Pêndulo Simples 6.1 Introdução: Capítulo 6 Um pêndulo simples se define como uma massa m suspensa por um fio inextensível, de comprimento com massa desprezível em relação ao valor de m. Se a massa se desloca para uma posição θ (ângulo que o fio faz com a vertical, que deve ser < 15 0 ) e então for abandonada (velocidade inicial zero), o pêndulo começa a oscilar. O caminho percorrido pela massa suspensa é chamado de arco. O período de oscilação que vamos chamar de é o tempo necessário para a massa passar duas vezes consecutivas pelo mesmo ponto, movendo-se na mesma direção, isto é, o tempo que a massa leva para sair de um ponto e voltar ao mesmo ponto percorrendo o mesmo arco. O pêndulo descreve uma trajetória circular, um arco de circunferência de raio. Estudaremos o movimento do pêndulo segundo as direções radial e tangencial. Na ausência de atritos, as forças que agem sobre a partícula de massa m são apenas duas: Seu peso, mg, vertical para baixo e a ação do fio, a tração, de direção radial e sentido indicado na figura 6.1. Figura 6.1 - As grandezas, P, P x e P y são grandezas vetoriais. 40
Na ilustração (Fig. 6.1), as componentes da força peso segundo as direções radial e tangencial valem: Direção radial : P = mgcosθ. Direção tangencial : Px y = mgsenθ. Equação do movimento segundo a direção radial A segunda lei de Newton permite escrever may = mg cosθ, (6.1) como a y = 0, não há movimento nesta direção = mgcosθ. Equação do movimento segundo a direção tangencial dv A aceleração da partícula é a x =. Recordamos que, a componente dt tangencial da aceleração total descreve unicamente as variações do módulo da velocidade da partícula, enquanto que a componente radial dá conta das variações na direção da velocidade no decorrer do tempo. A segunda lei de Newton permite escrever: ma x = mg senθ, (6.) lembrando sempre que as leis de Newton são aplicáveis em referenciais inerciais. Usando que: v = ω R, onde nesse caso R = (comprimento do fio) e derivando essa equação em relação ao tempo obtemos: dω d θ a x = R =, dt dt e lembrando que, no caso do pêndulo, a força max é do tipo restauradora escrevemos ma x = mg senθ que na forma diferencial fica: d θ g + senθ = 0 dt (6.3) Oscilações de pequena amplitude Desenvolvendo o sen θ da eq. (6.3) em série de aylor temos: 3 5 7 θ θ θ senθ = θ + +... (ângulo em radianos) 3! 5! 7! 0 Quando o ângulo de oscilação do pêndulo é pequeno ( θ <15 ), temos que sen θ θ. Dessa forma, o pêndulo descreverá oscilações harmônicas descritas pela equação diferencial 41
d θ g + θ = 0, dt cuja solução é : θ ( t ) = θ 0 cos ( ω t + φ) com freqüência ω = g. Uma vez que a freqüência angular é ω = π, o período de oscilação do pêndulo será, portanto = π. (6.4) g No final do apêndice C, mostramos uma forma alternativa de obter a expressão (6.4) através dos conceitos de torque e momento de inércia. Glossário Arco x Ângulo = θ ( rad ) = (para ângulos pequenos) Raio θ = ângulo de oscilação ω = π = velocidade angular ou freqüência angular = período de oscilação = tempo necessário para uma oscilação completa 1 v = = freqüência (expressa em Hz quando é expresso em segundos) 6. Experimento: Pêndulo Simples - Experimento 6.1: Objetivos: Obter experimentalmente a equação geral para o período de oscilação de um pêndulo simples; Determinar a aceleração da gravidade local; Verificar a independência da massa no período. Para isso iremos: Estudar o movimento de um pêndulo, verificando a relação entre o período e o comprimento do fio; Observar a variação do período de oscilação de um pêndulo simples, em função do ângulo θ (ângulo inicial de lançamento); Observar a relação entre o período e a massa pendular; Construção de gráficos a partir dos dados experimentais; 4
Interpretação física dos gráficos obtidos. Materiais Utilizados: Massa pendular; Fio de suspensão; Cronômetro; rena; Fita adesiva; ransferidor; Balança; Suporte na parede. Procedimento: 1. Ajuste o comprimento do fio do pêndulo de modo que tenha uma medida pré-determinada da ponta do fio ao centro de massa da massa pendular;. Para a realização do experimento, desloca-se a massa pendular da posição de equilíbrio, até um ângulo θ, obedecendo a relação de que este ângulo não deve ser maior do que 15º. 3. Após ter deslocado a massa e determinado uma posição inicial de lançamento, solta-se a massa e marca-se o tempo de 10 oscilações completas, repetindo esta operação 3 vezes para cada comprimento do fio; Utilize 5 diferentes comprimentos para ; 4. Marque na tabela 6.1 os valores de e o respectivo período médio, para três valores de massa pendular (divida em equipes, cada equipe faz com uma massa de valor diferente, sendo que apenas um comprimento de fio fique fixo entre todas as equipes); M 1 = g M = g M 3 = g (cm) (s) (cm) (s) (cm) (s) 100 100 100 abela 6.1 abela de dados experimentais Sugestão: cada equipe executa o experimento com uma massa diferente e preenche-se a tabela. 43
5. A partir da tabela acima, construa os gráficos x (período em função do comprimento do fio), na mesma escala, para três massas pendulares: M 1, M e M 3 ; 6. inearize, se necessário, o gráfico x e determine a constante física envolvida; Faça a linearização utilizando papel milimetrado e também com o di-log; 7. Obtenha a equação analítica (via regressão linear) da reta obtida na linearização e trace a reta ajustada; 8. Se desejar, confeccione os gráficos no computador, utilizando o software Microsoft Origin (qualquer versão) e compare com os gráficos confeccionados manualmente; 9. Compare a medida da aceleração gravitacional obtida experimentalmente em sala de aula (aceleração determinada pela equação do período utilizando os dados experimentais) com o valor existente na literatura científica (dada por: g = 9,8 m/s²) e determine o desvio percentual; 10. Discuta os desvios encontrados entre os valores de g (valor obtido em sala de aula com o da literatura); 11. Comente sobre a variação do período com a massa pendular. Há dependência? Justifique. 6.3 Bibliografia [1] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker Fundamentos de Física Vol.1, 3ª Edição C Editora - (1998); [] H. M. Nussenzveig Curso de Física Básica 1 Mecânica 3 a Edição Edgard Blücher tda (1996); 44