UNIVRIDD DO OT D NT CTRIN UNOC ÁR D CIÊNCI XT D TRR CURO: NGNHRI CIVI DICIPIN: NÁI MTRICI D TRUTUR PROFOR: JCKON NTONIO CRI NÁI MTRICI D TRUTUR
Professor: Jackson ntonio Carelli i UMÁRIO IT D FIGUR... iv IT D TB... v INTRODUÇÃO.... nálise estrtral.... nálise matricial de estrtras.... Idealização estrtral..... Definições....4 Divisão em elementos....5 istemas de coordenadas... 4.6 Método das forças e método dos deslocamentos... 4.6. Método das forças (método da flexibilidade)... 4.6. Método dos deslocamentos (método da rigidez)... 5 MTRIZ D RIGIDZ FXIBIIDD... 6. Relação entre ações e deslocamentos... 6.. qação da força em termos do deslocamento... 6.. qação do deslocamento em termos da força... 6
Professor: Jackson ntonio Carelli ii.. Relação entre rigidez e flexibilidade... 7. Definições... 8. xemplo de discretização de ma barra contína composta por das hastes e solicitada por esforço normal... 9.. Forças em fnção dos deslocamentos... 9.. Obtenção da matriz de rigidez da estrtra..... Deslocamentos em fnção das forças.....4 Obtenção da matriz de flexibilidade da estrtra.....5 Obtenção da matriz de rigidez mediante discretização da estrtra....4 Obtenção da matriz de rigidez de m elemento de pórtico plano... 4.4. Cálclo dos coeficientes da matriz de rigidez... 5 MÉTODO D RIGIDZ.... Matriz de rotação de m elemento de pórtico plano.... Matriz de rigidez de m elemento no sistema global - G... 4. Vetor de ações nodais eqivalentes... 5.4 istema de eqações de eqilíbrio para estrtra não-restritingida (sem apoios)... 8.5 Montagem da matriz de rigidez da estrtra... 9.5. Regra da correspondência....6 Montagem do vetor de ações da estrtra....7 istema de eqações de eqilíbrio para a estrtra restringida... 6.7. Técnica da reordenação... 6.8 Cálclo dos esforços nas extremidades dos elementos... 9
Professor: Jackson ntonio Carelli iii
Professor: Jackson ntonio Carelli iv IT D FIGUR Figra. strtra contína e discretizada... Figra. Inserção de nó fictício... Figra. Coeficientes de rigidez em barra composta por das hastes e solicitada por esforço normal... 9 Figra. ções locais de engastamento perfeito - P (elemento de viga)... 6 Figra. ções nodais eqivalentes (- P )... 7 Figra. xemplo de montagem de matriz de rigidez (pórtico plano)... 9 Figra.4 xemplo regra da correspondência (pórtico plano)... Figra.5 xemplo montagem vetor de ações da estrtra... 4
Professor: Jackson ntonio Carelli v IT D TB Tabela. Matrizes de rigidez elementares... Tabela. correspondência entre sistemas para elemento...
Professor: Jackson ntonio Carelli INTRODUÇÃO. nálise estrtral Definido o sistema constrtivo e o material a ser empregado, a análise estrtral e a primeira etapa de m projeto estrtral. O objetivo da análise estrtral e, à partir de ma estrtra, com características geométricas e mecânicas conhecidas, sbmetida a ações (cargas o deformações impostas), determinar os deslocamentos (translações e /o rotações) de todos os ses pontos, os esforços internos e as reações de apoio. análise estrtral é classificada como linear, qando a estrtra tem comportamento linear, e não-linear, em caso contrário. Para qe ma estrtra tenha comportamento linear, ela deve sofrer peqenos deslocamentos e deformações específicas e se material deve ser elástico-linear (validade da ei de Hooke). Isto permite a aplicação do princípio da sperposição dos efeitos.. nálise matricial de estrtras análise matricial de estrtras é m tópico da análise estrtral, em qe as eqações qe regem o problema a resolver são formladas matricialmente, sejam eqações de eqilíbrio de forças o de compatibilidade de deformações, dependendo do método tilizado (método das forças o método dos deslocamentos), sendo o método dos deslocamentos o mais adeqado para implementação comptacional. O objetivo desta disciplina é a modelagem e análise estática linear de estrtras reticladas(constitídas por elementos onde ma dimensão predomina em relação às otras das barras), tilizando principalmente o método dos deslocamentos com formlação matricial, capacitando os alnos a tilizar de maneira racional os programas de análise estrtral e a desenvolverem ses próprios programas.
Professor: Jackson ntonio Carelli. Idealização estrtral.. Definições Gras de liberdade ão as variáveis envolvidas no processo de análise de ma estrtra. Qando se trata do método dos deslocamento, por exemplo, os gras de liberdade são as deformações (deslocamentos e/o rotações) dos nós da estrtra. istemas contínos istemas contínos são aqeles compostos por ma infinidade de pontos materiais e qe possem portanto m número infinito de gras de liberdade. istemas discretos istemas discretos são aqeles qe possem m número finito de pontos materiais e portanto m número finito de gras de liberdade. maioria das estrtras consistem de ma montagem de diferentes elementos estrtrais conectados entre si por ligações contínas o discretas. O passo mais importante na análise matricial de estrtras é a formlação de m modelo matemático de elementos discretos eqivalente à estrtra contína real. ste modelo é necessário a fim de se obter m sistema com m número finito de variáveis (gras de liberdade) nos qais as operações de álgebra matricial poderão ser realizadas. À formlação de tal modelo chama-se de idealização estrtral.
Professor: Jackson ntonio Carelli strtra contína strtra discretizada Figra. strtra contína e discretizada.4 Divisão em elementos s estrtras estdadas nesta disciplina serão divididas em elementos de dimensão finita, ligados entre si por pontos nodais (nós) aonde se spõem concentradas todas as forças de ligação entre elementos. s ações e deslocamentos serão discretizados nos nós e a composição destes elementos para constitir a estrtra resltará em m sistema de eqações algébricas qe será tratado matricialmente. m geral m nó é constitído pelas ligações entre barras, extremidades livres, pontos de vinclação, no entanto, m nó fictício poderá, por conveniência do problema, ser inserido em qalqer ponto da estrtra, por exemplo no meio de ma barra qalqer (neste caso estaríamos dividindo a barra em das). 5 6 4 Nó fictício Figra. Inserção de nó fictício
Professor: Jackson ntonio Carelli 4.5 istemas de coordenadas Com o fim de identificar e ordenar matricialmente as ações mecânicas (forças e momentos) e os deslocamentos (lineares o anglares) existentes nos nós de ma estrtra integrada (montada, contína) o nas extremidades de m elemento (isolado, qando sbdividida a estrtra estrtra discretizada ), torna-se imprescindível a determinação de m sistema de coordenadas arbitrário. Na verdade, serão necessários dois sistemas de coordenadas chamados de istema de Coordenadas Globais e istema de Coordenadas ocais. O sistema de coordenadas globais refere-se aos gras de liberdade da estrtra como m todo, o seja estrtra montada, já o sistema de coordenadas locais refere-se aos gras de liberdade dos elementos discretizados, o seja, das partes da estrtra..6 Método das forças e método dos deslocamentos.6. Método das forças (método da flexibilidade) No método das forças determinam-se diretamente os esforços (forças) e indiretamente, isto é, a partir destes, os deslocamentos. ste método pode ser sado para analisar qalqer estrtra hiperestática, o seja, qalqer estrtra estaticamente indeterminada. estrtra é modificada por meio de liberações o cortes, tornado-a isostática (este sistema é chamado de principal) O sistema de eqações qe resolve o problema á constitído por eqações de compatibilidade de deformações; as incógnitas são os esforços nas liberações o cortes. O número de eqações (incógnitas) é igal ao gra de hiperestaticidade da estrtra. Para analisar ma estrtra podem ser adotados ma infinidade de sistemas principais. a escolha do sistema mais conveniente depende da experiência do analista.
Professor: Jackson ntonio Carelli 5.6. Método dos deslocamentos (método da rigidez) Neste método determina-se inicialmente os deslocamentos e indiretamente, por meio destes, os esforços. ste método pode ser sado para analisar qalqer estrtra isostática o hiperestática. única estrtra qe não pode ser resolvida por este método é a composta de ma única barra bi-engastada. estrtra é modificada introdzindo-se fixações de forma a torná-la cinematicamente determinada (sistema principal). O sistema de eqações qe resolve o problema é constitído por eqações de eqilíbrio de forças em torno destas fixações. s incógnitas são os respectivos deslocamentos (rotações e/o translações). No caso de estrtras reticladas, o único sistema principal possível é obtido pela fixação de todos os deslocamentos possíveis dos nós (denominados gras de liberdade). O número de eqações é igal ao gra de indeterminação da estrtra, o seja, é igla ao número de gras de liberdade da estrtra. dotando-se este sistema principal único desaparece o problema da escolha do sistema principal do Método das Forças, por este motivo o Método dos Deslocamentos é o mais adeqado, e praticamente o único tilizado para implementação comptacional em nálise de strtras.
Professor: Jackson ntonio Carelli 6 MTRIZ D RIGIDZ FXIBIIDD. Relação entre ações e deslocamentos.. qação da força em termos do deslocamento F k (.) Onde a rigidez da mola (k) é a força por nidade de deslocamento, o seja, é a força reqerida para prodzir m deslocamento nitário na mola... qação do deslocamento em termos da força δ δ F (.)
Professor: Jackson ntonio Carelli 7 Onde δ é a deformabilidade da mola, geralmente chamada de flexibilidade, sendo o deslocamento por nidade de força, o seja, é o deslocamento prodzido pela aplicação de ma força de valor nitário... Relação entre rigidez e flexibilidade δ k (.) e ao invés de ma mola tivermos ma barra contína (como a viga de m edifício, por exemplo), porém discretizada, o seja, com m número finito de gras de liberdade (neste caso apenas m) de acordo com a resistência dos materiais podemos dizer: σ ε (.4) σ F (.5) Comparando-se (.4) com (.5) tem-se: F ε (.6) ε l l (.7) bstitindo-se (.7) em (.6) tem-se: F (.8)
Professor: Jackson ntonio Carelli 8 O: F (.9) Comparando-se (.9) com (.) concli-se qe o coeficiente de rigidez da barra é: k (.) ogo, o coeficiente de flexibilidade da barra é dado por: δ (.) Nesta disciplina será adotada a seginte notação: o termo coeficiente de rigidez será indicado pela letra e o coeficiente de flexibilidade pela letra C. Definições ij Coeficiente de rigidez: Representa a ação (força) na direção i casado por m deslocamento nitário na direção j (enqanto todos os otros deslocamentos são impostos como nlos). C ij Coeficiente de flexibilidade: Representa o deslocamento na direção i casado por ma ação (força) de valor nitário na direção j (enqanto todas as otras são nlas).
Professor: Jackson ntonio Carelli 9. xemplo de discretização de ma barra contína composta por das hastes e solicitada por esforço normal.. Forças em fnção dos deslocamentos istema de coordenadas globais Coeficientes de rigidez ( ij ) Coeficientes de rigidez ( ij ) Figra. Coeficientes de rigidez em barra composta por das hastes e solicitada por esforço normal Neste caso são conhecidas as ações qe atam nas coordenadas e ( e ) e os coeficientes de rigidez (,, e ), qe devem ser obtidos previamente, desejando-se obter os deslocamento nas coordenadas e ( e ). Para qe o nó da coordenada esteja em eqilíbrio a força externa deve ser igal ao somatório das forças internas resltantes dos deslocamentos ocorridos ao longo da estrtra, o seja: (.) O mesmo pode ser dito com relação ao nó da coordenada : (.)
Professor: Jackson ntonio Carelli Unindo as eqações (.) e (.), pode-se, matricialmente escrever: { } [ ] { } (.4) onde: {} é o vetor das ações externas (solicitações); {} é o vetor dos deslocamentos nos G s e ; [] é a matriz de rigidez da estrtra em estdo, de dimensões (x), correspondente ao número de coordenadas tilizadas. matriz de rigidez é ma matriz de transformação linear: transforma o vetor dos deslocamentos no vetor das ações... Obtenção da matriz de rigidez da estrtra matriz de rigidez da estrtra pode ser obtida pela conceitação de ses coeficientes, e das relações existentes na haste sbmetida à carregamentos axiais. - é a força na coordenada decorrente da imposição de m deslocamento nitário também na coordenada, mantendo-se as demais coordenadas restringidas. - é a força na coordenada decorrente da imposição de m deslocamento nitário na coordenada, mantendo-se as demais coordenadas restringidas.
Professor: Jackson ntonio Carelli - é a força na coordenada decorrente da imposição de m deslocamento nitário na coordenada, mantendo-se as demais coordenadas restringidas. - é a força na coordenada decorrente da imposição de m deslocamento nitário na coordenada, mantendo-se as demais coordenadas restringidas. Obtendo-se assim a matriz de rigidez da estrtra: [ ].. Deslocamentos em fnção das forças No item.. foram determinadas as forças (o ações) da estrtra em estdo em fnção dos deslocamentos. De forma análoga pode-se determinar os deslocamentos em fnção das forças. Neste caso, ao invés da imposição de m deslocamento nitário com posterior determinação das forças eqivalentes, deve-se impor ma força nitária com posterior determinação dos deslocamentos eqivalentes. Desta forma chega-se às segintes eqações de eqilíbrio para os nós da estrtra: C C (.5) C C (.6)
Professor: Jackson ntonio Carelli Unindo as eqações (.5) e (.6), pode-se, matricialmente escrever: C C C C { } [ C] { } (.7) onde: {} é o vetor das ações externas (solicitações); {} é o vetor dos deslocamentos nos G s e ; [C] é a matriz de flexibilidade da estrtra em estdo, de dimensões (x), correspondente ao número de coordenadas tilizadas...4 Obtenção da matriz de flexibilidade da estrtra matriz de flexibilidade da estrtra pode ser obtida de forma análoga ao apresentado no item.., o seja, pela conceitação de ses coeficientes, o pela inversão da matriz de rigidez, já encontrada. Invertendo-se a matriz de rigidez (), obtém-se a matriz de flexibilidade da estrtra: [ C] Mitas vezes é mais fácil determinar inicialmente a matriz de flexibilidade para em segida, através da inversão desta, obter a matriz de rigidez, caso por exemplo da determinação da matriz de rigidez de ma barra com inércia variável.
Professor: Jackson ntonio Carelli..5 Obtenção da matriz de rigidez mediante discretização da estrtra mesma matriz de rigidez já encontrada para a estrtra em qestão poderia também ser obtida mediante analise de cada ma das barras isoladamente, conforme seqe. nálise da primeira barra Como a primeira barra apresenta apenas m gra de liberdade coincidente com os gras de liberdade da estrtra original sa matriz de rigidez será x : nálise da segnda barra ; ii x Σ ; Σ ii x
Professor: Jackson ntonio Carelli 4 Como a segnda barra apresenta dois gra de liberdade coincidentes com os gras de liberdade da estrtra original sa matriz de rigidez será x : omando-se as matrizes de rigidez da primeira e da segnda barras tem-se: O seja, chega-se ao mesmo resltado. Para este exemplo simples talvez a primeira forma para determinação da matriz de rigidez seja mais simples, porém, para estrtras com grande número de gras de liberdade a segnda maneira (dividir a estrtra em elementos simples) é, sem dúvida, a melhor opção..4 Obtenção da matriz de rigidez de m elemento de pórtico plano Um elemento de pórtico plano é na verdade ma barra qe possi m nó em cada ma de sas extremidades. Cada m dos nós de m elemento de pórtico plano apresenta três gras de liberdade, ma translação vertical, ma translação horizontal e ma rotação. matriz de rigidez do elemento será referenciada à m sistema de coordenadas locais, onde o eixo X coincide com o eixo do elemento, o eixo Y é perpendiclar à X e o eixo Z é perpendiclar ao plano formado por X e Y.
Professor: Jackson ntonio Carelli 5 6 4 Y J X (i) K 5 lemento (i) nó inicial J nó final K Z istema local é definido pela incidência do elemento: eiso X de J para K. Vetor de deslocamentos no sistema local: [ ] (6x) ções devido aos deslocamento nodais: [ ] [ ].[ ].4. Cálclo dos coeficientes da matriz de rigidez eja o elemento restringido abaixo. Inicialmente vamos determinar as eqações qe regem os deslocamentos em ma das extremidades do elemento. Para tanto deve-se considerar a extremidade em qestão não restringida e a partir daí, com axílio do método da carga nitária serão definidas as eqações. 6 J --I K 4 5 iberando os deslocamentos do nó J, 6 J --I K 4 5
Professor: Jackson ntonio Carelli 6 cjos gras de liberdade são,, e, tem-se: plicando-se cargas nitárias nas direções agora liberadas tem-se os segintes diagramas de momentos fletores (DMF s) e diagramas de esforços normais (DN s): F nlo DMF () F DN () - DMF () F F nlo DN () F - DMF () F nlo DN () Comparando-se os diagramas obtém-se: δ I δ δ I δ δ δ δ δ δ I I I I I I Como não existe carregamento externo na estrtra, os termos δ, δ e δ são nlos, ficando o sistema da seginte forma:
Professor: Jackson ntonio Carelli 7 embrando qe m coeficiente de rigidez é na verdade ma força qe aplicada na direção de m gra de liberdade casa ma deformação nitária nesta direção, mantidas todas as demais fixas. ssim, basta impor ma deformação nitária em cada ma das eqações acima mantendo as otras das nlas e serão obtidos algns dos coeficientes de rigidez de rigidez do elemento (a condição de deformações nlas nas direções 4, 5 e 6 é assegrada pelo engaste). Impondo ; e ; obtém-se: /; ; stes coeficientes são devidos à imposição de m deslocamento nitário na direção, portanto pode-se escrever em lgar de,, em lgar de, e em lgar de,. Impondo ; e ; obtém-se: ; I/ ; 6I/ O, de forma análoga, ; I/ ; 6I/, pois estes coeficientes são devidos à m deslocamento nitário na direção. I I I I I I I I δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ
Professor: Jackson ntonio Carelli 8 Impondo ; e ; obtém-se: ; 6I/ ; 4I/ O: ; 6I/ ; 4I/ ssim ficam determinados todos os coeficientes chamados JJ, o seja, os coeficientes qe srgem no nó J (esforços) devido à imposição de deformações nitárias neste mesmo nó. Resta agora determinar os coeficientes qe srgem no nó K devido à imposição de deformações nitárias no nó J, o KJ, os coeficientes qe srgem no nó K devido à imposição de deformações nitárias no nó K, o KK, e os coeficientes qe srgem no nó J devido à imposição de deformações nitárias no nó K, o JK. ntes porém, algns comentários são importantes. nalisando os coeficientes já determinados pode-se observar qe os efeitos casados por deformações axiais interferem nos efeitos casados por deformações de flexão, e vice-versa, o seja, as deformações axiais e de flexão são independentes, desde qe sejam verificados peqenos deslocamentos na estrtra (caso contrário a estrtra apresentará efeitos de segnda ordem, não contemplados no estdo desta disciplina). Otra observação qe se faz é com relação à simetria dos coeficientes,. sta é ma característica das matrizes de rigidez (e de flexibilidade também) em geral, elas são simétricas, portanto pode-se dizer qe JK KJ. Com estas observações pode-se prossegir na determinação dos demais coeficientes de rigidez, da seginte maneira: inicialmente, por eqilíbrio do elemento serão determinados os coeficientes JK, na seqüência, por simetria serão determinados os coeficientes KJ e por fim, novamente por eqilíbrio serão determinados os coeficientes KK.
Professor: Jackson ntonio Carelli 9 4 6 4 64 J --I K 4 4 J --I K 44 4 5 4 54 5 65 J --I K 6 5 4 5 5 J --I K 45 5 5 6 55 --I --I J K 4 6 J 6 K 46 6 6 66 5 6 56 Por eqilíbrio encontram-se os coeficientes KJ à partir de JJ : (mais 9 coeficientes): 4J 4-4 4 5J 5 5-5 - 6J 6 6 -. 6 -.
Professor: Jackson ntonio Carelli Por simetria encontram-se os coeficientes JK KJ : (mais 9 coeficientes): K 4 4 5 5 6 6 K 4 4 5 5 6 6 K 4 4 5 5 6 6 Por eqilíbrio encontram-se os coeficientes KK à partir de JK : (mais 9 coeficientes): 4K 44-4 45 46 5K 54 55-5 56-6 6K 64 65-5 5. 66-6 6. ssim, fica determinada a matriz de rigidez de m elemento de pórtico plano: [ ] I 6I I 6I 6I 4I 6I I I 6I I 6I 6I I 6I 4I Para este elemento pode-se agora definir ma correlação entre ações (forças) e deslocamentos:
Professor: Jackson ntonio Carelli [ ] [ ] [ ] (.8) pesar de dedzido para o sistema de coordenadas locais, esta expressão é geral, portanto válida também para o sistema de coordenadas globais assim como para otros elementos. Com o mesmo procedimento adotado, o então calclando inicialmente a matriz de flexibilidade e posteriormente invertendo-a pode-se determinar as matrizes de rigidez de otros elementos estrtrais, como o de ma viga, o de ma treliça, entre otros, como pode ser observado na Tabela. Tabela. Matrizes de rigidez elementares TRIÇ VIG
Professor: Jackson ntonio Carelli MÉTODO D RIGIDZ. Matriz de rotação de m elemento de pórtico plano té agora os tópicos vistos limitaram-se ao sistema de coordenadas locais. ntretanto, nas estrtras em geral os elementos constitintes não possem ma mesma inclinação (vigas e pilares, por exemplo) o qe faz com qe o sistema local de m não coincida com o sistema local de otro, sendo então necessário rescrever as matrizes de rigidez dos elementos em fnção de m único sistema de coordenadas, o global. Isto será feito com axílio de ma matriz chamada matriz de rotação, qe será dedzida a segir, para m elemento de pórtico plano. eja, portanto, m elemento de pórtico plano, cjos nós tem, conforme já citado, três gras de liberdade, representado abaixo: Y 6 K 4 Y G G6 K G4 X θ () 5 G J X G G5 J G G istema ocal istema Global Onde θ é o ânglo do eixo global para o eixo local, positivo no sentido anti-horário; [ ] é o vetor de deslocamentos nodais do elemento no sistema local e [ G ] é o vetor de deslocamentos nodais do elemento no sistema global. Decompondo [ G ] na direção [ ], tem-se:
Professor: Jackson ntonio Carelli - Para o nó J : G G cosθ senθ G G G senθ cosθ 4 5 - Para o nó K : G4 G4 cosθ senθ 6 G6 G5 G5 senθ cosθ stas eqações pode ser escritas de forma matricial conforme sege: 4 5 6 cosθ senθ senθ cosθ cosθ senθ senθ cosθ G G G G4 G5 G6 o, [ ] [ R] [ ] G (.) onde [R] é a matriz de rotação do elemento do sistema global para o local. À partir de (.) é possível escrever: - [ ] [ R ] [ ] G como [R] é ma matriz ortogonal: - T [ R ] [ R ] logo, T [ ] [ R ] [ ] G (.)
Professor: Jackson ntonio Carelli 4 O mesmo restado obtido com a tilização da matriz de rotação inversa o transposta poderá ser obtido com a simples tilização da matriz de rotação, desde qe se considere o ânglo com sinal negativo (- θ). Matriz de rigidez de m elemento no sistema global - G À partir da expressão dada em (.8) qe informa as ações nas extremidades do elemento devido aos deslocamentos nodais, apenas (spondo o elemento sem carga), pode-se dizer qe: e [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] G G G (.) (.4) ssim como os deslocamentos globais e locais, as ações locais e globais também correlacionam-se pela matriz de rotação [R] pelas segintes expressões: [ ] [ R] [ ] G (.5) T [ ] [ R ] [ ] G (.6) bstitindo (.) em (.) tem-se: [ ] [ ] [ R] [ ] G (.7) Pré-mltiplicando (.7) por [R T ], tem-se:
Professor: Jackson ntonio Carelli 5 T T [ R ] [ ] [ R ] [ ] [ R] [ ] G (.8) como, T [ R ] [ ] [ ] G T [ ] [ R ] [ ] [ R] [ ] G G (.9) bstitindo (.4) em (.9) tem-se: T [ ] [ ] [ R ] [ ] [ R] [ ] G G G (.) implificando a expressão (.) reslta: T [ ] [ R ] [ ] [ R] G (.). Vetor de ações nodais eqivalentes té o presente momento estdo-se a correlação entre deslocamentos nodais e ações aplicadas nos nós de m elemento estrtral. sta correlação é expressa no sistema local, conforme já citado, da seginte forma: [ ] [ ] [ ] O seja, conhecidos os deslocamentos dos nós é possível determinar as ações atantes nestes nós e vice-versa.
Professor: Jackson ntonio Carelli 6 No entanto, toda a dedção até aqi apresentada não levo em consideração a existência de carregamentos (distribídos o concentrados) aplicados ao longo dos elementos. Nestes casos será necessário calclar as chamadas ações nodais eqivalentes e aplicar o princípio da sperposição dos efeitos. eja por exemplo o elemento de viga mostrado na Figra.. Nesta figra estão indicadas as ações (o reações) de engastamento perfeito do elemento sbmetido à m carregamento niformemente distribído. stas ações de engastamento perfeito atam nas extremidades do elemento e compõem, jntamente com a parcela de esfoços devidos aos deslocamentos nodais, as ações totais na extremidade do elemento, conforme indica a eqação (.), onde [ P ] é o vetor de ções ocais ngastamento Perfeito. Figra. ções locais de engastamento perfeito - P (elemento de viga) [ ] [ P ] [ ] [ ] (.) onde: [ ] - é o vetor de ções ocais aplicadas diretamente nos nós; [ P ] - é o vetor de ções ocais de ngastamento Perfeito nas extremidades do elemento; [ ]. [ ] - é o vetor de ções ocais devido aos deslocamentos nodais nas extremidades do elemento. igaldade entre os dois membros indica o eqilíbrio entre forças aplicadas nos nós e forças aplicadas nas extremidades dos elementos.
Professor: Jackson ntonio Carelli 7 Como no processo de resolção de ma estrtra [ ] e [ P ] são valores conhecidos e [ ] é a incógnita, é interessante deixar os termos conhecidos no mesmo lados da eqação, qe reslta: [ ] [ P ] [ ] [ ] (.) O seja, passando [ P ] para o otro lado da eqação, obtém-se -[ P ], qe corresponde a passar as ações das extremidades do elemento para os nós do elemento, obtendo assim as ações nodais eqivalentes, conforme mostra a Figra. ções nos nós: (- P ) ções nas extremidades do elemento: ( P ) ções nos nós: (- P ) Figra. ções nodais eqivalentes (- P ) ntretanto, a eqação de eqilíbrio dos nós não é feita no sistema local, e sim no global, o seja, deve-se transformar o vetor ações de engastamento perfeito. sta transformação nada mais é do qe ma rotação do elemento do sistema local para o global, realizada com o axílio da matriz de rotação transposta [R T ], definida no item. para elemento de pórtico plano. [ GP ] [ R ] [ P ] T (.4)
Professor: Jackson ntonio Carelli 8 O vetor de ações de engastamento perfeito da estrtra [ * P] deve ser montado considerando a inflência de todos os elementos constitintes, o seja: * [ P ] nelm i (i) GP (.5) onde, nelm corresponde ao número de elementos da estrtra..4 istema de eqações de eqilíbrio para estrtra não-restritingida (sem apoios) O sistema de eqações de eqilíbrio de ma estrtra pode ser escrito como na eqação (.), porém agora não mais no sistema local, mas sim de ma forma geral: [ ] [ P ] [ ] [ D] (.6) onde: [] - é o vetor de ações aplicadas nos nós; [ P ] - é o vetor de ações engastamento perfeito nas extremidades dos elementos; [] - é a matriz de rigidez da estrtra; [D] - é o vetor de deslocamentos nodais da estrtra; []. [D] - é o vetor de ações devido aos deslocamentos nodais. eqação (.6) pode ser rescrita para a estrtra não restringida (sem apoios): * * * * [ ] [ ] [ D ] P (.7) stes sistemas de eqações devem ser considerados no sistema global em relação aos G dos nós da estrtra, qe devem ser nmerados seqüencialmente.
Professor: Jackson ntonio Carelli 9 montagem da matriz de rigidez da estrtra deve levar em consideração a inflência da matriz de rigidez de todos os elementos no sistema global. relação entre os G dos elementos e os G da estrtra será feita através da Regra da Correspondência..5 Montagem da matriz de rigidez da estrtra matriz de rigidez de ma estrtra é montada a partir das matrizes de rigidez no sistema global dos elementos qe compõem esta estrtra: nelm nelm * [ ] (i) (i) T (i) (i) R [ R ] i G i (.8) onde: nelm é o número de elementos da estrtra. xemplo: pórtico plano com 4 elementos e 5 nós, portanto, com m total de 5 gras de liberdade, o seja, ma matriz de rigidez de5 x 5. 4 D D5 4 5 D D D4 D Y D D6 D9 Z X D D D5 D4 D8 D7 Figra. xemplo de montagem de matriz de rigidez (pórtico plano) No nó 5 por exemplo, concorrem três elementos, (), () e (4). Destes, o elemento (4) apresenta sistema local coincidindo com global, os demais necessitam de ma transformação do vetor de deslocamentos do sistema local para o sistema global. direção do G 5 da estrtra (D 5, qe é o terceiro gra de liberdade do nó 5), correspondem as direções: - 6 do elemento (); - do elemento (); - 6 do elemento (4).
Professor: Jackson ntonio Carelli direção do G da estrtra (D, qe é o primeiro gra de liberdade do nó 5), correspondem as direções: - 4 do elemento (); - do elemento (); - 4 do elemento (4). O seja, o coeficiente * 5, da estrtra corresponde à soma das parcelas G6,4 do elemento (), G, do elemento () e G6,4 do elemento (4), o seja: * () () (4) 5, G 64 G G 64.5. Regra da correspondência regra da correspondência correlaciona a nmeração dos deslocamentos das extremidades dos elementos ( [ G ] ), com a nmeração dos deslocamentos nodais da estrtra ( [D] ). m cada elemento (i) os deslocamentos são nmerados de ate vezes o número de gras de liberdade de m nó. Por exemplo, cada nó de m elemento de pórtico plano possi três gras de liberdade, portanto os deslocamentos são nmerados de até x, o seja de até 6. Nesta disciplina o número de gras de liberdade de m nó será designado por NG, logo, cada elemento (i) terá ses deslocamentos nmerados de até x NG, sendo qe os deslocamentos do nó inicial J serão nmerados de até NG e os do nó final K serão nmerados de NG até x NG. Portanto, para m elemento de pórtico plano os deslocamentos do nó J serão nmerados de até e os do nó K serão nmerados de 4 até 6. Na estrtra, os deslocamentos são nmerados na ordem dos nós sendo qe, em cada nó há NG deslocamentos em ordem determinada pelos eixos do sistema global. ssim, no nó do exemplo da Figra. (pórtico plano - NG ) os deslocamentos serão G, G e G, no nó, serão G4, G5 e G6, e assim por diante. No nó 5, portanto, os deslocamentos serão G, G4 e G5, conforme pode ser observado na Figra.. xemplo regra da correspondência: pórtico plano
Professor: Jackson ntonio Carelli D 4 D5 G D D 4 5 D4 D J G G Y Z D D6 D9 D X D4 D7 D D5 D8 Figra.4 xemplo regra da correspondência (pórtico plano) G6 K G4 G5 Tomando-se como exemplo o elemento qe liga o nó J5 ao nó K, tem-se: Tabela. correspondência entre sistemas para elemento G da estrtra ( [D * ] ) G do elemento (i) ( [G] ) (ligando J (i) a K (i) ) J(i) J(i) 4 J(i) 5 K(i) 7 4 K(i) 8 5 K(i) 9 6 Por esta correlação pode-se dizer por exemplo qe o coeficiente G,6 do elemento corresponde ao coeficiente * 4,9 da estrtra, assim como qe o coeficiente G, do elemento corresponde ao coeficiente * 5, da estrtra, conforme já se havia citado no item.5. Desta forma é possível fazer so de m vetor qe faça a correspondência entre os gras de liberdade do elemento e da estrtra. ste vetor será chamado de JK e, como já indicado na Tabela., é dado por:
Professor: Jackson ntonio Carelli (i) [ JK ] (i) J JK (i) J JK (i) J JK (i) K JK (i) K JK (i) K JK (i), (i), (i),4 (i),5 (i), (i),6 J J K K (i) (i) J (i) (i) K (i) (i) Para montagem da matriz de rigidez de m pórtico plano, pode-se, como sgestão, adotar o algoritmo apresentado à segir: D I TÉ NG FZR Inicialmente deve-se D J TÉ NG FZR varrer a estrtra * (I,J) zerando a matriz de FIM rigidez D I TÉ NM FZR MONTR MTRIZ D ROTÇÃO DO MNTO ([R]) MONTR MTRIZ D RIGIDZ OC DO MNTO ([ ]) MONTR MTRIZ D RIGIDZ GOB DO MNTO ([ G ]) MONTR VTOR JK DO MNTO ([JK]) D M TÉ 6 FZR D N TÉ 6 FZR * (JK(I,M),JK(I,N) * (JK(I,M),JK(I,N) G (M,N) FIM Um elemento * (I,J) é igal a ele mesmo mais a parcela G correspondente ao elemento em análise. Isto ocorre porqe mais de m elemento pode contribir para o termo * (I,J),
Professor: Jackson ntonio Carelli xemplo regra da correspondência: viga contína NG.6 Montagem do vetor de ações da estrtra O vetor de ações da estrtra é constitído pela soma de dois otros vetores, [ * ] (ações aplicadas diretamente nos nós) e -[ * P] (ações provenientes de cargas aplicadas nos elementos - ações nodais eqivalentes). O vetor [ * ] qe está no sistema global está relacionado aos nós da estrtra não estando vinclado a nenhm elemento específico, já o vetor -[ * P] é obtido levando-se em conta a contribição de todos os elementos, somando-se os coeficientes [ GP ] dos elementos qe concorrem em m mesmo nó, correspondentes ao mesmo G deste nó. montagem do vetor -[ * P] pode ser realizada de forma similar ao apresentado para montagem da matriz de rigidez (item.5), o seja, com axílio da regra da correspondência, através dos vetores JK dos elementos. ssim, para m certo G do elemento, tem-se qe GP () vai contribir para [ * P(JK())].
Professor: Jackson ntonio Carelli 4 xemplo: pórtico plano Considerando o elemento do exemplo do item.5., agora com carregamento aplicado no elemento, de acordo com a Figra.5. J 5 θ X q XG ql/ q/ [P] GP GP GP [GP] K q/ q/ GP5 GP6 GP4 Figra.5 xemplo montagem vetor de ações da estrtra Tem-se: () [ ] P q q q - q pondo o ânglo θ 5º teríamos como [ () GP]: () T () [ ] [ R ][ ] GP P cosθ senθ senθ cosθ cosθ senθ senθ cosθ q q q - q
Professor: Jackson ntonio Carelli 5 () T () [ ] [ R ][ ] GP P,77,77,77,77,77,77,77,77,77 q,77 q q,77 q 4,77 q 5 - q 6 () [ ] GP De acordo com o item.5. o vetor JK deste elemento seria (J 5; K ): q q q - q () [ JK ] () J () J () J () K () K () K 5 5 5 4 5 7 4 8 5 9 6 O seja, o coeficiente () GP irá contribir para o coeficiente * P assim como () GP contribirá para * P4, () GP contribirá para * P5, () GP4 contribirá para * P7, () GP5 contribirá para * P8 e () GP6 contribirá para * P9. Não se pode esqecer qe m coeficiente do vetor [ * P] deve contemplar os coeficientes (i) GP de todos os elementos qe concorrem naqele nó e naqele gra de liberdade (cmlatividade).
Professor: Jackson ntonio Carelli 6.7 istema de eqações de eqilíbrio para a estrtra restringida.7. Técnica da reordenação Consiste em renmerar todas as direções de deslocamentos nodais, começando pelas direções livres e deixando para o final as direções restringidas. Para tilização desta técnica será necessário estabelecer m índice para direções restringidas e livres, qe será: direção livre índice ( ) direção restringida índice ( ) erá necessário ainda estabelecer para todo sistema o número de direções livres, chamado ND, e para cada direção em estdo m Índice de Restrição cmlado, aqi chamado IR. O IR de ma dada direção é o se índice de restrição ( o ) somado aos índices de restrição das direções anteriores. ssim, as novas direções são: Direção Nova ivre Direção ntiga ivre IR Direção Nova Restringida ND IR xemplo: pórtico plano (mesmo exemplo do item.5, agora porém, com apoios) D D5 D4 D7 D D D4 D D D D6 D5 D D6 D9 D D D5 D D D5 D4 D8 D7 D9 D8 D D D4 D ND 7
Professor: Jackson ntonio Carelli 7 Direção ntiga Índice de Restrição IR Direção Nova 7 8 7 9 7 4 4 7 4 5 5 7 5 6 5 6-5 7 6 7 6 8 7 7 7 4 9 8 7 8 5 8-8 8-8 8-8 4 8-8 5 4 8 4-8 6 5 8 5-8 7 partir deste momento, as linhas e colnas da matriz de rigidez da estrtra, [ * ], devem ser trocadas, deixando as direções livres no início e as restringidas no final. s novas direções deverão ser armazenadas em m vetor qe as correlacione com as antigas. Como sgestão este novo vetor poderia chamar-se ND. Neste ponto torna-se importante salientar qe a nmeração dos G s da estrtra foi alterada, o qe torna necessária a alteração dos vetores JK dos elementos, adeqando-os à nova nmeração, pois estes vetores serão tilizados no ftro para determinação dos esforços nas extremidades dos elementos. pós isso, o sistema de eqações (.7) pode ser rescrito da seginte forma: [ DD] [ DR ] [ ] [ ] RD RR [ DD] [ D ] R [ D] [ ] R [ ] [ ] P,D P,R (.9) o então: [ ] [ DR ] [ ] [ ] RD RR [ D] [ D ] R [ ] [ Re] [ ] P [ ] P,R (.) onde:
Professor: Jackson ntonio Carelli 8 [ DD ] o [] é a matriz de rigidez da estrtra restringida, com apoios; [ DR ] é a sb-matriz de [ * ] qe contém os coeficientes de inflência dos deslocamentos dos nós restringidos sobre as ações nos nós deslocáveis o livres; [ RD ] é a sb-matriz de [ * ] qe contém os coeficientes de inflência dos deslocamentos dos nós livres sobre as reações nos nós restringidos; [ RR ] é a sb-matriz de [ * ] qe contém os coeficientes de inflência dos deslocamentos dos nós restringidos sobre as reações nos nós restringidos. Nos casos práticos mais comns, o seja, sem deslocamentos de apoios, com [D R ], o sistema de eqações (.) pode ser simplificado e escrito de explicitamente da seginte forma: [ ] [ D] [ ] [ ] P [ RD] [ D] [ Re] [ P,R ] (.) (.) Resolvendo o sistema de eqações (.) obtém-se os deslocamentos nodais: - [ D] [ ] ( [ ] [ ] ) P (.) e, a partir destes, obtém-se as reações de apoio: [ Re ] [ ] [ D] [ ] RD P,R (.4)
Professor: Jackson ntonio Carelli 9.8 Cálclo dos esforços nas extremidades dos elementos stando resolvida a eqação (.), o seja, sendo determinados os deslocamentos globais da estrtra, podem então ser determinados os deslocamentos nodais no sistema global de cada m dos elementos, portanto G. Para tanto, deve-se tilizar o vetor JK qe correlaciona os deslocamento nodais da estrtra com os deslocamentos nodais (no sistema global) dos elementos. ntes porém, é necessário qe se faça ma alteração dos vetores JK, adeqando-os às novas direções da estrtra, qe foram modificadas no momento da reordenação. Isto pode ser feito com axílio do vetor ND qe correlaciona as novas direções (após a reordenação) com as antigas (após a reordenação). eja por exemplo o elemento do pórtico da Figra., cjo vetor JK dado na Tabela. é composto pelos segintes coeficientes: JK [, 4, 5, 7, 8, 9] O vetor ND da estrtra (obtido após reordenação) é dado pelos segintes coeficientes: ND [8, 9,,,,,, 4, 5,,, 4, 5, 6, 7] o seja, o G da estrtra torno-se, após a reordenação, o G 5, o G 4 torno-se 6 e os G s 5, 7, 8 e 9 tornaram-se respectivamente 7,, 4 e 5, portanto, o novo vetor JK do elemento será composto pelos segintes elementos: JK [5, 6, 7,, 4, 5] ssim, o vetor de deslocamento globais do elemento será constitído pelos deslocamentos D5, D6, D7,D, D4 e D5 da estrtra, o seja: G [D5, D6, D7,D, D4 e D5]
Professor: Jackson ntonio Carelli 4 pois o deslocamento de m nó da estrtra em ma dada direção é igal aos deslocamentos globais de todos elementos neste mesma direção. Comptacionalmente, a determinação do vetor G de m determinado elemento pode ser feita variando-se os gras de liberdade do elemento,, de a NG e efetando-se à cada variação o seginte cálclo: G() D (JK()) Obtido o vetor G do elemento, pode-se agora obter os esforços totais em sas extremidades no sistema local,. Para tanto, deve-se tilizar a eqação (.7) com a devida adição das ações locais de engastamento perfeito, o seja: [ ] [ ] [ R] [ ] G (eqação (.7)) adicionando-se a esta expressão o vetor de ações de engastamento perfeito [ P ], tem-se: [ ] [ ] [ R] [ ] [ ] G P (.5) Para qe todas as operações mencionadas e necessárias ao desenvolvimento de m programa sejam de realização possível, algns vetores e algmas matrizes, como por exemplo, [ P ], [ ] x [R], [JK], e otros(as), deverão ser armazenadas em memória o em disco (em arqivos), sendo a segnda opção mais interessante em fnção da economia de memória.