CURSO DE ÁLGEBRA VOLUME II (Versão Preliminar) Abramo Hefez

CURSO DE ÁLGEBRA VOLUME II (Versão Preliminar) Abramo Hefez 12 de novembro de 2002

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Sumário 1 POLINÔMIOS 7 1.1 Séries de Potências e Polinômios................. 7 1.2 Divisão de Polinômios...................... 15 1.3 Polinômios com Coeficientes em Corpos............. 25 1.4 Polinômios sobre C e sobre R.................. 29 1.5 Polinômios em Várias Indeterminadas.............. 32 2 DERIVAÇÃO E MULTIPLICIDADE 41 2.1 Derivada Primeira........................ 41 2.2 Divisão por X a........................ 47 2.3 Derivadas de ordem superior................... 52 3 POLINÔMIOS COM COEFICIENTES NUM DFU 57 3.1 Raízes em K de polinômios em D[X].............. 57 3.2 O Teorema de Gauss....................... 62 3.3 Método de Kronecker para fatoração em Z[X]......... 66 3.4 Critérios de divisibilidade em Q[X]............... 69 3.5 A Resultante........................... 73 4 AS EQUAÇÕES DE GRAU 4 81 4.1 A Equação do Segundo Grau................... 81 4.2 A Equação do Terceiro Grau................... 83 4.3 A Equação do Quarto Grau................... 93 5 O GRUPO SIMÉTRICO 95 5.1 Relações Entre Coeficientes e Raízes.............. 95 5.2 Grupos............................... 101 5.2.1 A noção de grupo..................... 101 3

4 SUMÁRIO 5.2.2 Subgrupos......................... 105 5.2.3 Grupos Cíclicos...................... 109 5.3 Estrutura de Órbitas de uma Permutação............ 114 5.3.1 Decomposição de uma permutação em um produto de ciclos............................ 114 5.4 O Grupo Alternante....................... 121 5.5 Funções Simétricas........................ 124 5.6 Conjugação em S n........................ 129 6 O MÉTODO DE LAGRANGE 133 7 EXTENSÕES DE CORPOS 147 7.1 A Álgebra Linear da Extensão de Corpos............ 147 7.2 Construções com Régua e Compasso.............. 156

SUMÁRIO 5 NOTAÇÕES Anel = Anel comutativo com unidade N = {1, 2, 3,...} = Conjunto dos números naturais Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} = Anel dos números inteiros Z + = {0, 1, 2, 3,...} = Subconjunto dos números inteiros não negativos Q = Corpo dos números racionais R = Corpo dos números reais C = Corpo dos números complexos Y X = Conjunto da funções de X em Y A = Conjunto dos elementos invertíveis do anel A Kern ϕ = nùcleo do homomorfismo ϕ

6 SUMA RIO

Capítulo 1 POLINÔMIOS Neste Capítulo iniciaremos o estudo das propriedades algébricas básicas dos polinômios com coeficientes num anel comutativo com unidade. Nas disciplinas de Cálculo os polinômios são vistos como funções particulares de variável real e como tal são estudados. A necessidade de se distinguir os polinômios das funções polinomiais surge pela consideração de polinômios com coeficientes em corpos finitos, de uso cada vez mais freqüente por causa de suas inúmeras aplicações práticas. Muito do estudo das propriedades dos polinômios em uma indeterminada está relacionado com o desenvolvimento da Teoria das Equações Algébricas à qual estão associados os nomes de Tartaglia, Lagrange, Ruffini, Gauss, Abel, culminando com as contribuições fundamentais de Abel e Galois. As propriedades dos polinômios em várias indeterminadas foram pesquisadas inicialmente por suas conexões com a Geometria Analítica, evoluindo no que hoje se chama Geometria Algébrica. Atualmente os polinômios desempenham papel relevante em muitas partes da Matemática. 1.1 Séries de Potências e Polinômios Seja A um anel, considerado, uma vez por todas, comutativo com unidade, e seja X uma indeterminada sobre A. Uma série de potências f(x) com coeficientes em A é uma soma formal infinita do tipo: f(x) = a i X i = a 0 X 0 + a 1 X 1 + a 2 X 2 + i=0 7

8 CAPÍTULO 1. POLINÔMIOS com a i A, para todo i Z +. Os X i são provisoriamente vistos apenas como símbolos indicadores de posição. Duas séries de potências f(x) = i=0 a ix i e g(x) = i=0 b ix i são consideradas iguais se a i = b i para todo i Z +. Os elementos a i são chamados de coeficientes e a parcela a i X i de monômio de grau i. Convenciona-se omitir o monômio a i X i quando a i = 0 e costuma-se denotar a 0 X 0 por a 0 e a 1 X 1 por a 1 X. O conjunto de todas as séries de potências com coeficientes em A é denotado por A[[X]] e nele definimos as seguintes operações: Adição: Multiplicação: a i X i + b i X i = i=0 i=0 ( ) ( ) a i X i b i X i = i=0 i=0 (a i + b i )X i. i=0 ( i ) a j b i j X i. i=0 j=0 Note que com esta definição de produto, temos que X i X j = X i+j, para todo i e j, dando assim um sentido de potência ao símbolo X i. PROPOSIÇÃO 1.1. O conjunto A[[X]] com as operações acima definidas é um anel. DEMONSTRAÇÃO: A associatividade e a comutatividade da adição são de verificações imediatas. O elemento neutro da adição é 0 = i=0 0Xi, enquanto que o simétrico de f(x) = i=0 a ix i é f(x) = i=0 ( a i)x i. A comutatividade da multiplicação é imediata e a propriedade distributiva é fácil de ser verificada. A única propriedade que merece verificação é a associatividade da multiplicação. Sejam f(x) = a i X i, g(x) = i=0 b i X i e h(x) = i=0 c i X i. i=0

1.1. SÉRIES DE POTÊNCIAS E POLINÔMIOS 9 Temos que onde d i = Por outro lado, (f(x) g(x)) h(x) = d i X i, i=0 ( i k ) a j b k j c i k = a λ b µ c η. k=0 j=0 λ+µ+η=i f(x) (g(x) h(x)) = e i X i, i=0 onde e i = ( i i k ) a k b j c i k j = k=0 j=0 λ+µ+η=i a λ b µ c η. Portanto, d i = e i, para todo i, provando assim a associatividade da multiplicação. É claro que A A[[X]], pois todo elemento a A pode ser visto como a 0 + 0X + 0X 2 + e portanto como elemento de A[[X]]. Além disso, se f(x) = a e g(x) = b, temos que f(x) + g(x) = a + b e f(x) g(x) = a b, onde as operações nos primeiros membros são efetuadas em A[[X]] e as dos segundos membros o são em A. Vemos com isto que as operações definidas em A[[X]] estendem as operações definidas em A, fazendo com que A seja um subanel de A[[X]]. Um outro subanel de A[[X]] que se destaca é o anel A[X] dos polinômios em uma indeterminada com coeficientes em A. Como conjunto, este anel é descrito como A[X] = { a 0 + a 1 X + a 2 X 2 + A[[X]] n tal que a i = 0 se i > 0 } Todo elemento de A[X] é chamado de polinômio e pode ser representado como soma finita, p(x) = n i=0 a ix i, para algum n Z +.

10 CAPÍTULO 1. POLINÔMIOS PROPOSIÇÃO 1.2. A[X] é um subanel de A[[X]]. DEMONSTRAÇÃO: Basta, de acordo com I-7, Proposição 1, mostrar que 1 A[X], o que é óbvio; e que se p(x)q(x) A[X], então p(x) q(x) A[X] e p(x) q(x) A[X]. De fato, se p(x) = n i=0 a ix i e q(x) = n i=0 b ix i, então e p(x) q(x) = p(x) q(x) = max{n,m} n+m j=0 i=0 (a i b i )X i A[X] c j X j A[X] onde c j = i+k=j a i b k. Dado um polinômio p(x) = a 0 + a 1 X + a n X n A[X] {0}, define-se grau de p(x) como sendo o inteiro gr(p(x)) = max{i Z + ; a i 0}. Note que o polinômio nulo é o único polinômio que não possui grau e que gr(p(x)) > 0 se, e somente se, p(x) A[X] A. O coeficiente do têrmo de grau igual ao gr(p(x)) é chamado de coeficiente líder de p(x). Um polinômio cujo coeficiente líder é igual a 1 é chamado de polinômio mônico. Um polinômio nulo ou de grau zero será chamado de polinômio constante. Vejamos agora como a hipótese sobre A de ser domínio se reflete sobre A[X]. PROPOSIÇÃO 1.3. Seja A um domínio. Se p(x), q(x) A[X] {0}, então p(x) q(x) 0 e gr(p(x) q(x)) = gr(p(x)) + gr(q(x)). DEMONSTRAÇÃO: Considere os polinômios p(x), q(x) A[X] dados por p(x) = a 0 + a 1 X + + a n X n e q(x) = b 0 + b 1 X + + b m X m onde a n 0 e b m 0. Então, p(x) q(x) = a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 )X + + a n b m X n+m. Como A é domínio, segue que a n b m 0, logo p(x) q(x) 0 e gr(p(x) q(x)) = n + m = gr(p(x) + q(x)).

1.1. SÉRIES DE POTÊNCIAS E POLINÔMIOS 11 COROLÁRIO 1.1. Se A é um domínio, então A[X] é domínio. Em particular, se K é um corpo então K[X] é um domínio. COROLÁRIO 1.2. Seja A um domínio. Se p(x), q(x) A[X] {0} são tais que t(x) divide p(x), então gr(t(x)) gr(p(x)). DEMONSTRAÇÃO: Existe por hipótese, um polinômio não nulo q(x) em A[X] tal que t(x) q(x) = p(x). Logo pela Proposição 3, segue que gr(p(x)) gr(t(x)) = gr(q(x)) 0. Daí segue a desigualdade desejada. COROLÁRIO 1.3. Seja A um domínio. Um elemento p(x) A[X] é invertível se, e somente se, p(x) A e é invertível em A. Em símbolos, (A[X]) = A. DEMONSTRAÇÃO: Se p(x) A[X] é invertível, então p(x) 0 e existe q(x) A[X] {0} tal que p(x) q(x) = 1. Tomando graus e usando a Proposição 3 temos que gr(p(x)) + gr(q(x)) = 0. Logo gr(p(x)) = gr(q(x)) = 0 e, portanto p(x), q(x) A e p(x) é invertível em A. A recíproca é imediata. Um fato que merece ser evidenciado é a diferençaa existente entre polinômios e funções polinomiais, dois conceitos que freqüentemente são indevidamente confundidos. A um polinômio p(x) A[X] associa-se uma função p A A chamada funçao polinomial, definida por p : A A a p(a) = a 0 + a 1 a + + a n a n. O elemento p(a) de A é chamado de valor de p(x) em a. É evidente que a dois polinômios iguais são associadas duas funções polinomiais iguais. Em contrapartida, dois polinômios distintos podem dar origem a duas funçoes polinomiais iguais. Por exemplo, p(x) = X 2 X e q(x) = 0, como polinômios de Z 2 [X] são distintos, porém, as funções polinomiais a eles associadas são iguais. Mais geralmente, se p é um número primo positivo, decorre do Pequeno Teorema de Fermat (I-6, Problema 1.10) que os polinômios X p X

12 CAPÍTULO 1. POLINÔMIOS e 0 de Z p [X] determinam a mesma função polinomial. Veremos na próxima seção 2, Corolário 4 do Teorema 1, que se A é infinito tal fato não ocorre. Uma técnica muito útil ao lidarmos com polinômios é o chamado método dos coeficientes a determinar que utiliza basicamente as definições da igualdade e das operações no anel de polinômios. Ilustraremos o método com alguns exemplos. EXEMPLO 1: Mostraremos neste exemplo que X 4 + 4 pode ser escrito como produto do dois polinômios de segundo grau com coeficientes inteiros. De fato, escreva, X 4 + 4 = (ax 2 + bx + c) (a X 2 + b X + c ). Efetuando o produto, tem-se que X 4 +4 = a a X 4 +(a b +a b)x 3 +(a c +b b +c a )X 2 +(b c +c b )X+c c. Pela igualdade de polinômios acima, obtém-se o sistema de equações: a a = 1 a b + a b = 0 a c + b b + c a = 0 b c + c +c b = 0 c c = 4 Procuremos as soluções inteiras deste sistema de equações. Da primeira equação, obtém-se que a = a = ±1. Da segunda, segue que b + b e da quarta, b (c c) = 0, logo b = 0 ou c = c. Caso 1: b = 0. Da terceira equação tem-se que c + c = 0, donde c = c. Substituindo na quinta equação tem-se c 2 = 4, o que é impossível. Caso 2: c = c. Da quinta equação tem-se que c = c = ±2. Da segunda, segue que b + b = 0, logo da terceira obtém-se b b = 2a c = 4. Donde b = b = ±2. Testando os valores obtidos temos que X 4 +4 = (X 2 2X +2) (X 2 +2X +2) = ( X 2 +2X 2) ( X 2 2X 2). EXEMPLO 2: Determinaremos a e b em Z 7 de modo que X 4 + 4X 3 + ax 2 4X + b Z 7 [X] seja o quadrado de um polinômio de Z 7 [X]. Da igualdade, X 4 + 4X 3 + ax 2 4X + b = (X 2 + cx + d) 2 = X 4 + 2cX 3 + ( 2d + c 2 )X 2 + 2cdX + d 2

1.1. SÉRIES DE POTÊNCIAS E POLINÔMIOS 13 obtemos o sistema: 2 c = 4 2 d + c 2 = a 2 c d = 4 d 2 = b que resolvido, nos fornece c = 2, d = 1, b = 1 e a = 2. Portanto, X 4 + bar4x 3 + 2X 2 4X + 1 = (X 2 + 2X 1) 2 PROBLEMAS 1.1. 1. Um elemento a 0 de um anel comutativo com unidade A é chamado regular ou não divisor de zero em A se a b 0, para todo b A {0}. Em particular, todo elemento invertível de A é regular. (a) Se p(x), q(x) A[X], com coeficiente líder de p(x) ou de q(x) regular, então gr(p(x) q(x)) = gr(p(x)) + gr(q(x)). (b) Se p(x), t(x) A[X], com coeficiente líder de t(x) regular e se t(x) p(x), então gr(t(x)) gr(p(x)). (c) Calcule gr(p(x) q(x)) onde p(x) = 3X 3 + 2X + 1 e q(x) = 2X 2 + 3X + 1 em Z 6 [X]. (d) Mostre que ( 2X 2 + 2X + 1) 3 em Z 6 [X]. 2. Determine a Z tal que (a) O polinômio X 4 ax 3 +8X 2 +a seja o quadrado de um polinômio de Z[X]. (b) O polinômio X 4 + X 3 + ax 2 + X + 1 seja o produto de dois polinômios do segundo grau em Z[X]. 3. Determine a, b Z 7 tais que (a) O polinômio X 4 + 3X 3 + 5X 2 + ax + b seja o quadrado de um polinômio de Z 7 [X]. (b) O polinômio X 3 +ax + 5 seja divisível por X 2 + 5X + 6 em Z 7 [X].

14 CAPÍTULO 1. POLINÔMIOS 4. Mostre que a função avaliação em a A: Av a : A[X] p(x) A p(a) é um homomorfismo de anéis. 5. Seja p um número primo positivo e f(x) Z p [X]. Mostre que f(x) e f(x p ) determinam a mesma função polinomial. Sugestão: Use o Pequeno Teorema de Fermat. 6. Sejam p(x) C[X] e ξ uma raiz n-ésima primitiva da unidade em C. (a) Se gr(p(x)) < n, mostre que p(x) + p(ξx) + p(ξ 2 X) + + p(ξ n 1 X) = n p(0). (b) Deduza uma fórmula para esta soma se gr(p(x)) n. 7. Mostre que f(x) = i=0 a ix i A[[X]] é invertível em A[[X]] se, e somente se, a 0 é invertível em A[X]. Sugestão: Seja g(x) = i=0 b ix i. Tem-se que f(x) g(x) = 1 se, e somente se, a 0 b 0 = 1 e i j=0 a jb i j = 0, para todo i 1. Mostre que se b 0 = a 1 0, então a equação acima determina b i em função dos a j s e de b 0, b 1,...,b i 1, determinando assim g(x) = (f(x)) 1. 8. Seja K um corpo. Mostre que 1 X é invertível em K[[X]] e que (1 X) 1 = Se a K {0}, determine (a X) 1. X i. 9. Seja f(x) = i=0 a ix i A[[X]] {0}. Defina a ordem de f(x) com sendo i=0 ord(f(x)) = min{i a i 0}. Mostre que se A é um domínio e se f(x), g(x) A[[X]] {0}, então ord(f(x) g(x)) = ord(f(x)) + ord(g(x)). Isto prova que se A é um domínio, então A[[X]] também é um domínio. 10. Seja K um corpo. (a) Dado f K[[X]] K, mostre que existem m N e u invertível em K[[X]] tais que f = X m u.

1.2. DIVISÃO DE POLINÔMIOS 15 (b) Mostre que K[[X]] é um domínio principal. Conclua que K[[X]] é um domínio de fatoração única (DFU). Sugestão: Veja I-Teorema 2, Capítulo 4. (c) Descreva o corpo de frações de K[[X]]. 11. Sejam f i (X) A[[X]], i Z +, tais que ord(f i (X)) i. Mostre que i=0 f ix i é bem definido como elemento de A[[X]]. Mostre que se f(x), g(x) A[[X]] com f(x) = i=0 a ix i, então a i X i g(x) = f(x) g(x). i=0 12. Suponha que B seja um subanel de A. Mostre que B[[X]] e B[X] são respectivamente subaneis de A[[X]] e de A[X]. 1.2 Divisão de Polinômios Mostraremos nesta seção que sob certas condições, à semelhança dos inteiros, é possível efetuar a divisão com resto pequeno de um polinômio por outro. TEOREMA 1.1. (ALGORÍTMO DA DIVISÃO) Seja A um anel e sejam p(x) e t(x) polinômios em A[X]. Se t(x) 0 possui coeficiente líder invertível, então existem q(x) e r(x) em A[X] tais que p(x) = t(x) q(x) + r(x), com r(x) = 0 ou gr(r(x)) < gr(t(x)). Além disso, q(x) e r(x) são univocamente determinados por estas condições. DEMONSTRAÇÃO: Sejam p(x) = a 0 + a 1 X + + a n X n e t(x) = b 0 + b 1 X + + b m X m, com a n 0 e b m invertível. Existência: Se p(x) = 0 ou n < m, faça q(x) = 0 e r(x) = p(x). Suponha agora p(x) 0 e n m. Tomando q 1 (X) = b 1 m a nx n m A[X] tem-se que p(x) q 1 (X) t(x) = r 1 (X), (1.1)

16 CAPÍTULO 1. POLINÔMIOS com r 1 (X) = 0 ou gr(r 1 (X)) < gr(p(x)). Se r 1 (X) = 0 ou se gr(r 1 (X)) < gr(t(x)), o problema fica resolvido tomando r(x) = r 1 (X) e q(x) = b 1 m a n X n m. Se gr(r 1 (X)) gr(t(x)), repete-se o procedimento acima com r 1 (X) no lugar de p(x), obtendo r 1 (X) q 2 (X) t(x) = r 2 (X), (1.2) com r 2 (X) = 0 ou gr(r 2 (X)) < gr(r 1 (X)). Se r 2 (X) = 0 ou se gr(r 2 (X)) < gr(t(x)), o problema fica resolvido pois p(x) = (q 1 (X) + q 2 (X)) t(x) + r 2 (X). Se gr(r 2 (X)) gr(t(x)), repete-se o procedimento acima com r 2 (X) no lugar de r 1 (X), obtendo r 2 (X) q 3 (X) t(x) = r 3 (X), (1.3) com r 3 (X) = 0 ou gr(r 3 (X)) < gr(r 2 (X)). E assim sucessivamente, obtendo r 1 (X), r 2 (X), r 3 (X),... tais que gr(r 1 (X)) > gr(r 2 (X)) > gr(r 3 (X)) > Segue então que para certo s N, tem-se r s (X) = 0 ou gr(r s (X)) < gr(t(x)). Levando em conta (1), (2), (3),... temos que p(x) = (q 1 (X) + q 2 (X) + + q s (X)) t(x) + r s (X) bastando então tomar q(x) = q 1 (X))+q 2 (X)+ +q s (X)) e r(x) = r s (X). Unicidade: Suponha que t(x) q(x) + r(x) = t(x) q 1 (X) + r 1 (X) com r(x) = 0 ou gr(r(x)) < gr(t(x)) e r 1 (X) = 0 ou gr(r 1 (X)) < gr(t(x)). Da igualdade acima, obtemos que t(x)[q(x) q 1 (X)] = r 1 (X) r(x) (1.4) Pelas condições impostas a r(x) e r 1 (X) temos que r 1 (X) r(x) = 0 ou gr(r 1 (X)) < gr(t(x)).

1.2. DIVISÃO DE POLINÔMIOS 17 Se r 1 (X) r(x) 0, segue de (1.4) e do Problema 1.1 (b) que gr(r 1 (X) r(x)) gr(t(x)), o que é uma contradição. Portanto r 1 (X) = r(x) e conseqüentemente de (1.4) temos que q 1 (X) = q(x). OBSERVAÇÃO 1: Seguindo os passos da demonstração do Teorema, obtemos o algoritmo da divisão longa de dois polinômios: a n X n + a n 1 X n 1 + + a 0 b m X m + + b 0 a n X n b 1 m b m 1 a n X n 1 b 1 m b 0 a n X n m b 1 m a n X n m + r 1 (X). OBSERVAÇÃO 2: Se A é um corpo então é sempre possível efetuar a divisão por qualquer polinômio t(x) 0. OBSERVAÇÃO 3: Suponha que p(x), t(x) B[X] onde B é um subanel de A e o coeficiente líder de t(x) é invertível em B. Então q(x) e r(x) calculados pelo algoritmo da divisão em A[X] terão necessàriamente coeficientes em B. OBSERVAÇÃO 4: Os polinômios p(x), t(x), q(x) e r(x) no algoritmo da divisão são chamados respectivamente de dividendo, divisor, quociente e resto. EXEMPLO 1: É possível efetuar a divisão de 3X5 + 2X 3 + X 2 5X + 7 por 2X 3 + 3X + 1 em Q[X] mas não é possível fazê-lo em Z[X].

18 CAPÍTULO 1. POLINÔMIOS 3X 5 + 2X 3 + X 2 5X + 7 2X 3 + 3X + 1 3X 5 9 2 X3 3 2 X2 3 2 X2 5 4 5 2 X3 1 2 X2 5X + 7 5 2 X3 15 + X + 5 4 4 1 2 X2 5 4 X + 33 4 Neste caso q(x) = 3 2 X2 5 4 e r(x) = 1 2 X2 5 4 X + 33 4. EXEMPLO 2: O fato de b m não ser invertível não quer dizer que não se possa efetuar a divisão. Por exemplo, sejam dados p(x) = 2X 3 3X 2 + 1 e t(x) = 2X + 1, temos em Z[X]: 2X 3 3X 2 + 1 2X + 1 2X 3 X 2 X 2 2X + 1 4X 2 + 1 4X 2 + 2X 2X + 1 2X 1 0 Neste caso q(x) = X 2 2X + 1 e r(x) = 0. Damos a seguir alguns corolários do Teorema, cuja importância ficará mais clara na próxima secção. COROLÁRIO 1.4. Sejam a, b A com a invertível e p(x) A[X]. O resto da divisão de p(x) por ax + b é p ( b a).

1.2. DIVISÃO DE POLINÔMIOS 19 DEMONSTRAÇÃO: Pelo Teorema 1, existem q(x), r(x) A[X] tais que p(x) = (ax + b) q(x) + r(x) com r(x) = 0 ou gr(r(x)) < 1. Em qualquer caso r(x) é um polinômio constante, logo p ( b a ) = 0 q ( b a ) + r ( b a ) = r(x). COROLÁRIO 1.5. Sejam a, b A com a invertível e p(x) A[X]. O polinômio p(x) é divisível por ax + b se, e somente se p ( b a) = 0. DEFINIÇÃO 1.1. Se p(x) A[X] e α A são tais que p(α) = 0, dizemos que α é raiz do polinômio p(x). Segue do Corolário 2 que α é raiz de p(x) se e somente se (X α) divide p(x). COROLÁRIO 1.6. Seja A um domínio. Se p(x) A[X] {0} tem grau n, então p(x) tem no máximo n raízes distintas. DEMONSTRAÇÃO: Vamos provar isto por indução em n. Se n = 0, então p(x) é uma constante não nula e portanto tem zero raízes, estabelecendo o resultado neste caso. Suponha agora o resultado válido para n e seja p(x) um polinômio de grau n + 1. Se p(x) não tem raízes, nada temos a provar. Se p(x) tem uma raiz α, então p(x) = (X α) q(x), com q(x) A[X] e gr(q(x)) = n. Pela hipótese de indução, q(x) tem no máximo n raízes distintas e sendo A um domínio, as raízes de p(x) são as raízes de q(x) e as raízes de (X α), logo p(x) tem no máximo n+1 raízes. COROLÁRIO 1.7. Seja A um domínio infinito. Se p(x), q(x) A[X] são tais que p(a) = q(a) para todo a A (i.e. as funções polinomiais são iguais), então p(x) = q(x) (i.e. os polinômios são iguais). DEMONSTRAÇÃO: Suponha por absurdo que p(x) q(x) 0. Então, pelo Corolário 3, p(x) q(x) tem um número finito de raízes. Isto contradiz a hipótese p(a) = q(a) para todo a A pois A é infinito. Considere a aplicação ϕ : A[X] p(x) A A função polinomial associada a p(x)

20 CAPÍTULO 1. POLINÔMIOS Usando o exercício 1.4 é fácil verificar que ϕ é um homomorfismo de anéis. O Corolário 4 mostra que se A é um domínio infinito, então N(ϕ) = {0}. DEFINIÇÃO 1.2. Dizemos que um corpo K é algebricamente fechado se todo polinômio não constante de K[X] tem pelo menos uma raiz em K. COROLÁRIO 1.8. Seja K um corpo algebricamente fechado e seja ainda p(x) K[X] um polinômio não constante. Se gr(p(x)) = n, então existem elementos α 1, α 2,...,α n K e a K tais que p(x) = a (X α 1 ) (X α 2 ) (X α n ) DEMONSTRAÇÃO: A prova pode ser feita por indução sobre n e a deixamos a cargo do leitor. PROPOSIÇÃO 1.4. Se K é um corpo algebricamente fechado, então K é infinito. DEMONSTRAÇÃO: Suponha por absurdo que K seja finito, digamos que K = {a 0, a 1,...,a n 1 } onde a 0 = 0 e a 1 = 1. Considere o polinômio p(x) = (X a 0 ) (X a 1 ) (X a n 1 ) + a 1. Verifica-se diretamente que p(x) não tem raízes em K o que é uma contradição, pois p(x) é não constante e K é algebricamente fechado. Nem todo corpo é algebricamente fechado, por exemplo, se p é um número primo positivo, o corpo Z p não é algebricamente fechado por ser finito. O corpo R, apesar de infinito, não é algebricamente fechado pois o polinômio não constante X 2 + 1 R[X] não possui raízes em R. O famoso Teorema Fundamental da Álgebra garante que C é algebricamente fechado. Este Teorema possui uma longa história e muitas demonstrações, nenhuma delas porém se faz com métodos puramente algébricos, devendo-se sempre usar métodos da análise. Vamos ao longo do texto admitir este resultado cuja demonstração encontra-se no Apêndice 1.

1.2. DIVISÃO DE POLINÔMIOS 21 EXEMPLO 3: O polinômio p(x) = 2X 4 7X 3 2X 2 + 13X + 6 é divisível pelo polinômio X 2 5X + 6 em Z[X]. De fato, tem-se que X 2 5X+6 = (X 2) (X 3). Como p(2) = 0, temos que p(x) = (X 2) q(x) com q(x) Z[X]. Por outro lado, p(3) = 0, logo q(3) = 0 e portanto q(x) = (X 3) q 1 (X) com q 1 (X) Z[X]. Conclui-se que p(x) = (X 2) (X 3) q 1 (X). Pede-se ao leitor generalizar a argumentação acima mostrando que se A é um domínio, p(x) A[X] e α 1, α 2,...,α n são elementos distintos de A tais que p(α i ) = 0, i = 1, 2,..., n, então (X α 1 ) (X α 2 ) (X α n ) divide p(x). EXEMPLO 4: O polinômio p(x) = X 3k+2 +X 3m+1 +X 3n com n, m, k N é divisível por X 2 + X + 1 em Z[X]. De fato, podemos escrever X 2 + X + 1 = (X w) (X w 2 ) em C[X] onde w é uma raiz cúbica primitiva de 1. Temos também que e p(w) = w 3k+2 + w 3m+1 + w 3n = w 2 + w + 1 = 0 p(w 2 ) = w 6k+4 + w 6m+2 + w 6n = w + w 2 + 1 = 0 Portanto pela argumentação acima, temos que (X 2 +X +1) p(x) em C[X], logo p(x) = (X 2 +X+1) q 1 (X) para algum q 1 (X) C[X]. Pela Observação 3 temos que q 1 (X) Z[X], provando assim a nossa afirmação. EXEMPLO 5: Seja ξ = cos 2π n + i sen 2π n. Vamos provar a identidade 1 + X + X 2 + + X n 1 = (X ξ) (X ξ 2 ) (X ξ n 1 ). De fato, sendo p(x) = 1+X+X 2 + +X n 1 e ξ uma raiz n-ésima primitiva da unidade, temos que ξ, ξ 2,...,ξ n 1 são distintos e p(ξ) = p(ξ 2 ) = = p(ξ n 1 ) = 0. Logo p(x) é divisível por (X ξ) (X ξ 2 ) (X ξ n 1 ). Por serem do mesmo grau p(x) e este último polinômio, segue que existe a C {0} tal que p(x) = a (X ξ) (X ξ 2 ) (X ξ n 1 ).

22 CAPÍTULO 1. POLINÔMIOS Comparando os coeficientes dos termos de mais alto grau dos polinômios acima, conclui-se que a = 1, provando assim a identidade. PROPOSIÇÃO 1.5. (POLINÔMIO DE INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE). Seja K um corpo. Sejam a i, b i K, i = 1, 2,..., n, com os a i dois a dois distintos e os b i não todos nulos. Considere os polinômios p i (X) = b i (X a 1 ) (X a i 1 ) (X a i+1 ) (X a n ) (a i a 1 ) (a i a i 1 ) (a i a i+1 ) (a i a n ), para i = 1, 2,..., n. Então o polinômio p(x) = n p i (X) i=1 é o único polinômio de grau menor do que n tal que p(a i ) = b i, para todos i = 1, 2,..., n. DEMONSTRAÇÃO: O polinômio p(x) é de grau menor do que n e é tal que p(a i ) = b i, i = 1, 2,..., n, pois p i (a j ) = { 0 se i j b j se i = j Agora só falta provar a unicidade de p(x). Suponha que q(x) seja um polinômio que satisfaz as mesmas condições que p(x) satisfaz. Segue então que p(x) q(x) é um polinômio de grau menor do que n com n raízes a 1, a 2,...,a n, logo, pelo Corolário 3 do Teorema 1, tem-se que p(x) = q(x). O polinômio p(x) acima é chamado Polinômio de Interpolação de Lagrange e desempenha papel importante na apresentação de Galois da sua Teoria das Equações. PROBLEMAS 1.2. 1. Ache q(x) e r(x) nas seguintes situações: (a) p(x) = 3X 2 + 5X + 7, t(x) = X 3 + 7X 2 + 9 em Z[X]. (b) p(x) = X 4 + X 3 + X 2 + X + 1, t(x) = X 4 X 3 + X 2 X + 1 em Z[X].

1.2. DIVISÃO DE POLINÔMIOS 23 (c) p(x) = X 7 + 3X 6 X 5 +4X 2 +1, t(x) = X 4 X +1 em Z[X]. (d) p(x) = X 10 + X 5 + 1, t(x) = X 2 + X + 1 em Z[X]. (e) p(x) = X 5 +3X 4 +X 3 +X +1, t(x) = 2X 2 +3X +1 em Z[X]. (f) p(x) = X 3 + 3X 2 + X + 3, t(x) = X 2 + 4X + 3 em Z 5 [X]. 2. Ache os possíveis valores de a para que o polinômio seja divisível por X + 1 em Z[X]. a 2 X 4 + 4X 3 + 4 a X + 7 3. Sejam A um domínio e a A {0}. (a) Mostre que o polinômio X n a n é divisível por X a em A[X]. (b) Sob que condições X n + a n é divisível por X + a em A[X]? (c) Sob que condições X n a n é divisível por X + a em A[X]? 4. Sem efetuar a divisão, mostre que (a) 2X 6 + 2X 5 + X 4 + 2X 3 + X 2 + 2 é divisível por X 2 + 1 em Z[X]. (b) X 6 + 4X 5 + 3X 4 + 2X 3 + X 2 + 1 é divisível por X 2 + X + 1 em Z[X]. (c) X 444 +X 333 +X 222 +X 111 +1 é divisível por X 4 +X 3 +X 2 +X +1 em Z[X]. (d) Para n N, (X + 1) 2n X 2n 2X 1 é divisível por X (X + 1) (2X + 1) em Q[X]. 5. Para quais valores de n N tem-se que (a) 1 + X 2 + X 4 + + X 2n 2 é divisível por 1 + X + + X n 1? (b) 1 + X 3 + X 6 + + X 3n 3 é divisível por 1 + X + + X n 1? (c) Generalize. 6. Sejam K um corpo e sejam p(x) K[X] e a, b K com a b. Mostre que o resto da divisão de p(x) por (X a) (X b) é p(a) p(b) X + a b ap(b) bp(a). a b

24 CAPÍTULO 1. POLINÔMIOS 7. Determine o polinômio p(x) Q[X] de grau 7 tal que p(1) = p(2) = = p(7) = 8 e p(0) = 1 8. (a) Resolva a equação 20X 3 30X 2 + 12X 1 = 0 sabendo-se que 1 2 é uma de suas raízes. (b) Uma raiz da equação X 3 (2a+1)X 2 +a(a+2)x a(a+1) = 0 é a + 1, ache as outras duas. 9. Ache o polinômio de menor grau que tem raízes 0, 1+i, 1 i e assume os valores 2 e 2 em 1 e 1 respectivamente. 10. Sejam os polinômios p 1 (X),...,p s (X) K[X] onde K é um corpo. Sejam ainda r 1 (X),..., r s (X) K[X] os respectivos restos das divisões destes polinômios por t(x) 0. Fixados os elementos α 1,...,α s K, mostre que o resto da divisão de p(x) = s i=1 α ip i (X) por t(x) é o polinômio r(x) = s i=1 α ir i (X). 11. (a) Mostre que o resto da divisão do polinômio p(x) = n i=0 a ix i por X n a é r(x) = n i=0 a ir i (X), onde r i (X) é o resto da divisão de X i por X m a. Sugestão: use o exercício 2.10. (b) Se i = λ i m + µ i com 0 µ < m, mostre que r i (X) = a λ i X µ i. (c) Conclua que r(x) = n i=0 aλ i X µ i, justificando a seguinte regra prática para calcular r(x): Substitua em p(x) todos os X m que puder por a. (d) Sob quais condições X n a n é divisível por X m a m? (e) Ache os restos da divisão de X 60 1 e de X 100 1 por X 3 1. (f) Mostre que se a 0, então (X n a n, X m a m ) = X d a d, onde d = (m, n). 12. Considere a igualdade do Exemplo 5, 1 + X + X 2 + + X n 1 = (X ξ) (X ξ 2 ) (X ξ n 1 ), onde ξ = cos 2π n + i sen 2π n.

1.3. POLINÔMIOS COM COEFICIENTES EM CORPOS 25 (a) Na igualdade acima, fazendo X = 1 e tomando os módulos em ambos os lados, mostre a seguinte identidade trigonométrica: sen π n sen 2π n sen (n 1)π n Sugestão: Use a identidade sen θ = 1 cos2θ 2. (b) Se p > 2 é um número primo, mostre que = n 2 n 1 (X 1) (X 2 1) (X p 1 1) p é divisível por 1 + X + + X p 1. 1.3 Polinômios com Coeficientes em Corpos No que segue estudaremos propriedades específicas do anel de polinômios com coeficientes num corpo K. Neste caso, o Teorema 1 nos garante que a divisão com resto pode ser efetuada, tendo como dividendo um polinômio qualquer e como divisor um polinômio não nulo arbitrário. Note também que, neste caso, de acordo com o Corolário 3 da Proposição 2, u(x) K[X] é invertível se, e somente se, u(x) K {0}, ou seja gr(u(x)) = 0. Portanto, dois polinômios p(x) e q(x) são associados se, e somente se, existe c K {0} = K tal que q(x) = cp(x). Segue disto que todo polinômio não nulo de K[X] é associado a um único polinômio mônico. TEOREMA 1.2. Todo ideal I de K[X] é principal. Se I 0 então I é gerado por qualquer um dos seus elementos de menor grau. DEMONSTRAÇÃO: Se I = {0}, nada temos a provar. Suponha que I {0} e seja p(x) 0 um polinômio em I de grau mínimo. Como p(x) I segue que I(p(X)) I. Por outro lado, se g(x) I, pelo algoritmo da divisão, existem polinômios q(x) e r(x) em K[X] com r(x) = 0 ou gr(r(x)) < gr(p(x)) tais que g(x) = p(x) q(x) + r(x). Segue daí que r(x) I e como p(x) tem grau mínimo em I, conclui-se que r(x) = 0 e portanto g(x) I(p(X)). Isto acaba de mostrar que I = I(p(X)).

26 CAPÍTULO 1. POLINÔMIOS O fato que K[X] é um anel principal tem vários corolários que passamos a enunciar. COROLÁRIO 1.9. Sejam dados os polinômios p 1 (X),..., p s (X) K[X]. Então existe um MDC destes elementos. Além disso, todo MDC deles é da forma p 1 (X) q 1 (X) + + p s (X) q s (X) para elementos q 1 (X),..., q s (X) K[X]. DEMONSTRAÇÃO: Isto decorre do Teorema 2 e de I-4, Corolário 1 da Proposição 6. Como todo associado de um MDC de dados elementos é um MDC destes elementos (cf. I-4, Corolário da Proposição 4), segue que dados elementos p 1 (X),...,p s (X) K[X] não todos nulos, estes elementos possuem um único MDC mônico que será chamado de o MDC destes elementos e denotado por (p 1 (X),...,p s (X)). Do fato de K[X] ser principal segue também que existe MMC de elementos quaisquer de K[X] (Veja I-4, Problema 2.8) COROLÁRIO 1.10. Os polinômios p 1 (X) e p 2 (X) em K[X] são primos entre si, se e somente se, existem q 1 (X), q 2 (X) K[X], tais que p 1 (X) q 1 (X) + p 2 (X) q 2 (X) = 1. DEMONSTRAÇÃO: Como p 1(X) E p 2 (X) são primos entre si, se, e somente se, (p 1 (X), p 2 (X)) = 1, a relação entre p 1 (X), p 2 (X) e 1 segue do Corolário 1. COROLÁRIO 1.11. Em K[X] um elemento é primo se e somente se ele é irredutível. 9. DEMONSTRAÇÃO: Isto decorre do Teorema 2 e de I-4, Proposições 8 e COROLÁRIO 1.12. K[X] é um domínio de fatoração única. DEMONSTRAÇÃO: Isto decorre do Teorema 2 e de I-4, Teorema 2.

1.3. POLINÔMIOS COM COEFICIENTES EM CORPOS 27 COROLÁRIO 1.13. Todo elemento p(x) K[X] K pode ser escrito de modo único, a menos da ordem dos fatores, sob a forma p(x) = c (p 1 (X)) α1 (p r (X)) αr onde c K {0} e p 1 (X),...,p r (X) são polinômios mônicos irredutíveis distintos em K[X] e α i N, para i = 1, 2,..., r. Observe que o Corolário 5 não é construtivo, pois garante a existência da fatoração de um polinômio em polinômios irredutíveis sem entretanto indicar como obtê-la. O problema de determinar algorítmos rápidos para fatorar polinômios é importante e atual. Tal como no caso dos inteiros, pelo fato de existir em K[X] um algoritmo para efetuar divisões com resto pequeno, pode-se calcular efetivamente o MDC de dois polinômios usando o algoritmo de Euclides. EXEMPLO 1: Determinaremos o MDC em Q[X] dos polinômios 2X 5 + 2X 4 + X 3 2X 2 X 4 e X 3 2X 2 + X 2. Efetuando o algoritmo de Euclides, temos 2X 5 + 2X 4 + X 3 2X 2 X 4 = = (X 3 2X 2 + X 2) (2X 2 + 6X + 11) + 18X 2 + 18 X 3 2X 2 + X 2 = ( 18X 2 + 18 ) ( 1 18 X 1 ) + 0. 9 Logo um MDC destes polinômios é 18X 2 + 18 e portanto MDC ( 2X 5 + 2X 4 + X 3 2X 2 X 4, X 3 2X 2 + X 2 ) = X 2 + 1 Sejam K e F corpos tais que K é um subcorpo de F. Sejam p 1 (X), p 2 (X) em K[X]. Em princípio, o MDC destes elementos em F[X] tem coeficientes em F. Seguindo porém, através do algoritmo de Euclides, o cálculo do MDC destes elementos, é fácil convencer-se que tal MDC está em K[X]. Segue desta observação que dois polinômios de K[X] têm um fator comum não constante em F[X] se, e somente se, eles têm um fator comum não constante em K[X].

28 CAPÍTULO 1. POLINÔMIOS EXEMPLO 2: Considere o homomorfismo de anéis ϕ : A[X] p(x) A A função polinomial associada a p(x) definida no parágrafo 2. Suponha que A = Z p onde p é um número primo positivo. Note que X p X N(ϕ). Note também que X p X tem grau mínimo em N(ϕ) pois qualquer polinômio não nulo de N(ϕ), em se anulando em todos os elementos de Z p, tem que ter grau maior ou igual a p. Segue então do Teorema 2 que N(ϕ) = I(X p X). PROBLEMAS 1.3. 1. Determine o MDC dos seguintes pares de polinômios de Q[X]: (a) X 5 + 4X 3 + 3X 2 + X + 1 e X 3 + X + 1. (b) X 5 + 10X 4 + 40X 3 + 80X 2 + 80X + 32 e X 3 + 6X 2 + 12X + 8. (c) X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1 e X 4 + 3X 3 + 5X 2 + 3X + 4. (d) X 3 X 2 X 2 e X 3 3X 2. 2. Seja F uma extensão de um corpo K. Sejam p 1 (X), p 2 (X) K[X] e α F. Mostre que α é raiz comum de p 1 (X) e p 2 (X) se e somente se α é raiz de (p 1 (X), p 2 (X)). Ache as raízes comuns em C dos pares de polinômios do problema 3.1. 3. Resolva em Q[X] a seguinte equação diofantina: (X 3 +3X 2 +3X+2) u+(x 3 +2X 2 +2X+1) v = X 4 +X 3 +2X 2 +X+1. 4. Seja K um corpo. (a) Mostre que todo polinômio de grau 1 é irredutível em K[X]. (b) Sejam a, b K com a b. Mostre que para todos n, m N, os polinômios (X a) n e (X a) m são primos entre si. (c) Se K é algebricamente fechado, os únicos polinômios irredutíveis de K[X] são os de grau 1.

1.4. POLINÔMIOS SOBRE C E SOBRE R 29 5. (a) Mostre que se um polinômio de grau maior do que 1 em K[X] tem uma raiz em K, então êle é redutível em K[X]. Dê um exemplo mostrando que não vale a recíproca. (b) Mostre que um polinômio de grau 2 ou 3 em K[X] é redutível se, e somente se, ele possui uma raiz em K. Este resultado vale para graus maiores do que 3? (c) Determine todos os polinômios irredutíveis de graus 2, 3 e 4 em Z 5 [X]. 6. Mostre que ax 2 + bx + c R[X] é irredutível se, e somente se, tem-se < 0 onde = b 2 4ac < 0. 7. Decomponha em C[X] e em R[X] os seguintes polinômios: a) X 4 1 b) X 4 + 1 c) X 6 1 d) X 6 + 1 8. Para que valores de p, q R X 4 + 1 é divisível por X 2 + px + q em R[X]? Sugestão: Decomponha X 4 + 1 em C[X] ). 9. Mostre que em K[X] há infinitos polinômios irredutíveis dois a dois não associados. Sugestão: Faça uma reprodução a demonstração de Euclides da existência de infinitos números primos (cf. I-5, Teorema 1). 10. Sejam p(x), q(x) K[X] com p(x) irredutível. Suponha que existe α numa extensão de K tal que p(α) = q(α) = 0. Mostre que q(x) é múltiplo de p(x). Se q(x) é também irredutível, então p(x) e q(x) são associados. 1.4 Polinômios sobre C e sobre R Pelo fato de C ser algebricamente fechado (Teorema Fundamental da Álgebra, Apêndice 1) e pelo Corolário 5 do Teorema 1, segue que todo polinômio p(x) C[X] se escreve de modo único na forma, p(x) = a(x α 1 ) n1 (X α r ) nr (1.5) com a, α 1,...,α r C, α i α j se i j e n 1,..., n r N.

30 CAPÍTULO 1. POLINÔMIOS As raízes de p(x) são os α 1,...,α r e o inteiro n i, i = 1,..., r, é chamado de multiplicidade da raiz α i. Como gr(p(x)) = n 1 + +n r, segue que todo polinômio em C[X] de grau n tem exatamente n raízes, desde que contadas com suas multiplicidades. Seja p(x) = a 0 + a 1 X + + a n X n C[X]. Define-se o polinômio conjugado de p(x) como sendo p(x) = ā 0 + ā 1 X + ā n X n C[X] onde ā i é o conjugado de a i, i = 0, 1,..., n. A conjugação de polinômios goza das seguintes propriedades, cujas verificações deixamos a cargo do leitor. 1. Se p(x) = p 1 (X) + p 2 (X) então p(x) = p 1 (X) + p 2 (X). 2. Se p(x) = p 1 (X) p 2 (X) então p(x) = p 1 (X) p 2 (X). 3. p(x) = p(x) se, e somente se, p(x) R[X]. 4. Se a C[X] então p(ā) = p(a) Da propriedade (4) acima deduz-se facilmente que α é raiz p(x) se, e somente se, ᾱ é raiz de p(x). PROPOSIÇÃO 1.6. Seja p(x) R[X]. Se α C é raiz de multiplicidade m de p(x). então, ᾱ é raiz de multiplicidade m de p(x). DEMONSTRAÇÃO: Se α C é raiz de multiplicidade m de p(x) então p(x) = (X α) m q(x), com q(x) C[X] e q(α) 0. Como p(x) R[X], temos que p(x) = p(x) = (X ᾱ) m q(x). Note agora que q(ᾱ) = q(α) 0 e portanto ᾱ é raiz de multiplicidade m de p(x). COROLÁRIO 1.14. Todo polinômio de grau ímpar com coeficientes reais tem pelo menos uma raiz real. DEMONSTRAÇÃO: As raízes complexas aparecem aos pares e como o polinômio é de grau ímpar, o resultado segue.

1.4. POLINÔMIOS SOBRE C E SOBRE R 31 PROPOSIÇÃO 1.7. i) ax +b com a, b R e a 0 é irredutível em R[X]. ii) ax 2 +bx + c com a, b, c R e a 0 é irredutível em R[X] se, e somente se, = b 2 4ac < 0. iii) Todo polinômio de grau maior do que 2 é redutível em R[X]. DEMONSTRAÇÃO: i) É evidente e vale em qualquer corpo. ii) ax 2 + bx + c é irredutível se, e somente se, não possui fatores do 1 0 grau em R[X] e isto equivale a dizer que ax 2 +bx +c não possui raízes em R que por sua vez é equivalente ao fato que < 0. iii) Seja p(x) um polinômio em R[X] de grau maior do que 2. Seja α C uma raiz de p(x). Se α R, então p(x) é divisível em R[X] por (X α), portanto ele é redutível. Se α C R, então ᾱ é raiz de p(x), logo (X α) (X ᾱ) = X 2 2Re(α)X + α 2 está em R[X] e divide p(x) em R[X] com quociente não constante, portanto p(x) é redutível. COROLÁRIO 1.15. Todo polinômio p(x) R[X] {0} se escreve de modo único, a menos da ordem dos fatores como p(x) = a(x α 1 ) (X α r )(X 2 + b 1 X + c 1 ) (X 2 + b s X + c s ) com a, α 1,...,α r, b 1,...,b s, c 1,...,c s reais e b i 2 4c i < 0, i = 1,..., s. PROBLEMAS 1.4. 1. Sejam p(x) = a 0 + a 1 X + + a n X n e q(x) = b 0 + b 1 X + + b n X n polinômios em C[X]. Suponha que eles tenham mesmas raízes com mesmas multiplicidades. Prove que existe a C {0} tal que a j = a b j, j = 1,..., n. 2. Uma raiz de X 4 + 3X 3 30X 2 + 366X 340 é 3 + 5i, ache as demais raízes. 3. 1 + i é raiz múltipla de X 6 3X 5 + 5X 4 4X 3 + 4X 2 4X + 4 = 0. Ache a multiplicidade desta raiz e as demais raízes. 4. Fatore em R[X] os seguintes polinômios a) X 4 + 4X 2 + 3 b) X 4 + 4X 2 + 4 c) X 4 X 2 + 1 d) X 4 + px 2 + q com p, q R

32 CAPÍTULO 1. POLINÔMIOS 5. Mostre que se n N, então (a) X 2n 1 = (X 1)(X + 1) n 1 ( k=1 X 2 2X cos kπ + 1). n (b) X 2n+1 1 = (X 1) n 1 ( k=1 X 2 2X cos 2kπ + 1). 2n+1 6. Fatore em R[X] os seguintes polinômios a) X 24 1 b) X 12 1 c) X 13 1. 1.5 Polinômios em Várias Indeterminadas Seja A[X 1 ] o anel dos polinômios a coeficientes em A na indeterminada X 1. Se X 2 é uma indeterminada sobre o anel A[X 1 ], define-se: A[X 1, X 2 ] = (A[X 1 ])[X 2 ]. Pode-se então definir recorrentemente, A[X 1, X 2,..., X n ] = (A[X 1, X 2,...,X n 1 ])[X n ]. Se A é um domínio de integridade, pelo Corolário 1 da Proposição 3, temos que A[X 1 ] também é um domínio de integridade. Usando o mesmo argumento iteradamente, conclui-se que A[X 1, X 2,...,X n ] é um domínio de integridade. Todo elemento p(x 1,...,X n ) A[X 1,..., X n ] pode ser escrito na forma p(x 1,...,X n ) = ai1...i n X i 1 1 X in n, 0 i 1 r 1. 0 i n r n onde r 1,...,r n Z + e a i1,...,i n A e é chamado polinômio em n indeterminadas. Cada termo da forma a i1,...,i n X i 1 1 Xin n é chamado monômio e o seu grau é definido como sendo i 1 + i 2 + + i n. Dois monômios são semelhantes se eles têm o mesmo grau. O grau de um polinômio em n indeterminadas é o maior dos graus de seus monômios não nulos. Um polinômio é chamado

1.5. POLINÔMIOS EM VÁRIAS INDETERMINADAS 33 homogêneo de grau m se todos os seus monômios têm grau m. Dado um polinômio em A[X 1,...,X n ], a soma dos seus monômios de grau m é um polinômio homogêneo de grau m chamado componente homogêneo de grau m do polinômio. Então todo polinômio é soma de polinômios homogêneos de graus dois a dois distintos, pois ele é a soma das suas componentes homogêneas. O grau de um polinômio p(x 1,...,X n ) é simbolizado por gr(p(x 1,...X n )). Exemplo 1: Seja p(x 1, X 2, X 3 ) = 3 + 5X 1 + 3X 2 + X 1 X 2 + X 3 2 + X 2 3 X 3 + 7X 1 5. Este polinômio é de grau 5, suas componentes homogêneas são: de grau zero: 3; de grau um: 5X 1 + 3X 2 ; de grau dois: X 1 X 2 + X 3 2 ; de grau três: não tem; de grau quatro: X 2 3 X 3 ; de grau cinco: 7X 1 5. PROPOSIÇÃO 1.8. ai1...inx i1 1 Xin n = 0 0 i 1 r 1. 0 i n r n se, e somente se, a i1...,i n = 0 para cada 0 i 1 r 1,...,0 i n r n. DEMONSTRAÇÃO: Em uma direção vamos provar por indução em n. Se n = 1, a asserção é verdadeira pela definição da igualdade de polinômios em uma indeterminada. Vamos supor a asserção válida para n 1. Seja ai1...i n X i 1 1 Xin n = 0, 0 i 1 r 1. 0 i n r n

34 CAPÍTULO 1. POLINÔMIOS podemos escrever, 0 = ai1...i n X i 1 1 X in n = 0 i 1 r 1. 0 i n r n = (a i1...i n X i 1 1 Xi n 1 n 1 )Xin n. 0 i n r n 0 i 1 r 1. 0 i n 1 r n 1 Pela definição da igualdade em (A[X 1,...,X n 1 ])[X n ], segue que ai1...i n X i 1 1 X i n 1 n 1 = 0 0 i 1 r 1. 0 i n r n para todo i n, 0 i n r n. Pela hipótese de indução, segue que a i1,...,i n = 0 para cada 0 i 1 r 1,..., 0 i n r n. A recíproca é imediata. Seja A um domínio de integridade. Pode-se verificar facilmente que para p(x 1,...,X n ), q(x 1,...,X n ) A[X 1,...,X n ], tem-se gr(p(x 1,...,X n ) q(x 1,...,X n )) = gr(p(x 1,...,X n )) + gr(q(x 1,..., X n )). Portanto é imediato se checar que o polinômio p(x 1,...,X n ) é invertível em A[X 1,...,X n ] se, e somente se, p(x 1,..., X n ) A e é um elemento invertível de A. É claro que os polinômios X 1,...,X n são irredutíveis em K[X 1,...,X n ], onde K é um corpo.

1.5. POLINÔMIOS EM VÁRIAS INDETERMINADAS 35 Seja A um domínio de integridade. O corpo de frações (cf. I-2) do domínio A[X 1,...,X n ] é o corpo { } p(x1,...,x n ) A(X 1,...,X n ) = q(x 1,...,X n ) p(x 1,...,X n ), q(x 1,...,X n ) A[X 1,...,X n ] e q(x 1,...,X n ) 0 É fácil ver que se K é o corpo de frações de A, então A(X 1,...,X n ) = K(X 1,...,X n ). Dado um polinômio p(x 1,...,X n ) = ai1...i n X i 1 1 X in n A[X 1,...,X n ], 0 i 1 r 1. 0 i n r n podemos definir a função polinomial: p : A n A (α 1,...,α n ) a i1,...,i n α i 1 1 α in n = p(α 1,...α n ). 0 i 1 r 1. 0 i n r n Dois polinômios iguais determinam a mesma função polinomial, mas dois polinômios distintos podem definir a mesma função polinomial. Isto novamente não ocorre se A é um domínio infinito, como veremos adiante. PROPOSIÇÃO 1.9. Sejam A é um domínio infinito e p(x 1,...X n ) um polinômio em A[X 1,...,X n ] {0}. Então existem infinitos (α 1,..., α n ) A n tais que p(α 1,...,α n ) 0. DEMONSTRAÇÃO: Vamos provar por indução em n. Se n = 1, o resultado segue do Corolário 3 do Teorema 1. Suponha o resultado válido para n 1 e seja p(x 1,..., X n ) = ai1...i n X i 1 1 Xin n = 0 i 1 r 1. 0 i n r n

36 CAPÍTULO 1. POLINÔMIOS = (a i1...i n X i 1 1 X i n 1 n 1 )X n i n. 0 i n r n 0 i 1 r 1. 0 i n 1 r n 1 Como p(x 1,...,X n ) 0, para algum i n temos que, 0 i 1 r 1. 0 i n 1 r n 1 a i1...i n X i 1 1 X i n 1 n 1 0, logo, pela hipótese de indução, existem α 1,...α n 1 A tais que, a i1...i n α i 1 1 α i n 1 n 1 0, 0 i 1 r 1. 0 i n 1 r n 1 logo o polinômio p(α 1,...,α n 1, X n ) = ( ) = a i1...i n α i 1 1 α i n 1 n 1 Xn in A[X n] 0 i n r n 0 i 1 r 1. 0 i n r n é não nulo e logo possui um número finito de raízes. Para infinitos valores de α n A (os elementos de A que não são raízes de p(α 1,...,α n 1, X n )) temos que p(α 1,..., α n ) 0, o que prova o resultado. COROLÁRIO 1.16. Seja A um domínio infinito. Sejam ainda os polinômios p(x 1,..., X n ) e q(x 1,..., X n ) em A[X 1,...X n ] tais que p(α 1,..., α n ) = q(α 1,..., α n ) (α 1,...,α n ) A n. Então p(x 1,...,X n ) = q(x 1,..., X n ).

1.5. POLINÔMIOS EM VÁRIAS INDETERMINADAS 37 DEMONSTRAÇÃO: Suponha por absurdo que p(x 1,...,X n ) q(x 1,..., X n ) 0, logo pela proposição 9, existem (α 1,..., α n ) A n tais que p(α 1,...,α n ) q(α 1,...,α n ) 0. Mas, pela proposição, existem α 1,...,α n A tais que o que é uma contradição. p 1 (α 1,...,α n ) p 2 (α 1,...,α n ) 0, PROPOSIÇÃO 1.10. Seja K um corpo algebricamente fechado e seja Então o conjunto é infinito. f(x 1,...,X n ) K[X 1,...,X n ] K com n 2. V K (f) = {(α 1,...,α n ) K n f(α 1,...,α n ) = 0} DEMONSTRAÇÃO: Como f(x 1,..., X n ) não está em K, então pelo menos uma das indeterminadas figura em f(x 1,...,X n ). Sem perda de generalidade, podemos supor que seja X n. Escrevemos f(x 1,..., X n ) = f 0 (X 1,...,X n 1 ) + f 1 (X 1,...,X n 1 )X n + + f d (X 1,...,X n 1 )X d n como polinômio em (K[X 1,...,X n 1 ])[X n ], com f d (X 1,...,X n 1 ) 0 e d 1. Pela Proposição 9, existem infinitos elementos (α 1,...,α n ) K n 1 tais que f d (α 1,...,α n 1 ) 0 e para cada escolha de tais (α 1,...,α n 1 ) existe α n K n 1 raiz da equação f(α 1,...,α n 1, X n ) = 0, pois K é algebricamente fechado, o que prova a asserção.

38 CAPÍTULO 1. POLINÔMIOS PROBLEMAS 1.5. 1. Sejam A um domínio de integridade e p, q A[X 1,..., X n ]. Mostre que, (a) gr(p q) = gr(p) + gr(q). (b) Se p e q são homogêneos, então p q é homogêneo. (c) Se p é homogêneo e p = p 1 p 2 em A[X 1,...,X n ], então p 1 e p 2 são homogêneos. 2. Seja K um corpo. Se F m, F m+1 K[X 1,..., X n ] são homogêneos de graus respectivamente m e m + 1, sem fatores não constantes em comum, mostre que F m + F m+1 é irredutível em K[X 1,..., X n ]. 3. Seja K um corpo. Mostre que Y 2 +p(x 1,...,X n ) K[X 1,...,X n, Y ], onde p(x 1,...,X n ) K[X 1,..., X n ], é irredutível se, e somente se, p(x 1,...,X n ) não é o quadrado de um polinômio em K[X 1,...,X n ]. Em particular, mostre que Y 2 X(X 1)(X λ), com λ K, é irredutível em K[X, Y ]. 4. Seja K um corpo algebricamente fechado. Seja p(x 1, X 2 ) K[X 1, X 2 ] um polinômio homogêneo de grau m 1. Mostre que existem α i, β i K, i = 1,..., m tais que, p(x 1, X 2 ) = (α 1 X 1 + β 1 X 2 ) (α 2 X 1 + β 2 X 2 ) (α m X 1 + β m X 2 ). 5. (a) Seja A um anel. Sejam p(x 1,...,X n ) A[X 1,...,X n ] e Y uma indeterminada sobre A[X 1,...,X n ]. Mostre que p(x 1,...,X n ) é um polinômio homogêneo de grau m se, e somente se, p(y X 1,..., Y X n ) = Y m p(x 1,..., X n ) (Como polinômio em A[X 1,...,X n ]). (b) Seja p(x 1, X 2, X 3 ) R[X 1, X 2, X 3 ]. Mostre que V R (p) é um cone com vértice na origem de R 3 se, e somente se, p(x 1, X 2, X 3 ) é um polinômio homogêneo. 6. O polinômio f(x 1, X 2 ) = X 2 1 +X2 2 é irredutível em R[X 1, X 2 ]? Determine V R (f). Responda às mesmas perguntas em C[X 1, X 2 ].

1.5. POLINÔMIOS EM VÁRIAS INDETERMINADAS 39 7. Seja K um corpo algebricamente fechado e f(x 1,...,X n ) um polinômio em K[X 1,..., X n ]. Mostre que V K (f) é não vazio se, e somente se, f(x 1,...,X n ) K. Dê um exemplo onde não vale o resultado se K = R.

40 CAPÍTULO 1. POLINÔMIOS

Capítulo 2 DERIVAÇÃO E MULTIPLICIDADE 2.1 Derivada Primeira Seja K um corpo. Define-se o operador D X 1 em K[[X]] (i.e. D 1 X é uma aplicação de K[[X]] em si próprio) como segue D 1 X : K[[X]] K[[X]] f(x) = i=0 a ix i D 1 X f(x) = i=0 ia ix i 1 Este é chamado operador de derivação de ordem 1 e tem propriedades notáveis que o tornam muito útil. A série de potências DX 1 é chamada derivada primeira ou simplesmente derivada de f(x). Usa-se também a notação DX 1 = f (X). Segue claramente da definição que DX 1 (K[X]) k[x]. PROPOSIÇÃO 2.1. Sejam f(x), g(x) K[X], a K e m N. Temos que 1. D 1 X (f(x) + ag(x)) = f (X) + ag (X). 2. D 1 X (f(x) g(x)) = f (X) g(x) + f(x) g (X). 3. D 1 X ((f(x))m = m(f(x)) m 1 f (X). Demonstração: 41

42 CAPÍTULO 2. DERIVAÇÃO E MULTIPLICIDADE 1. A demonstração deste item segue diretamente da definição. 2. Em virtude do Problema 1.4 do Capítulo 1, basta provar a fórmula para produtos da forma X n g(x). Seja g(x) = i=0 b ix i, temos que ( ) DX(X 1 n g(x)) = DX 1 b i X n+i = (n + i)b i X n+i 1 = i=0 = nx n 1 b i X i + X n ib i X i = ( DX 1 Xn) g(x) + X n DX 1 g(x) i=0 i=0 3. A demonstração pode ser feita por indução sobre m e a deixamos a cargo do leitor. O próximo resultado vai caracterizar aquelas séries de potências que têm derivada nula. PROPOSIÇÃO 2.2. 1. Se car(k) = 0 então, DX 1 f(x) = 0 se, e somente se, f(x) K. 2. Suponha car(k) = p > 0. Então DX 1 f(x) = 0 se, e somente se, f(x) = b 0 + b 1 X p + b 2 X 2p +, com b i K, i Z + Demonstração: Seja f(x) = i=0 a ix i K[[X]]. DX 1 f(x) = 0 se, e somente se, ia i = 0 para todo i Z +. Por I-7, Problema 3.1, esta última condição é equivalente a i 0 mod car(k) ou a i = 0. 1. Se car (K) = 0, isto é equivalente a 0 = a 1 = a 2 =, isto é, f(x) = a 0 K. 2. Se car (K) = p > 0, isto é equivalente a i 0 mod p se a i 0. Assim, D 1 X f(x) = 0 se, e somente se, f(x) = a 0 + a p X p + a 2p X 2p +. O resultado segue definindo b j = a jp, j Z +. Se um polinômio p(x) é divisível por (X α) m, onde α K e m N, e não é divisível por (X α) m+1, dizemos que α é raiz de multiplicidade m de p(x). Se m 2, dizemos que α é raiz múltipla de p(x). Note que se (X α) l divide p(x), então α é raiz de multiplicidade pelo menos l de p(x). Damos a seguir uma caracterização daqueles polinômios que têm raízes múltiplas em termos de derivadas. i=0

2.1. DERIVADA PRIMEIRA 43 PROPOSIÇÃO 2.3. Um elemento α K é raiz múltipla de p(x) K[X] se, e somente se, p(α) = p (α) = 0. Demonstração: Por um lado, suponha que p(x) = (X α) m q(x) com m 2. Logo, pela Proposição 1, (2) e (3) temos que p (X) = (x α) m q (X) + m(x α) m 1 q(x). Como m 2 é claro que p(α) = p (α) = 0. Reciprocamente, Como p(α) = 0, temos que p(x) = (X α) q(x). Derivando ambos os lados desta igualdade, temos p (X) = q(x)+(x α) q 1 (X). Desta igualdade e de p (α) = 0 segue que q(α) = 0 e daí que q(x) = (X α) q 1 (X) para algum q 1 (X) K[X]. Conseqüentemente p(x) = (X α) 2 q 1 (X) e portanto α é uma raiz múltipla de p(x). COROLÁRIO 2.1. Seja K um corpo algebricamente fechado. p(x) K[X] não tem raízes múltiplas em K se, e somente se, (p(x), p (X)) = 1. Demonstração: Sendo K um corpo algebricamente fechado, os polinômios p(x) e p (X) têm raiz comum se, e somente se, eles têm um fator não constante comum. O resultado segue então da Proposição 3. COROLÁRIO 2.2. Se car (K) = 0 e se p(x) K[X] é irredutível, então p(x) não pode ter raiz múltipla em nenhuma extensão F de K. Demonstração: Note inicialmente que se car (K) = 0 e p(x) é irredutível então p (X) 0 e (p(x), p (X)) = 1. A primeira destas asserções segue da Proposição 2. Para a segunda, suponha por absurdo que (p(x), p (X)) 1, logo p(x) e p (X) têm um fator não constante em comum e como p(x) é irredutível este fator comum é um associado de p(x), o que é impossível pois gr(p (X)) < gr(p(x)). Como (p(x), p (X)) = 1 em K[X], o mesmo ocorre em F[X], logo pelo Corolário 1, p(x) não tem raízes múltiplas em F. PROPOSIÇÃO 2.4. Seja p(x K[X]) com car(k) = 0. Então α é raiz de multiplicidade m 1 de p(x) se, e somente se, α é raiz de p(x) e raiz de multiplicidade m 1 de p (X).

44 CAPÍTULO 2. DERIVAÇÃO E MULTIPLICIDADE Demonstração: Por um lado, suponha que α seja uma raiz de multiplicidade m de p(x). Temos então que p(x) = (X α) m q(x), com q(x) K[X] e q(α) 0. Segue então que p (X) = m(x α) m 1 q(x)+(x α) m q (X), portanto temos claramente que (X α) m 1 p (X). Vamos provar que (X α) m não divide p (X). De fato, se (X α) m p (X), então (X α) m m(x α) m 1 q(x), logo (X α) mq(x) e portanto mq(α) = 0. Como car(k) = 0, segue que q(α) = 0 o que é uma contradição. Reciprocamente, suponha que p(α) = 0 e que α é raiz de multiplicidade m 1 de p (X). Seja r a multiplicidade da raiz α de p(x), logo r 1 e pela primeira parte da demonstração, α é raiz de multiplicidade r 1 de p (X) e portanto r 1 = m 1 e portanto r = m. Dado um polinômio p(x) K[X] podemos definir as suas derivadas iteradas do seguinte modo: p (X) é a derivada de p (X), ou seja p (X) = D 1 X (D1 X (p(x)), p (X) é a derivada de p (X), ou seja p (X) = D 1 X (D1 X (D1 X (p(x))),.. p (n) (X) é a derivada de p (n 1) (X), ou seja p (n) (X) = DX 1 (D(n 1) X (p(x)).. COROLÁRIO 2.3. Seja car (K) = 0 e p(x K[X]). Um elemento α K é raiz de multiplicidade m 2 de p(x) se, e somente se, p(α) = p (α) = = p (m 1) (α) = 0 e p (m) (α) 0. Demonstração: Por um lado, se α é raiz de multiplicidade m de p(x), então α é raiz de multiplicidade m 1 de p (X), logo raiz de multiplicidade (m 2) de p (X), etc. até concluirmos que α é raiz de multiplicidade 1 de p (m 1) (X) e portanto p (m) 0. Segue então que p(α) = p (α) = = p (m 1) (α) = 0 e p (m) (α) 0. Reciprocamente, sendo p (m 1) (α) = 0 e p (m) (α) 0 tem-se que α é raiz de multiplicidade 1 de p (m 1) (X) e portanto de multiplicidade 2 de p (m 1) (X)