- UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA PROFESSORA: SALETE SOUZA DE OLIVEIRA BUFFONI DISCIPLINA: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Referências Bibliográficas: 1. BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Makron Books, 1995. 2. Gere, J. M. Mecânica dos Materiais, Editora Thomson Learning 3. HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Editora Livros Técnicos e Científicos, 2000. Observações: 1- O presente texto é baseado nas referências citadas. 2- Todas as figuras se encontram nas referências citadas. Capítulo1 Tensão Normal
Pontos importantes Resistência dos materiais é o estudo da relação entre as cargas externas que atuam em um corpo e a intensidade das cargas internas no interior desse corpo As forças externas podem ser aplicadas a um corpo como cargas de superfícies distribuídas ou concentradas ou como forças de corpo que atuam em todo o volume do corpo. Cargas lineares distribuídas produzem uma força resultante com grandeza igual à área sob o diagrama de carga e com localização que passa pelo centróide dessa área. Um apoio produz uma força em uma direção particular sobre seu elemento acoplado, se ele impedir a translação do elemento naquela direção, e produz momento binário no elemento se impedir a rotação. As equações de equilíbrio F = 0 e M = 0 devem ser satisfeitas a fim de impedir que o corpo se translade com movimento acelerado e que tenha rotação. Quando se aplicam as equações de equilíbrio, é importante primeiro desenhar o diagrama de corpo livre do corpo a fim de considerar todos os termos das equações. O método das seções é usado para determinar as cargas internas resultantes que atuam sobre a superfície do corpo secionado. Em geral, essas resultantes consistem em uma força normal, uma força de cisalhamento, um momento de torção e um momento fletor. Salete Buffoni 2
PROCEDIMENTO DE ANÁLISE O método das seções é usado para determinar a resultante das cargas internas em um ponto localizado na seção de um corpo. A aplicação do método das seções requer os seguintes passos para obter tais resultantes. Reações de Apoios Decidir primeiro qual segmento do corpo será considerado. Se esse segmento tiver um apoio ou elemento de ligação com outro corpo (tipo rótulo), então antes de secionar o corpo será necessário determinar as reações que atuam sobre o segmento escolhido. Diagrama de corpo livre Manter todas as cargas externas distribuídas, momentos binários, torques e forças que atuam sobre o corpo em suas localizações exatas; traçar então uma seção imaginária através do corpo no ponto em que a resultante das cargas internas será determinada. Se o corpo representa o elemento de uma estrutura ou dispositivo mecânico, a seção é, em geral, perpendicular ao eixo longitudinal do elemento. Desenhar o diagrama de corpo livre de um dos segmentos cortados, indicando as resultantes desconhecidas N, V, M e T na seção. Essas resultantes normalmente são colocadas no ponto que representa o centro geométrico ou centróide da área secionada. Se o elemento está submetido apenas a um sistema de forças coplanares, somente N, V e M atuam sobre o centróide. Definir os eixos de coordenadas x, y, z com origem no centróide e mostrar os componentes da resultante que atuam ao longo dos eixos. Salete Buffoni 3
Equações de equilíbrio Os momentos em torno de cada eixo de coordenadas, na seção em que as resultantes atuam devem ser somados, assim é possível eliminar as forças desconhecidas N e V, permitindo uma solução direta de M e T. Se a solução das equações de equilíbrio resulta em um valor negativo para uma resultante, o sentido de direção da resultante adotado no diagrama de corpo livre é oposto ao sentido mostrado no caso real. Exercícios propostos (revisão) Exercícios do Hibbeler páginas 8 e 9. 1) O guindaste da Figura 1 consiste na viga AB, das roldanas acopladas, do cabo e do motor. Determinar a resultante das cargas internas que atuam na seção transversal em C se o motor levanta a carga W de 500 lb com velocidade constante. Desprezar o peso das roldanas e da viga. Figura 1. Resposta: N c =-500 lb, V c =-500 lb, M c =-2000 lb.pés Salete Buffoni 4
2) Determinar a resultante das cargas internas que atuam na seção transversal em G da viga de madeira mostrada na Figura 2. Supor que as articulações A, B, C, D e E sejam acopladas por pinos. Figura 2. Resposta: N G =-6200 lb, V G =3150 lb, M G =6300 lb.pés Convenção de sinais + + + Nota: As figuras utilizadas neste texto são do livro, são do livro de Resistência dos Materiais de R. C. Hibbeler e Mecânica dos Materiais de James M. Gere. Salete Buffoni 5
Tensão Figura 3. Resistência dos Materiais: Determinar a distribuição das cargas internas. Figura 3.a Seção da área subdividida em áreas pequenas, tal como ΔA. Hipóteses em relação às propriedades do material 1- Contínuo distribuição uniforme de matéria, sem vazios. 2- Coeso Suas partes bem unidas, sem trincas, falhas e etc. Definição: A tensão descreve a intensidade da força interna sobre um plano específico (área) que passa por determinado ponto. Tensão Normal: É a intensidade da força que atua no sentido perpendicular a ΔA por unidade de área (σ). σ ΔFz lim σ z A 0 ΔA z = = Δ df z da (1) Salete Buffoni 6
Tipos: 1- Tensão de tração 2- Tensão de compressão Tensão de Cisalhamento: É a intensidade da força, ou força por unidade de área, que atua tangente a ΔA (τ). Componentes: τ τ zx zy ΔFx = lim τ zx ΔA 0 ΔA ΔFy = lim τ zy ΔA 0 ΔA dfx = da (2) dfy = da Figura 4. Significado dos índices: 1- z em σ z Indica a direção que se afasta da reta normal, que específica a orientação da área ΔA. 2- τ zx e τ zy - z indica a orientação da área. x e y indicam às retas de direção das tensões de cisalhamento Unidades: No Sistema Internacional de Normas ou SI: Pa = N 2 m Mpa = N 2 = MN 2 ou psi = pounds mm m square = libras inch polegada quadrada Salete Buffoni 7
Estado Geral de Tensão Suposições: Figura 5. 1- Corpo seccionado por planos paralelos ao plano x-z e ao plano y-z Corta-se um elemento cúbico do volume do material. 2- Esse elemento cúbico representa o estado de tensão que atua em torno do ponto escolhido do corpo Salete Buffoni 8
Distribuição média de Tensão que atua na Seção Transversal de uma Barra prismática com carga axial Figura 6. Barra prismática: Membro estrutural reto, tendo a mesma seção transversal ao longo de seu comprimento. Carga axial: carga direcionada ao longo do eixo do membro. Seção Transversal: É a seção tomada perpendicularmente ao eixo longitudinal da barra. Salete Buffoni 9
Hipóteses: 1- A barra permanece reta antes e depois da carga ser aplicada. A seção transversal deve permanecer plana durante a deformação. Obs. 1: As linhas horizontais e verticais da grade inscrita na barra deformam-se uniformemente quando a barra está submetida a carga. Obs. 2: Desconsiderar as regiões da barra próximas a sua extremidade, pois as cargas externas podem provocar distorções localizadas. 2- P deve ser aplicada ao longo do eixo do centróide da seção transversal. Material deve ser homogêneo e isotrópico. Material homogêneo: Mesmas propriedades físicas e mecânicas em todo o seu volume. Material Isotrópico: Possui essas mesmas propriedades em todas as direções Distribuição da Tensão Normal Média Figura 6.d P + FRz = Fz ; df = σ da P = σa σ = (3) A A Salete Buffoni 10
σ - Tensão normal média em qualquer ponto da área da seção transversal P Resultante da força normal interna, aplicada no centróide da área da seção transversal. P é determinada pelo método das seções e pelas equações de equilíbrio. A- Área da seção transversal da barra Importante!!!! A carga P deve passar pelo centróide = ( M R ) x = M z ; 0 = ydf = yσ da σ A A A yda ( M R ) y = M y ; 0 = xdf = xσ da = σ A A A xda (4) Equilíbrio: Figura 7. F z = 0; σ ( ΔA) σ' ( ΔA) = 0 σ = σ' (5) Salete Buffoni 11
Exemplo: Figura 8 - Membros estruturais submetidos a carregamentos axiais. (A barra do reboque está em tração e o suporte de trem de pouso está em compressão) Figura 9 - Barra prismática em tração: (a) Diagrama de corpo livre de um segmento da barra. (b) Segmento da barra antes do carregamento, (c) Segmento da barra após o carregamento. (d) Tensões normais na barra. Salete Buffoni 12
Tensão Normal Média Máxima: 1. A barra pode ser submetida a várias cargas externas ao longo de seu eixo. 2. Pode ocorrer uma mudança na área de sua seção transversal Procedimento de Análise P A equação σ = fornece a tensão normal média na área da seção transversal de A um elemento quando a seção está submetida à resultante interna da força normal P. Em elementos com carga axial, a aplicação da equação exige os passos a seguir: 1- Carga Interna Seccionar o elemento perpendicular ao seu eixo longitudinal no ponto em que a tensão normal será determinada e usar o diagrama de corpo livre necessário e a equação de equilíbrio de força para obter a força axial interna P na seção. 2- Tensão Normal Média Determinar A e calcular σ = P A Exercícios 1- A barra da Figura 10 tem largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm. Determinar a tensão normal média máxima da barra quando submetida ao carregamento mostrado. Figura 10. Salete Buffoni 13
Figura 11- Distribuição de tensão normal Resposta: σ bc = 85 7, MPa 2- Uma haste circular de aço de comprimento L e diâmetro d é pendurada em um poço e segura um balde de minério de peso W na sua extremidade inferior (Figura 12). (a) Obtenha uma fórmula para a tensão máxima σ maz na haste, levando em conta o peso próprio da haste. (b) Calcule a tensão máxima se L=40 m, d=8 mm e W = 1,5 kn Dados: Peso específico do aço = 77,0 kn 3 m Figura 12. 3- A luminária de 80 kg é suportada por duas hastes AB e BC como mostra a Figura 13. Se AB tem diâmetro 10 mm, e BC tem diâmetro de 8 mm, determinar a tensão normal média em cada haste. Salete Buffoni 14
Figura 13. Figura 14. (c) Distribuição da tensão normal média que atua na seção transversal da haste AB. (d) Elemento de material tensionado. Salete Buffoni 15