8 meses 39
Matemática Financeira JUROS SIMPLES 12) Qual o juro obtido na aplicação, durante 2 meses, de um capital de R$ 100.000,00, à taxa de juros de 60% a.m.? R.: 120.000,00 Dados: P = 100.000 i = 60% a.m. n = 2 meses 40
Matemática Financeira JUROS SIMPLES 12) Qual o juro obtido na aplicação, durante 2 meses, de um capital de R$ 100.000,00, à taxa de juros de 60% a.m.? R.: 120.000,00 Dados: P = 100.000 i = 60% a.m. n = 2 meses J = P. i. n J = 100.000 x 0,60 x 2 J = 100.000 x 1,2 J = 120.000 41
Matemática Financeira JUROS SIMPLES 13) Um capital de R$ 100.000,00, foi aplicado à taxa de juros simple de 40% a.m.. Após um semestre qual o valor do montante obtido? R.: 340.000,00 Dados: P = 100.000 i = 40% a.m. n = 1 semestre 42
Matemática Financeira JUROS SIMPLES 13) Um capital de R$ 100.000,00, foi aplicado à taxa de juros simple de 40% a.m.. Após um semestre qual o valor do montante obtido? R.: 340.000,00 Dados: P = 100.000 i = 40% a.m. n = 1 semestre M = P ( 1 + i. n ) M = 100.000 ( 1 + 0,40 x 6 ) M = 100.000 ( 1 + 2,40 ) M = 100.000 x 3,40 M = 340.000 43
Matemática Financeira JUROS SIMPLES 14) O capital de R$ 9.000,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 36% a.a.. Após quatro meses, qual o valor do montante? R.: 10.080,00 Dados: P = 9.000 i = 36% a.a. n = 4 meses 44
Matemática Financeira JUROS SIMPLES 14) O capital de R$ 9.000,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 36% a.a.. Após quatro meses, qual o valor do montante? R.: 10.080,00 Dados: P = 9.000 i = 36% a.a. n = 4 meses M = P ( 1 + i. n ) M = 9.000 ( 1 + 0,36/12 x 4 ) M = 9.000 ( 1 + 0,12 ) M = 9.000 x 1,12 M = 10.080 45
Matemática Financeira JUROS SIMPLES 15) De quanto será o juro produzido por um capital de R$ 39.000,00, aplicado durante 300 dias, à taxa de juros de 15% a.a., capaitalizados sob o regime de juros simples? R.: 4.875,00 Dados: P = 39.000 i = 15% a.a. n = 300 dias 46
Matemática Financeira JUROS SIMPLES 15) De quanto será o juro produzido por um capital de R$ 39.000,00, aplicado durante 300 dias, à taxa de juros de 15% a.a., capitalizados sob o regime de juros simples? R.: 4.875,00 Dados: P = 39.000 i = 15% a.a. n = 300 dias J = P. i. n J = 39.000 x 0,15/360 x 300 J = 39.000 x 0,125 J = 4.875 47
Matemática Financeira Capitalização Simples Desconto Simples
Desconto Simples Desconto é o abatimento que se faz em uma dívida, quando ela é paga antes do vencimento. Assim, se devêssemos uma certa quantia, $500,00 por exemplo, a ser paga em uma determinada data, e a pagássemos antes, teríamos uma redução na nossa dívida. Em vez de $500,00, pagaríamos por exemplo, $460,00. O desconto seria de $40,00. Nessa operação temos dois valores: $500,00, o valor que deveria ser pago no dia do vencimento, chamado de valor nominal; $460,00, o valor pago no dia em que se efetua o desconto, chamando de valor atual; 49
Desconto Simples Os problemas de descontos simples se resolvem do mesmo modo que os juros simples, conhecidos cinco elementos, quais sejam: O desconto simples poderá ser: racional (ou por dentro ); comercial (ou por fora ); bancário. N = valor nominal V ou A = valor atual i = taxa n = tempo de antecipação D = desconto 50
Desconto Simples Desconto racional ou desconto por dentro, é o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor de um compromisso que seja saldado n períodos antes do seu vencimento. Desconto: é a quantia a ser abatida do valor nominal; Valor descontado: é a diferença entre o valor nominal e o desconto; Sendo: N valor nominal (ou montante) Ar valor atual (aou valor descontado racional) n número de períodos antes do vencimento 51
Desconto Simples Teremos, então, para cálculo do desconto racional: N. i. n Dr = ------------ 1 + i. n E para cálculo do valor atual, teremos: N Ar = ------------ 1 + i. n 52
Desconto Simples Conclusão: No regime de juros simples, o desconto racional aplicado ao valor nominal é igual ao juro devido sobre o capital (valor descontado) desde que ambos sejam calculados à mesma taxa. Ou seja, a taxa de juros da operação é também a taxa de desconto. 53
Desconto Simples Exemplo: 01) Uma dívida de R$12.000,00 será saldada 4 meses antes de seu vencimento. Que desconto racional será obtido, se a taxa de juros contratada for de 27%a.a.? Dados: N = 12.000 i = 27%a.a. n = 4 meses N. i. n Dr = ------------ 1 + i. n 54
Desconto Simples Exemplo: Dados: N = 12.000 i = 27%a.a. n = 4 meses N. i. n Dr = ------------ 1 + i. n Dr = (12.000 x 0,27/12 x 4) / (1 + (0,27/12 x 4)) Dr = (12.000 x 0,09) / (1 + 0,09) Dr = 1080 / 1,09 Dr = 990,83 R$ 990,83 é, portanto, o desconto racional obtido pelo resgate antecipado da dívida. Valor da dívida a ser paga é R$ 11.009,17 55
Desconto Simples Exemplo: 02) Por quanto posso comprar um título com vencimento daqui a 6 meses, se seu valor nominal for de R$ 20.000,00 e eu quiser ganhar 30% a.a.? Deve-se calcular o valor atual do título tal que seja possível obter a rentabilidade de 30% a.a. Dados: N = 20.000 i = 30%a.a. n = 6 meses N Ar = ------------ 1 + i. n 56
Desconto Simples Exemplo: Dados: N = 20.000 i = 30%a.a. n = 6 meses N Ar = ------------ 1 + i. N Ar = 20.000 / (1 + (0,30 x 0,5)) Ar = 20.000 / (1 + (0,15)) Ar = 20.000 / 1,15 Ar = 17.391,30 Comprando-se o título por R$ 17.391,30 e resgatando-o por R$ 20.000,00 após 6 meses, terse-á um ganho de 15% em 6 meses, taxa esta que é equivalente a 30% a.a.. 57
Desconto Simples Desconto comercial ou desconto por fora, é o desconto cujo valor que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o valor nominal do compromisso que seja saldado n períodos antes de seu vencimento. Calcula-se o valor do desconto comercial aplicando-se a definição: Dc = N. i. n E o valor descontado comercial: Ac = N (1 - i. n) Esse resultado é também chamado valor atual comercial. 58
Desconto Simples Exemplo: 03) Um título de valor nominal R$ 2.780,00, é descontado por fora a uma taxa de 36% a.a., seis meses antes de seu vencimento. Calcule seu valor atual. Dados: N = 2.780 i = 36%a.a. n = 6 meses O valor descontado comercial ou por fora será dado por: Ac = N (1 - i. n) 59
Desconto Simples Exemplo: Dados: N = 2.780 i = 36%a.a. n = 6 meses Ac = N (1 i. n) Ac = 2.780 ( 1 0,36/12 x 6 ) ou ( 1 0,36 x ½) Ac = 2.780 ( 1 0,18 ) Ac = 2.780 ( 0,82 ) Ac = 2.279,60 O valor atual do título será de R$ 2.279,60 60
Desconto Simples Desconto bancário, corresponde ao descoto comercial acrescido de uma taxa prefixada, cobrada sobre o valor nominal ( a é a taxa de despesas administrativas). Db = N ( i. n + a) Ab = N (( 1 ( i. n + a)) 61
Desconto Simples Relação entre desconto racional e desconto comercial, empiracamente, o desconto comercial é maior que o desconto racional, feito nas mesmas condições, ou seja: Dc > Dr Ou ainda: Dc = Dr ( 1 + i. n ) Ou seja, o desconto comercial pode ser entendido como sendo o montante do desconto racional calculado para o mesmo período e à mesma taxa. 62
Desconto Simples Exercícios: 1) Um título com valor nominal de R$110.000,00 foi resgatado dois meses antes de seu vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 60% a.m.. Nesse caso, de quanto foi o valor pago pelo título: R: R$ 50.000,00 2) Qual é o valor da diferença entre os descontos por dentro e por fora de uma nota promissória de R$1.420,00, se ela for descontada 40 dias antes de seu vencimento a uma taxa de 8% a.m.? R: R$ 14,60 3) Por quanto devo comprar um título com vencimento daqui a 50 dias, se seu valor nominal for R$190.500,00 e eu pretendo ganhar 42% de juros simples ao ano? (desconto comercial) R: R$ 179.387,50 63
Desconto Simples Exercícios: 4) Um título com valor nominal de R$3.836,00 foi resgatado quatro meses antes do seu vencimento, tendo sido concedido um desconto racional simples à taxa de 10% a.m.. Qual foi o valor pago pelo título? R: 2.740,00 5) Um título com valor nominal de R$7.420,00 foi resgatado dois meses antes do seu vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 20% a.m.. Nesse caso, de quanto foi o valor pago pelo título? R: 5.300,00 6) Utilizando o desconto racional qual é o valor que devo pagar por um título com vencimento daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de R$2.950,00 e eu desejo ganhar 36% ao ano? R: 2.500,00 64
Desconto Simples Exercícios Resolvidos: 1) Um título com valor nominal de R$110.000,00 foi resgatado dois meses antes de seu vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 60% a.m.. Nesse caso, de quanto foi o valor pago pelo título: R: R$ 50.000,00 Dados: N = 110.000 n = 2 meses i = 60% a.m. 65
Desconto Simples Exercícios Resolvidos: 1) Um título com valor nominal de R$110.000,00 foi resgatado dois meses antes de seu vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 60% a.m.. Nesse caso, de quanto foi o valor pago pelo título: R: R$ 50.000,00 Dados: N = 110.000 n = 2 meses i = 60% a.m. Ar = N / 1 + i. n Ar = 110.000 / (1 + 0,60 x 2) Ar = 110.000 / ( 1 + 1,2 ) Ar = 110.000 / ( 2,2 ) Ar = 50.000 66
Desconto Simples Exercícios Resolvidos: 2) Qual é o valor da diferença entre os descontos por dentro e por fora de uma nota promissória de R$1.420,00, se ela for descontada 40 dias antes de seu vencimento a uma taxa de 8% a.m.? R: R$ 14,60 Dados: N = 1.420 n = 40 dias i = 8% a.m. 67
Desconto Simples Exercícios Resolvidos: 2) Qual é o valor da diferença entre os descontos por dentro e por fora de uma nota promissória de R$1.420,00, se ela for descontada 40 dias antes de seu vencimento a uma taxa de 8% a.m.? R: R$ 14,60 Dados: N = 1.420 n = 40 dias i = 8% a.m. Dr = N. i. n / 1 + i. n Dr = (1.420 x 0,08/30 x 40) / ( 1+ 0,08/30 x 40) Dr = 151,47 / 1,1067 Dr = 136,87 Dc = N. i. n Dc = 1.420 x 0,08/30 x 40 Dc = 151,47 Dc - Dr = 151,47 136,87 = 14,60 68
Desconto Simples Exercícios Resolvidos: 3) Por quanto devo comprar um título com vencimento daqui a 50 dias, se seu valor nominal for R$190.500,00 e eu pretendo ganhar 42% de juros simples ao ano? (desconto comercial) R: R$ 179.387,50 Dados: N = 190.500 n = 50 dias i = 42% a.a. 69
Desconto Simples Exercícios Resolvidos: 3) Por quanto devo comprar um título com vencimento daqui a 50 dias, se seu valor nominal for R$190.500,00 e eu pretendo ganhar 42% de juros simples ao ano? (desconto comercial) R: R$ 179.387,50 Dados: N = 190.500 n = 50 dias i = 42% a.a. Ac = N. (1 - i. n) Ac = 190.500 x ( 1 0,42/360 x 50 ) Ac = 190.500 x ( 0,94166667 ) Ac = 179.387,50 70
Desconto Simples Exercícios Resolvidos: 4) Um título com valor nominal de R$3.836,00 foi resgatado quatro meses antes do seu vencimento, tendo sido concedido um desconto racional simples à taxa de 10% a.m.. Qual foi o valor pago pelo título? R: 2.740,00 Dados: N = 3.836 n = 4 meses i = 10% a.m. 71
Desconto Simples Exercícios Resolvidos: 4) Um título com valor nominal de R$3.836,00 foi resgatado quatro meses antes do seu vencimento, tendo sido concedido um desconto racional simples à taxa de 10% a.m.. Qual foi o valor pago pelo título? R: 2.740,00 Dados: N = 3.836 n = 4 meses i = 10% a.m. Ar = N / 1 + i. n Ar = 3.836 / 1 + 0,10 x 4 Ar = 3.836 / 1,40 Ar = 2.740 72
Desconto Simples Exercícios Resolvidos: 5) Um título com valor nominal de R$7.420,00 foi resgatado dois meses antes do seu vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 20% a.m.. Nesse caso, de quanto foi o valor pago pelo título? R: 5.300,00 Dados: N = 7.420 n = 2 meses i = 20% a.m. 73
Desconto Simples Exercícios Resolvidos: 5) Um título com valor nominal de R$7.420,00 foi resgatado dois meses antes do seu vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 20% a.m.. Nesse caso, de quanto foi o valor pago pelo título? R: 5.300,00 Dados: N = 7.420 n = 2 meses i = 20% a.m. Ar = N / 1 + i. n Ar = 7.420 / 1 + 0,20 x 2 Ar = 7.420 / 1 + 0,40 Ar = 7.420 / 1,40 Ar = 5.300 74
Desconto Simples Exercícios Resolvidos: 6) Utilizando o desconto racional qual é o valor que devo pagar por um título com vencimento daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de R$2.950,00 e eu desejo ganhar 36% ao ano? R: 2.500,00 Dados: N = 2.950 i = 36% a.a. n = 6 meses 75
Desconto Simples Exercícios Resolvidos: 6) Utilizando o desconto racional qual é o valor que devo pagar por um título com vencimento daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de R$2.950,00 e eu desejo ganhar 36% ao ano? R: 2.500,00 Dados: N = 2.950 i = 36% a.a. n = 6 meses Ar = N / 1 + i. n Ar = 2.950 / 1 + 0,36/12 x 6 Ar = 2.950 / 1 + 0,18 Ar = 2.950 / 1,18 Ar = 2.500 76