FOLHA 5 Problemas de Transportes e de Afectação 1. Uma companhia de aço possui 2 minas e 3 fábricas transformadoras. Em cada mina (1 e 2) encontram-se disponíveis 103 e 197 toneladas de minério. A companhia transporta por mar o minério até às fábricas. O custo de transporte é dado na tabela (em milhares de escudos por tonelada). Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Mina 1 9 16 28 Mina 2 14 29 19 As fábricas (1, 2 e 3) requerem a utilização de 71, 133 e 96 toneladas de minério. a) Construa o modelo matemático que represente o problema de transportar minério das minas para as fábricas, de modo a minimizar o custo total de transporte. b) Obtenha uma solução básica admissível (SBA) inicial utilizando o i) método do Canto Noroeste; ii) método do Custo Mínimo; iii) método das Penalidades. c) Partindo de uma das SBA iniciais em obtidas em (b), determine o plano óptimo. 2. Uma companhia tem 3 fábricas a produzir um dado produto, para ser depois transportado para 4 centros de distribuição. As fábricas (1, 2 e 3) produzem 12, 17 e 11 carregamentos por mês. Cada centro necessita de receber 10 carregamentos por mês. As distâncias de cada fábrica a cada centro (em Km) constam da tabela. O custo do frete de cada carregamento é de 5000$00 mais 50$00 por Km. Centro 1 Centro 2 Centro 3 Centro 4 Fábrica 1 80 130 40 70 Fábrica 2 110 140 60 100 Fábrica 3 60 120 80 90
22 Problemas de Transportes e de Afectação Formule o problema de modo a minimizar o custo total de transporte. Resolva o problema, determinando uma SBA inicial através do método do Canto Noroeste. 3. Determinada empresa pretende transportar um certo produto, que é fabricado nas suas 3 fábricas, para 3 centros de distribuição. A capacidade de produção por dia de cada fábrica é a que consta na última coluna da tabela em baixo. A última linha da tabela dá-nos as necessidades máximas de cada centro de distribuição. Os custos de transporte, por unidade de produto, das fábricas para cada centro encontram-se mencionados na mesma tabela. Centro 1 Centro 2 Centro 3 Capacidade Fábrica 1 2 6 4 50 Fábrica 2 6 ---- 8 80 Fábrica 3 4 7 3 60 Necessidade Máx. 70 40 50 Pretende-se determinar a solução mais económica para transportar o produto das fábricas para os centros de distribuição. Uma das soluções é a que consta no quadro seguinte : Centro 1 Centro 2 Centro 3 Fábrica 1 10 40 0 Fábrica 2 50 0 0 Fábrica 3 10 0 50 a) Verifique, e justifique, que a solução apresentada não é óptima. b) A partir da solução dada, determine a solução óptima. c) Interprete os resultados obtidos e diga qual o custo total de transporte. 4. Uma empresa tem 3 fábricas a produzir um dado produto que deve ser depois transportado para 3 centros de distribuição. As fábricas (1, 2 e 3) produzem 50, 60 e 30 unidades por mês, respectivamente. Os centros (1, 2 e 3) necessitam de receber 10, 70 e 20 unidades por mês, respectivamente. Os custos unitários de transporte são dados no quadro : Centro 1 Centro 2 Centro 3 Fábrica 1 5 4 3 Fábrica 2 3 5 2 Fábrica 3 2 1 3 Determine o plano óptimo de transporte que a empresa deve adoptar.
Problemas de Transportes e de Afectação 23 5. Pretende-se transportar um produto de 2 armazéns (A1 e A2) para 3 destinos (D1, D2 e D3). Os armazéns A1 e A2 dispõem de 4 e 6 unidades do produto, respectivamente. Em D1, D2 e d3, são requeridos 2, 3 e 5 unidades do produto, respectivamente. Os custos unitários de transporte são dados na tabela : D 1 D 2 D 3 A 1 4 4 5 A 2 5 3 8 a) Formule o problema em termos de PL. b) Resolva o problema, calculando a SBA inicial através do i) método do Canto Noroeste; ii) método do Custo Mínimo; iii) método das Penalidades. 6. Uma empresa pretende determinar o plano óptimo de transporte da matéria prima armazenada em 2 centros de distribuição que é transformada em 3 fábricas. Nos centros de distribuição existem 20 e 18 toneladas de matéria prima. Nas fábricas são necessárias 12, 10 e 16 unidades de matéria prima. Os custos unitários de transporte são dados no quadro. O trajecto entre o centro 2 e a fábrica 2 não pode ser utilizado. Determinar que plano de transporte a empresa deve adoptar. Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Centro 1 5 2 3 Centro 2 4 2 7. Uma empresa tem 3 fábricas a produzir um dado produto que deve ser depois transportado para 3 centros de distribuição. As fábricas (1, 2 e 3) produzem 20, 40 e 30 unidades por mês, respectivamente. Os centros (1, 2 e 3) necessitam de receber 30, 20 e 20 unidades por mês, respectivamente. Os custos unitários de transporte são dados no quadro : Centro 1 Centro 2 Centro 3 Fábrica 1 1 2 1 Fábrica 2 0 4 5 Fábrica 3 2 3 3
24 Problemas de Transportes e de Afectação Considere a seguinte solução admissível para o problema dado : a) Averigua se se trata de uma solução óptima e, no caso de o não ser, parta dela para determinar uma solução óptima. Justifique os passos dados na resolução desta questão. b) Justifique a existência, ou não, de óptimos alternativos. 8. O treinador de uma equipa de natação necessita de seleccionar nadadores para a equipa de estafeta 4 100 metros estilos. Dado que os nadadores são muito rápidos em mais do que um estilo, o treinador sente alguma dificuldade em afectá-los a cada um dos 4 estilos. Os 5 melhores nadadores e os melhores tempos (em segundos) que obtiveram em cada um dos estilos são dados na tabela : Alberto Belmiro Carlos David Ernesto Costas 37.7 32.9 33.8 37.0 35.4 Bruços 43.4 33.1 42.2 34.7 41.8 Mariposa 33.3 28.5 38.9 30.4 33.6 Livre 29.2 26.4 29.6 28.5 31.1 O treinador pretende determinar como afectar um nadador a cada um dos estilos, de modo a minimizar a soma dos correspondentes melhores tempos. 9. Numa secção de uma fábrica existem 4 máquinas. Um dado processo de produção consiste em 4 tarefas que devem ser levadas a cabo nessa máquinas. Cada máquina só pode cumprir uma tarefa. Os custos de realização da tarefa j (j = 1, 2, 3, 4) na máquina i (i = 1, 2, 3, 4) são dados na tabela : J1 J2 J3 J4 M1 10 9 7 8 M2 5 8 7 7 M3 5 4 6 5 M4 2 3 4 5 Como afectar as tarefas às máquinas, de modo a minimizar o custo total. 10. Em períodos de ponta o gabinete de tráfego da RODOVIA vê-se perante o problema de afectar os autocarros de passageiros estacionados em 3 garagens da empresa e 3 localidades da rede de
Problemas de Transportes e de Afectação 25 exploração. No quadro seguinte representam-se : o número de autocarros disponíveis nas garagens G i (i = 1, 2, 3), o número de autocarros necessários em cada uma das localidades L j (j = 1, 2, ) e os tempos t ij, em minutos, necessários para cada autocarro em G i atingir a localidade L j. L 1 L 2 L 3 Autocarros disponíveis G 1 12 14 11 6 G 2 14 12 13 9 G 3 15 16 18 5 Autocarros necessários 8 4 8 Como deverá o gabinete de tráfego afectar os autocarros disponíveis de modo a minimizar o tempo total para se atingirem as 3 localidades? Para isso, a) Formule e resolva o problema. b) Não sendo única a solução óptima encontrada, determine alternativas. 11. No PT seguinte, em que a oferta total é superior à procura total, para cada unidade da fonte i (origem i) que não for excedida, incorre-se num custo de armazenagem. Sejam estes custos, por unidade, de 5, 4 e 3 (u.m.) respectivamente nas origens 1, 2 e 3. Dest. 1 Dest. 2 Dest. 3 Oferta Orig. 1 1 2 1 20 Orig. 2 0 4 5 40 Orig. 3 2 3 3 30 Procura 30 20 20 Determine a solução que minimiza o custo total. Para esse efeito : a) Resolva o problema dado, justificando as opções tomadas. b) Considere a seguinte solução admissível para o problema dado : Averiguar se se trata de uma solução óptima e, no caso de não ser, parta dela para determinar uma solução óptima. Justifique os passos dados na resolução desta questão.
26 Problemas de Transportes e de Afectação 12. Considere o problema de afectação de 3 tipos de máquinas M 1, M 2 e M 3, a 4 tipos de tarefas T 1, T 2, T 3 e T 4. O número de máquinas disponíveis de cada tipo é : M 1 = 20, M 2 = 30 e M 3 = 40. As tarefas que é necessário realizar são, nos diferentes tipos T 1 = 10, T 2 = 10, T 3 = 40 e T 4 = 30. Admitindo que o critério de afectação se baseia no lucro unitário estimado, constante no quadro seguinte, obtenha a solução de lucro total máximo. 1 2 3 4 1 8 7 8 8 2 8 9 15 5 3 4 10 1 20 13. Uma empresa decidiu iniciar a produção de 2 novos produtos, usando 3 fábricas que normalmente produzem em excesso. A capacidade de produção de cada fábrica é medida pela quantidade de produtos fabricados por dia (última coluna da tabela). A última linha da tabela dá-nos a quantidade média vendida de cada produto por dia. Cada fábrica produz qualquer um dos produtos, com excepção da fábrica 1 que não produz o produto 1. Por outro lado, os custos por unidade de cada produto diferem de fábrica para fábrica, como mostra a tabela : Custo por unidade Capacidade Produto 1 Produto 2 de Produção Fábrica 1 -- 4 75 Fábrica 2 8 3 45 Fábrica 3 7 1 75 Quantidade média 50 70 Determine o plano óptimo (menor custo) de produção dos 2 produtos pelas 3 fábricas, tendo em conta que o mesmo produto pode ser produzido em várias fábricas. 14. Uma determinada empresa decidiu iniciar a produção de 4 novos produtos, utilizando 3 fábricas que normalmente produzem em excesso. A capacidade de produção de cada fábrica é medida pela quantidade dos produtos que são produzidos por dia (última coluna da tabela seguinte). A última linha da tabela dá-nos a taxa de produção por dia exigida para venda. Cada fábrica produz qualquer um dos produtos, com excepção da Fábrica 2 que não pode produzir o Produto 3. Por outro lado, os custos por unidade de cada produto diferem de fábrica para fábrica, como mostra a tabela seguinte.
Problemas de Transportes e de Afectação 27 Produto 1 Produto 2 Produto 3 Produto 4 Disponibilidade Fábrica 1 41 27 28 24 75 Fábrica 2 40 29 --- 23 75 Fábrica 3 37 30 27 21 45 Taxa produção 20 30 30 40 A empresa pretende tomar uma decisão de como decompor a produção dos produtos pelas fábricas. Dois tipos de opções são válidos : a) É permitida a separação dos produtos, onde o mesmo produto pode é produzido em mais do que uma fábrica; b) Não é permitida a separação dos produtos, onde cada produto apenas pode ser produzido apenas numa fábrica. 15. Uma empresa decidiu iniciar a produção de 3 novos produtos, usando 2 fábricas. A capacidade de produção de cada fábrica é medida pela quantidade dos produtos que são produzidos por dia (última coluna da tabela). A última linha da tabela dá-nos a quantidade média vendida de cada produto por dia. Os custos por unidade de cada produto diferem de fábrica para fábrica, como mostra a tabela (de notar que a Fábrica 1 não pode produzir o Produto 3) : Custo por unidade Capacidade Produto 1 Produto 2 Produto 3 de Produção Fábrica 1 2 5 --- 20 Fábrica 2 4 7 3 40 Quantidade média 20 20 20 Determine o plano óptimo (menor custo) de produção dos 3 produtos pelas 2 fábricas, tendo em conta que o mesmo produto só pode ser produzido numa única fábrica, mas que uma fábrica pode produzir vários produtos