Campus de Ilha Solteira PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA Sistema de Armazenamento de Imagens Comprimidas Através da Transformada Wavelet JAQUELINE FERREIRA DA SILVA Orientador: Prof. Dr. Franiso Villarreal Alvarado Dissertação apresentada à Fauldade de Engenharia - UNESP Campus de Ilha Solteira, para obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétria. Área de Conheimento: Automação. Ilha Solteira SP junho/008
FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pela Seção Ténia de Aquisição e Tratamento da Informação Serviço Ténio de Bibliotea e Doumentação da UNESP - Ilha Solteira. S586s Silva, Jaqueline Ferreira da. Sistema de armazenamento de imagens omprimidas através da transformada wavelet / Jaqueline Ferreira da Silva. -- Ilha Solteira : [s.n.], 008 99 f. : il. (algumas olor.) Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista. Fauldade de Engenharia de Ilha Solteira. Área de onheimento: Automação, 008 Orientador: Franiso Villarreal Alvarado Bibliografia: p. 9-94. Proessamento de imagens Ténias digitais.. Wavelets (Matemátia). 3. Compressão de imagens.
Dediatória Á minha família e amigos. À Silvia Leonoura Bezerra (In Memorian).
Agradeimentos À Deus por tudo que ele já me proporionou. Ao meu orientador, Dr. Franiso Villarreal Alvarado pela oportunidade e onfiança. Ao professor Dr. Maro A. Queiroz Duarte pelo inentivo, onfiança, aompanhamento e dediação no desenvolvimento do trabalho. A minha mãe que nuna mediu esforços para me ajudar e que sempre apoiou as minhas esolhas. As minhas amigas que me aompanham há mais tempo: Tatiana e Selma, pela motivação que sempre reebi delas e ao meu primo Alex, que de forma direta ou indireta ontribuiu para o termino desse trabalho. Aos amigos que fiz durante o mestrado.
A alegria de ver e entender é o mais perfeito dom da natureza. (Albert Einstein).
Resumo Neste trabalho é apresentado um sistema interativo para o proessamento e armazenamento de imagens no domínio wavelet e uma interfae para proessamento de imagens digitais. A proposta apresentada baseia-se na transformada wavelet e em métodos de limiar. O sistema de armazenamento tem omo objetivo a otimização do espaço omputaional, tanto para armazenamento omo para transmissão de imagens. Sendo para isso neessário a apliação da Transformada Wavelet nas respetivas imagens e dos diversos métodos de limiar a serem esolhidos. Estas apliações permitem extrair informações relevantes para o armazenamento de uma imagem om um menor usto omputaional e om uma margem de erro muito pequena quando se ompara as imagens, original e proessada, ou seja, não há perda de qualidade ao apliar o sistema de odifiação apresentado. Os resultados obtidos a partir das informações extraídas das imagens são apresentados numa interfae gráfia. É através da interfae gráfia que o usuário usa os arquivos para visualizar e analisar os resultados dos programas diretamente na tela do omputador sem a preoupação de lidar om os ódigos fontes. A interfae gráfia, os programas de proessamento de imagens via Transformada Wavelet e os métodos de limiar foram desenvolvidos no ambiente do MATLAB, possibilitando uma troa direta de informações entre eles e o usuário. Palavras-have: Proessamento de imagens, Transformada Wavelet, Compressão de imagens.
Abstrat In this work an interative system proessing and storage of ompressed images in the wavelet domain, and an interfae for digital image proessing are presented. The storage method proposed is based on the wavelet transform and a threshold method. It has the objetive of optimizing the omputational spae, for storage and for transmission of images. It is neessary first a pre-proessing routine and after, the haraterization through the appliation of the wavelet transform to the respetive images and the several threshold methods to be hosen. These appliations allow the extration of relevant information for an image ompression or storage image with a smaller omputational ost and with a very small of error when the original and proessed images are ompared, in other words, there is no quality loss when applying the odifiation system presented. The results obtained from the extrated information of the images are presented in a graphi interfae for image proessing. The graphi interfae, the programs for image proessing using the wavelet transform and the thresholding methods were developed in a MATLAB environment, making possible a diret hange of information between them and the user, without the onern of working with soure odes. Through this graphi interfae the user an use files whih permits him visualize and analyze the results of the programs in the omputer sreen. Keywords: Proessing of images, Wavelet Transform, Compression of images.
Lista de Ilustrações Figura. : (a) Imagem biomédia; (b) Imagem de geoproessamento....4 Figura. : (a) Imagem digital da mão de um paiente que sofre de enondroma; (b) Ampliação da área de uma das artiulações; () Valores de intensidade na região em (b); (d) Nível de quantifiação...5 Figura. 3: (a) Imagem de dimensão 56x56 pixels; (b) Imagem de dimensão 8x8 pixels; () Imagem de dimensão 64x64 pixels....6 Figura. 4: (a) Imagem adquirida da Orquídea; (b) Dispositivo de aptura; () Sinal digital....8 Figura. 5: Pré-proessamento de uma Imagem...8 Figura. 6: (a) Ampliação de uma região da imagem da orquídea; (b) Valores de intensidade na região seleionada....9 Figura. 7: (a) Reonheimento; (b) Interpretação....30 Figura. 8: (a) Imagem original; (b) Imagem ontaminada por ruído brano; () Imagem após a eliminação do ruído utilizando a Transformada Wavelet...30 Figura 3. : (a) Função esala de Haar; (b) Função wavelet de Haar...34 Figura 3. : Função wavelet de Morlet...35 Figura 3. 3: (a) Função esala de Daubehies; (b) Função wavelet de Daubehies...37 Figura 3. 4: (a) Função esala de Meyer; (b) Função wavelet de Meyer....38 Figura 3. 5: Bandas de freqüênias entre V j e V j+....44 Figura 3. 6: Deomposição padrão de uma imagem....45 Figura 3. 7: Deomposição não padrão de uma imagem...46 Figura 3. 8: Diagrama de um bano de filtros no proesso de deomposição....50 Figura 3. 9: Diagrama de um bano de filtros no proesso de reonstrução...5 Figura 3. 0: Estrutura em asata da Transformada Wavelet...5
Figura 4. : Imagem deomposta e omprimida om 98%....57 Figura 4. : Limiar Rígido...60 Figura 4. 3: Limiar Suave...6 Figura 4. 4: Limiar Rígido Suave....6 Figura 4. 5: Limiar Super Suave...63 Figura 4. 6: Limiar Super Super Suave....64 Figura 4. 7: Limiar Rígido Super Suave...65 Figura 4. 8: Limiar Semi-Suave....66 Figura 4. 9: Limiar Sigmoidal....67 Figura 4. 0: Diagrama ilustrativo do sistema de redução de ruído ou ompressão por limiar no domínio wavelet....68 Figura 5. : Tela...76 Figura 5. : Tela...77 Figura 5. 3: Tela 3....78 Figura 5. 4: Tela 4....79 Figura 5. 5: Tela 5...80 Figura 6. : Flor, original e om ompressão de 86,34% utilizando o Limiar Rígido...8 Figura 6. : Mão, original e om ompressão de 86,85% utilizando o Limiar Rígido....83 Figura 6. 3: Meninos, original e om ompressão de 9,4% utilizando o Limiar Rígido..83 Figura 6. 4: Ultra-sonografia, original e om ompressão de 86,69% utilizando o Limiar Rígido....83 Figura 6. 5: Usina, original e om ompressão de 89,38% utilizando o Limiar Rígido....84 Figura 6. 6: Flor, original e om ompressão de 86,34% utilizando o Limiar Suave...85 Figura 6. 7: Mão, original e om ompressão de 86,85% utilizando o Limiar Suave...86 Figura 6. 8: Meninos, original e om ompressão de 9,4% utilizando o Limiar Suave...86 Figura 6. 9: Ultra-sonografia, original e om ompressão de 86,69% utilizando o Limiar Suave....86
Figura 6. 0: Usina, original e om ompressão de 89,38% utilizando o Limiar Suave...87 Figura 6. : Flor, original e om ompressão de 86,34% utilizando o Limiar Semi Suave....88 Figura 6. : Mão, original e om ompressão de 60,53% utilizando o Limiar Semi Suave....88 Figura 6. 3: Meninos, original e om ompressão de 76,73% utilizando o Limiar Semi Suave....88 Figura 6. 4: Ultra-sonografia, original e om ompressão de 60,05% utilizando o Limiar Semi Suave....89 Figura 6. 5: Usina, original e om ompressão de 68,5% utilizando o Limiar Semi Suave....89
Lista de Tabelas Tabela 6. : Imagens omprimidas e deodifiadas usando o sistema de armazenamento proposto om o limiar rígido...8 Tabela 6. : Imagens proessadas usando o sistema de armazenamento proposto om o limiar suave...85 Tabela 6. 3: Imagens proessadas usando o sistema de armazenamento proposto om o limiar semi-suave...87 Tabela 6. 4: Erro estimado para os métodos utilizados para a ompressão usando o sistema de armazenamento proposto...90
Lista de Abreviaturas AMR Análise de Multirresolução; db4 Função Wavelet de Daubehies Nível 4 db6 Função Wavelet de Daubehies Nível 6 GUI MATLAB TW TWC TWCI TWD TWDB TWDI Development Environment; Matrix Laboratory; Transformada Wavelet; Transformada Wavelet Contínua; Transformada Wavelet Contínua Inversa; Transformada Wavelet Disreta; Transformada Wavelet Disreta Bidimensional; Transformada Wavelet Disreta Invesa;
Lista de Símbolos x, y Coordenadas espaiais da função bidimensional f(x,y); M,N n d(x) d(y) Linhas e olunas de uma matriz MxN; Número máximo de níveis e faixa Resolução horizontal; Resolução vertial; log Logaritmo de um número na base ; V j Espaço de Esala j φ (t) Função Esala; ψ (t) Função Wavelet; L ( R) Espaço das funções mensuráveis de Lebesgue de quadrado integrável; ψ ˆ ( t) Transformada de Fourier de ψ ϖ 0 Freqüênia iniial f, g Produto interno de f e g. * ψ Conjugado omplexo de ψ ; h n Coefiientes dos filtros gerados pela função φ ; g n Coefiientes dos filtros gerados pela função ψ ; k C Classe das funções om derivadas ontínuas até a ordem k ( W ψ x) Transformada wavelet ontinua de uma função x om relação a ψ ; a b Parâmetro de esala da função wavelet Parâmetro de translação da função wavelet;
R Z Conjunto dos números reais; Conjunto dos números inteiros; W j Complemento ortogonal de V j α j Soma direta de onjuntos; Seqüênia de ortes do filtro passa-baixa; H (t) Filtro passa-baixa; G (t) Filtro passa-alta; j d j Coefiientes de aproximação do nível j da TWD; Coefiientes de detalhe do nível j da TWD; * Operação de onvolução; ( ) Operador de dizimação de ordem ; ( ) Operador de inserção de ordem ; λ Limiar usado para a filtragem dos sinais; ŷ Sinal filtrado pelo limiar λ ; γ σ Parâmetro de inlinação da Sigmóide; Estimativa do ruído; V _ od Vetor odifiado; C C el T Taxa de ompressão; Número de oefiientes eliminados; Número total de oefiientes; traço ( ) Traço da matriz.
Sumário CAPÍTULO... 9 INTRODUÇÃO... 9. Considerações Preliminares... 9. Objetivos e Contribuições....3 Organização do Texto... CAPÍTULO... 3 PROCESSAMENTO DE IMAGENS... 3. Imagem Digital... 4. Armazenamento de Imagem Digital... 6.3 Etapas do Proessamento de Imagens... 7 CAPÍTULO 3... 3 TEORIA WAVELET... 3 3. Wavelets... 33 3. Transformada Wavelet (TW)... 38 3.. Transformada Wavelet Contínua (TWC)... 39 3... Função Wavelet Mãe... 39 3.. Transformada Wavelet Contínua Inversa (TWCI)... 39 3..3 Transformada Wavelet Disreta (TWD)... 40 3..4 Transformada Wavelet Disreta Inversa (TWDI)... 4 3.3 Análise de Multirresolução (AMR)... 4 3.4 Transformada Wavelet Disreta Bidimensional (TWD Bidimensional)... 44 3.5 Transformada Wavelet: Uma interpretação do ponto de vista de proessamento de imagens... 46 3.5. Filtro passa-baixa... 47
3.5. Filtro passa-alta... 48 3.5.3 Bano de Filtros... 49 3.5.4 Algoritmo Piramidal de Mallat... 49 CAPÍTULO 4... 53 WAVELET EM PROCESSAMENTO DE IMAGENS... 53 4. Compressão de Imagens... 55 4. Métodos de Compressão e Eliminação de Ruído... 57 4.3 Métodos de Limiar... 59 4.3. Limiar Rígido (Hard- Thresholding)... 59 4.3. Limiar Suave (Soft - Thresholding)... 60 4.3.3 Limiar Rígido Suave (Hard Soft - Thresholding)... 6 4.3.4 Limiar Super Suave (Super Soft - Thresholding)... 6 4.3.5 Limiar Super Super Suave (Super Super Soft- Thresholding)... 63 4.3.6 Limiar Rígido Super Suave (Hard Super Soft- Thresholding)... 64 4.3.7 Limiar Semi-Suave (Semi- Soft - Thresholding)... 65 4.3.8 Limiar Sigmoidal (Sigmoid - Thresholding)... 66 4.4 Atuação de um Método de Limiar numa Imagem... 68 CAPÍTULO 5... 69 SISTEMA DE ARMAZENAMENTO DE IMAGENS E UMA INTERFACE GRÁFICA PARA O PROCESSAMENTO... 69 5. Sistema de Armazenamento de Imagens através da Transformada Wavelet... 70 5.. Codifiação da Imagem Comprimida... 7 5.. Deodifiação da Imagem Comprimida... 73 5. Interfaes Gráfias para o Sistema de Armazenamento de Imagens Comprimidas Proposto... 74 5.. Apresentação das Telas... 76 CAPÍTULO 6... 8 RESULTADOS E CONSIDERAÇÕES... 8
6. Utilização do Limiar Rígido no Sistema Armazenamento de Imagens Comprimidas.. 8 6. Utilização dos Limiares Suave e Semi-Suave no Sistema de Armazenamento de Imagens Comprimidas... 84 6.. Limiar Suave... 85 6.. Limiar Semi Suave... 87 6.3 Considerações Sobre os Métodos Utilizados na Compressão... 89 6.4 Considerações Finais e Sugestões de Trabalhos Futuros... 9 REFERÊNCIAS... 9 APÊNDICE A... 96 INTERFACES GRÁFICAS NO MATLAB... 96
CAPÍTULO INTRODUÇÃO. Considerações Preliminares Diversos elementos que analisamos em nossa interação otidiana, om o universo físio, podem ser representados por funções. Na literatura de proessamento de sinais, uma função é hamada de sinal (GOMES; VELHO; GOLDSTEIN, 997). O fato dos sinais, em geral, serem fontes de informações, as imagens essenialmente representadas em forma digital, são tipos de sinais ada vez mais presentes em nosso otidiano, e a ada dia tem despertado a neessidade de proessamentos indispensáveis, desde as imagens para o mais simples entretenimento até as apliações mais importantes, por exemplo, imagens biomédias (PORTILLA; SIMONCELLI, 000). O termo sinal está assoiado a um fenômeno, que pode oorrer no tempo ontinuo, por exemplo, a fala, ou no tempo disreto, neste aso o tempo é uma variável disreta que, normalmente assume valores periódios (DINIZ; SILVA; NETTO, 004). É possível, através do proessamento de imagens, que informações sejam disponibilizadas para uma determinada apliação, omo por exemplo, na mediina que exige diagnóstios preisos, om a análise de bordas e análises estatístias om qualidade das informações disponíveis (ALBUQUERQUE; CANER; MELO, 004). Os diversos tipos de sinais gerados e os diversos métodos de obtê-los, muitas vezes aarretam perda de qualidade, pois a maioria dos sinais é ontaminada por algum tipo de ruído. Por exemplo, ao adquirir uma imagem, o meio em que ela se enontra ou o dispositivo que a aptura, pode forneer uma imagem de baixa qualidade, om aspetos que omprometem uma boa análise por parte do observador. O proessamento de sinais visa, de modo geral, melhorar a qualidade de um sinal para possíveis análises.
Capítulo: Introdução 0 Uma das apliações do proessamento de sinais é a ompressão, om o objetivo de uma transmissão ou armazenamentos efiientes, om baixo usto omputaional. A ompressão geralmente se baseia na eliminação de redundânias do sinal através do uso de alguma transformada, geralmente transformadas integrais (STOLLNITS; DEROSE; SALESIN, 996). A Transformada Wavelet tem sido apliada nas mais diversas áreas, disponibilizando algoritmos rápidos, fundamentais para ompressão de imagens, ou para a remoção de ruído (OLIVEIRA, 007). Mesmo sendo uma ténia nova, se omparada om outras ténias de proessamento de sinais, a transformada wavelet tem atraído a atenção de muitos matemátios, engenheiros e ientistas em geral, pois se trata de uma ferramenta muito versátil e de onteúdo matemátio muito rio. A ferramenta mais importante na Análise Wavelet é a Transformada Wavelet (DAUBECHIES, 99). Quando um sinal é analisado om a Transformada Wavelet, obtêm-se informações tanto no domínio do tempo quanto no domínio da freqüênia, ou seja, é uma ferramenta que possibilita saber exatamente quando omeça e quando termina um determinado evento (DAUBECHIES, 990) esse é o prinipal objetivo da transformada wavelet. Devido ao grande número de funções moduladoras, ou funções bases, hamadas de wavelets, é possível o proessamento dos mais variados tipos de sinais. Há sempre uma função wavelet que se ajusta ao sinal que se deseja proessar. Caso tal wavelet não exista, é possível, no ontexto da teoria wavelet, onstruí-la. As wavelets são ondas pequenas, om determinadas propriedades, que as tornam adequadas para deomposição de uma determinada função em outras funções (MISITI et al., 996). As funções do domínio wavelet podem ser apliadas de forma espeifia ou se ajustarem onforme a neessidade do proessamento, o que torna a transformada wavelet uma ferramenta versátil. Uma propriedade matemátia que faz om que a Transformada Wavelet seja uma ferramenta efiiente no proessamento de imagens é a análise de multirresolução que, ao ser apliada em um sinal, evidenia seus detalhes, tornando possível a análise dos oefiientes wavelets (DAUBECHIES, 99).
Capítulo: Introdução Dentre as apliações envolvendo imagens, está a ompressão, pois om o advento da internet e om a neessidade da riação diária de bano de dados, imagens são transmitidas a todo o momento, podendo ausar lentidão no sistema o qual elas se enontram (SILVA et al., 007). Em geral, a ompressão de uma imagem tem omo objetivo prinipal a eliminação de oefiientes dessa imagem que não omprometam a sua reonstrução ou que ausem mínima diferença entre a imagem original e a imagem proessada (FONSECA, 004). Esta eliminação não pode ser feita diretamente na imagem, para isso é apliado algum tipo de transformada para que o sinal seja analisado no domínio transformado, evideniados seus detalhes assim omo suas redundânias. Com esse objetivo, vários métodos de ompressão ou redução de ruído, tanto para imagens quanto para sinais unidimensionais, são propostos na literatura espeializada (SOARES et al., 007). Após a ompressão, são armazenados apenas os oefiientes que não foram eliminados na imagem transformada e as informações que possibilitem a reonstrução da imagem através desses oefiientes. Outra questão tão importante quanto às ténias que envolvem o proessamento de imagens é a riação de dispositivos que permitam o aesso rápido e fáil a qualquer usuário de omputadores, de forma que o mesmo usuário, independentemente de seu nível de onheimento omputaional, possa manipular imagens e proessá-las. Uma forma de resolver esse problema é a riação de interfaes que permitam ao usuário o aesso ao proessamento de imagens sem se preoupar om a omplexidade omputaional que está por trás do proesso.. Objetivos e Contribuições Com base nos dois últimos parágrafos, este trabalho apresenta uma metodologia simples e interativa de armazenamento de imagens que possibilita uma eonomia onsiderável no espaço omputaional que essas imagens oupam, podendo ser implementada em qualquer linguagem omputaional. Além da metodologia de armazenamento de imagens, uma interfae gráfia é riada para o proessamento de imagens, possibilitando ao usuário seleionar imagens, fazer esolha do tipo de ompressão a ser exeutado, fazer omparações entre a imagem original e a proessada e fazer análises estatístias do proesso.
Capítulo: Introdução O sistema de armazenamento onsiste em dois proessos: um para odifiação da imagem, sendo esta omprimida pela transformada wavelet usando um dos diversos métodos de limiar propostos e outro para deodifiação da imagem para posterior reonstrução da imagem original. Para isso, um únio vetor é riado para armazenar todas as informações da imagem omprimida. Em geral esse vetor oupa menos de 50% do espaço que a imagem original oupa, sendo este um dado importante para ontribuição na área de proessamento digital de imagens. A interfae gráfia tem omo prinipal objetivo o aesso ao proessamento de imagens de usuários que não tem domínio de linguagens de programação, mas que neessitam manusear imagens. Caso ontrário, também é possível apenas lidar om os ódigos fontes para eventuais modifiações e melhoramento no proessamento..3 Organização do Texto O texto é organizado iniialmente om um apítulo sobre os fundamentos básios do proessamento de imagens, este é o assunto do apitulo. No apítulo 3, é apresentada a Teoria Wavelet om seus prinipais fundamentos matemátios. No apítulo 4, a apliação de wavelets ao proessamento de imagens e os métodos de limiar para a ompressão e redução de ruído em imagens são apresentados. No apítulo 5 é apresentada a proposta de armazenamento de imagens, e a interfae gráfia riada para o proessamento de imagens, ambos implementados no software MATLAB. No apítulo 6 são apresentados os resultados obtidos apliando a ténia de armazenamento proposta no apitulo 5 e as onsiderações finais juntamente om as onlusões e sugestões para trabalhos futuros.
CAPÍTULO PROCESSAMENTO DE IMAGENS O proessamento digital de imagens é uma subárea do proessamento de sinais que onsiste na exeução de operações matemátias, om objetivo de extrair informações que geralmente representam um fenômeno a ser estudado de forma espeifia. No proessamento de uma imagem são realizados milhares de álulos de forma rápida e segura para que o observador ou o omputador possam analisar ou realçar de forma preisa estas informações. A primeira apliação da área de proessamento de imagens foi na déada de 0, na tentativa de aprimorar imagens digitalizadas de um jornal para transmissão, entre Londres e Nova Iorque. O tempo neessário para esta transmissão era de uma semana. O sistema Bartlane de transmissão de imagens por abo submarino onseguiu reduzir a transmissão para três horas (BOTELHO, 005). Avanços expressivos na área vieram apenas om o advento dos omputadores digitais três déadas mais tarde, omo a evolução da tenologia omputaional, om informações de multimídia e sinais bidimensionais, ada vez mais presentes em nosso otidiano. O proessamento de imagens surge om o objetivo de suprir as neessidades de análise e ompatação de informações, tornando-se assim uma ferramenta essenial no mundo moderno, uja demanda de proessamento é relativamente resente (GONZÁLES; WOODS, 99). Um dos prinipais interesses na área de proessamento digital de imagens é a neessidade de melhorar a qualidade da informação visual para a análise humana, surgindo assim várias ténias e aperfeiçoamento para o ganho de veloidade, preisão, simpliidade e poder de proessamento om um baixo usto omputaional. São ténias hoje apliadas
Capítulo : Proessamento de Imagens 4 em várias áreas do onheimento humano omo, por exemplo, mediina, eonomia, engenharia, entre outras. A Figura. apresenta dois exemplos de imagens muito usadas em estudos, uma imagem biomédia e uma imagem de geoproessamento, ambas geradas no software do MATLAB. Figura. : (a) Imagem biomédia; (b) Imagem de geoproessamento. O Proessamento digital de imagens é sempre expresso através de algoritmos implementados por software. É um proesso extremamente dependente do sistema a que está assoiado e do método de extração de informações, que por sua vez, depende do tipo de imagem, da natureza e das informações ontidas nela. Geralmente, ténias que funionam bem em algumas áreas podem não ser adequadas em outras. Assim, não existe até o momento uma solução únia e abrangente para todos os problemas, abrindo espaço para varias pesquisas. Algumas noções básias serão abordadas a seguir de forma suinta para um melhor entendimento de omo analisar uma imagem digital.. Imagem Digital As imagens são vistas omo exemplos de sinais gerados em nosso otidiano que apresentam papéis importantes, podendo ser desde os mais simples, usados para
Capítulo : Proessamento de Imagens 5 entretenimentos, até as apliações médias e tenológias mais avançadas (ALBUQUERQUE; CANER; MELO, 004). Uma imagem pode ser definida matematiamente omo uma função bidimensional do tipo f ( x, y ), onde x e y são oordenadas espaiais, ou seja, é um tipo de sinal gerado no domínio do espaço, que representa a variação da intensidade de luz e de or do espaço. A imagem denominada digital é uma imagem que pode ser proessada de forma direta, pois ela pode ser proessada no domínio espaial sem a neessidade de um sistema analógio que a onverta em um sinal no domínio do tempo (DINIZ; SILVA; LIMA, 004), podendo assim ser armazenada no omputador. Sua representação é dada por uma matriz M N omposta por elementos denominados pixels. Os pixels são os menores pontos distribuídos em linhas e olunas que uma imagem pode obter. Cada pixel ontém um valor inteiro nas direções das oordenadas x e y que representa medidas dependentes de variáveis, omo por exemplo, o nível de quantifiação que normalmente é uma potênia de. Cada pixel pode estar assoiado a um valor da esala de inza entre 0 e n. Quanto maior o número de pixels numa imagem, melhor será sua resolução, permitindo uma melhor difereniação entre as estruturas. Na Figura. tem-se um modelo da digitalização de uma imagem radiográfia. Figura. : (a) Imagem digital da mão de um paiente que sofre de enondroma; (b) Ampliação da área de uma das artiulações; () Valores de intensidade na região em (b); (d) Nível de quantifiação. Muitas vezes a digitalização da imagem pode omprometer sua qualidade. Atualmente, existem várias ténias de análise de imagens, visto que as imagens arregam
Capítulo : Proessamento de Imagens 6 em seu interior determinadas informações e também apaidade para a troa dos mesmos, possibilitando, desta forma, a qualidade de resolução.. Armazenamento de Imagem Digital Um aspeto de grande interesse é o armazenamento da imagem na memória do omputador. Um exemplo que apresenta essa neessidade são os milhares de exames de diagnóstios através de imagens geradas em hospitais, que em alguns asos, podem hegar a mais de 45 Gbytes por dia (ALCOCER et. al., 996). Atualmente, resem os proessos de transmissão dessas imagens através de redes informatizadas, riando neessidades de se estabeleer e onheer formatos padronizados e de proessos de transmissão de dados em sistemas de rede loal ou mesmo pela internet, om rapidez e segurança, envolvendo desta forma a ompatação da imagem. Porém, ao passo que melhora a qualidade visual da imagem, o volume de dados a serem armazenados proessados ou transmitidos aumenta também, o que proporiona o aumento no número de bits neessários para a odifiação binária da imagem. Figura. 3: (a) Imagem de dimensão 56x56 pixels; (b) Imagem de dimensão 8x8 pixels; () Imagem de dimensão 64x64 pixels. O número de bits neessários para o armazenamento de uma imagem na memória do omputador é dado pela equação (.) (GONZÁLES; WOODS, 000). bits = M N n (.) onde:
Capítulo : Proessamento de Imagens 7 n = log(m) M: É o número de linhas da imagem; N: É o número de olunas da imagem; Existem dois tipos de ompatação, om perda e sem perda de informações. Cada tipo de imagem tem suas exigênias quanto ao tipo de ompatação, além de ter um abeçalho dos arquivos de imagens digitais que pode onter informações do tipo: número de linhas, número de olunas, número de bits usados na representação da imagem, resolução horizontal (dx), resolução vertial (dy), número de bandas da imagem, tipo de ompatação usado para guardar os dados, data e hora de aquisição, tipo de sensor que aptou a imagem, dados paramétrios dos sensores, bem omo outras informações relevantes..3 Etapas do Proessamento de Imagens Existem diversas formas de representar as informações ompatadas da imagem. O fluxo dessas informações om um determinado objetivo é o que desreve as etapas do proessamento de imagens (ALBUQUERQUE, 00). ) Aquisição É a etapa em que a imagem é apturada através de dispositivos e organizada em forma bidimensional. Para que as informações ontidas nas imagens sejam expressas de forma simplifiada, é preiso que um sistema interaja om essas informações e as onvertam em sinais elétrios. Os sinais elétrios têm sua representação no tempo ontínuo. Porém, a tenologia omputaional não proessa sinal no tempo ontínuo. Por exemplo, âmeras digitais são projetadas para lidar om omputação seqüenial envolvendo números. Para utilizar a tenologia omputaional é neessário saber quão rápida a informação varia e assim, amostrar a informação no tempo ontínuo e onvertê-la em informações no tempo disreto. Quando se trata de imagens digitais não é preiso essa onversão, pois o seu proessamento é direto, omo dito anteriormente.
Capítulo : Proessamento de Imagens 8 Figura. 4: (a) Imagem adquirida da Orquídea; (b) Dispositivo de aptura; () Sinal digital. ) Pré-proessamento Tem a função de melhorar a qualidade da imagem através de dois métodos: o primeiro baseado em filtros que manipulam o plano da imagem. O segundo que opera baseado em filtros que agem sobre o espetro da imagem. Ambos os métodos visam o melhoramento de ontraste, remoção de ruídos, regiões de interesse, reamostragem dos pixels em uma nova esala, treinamento e extração de araterístias, et. Figura. 5: Pré-proessamento de uma Imagem. 3) Segmentação Signifia separar a imagem em regiões disjuntas om o objetivo de extrair informações dos objetos da imagem, omo ilustra a Figura.6.
Capítulo : Proessamento de Imagens 9 Figura. 6: (a) Ampliação de uma região da imagem da orquídea; (b) Valores de intensidade na região seleionada. A denominação objeto da imagem refere-se aos grupos de pixels que forneem informações desejadas. Outro termo bastante usado nessa etapa é denominado fundo da imagem, que lassifia o grupo dos pixels que podem ser desprezados. Esses dois termos menionados, juntos determinam regiões na imagem sem representar neessariamente um objeto presente na imagem proessada. Essa é uma etapa rítia, pois é preiso ter uidados para não gerar erros, que posteriormente serão refletidos nas etapas seguintes, produzindo ao final do proesso resultados omprometedores. A segmentação age de forma adaptativa às araterístias partiulares de ada tipo de imagem e aos objetivos desejados. Deste modo, pode-se dizer que não existe um modelo espeífio de segmentação. Porém, as ténias são bem diversifiadas e despertam interesse no melhoramento e desenvolvimento de novas ténias. 4) Representação e desrição: É uma forma de armazenar as informações através de uma matriz, a qual arateriza a forma e a topologia dos objetos, seja a imagem representada omo sinal unidimensional ou bidimensional. Essa etapa é lassifiada pela parametrização dos objetos da imagem.
Capítulo : Proessamento de Imagens 30 5) Reonheimento e interpretação Identifia os objetos segmentados na imagem assoiando um rótulo a ada objeto. Após isso, os objetos são lassifiados onforme sua forma apresentada, omo ilustra a Figura.7. Figura. 7: (a) Reonheimento; (b) Interpretação. As informações ontidas nas imagens podem ser extraídas e analisadas tanto no domínio do tempo quanto no domínio da freqüênia, ou ainda no domínio tempo-esala omo é o aso da transformada wavelet (DAUBECHIES, 990). Duas transformadas muito usadas para o proessamento de imagem são a Transformada de Fourier (OPPENHEIM; SCHAFER; BUCK, 998) e a Transformada Wavelet (STOLLNITS; DEROSE; SALESIN, 996). Na Figura.8 é apresentado um exemplo de redução de ruído em imagens através da transformada wavelet (DUARTE, 005). Figura. 8: (a) Imagem original; (b) Imagem ontaminada por ruído brano; () Imagem após a eliminação do ruído utilizando a Transformada Wavelet.
Capítulo : Proessamento de Imagens 3 No ampo do proessamento de imagens, o presente trabalho apresenta duas propostas: uma é a riação de um sistema interativo para o armazenamento de imagens, que otimiza o espaço omputaional que essas imagens oupam, tendo a diminuição do número de bits usados para armazenamento. O proesso de odifiação será feito usando a Transformada Wavelet no apítulo 5. A outra proposta é a riação de uma interfae gráfia para proessamento de imagens no que diz respeito à ompressão e redução de ruído. Esta interfae é riada om o objetivo de failitar o trabalho de quem preisa manipular imagens, mas não tem onheimento de programação omputaional.
CAPÍTULO 3 TEORIA WAVELET Uma função wavelet é a interpretação de uma onda de urta duração om resimento e deresimento rápidos. Sua teoria baseia-se na representação de funções em diferentes esalas e diferentes resoluções (tempo-esala), onsiderando assim uma das suas prinipais araterístias (DAUBECHIES, 99). O primeiro registro do termo wavelet data de 909, em uma tese de Alfred Haar (HAAR, 90), apresentando uma função que, déadas depois, viria a ser onheida omo a primeira função wavelet. O oneito de wavelet, em sua forma teória atual, foi proposto em meados dos anos oitenta por Jean Morlet (geofísio), Yves Meyer (matemátio) e a equipe do Centro de Físia Teória de Marseille, trabalhando sob orientação de Alex Grossman (físio teório) na França. Os métodos de análise wavelet foram desenvolvidos prinipalmente por Yves Meyer (MEYER, 993) e seus olegas, que asseguraram a sua disseminação. A atenção da omunidade de proessamento de sinais foi atraída quando Ingrid Daubehies (DAUBECHIES, 990; DAUBECHIES, 99; DAUBECHIES, 998;) e Stephane Mallat (MALLAT, 989 (a), MALLAT, 989 (b)), além de suas ontribuições para a teoria de wavelets, estabeleeram a onexão entre os dois assuntos e obtiveram resultados via proessamento de sinal disreto. O algoritmo de Mallat (MALLAT, 989 (a)) é onsiderado o elo definitivo entre wavelets e proessamento de sinais. Desde então, pesquisas em wavelets tornaram-se difundidas internaionalmente (COIFMAN et al. 993, COIFMAN, 990, COIFMAN; WICKERHAUSER, 993, RIOUL, VETTERLI, 99).
Capitulo 3: Teoria de Wavelet 33 3. Wavelets As funções wavelets, geralmente denotadas por ψ (t), são definidas omo um onjunto de funções originadas através das operações matemátias de translação e esalonamento da função esala, om propriedades partiulares que as tornam adequadas para servirem de base para a deomposição de outras funções (FARIA, 997). A função esala é uma função básia definida num espaço por φ, tendo omo funções básias assoiadas: V j, usualmente denotada j j j φ i t) : = φ( t i) i = 0,..., (3.) (, sendo: φ : função esala; i: desloamento; j: esala; t: tempo. Para que uma função seja onsiderada uma wavelet é preiso satisfazer as seguintes ondições básias e neessárias:. que ψ ( t) L ( R), ou seja, a função pertença ao espaço das funções de quadrado integrável ou, ainda, o espaço das funções de energia finita, no sentido que: ψ ( t) dt <. (3.). que sua Transformada de Fourier ψˆ ( ω) satisfaça a ondição de admissibilidade (DAUBECHIES, 99): ψˆ ( ω) C ψ = dω <. (3.3) ω Segue da ondição de admissibilidade que: limψˆ( ω) = 0. ω 0 (3.4)
Capítulo 3: Teoria Wavelet 34 Assim, se ψˆ ( ω) é ontínua então, ψ ˆ (0) = 0, ou seja, ψ ( t) dt = 0. (3.5) Geometriamente, a ondição (3.3) estabelee que o gráfio de ψ (t) deve osilar de modo a anelar as áreas negativas a fim de anular a integral (3.5). Portanto, o gráfio de ψ (t) tem a forma de onda, onforme ilustra a Figura 3. (b), que é um exemplo de wavelet. Desde que ψ (t) esteja bem loalizada no tempo, este deaimento será muito rápido, formando uma onda de urta duração. Atualmente, existem inúmeras funções wavelets que geralmente reebem o nome de seus riadores, dentre as quais serão apresentadas, a seguir, as mais onheidas. Começando pelo exemplo mais simples, proposto em 909 pelo matemátio húngaro Alfred Haar (HAAR, 90). A wavelet de Haar, que demonstra as grandezas que envolvem os valores de forma não ontínua, tornando-se deste modo um aso partiular da transformada wavelet disreta definida por: j ψ i ( t) = φ(t) φ(t ). (3.6) É através da equação (3.6) que podemos obter ψ (t), apresentada na Figura 3. (b). Figura 3. : (a) Função esala de Haar; (b) Função wavelet de Haar. Outra função é a wavelet de Morlet, introduzida por Jean Morlet pertene a família das wavelets não-ortogonais. A wavelet de Morlet não possui função esala e é explíita
Capítulo 3: Teoria Wavelet 35 por uma Gaussiana modulada (shifted), levemente ajustada. De forma que ψ ( 0) = 0, onforme a equação (3.7), ujo gráfio é apresentado na Figura 3.: t / ψ ( t) = Ce os(5t) (MISITI et al., 996). (3.7) Figura 3. : Função wavelet de Morlet. Daubehies propôs um proedimento de partida para a onstrução das bases ortonormais ao invés de onstruir a wavelet e a função de esala através de um subespaço V j. O proedimento parte de oefiientes apropriados e então investiga se eles orrespondem a uma base de wavelet ortonormal. Esses oefiientes representam um onjunto partiular de números gerados por filtros. Em 987 as bases ortonormais de wavelets foram onsideradas omo sendo funções de suporte ompato ontidas no r. intervalo [ 0, + ] Quanto maior o número de oefiientes, mais suave será a wavelet. A onstrução de Daubehies resulta em uma oleção de oefiientes N =,3,4,... e 0 n < N h N n, sendo: A seguir é apresentado um exemplo da wavelet mais simples de Daubehies, a DAUB4, gerada a partir de apenas quatro oefiientes (NIEVERGELT, 999).
Capítulo 3: Teoria Wavelet 36. 4 3, 4 3 3, 4 3 3, 4 3 ),,, ( 3 0 + + = h h h h (3.8) A partir desses oefiientes pode-se onstruir a função esala: = = 0 ) ( ) ( N k k k t h t φ φ (3.9) e alular n g :. 4 3, 4 3 3, 4 3 3, 4 3 ),,, ( 3 0 + + = g g g g (3.0) Assim, a wavelet de Daubehies é dada por: = = 0 ). ( ) ( N k k k t g t φ ψ (3.) Portanto, a matriz A representa os oefiientes da wavelet de Daubehies (DAUB4) na deomposição de um sinal. = 3 0 0 3 0 3 3 0 0 3 3 0 0 3 3 0 A O Observe que há erta semelhança nas linhas que ontêm os oefiientes. As linhas ímpares ontêm os oefiientes orrespondentes à filtragem passa - baixa que suaviza os dados enquanto que as linhas pares orrespondem à filtragem passa - alta que aptura os detalhes que a filtragem passa - baixa perdeu. Já a reonstrução do sinal é representada pela matriz B:
Capítulo 3: Teoria Wavelet 37 = 0 3 3 0 0 3 3 0 0 3 3 0 3 0 B O Figura 3. 3: (a) Função esala de Daubehies; (b) Função wavelet de Daubehies. Yves Meyer em 980 onstruiu a primeira wavelet trivial diferente da wavelet de Haar, que é ontinuamente difereniável, o que limita suas apliações (SILVA; EYNG, 000). Desta forma, uma base wavelet suave ortonormal foi riada. Primeiro, definiu-se a Transformada de Fourier ) ( ˆ t φ de uma função esala ) (t φ omo: > = 3 4 0, 3 4 3, 4 3 os ) ( 3, ) ( ) ( ˆ / / π π π π π π π π φ t se t se t v t se t (3.)
Capítulo 3: Teoria Wavelet 38 onde 4 3 v( a) = a (35 84a + 70a 0a ), a [ 0,] (MISITI et al., 996). (3.3) φ (t). Deste modo, a função wavelet ψ (t) pode ser enontrada failmente através de / t / π 3 π 4π (π ) e sin v t, se ω π 3 3 t / π 3 4π 8π ψ ( t) = (π ) / e os v ω, se ω (3.4) 4π 3 3 0, aso ontrário A Figura 3.4 ilustra as equações (3.) e (3.4) respetivamente. Figura 3. 4: (a) Função esala de Meyer; (b) Função wavelet de Meyer. 3. Transformada Wavelet (TW) A Transformada Wavelet é uma ferramenta onheida pela araterístia de deompor funções e de reonstruí-las, apresentando uma resolução razoavelmente boa. Por exemplo, a reonstrução de um sinal que apresente oefiientes om valores próximos de zero requer um trabalho árduo além de um alto usto omputaional.
Capítulo 3: Teoria Wavelet 39 São apresentadas as duas formas da transformada, a ontínua e a disreta. A transformada wavelet ontínua é de grande interesse teório, prinipalmente para a derivação e ompreensão das propriedades matemátias das funções wavelets. Porém a sua disretização é neessária para apliações prátias, por exemplo, ao desrever um sinal unidimensional em uma representação bidimensional ou quando se tem a neessidade de se inverter a operação. O problema dos parâmetros a e b variarem ontinuamente é resolvido om a operação de disretização, surgindo, desta maneira, a transformada wavelet disreta, om a finalidade de propor mais efiiênia ao trabalho. 3.. Transformada Wavelet Contínua (TWC) De aordo om Young (YOUNG, 995), a TWC pode ser onsiderada omo uma operação de ruptura, ou seja, a transformada wavelet quebra uma função em muitos pedaços e estes pedaços são representados por oefiientes, hamados de oefiientes wavelet definidas na equação (3.5). Na deomposição de uma função surge um onjunto de funções espeiais hamadas wavelets. As wavelets são funções resultantes da atuação simultânea de duas operações (esalamento e translação) numa únia função, denominada wavelet mãe. 3... Função Wavelet Mãe Matematiamente, uma função ψ (t) para ser onsiderada uma wavelet mãe, deve pertener ao espaço L ( R ) e satisfazer a ondição de admissibilidade. Sem muito rigor matemátio, uma wavelet mãe é uma função que osila, tem energia finita e tem valor médio nulo. As funções básias assoiadas são do tipo: j j ψ i ( t) =ψ ( t i). (3.5) 3.. Transformada Wavelet Contínua Inversa (TWCI) A TWCI segue o raioínio de reonstruir uma função x(t) deomposta pela transformada wavelet ontínua através das wavelets filhas, ombinando os oefiientes wavelets. Quanto melhor a união maior será o valor do oefiiente wavelet. O onjunto de todos os oefiientes wavelet onstitui a representação da função x(t) no domínio wavelet.
Capítulo 3: Teoria Wavelet 40 Assim, o sinal x(t) deomposto usando uma wavelet ψ (t) que satisfaz a ondição de admissibilidade, será reonstruído através da TWCI onforme a equação (3.8). x( t) {( W x) ( a, b) } t b dadb + + = ψ ψ Cψ a a a Observa-se da equação (3.0) que tem o mesmo núleo: na TWC e em sua inversa. t b a ψ a (3.8) é utilizado De aordo om Daubehies (DAUBECHIES, 998), a equação (3.0) pode ser vista de dois modos diferentes: Modo de reonstrução de x(t), desde que sua transformada wavelet inversa seja onheida; Modo de representação de x(t), omo uma superposição de wavelets filhas. 3..3 Transformada Wavelet Disreta (TWD) Na TWC, mais espeifiamente na equação (3.8), depara-se om a presença de redundânias, pois os parâmetros a e b variam ontinuamente. Esse problema é ontornado por meio de disretização de a e b. Este proesso origina a transformada wavelet disreta (TWD). De aordo om a literatura (GOMES; VELHO; GOLDSTEIN, 997), uma disretização típia é do tipo: m a a0 m = e b= na 0 b0 (3.9) om m e n Z, a0 > e b 0. 0 Deste modo, tem-se a transformada wavelet disreta: m + t na b W x m n x() t dt m m a a 0 0 ( ) (, ) = ψ 0 ψ (3.0) Destas equações observa-se: 0 A TWD é definida apenas para valores de esalas positivos ( a > 0 ); m O passo da translação é proporional à esala ( b= na 0 b0 );
Capítulo 3: Teoria Wavelet 4 A TWD produz um onjunto finito de oefiientes wavelet ( W ψ x)( m, n) ; O proessamento é realizado sobre tempo ontínuo. 3..4 Transformada Wavelet Disreta Inversa (TWDI) No aso ontínuo, dada uma função wavelet mãe, uma função qualquer x(t) pode sempre ser reuperada do seu onjunto de oefiientes wavelet ontínuos. No aso disreto, entretanto, o proesso de reonstrução pode não onvergir para a função x(t). A reonstrução depende da esolha da wavelet mãe e do proesso de disretização realizado. De aordo om Daubehies (DAUBECHIES, 99), a reonstrução ideal seria aquela que oorresse om o máximo de efiiênia e om um mínimo de perda de informação. Neste sentido, a função x(t) pode ser reonstruída a partir dos seus oefiientes wavelet disretos om uma aproximação razoavelmente boa, através da equação (3.). x( t) m= 0 n= 0 (( W x)( m, n))( ψ m, n ( t)) ψ (3.) Sendo uma onstante que depende do proesso de disretização e da wavelet mãe utilizada. A seguir, tem-se um típio modelo TWD apliada em um sinal unidimensional através da transformada de Haar, que onsiste em alular a média e a diferença entre os elementos de um vetor dois a dois (STOLLNITS; DEROSE; SALESIN, 996). onde: Considere S n um vetor om n elementos representantes do sinal. S n = ( s, s,..., sn ) (3.) ( s + s ) ( s3 + s4 ) ( sn + sn ) M n / = ( m, m,..., mn / ) =,,..., (3.3) ( s s) ( s3 s4) ( sn sn) D n / = ( d, d,..., dn / ) =,,..., (3.4) sendo: n: número de elementos pertenentes ao vetor;
Capítulo 3: Teoria Wavelet 4 M: vetor que representa as médias ( m, m,..., mn / ) aluladas; D: vetor que representa as diferenças ( d, d,..., dn/ ) aluladas. A transformada inversa de Haar realula os valores originais a partir da média e das diferenças obtidas da seguinte maneira: S ' n = ( m + d, m d, m + d, m d,..., mn / + d n /, mn / d n / ) (3.5) As equações (3.3), (3.4) e (3.5), respetivamente representam o omportamento da wavelet de Haar na deomposição e reonstrução simultaneamente de um sinal. Um tópio muito importante, que envolve a transformada wavelet para o proessamento de imagens, é a Análise de Multirresolução (AMR). A análise de Multirresolução permite analisar uma imagem em diferentes resoluções além de ser versátil para apliações em várias outras áreas tais omo sinais de áudio e vídeo, sinais biomédios, medidas industriais, análise de dados, dentre outros. É através da análise de multirresolução que se pode omprimir ou remover ruídos, reonstruir dados perdidos, reonheer padrões, entre outras apliações. 3.3 Análise de Multirresolução (AMR) Mallat (986) onebeu uma análise de multirresolução, estabeleendo uma seqüênia de subespaços enaixantes V L ( R j ), sendo: j: número inteiro ( j Ζ ); L ( R) : espaço das funções de quadrado integrável a Lebesgue; V j : seqüênia de espaços enaixantes; ou seja:... V... V 0 V V (3.6) Tem-se o omplemento ortogonal de V j omo subonjunto de V j+, denotado por W j. V = V W j+ j j (3.7) : india a soma direta dos subespaços ortogonais.
Capítulo 3: Teoria Wavelet 43 Os subespaços W j ontêm os detalhes neessários para onstruir V j+ a partir de V j. V j = W j W j W j... (3.8) A ada estágio de deomposição: W j = V j V j+ (3.9) no domínio da freqüênia, tem-se: W j : omponentes de alta freqüênia de j+ V ; V j : omponentes de baixa freqüênia de j+ V. 990). Estes espaços têm as seguintes propriedades desritas a seguir (DAUBECHIES, (M) V = j V j+ W j+ : existe um subespaço omplementar W j em que os detalhes são armazenados. (M) V j+ V j : são subespaços enaixados omo itado anteriormente. (M3) V j j Ζ = L ( R ) : esta seqüênia ontém a seguinte propriedade: Toda função f L ( R) pode ser representada por suas projeções. {} (M4) V j = 0 : a propriedade (M4) equivale dizer, que as projeções têm energia j Ζ arbitrariamente pequena ao passo quando j aumenta, fazendo om que os detalhes sejam ada vez mais evidentes, nível por nível, em ordem resente, onforme j. (M5) x t V x t V ( ) j + ( ) j : a função esalar gera um subespaço de referênia e apliando a propriedade (M5) suessivamente onluí-se, que todos os subespaços V j também são gerados pela função esala, assim omo os subespaços gerados pela função wavelet. W j também são
Capítulo 3: Teoria Wavelet 44 A projeção ortogonal de uma função f L ( R ) em V j é obtida através da função de esala, que por sua vez define um filtro passa - baixa. A freqüênia de orte desse filtro é indiada por α j. A Figura 3.5 explia omo são representados esses ortes e quais os espaços riados por eles (KOSLOSKI, 000) Figura 3. 5: Bandas de freqüênias entre V j e V j+. Pode-se observar que o espaço V ontido em [ α, ] j j α j é obtido a partir do espaço V j+ que está ontido em α j, α j, e W j+ que está ontido em α j, α j. Quando se passa de V j para j+ V a esala aumenta de j para j+ e a banda de freqüênia diminui para um intervalo α j, α j. O que signifia, do ponto de vista de proessamento de imagens, melhorar a visão em ralação à imagem, ou seja, dar um zoom na imagem. A seguir serão abordados os prinipais tópios que nos permite ompreender omo a análise de multiressolução é apliada usando a transformada wavelet em proessamento de imagens. 3.4 Transformada Wavelet Disreta Bidimensional (TWD Bidimensional) Existem duas formas omuns nas quais as wavelets podem ser usadas para transformar os valores dos pixels dentro de uma imagem. Cada uma destas transformações é uma generalização bidimensional da TWD unidimensional.
Capítulo 3: Teoria Wavelet 45 A primeira transformada é hamada de deomposição padrão. Para obter a deomposição padrão de uma imagem, aplia-se primeiro a TWD unidimensional a ada linha de valores de pixels. Esta operação resulta em um valor médio para ada linha. Feito isto, tratam-se estas linhas transformadas omo se elas fossem uma imagem, e aplia-se a TWD unidimensional para ada oluna. Os valores resultantes são todos os oefiientes de detalhes, exeto por um únio oefiiente que representa a média geral. Figura 3. 6: Deomposição padrão de uma imagem. O segundo tipo de TWD bidimensional, hamado de deomposição não-padrão. São realizadas operações de deomposição alternadas entre linhas e olunas. Primeiro aplia-se o álulo da média nos pares horizontais e faz-se a diferença dos valores dos pixels em ada linha da matriz que representa a imagem. Depois, aplia-se o álulo da média nos pares vertiais e enontra-se a diferença para a oluna do resultado. A transformação é ompletada, repetindo o proesso reursivamente apenas no quadrante ontendo as médias em ambas as direções.
Capítulo 3: Teoria Wavelet 46 Figura 3. 7: Deomposição não padrão de uma imagem. 3.5 Transformada Wavelet: Uma interpretação do ponto de vista de proessamento de imagens A análise de multiressolução também onheida omo Algoritmo Piramidal de Mallat, é um método proposto para implementar a transformada wavelet disreta. Este método refere-se ao proedimento de se obter ''aproximações'' e ''detalhes'' de uma dada imagem. Uma aproximação é uma representação de baixa freqüênia da imagem original, enquanto que um detalhe é a diferença entre duas aproximações suessivas da imagem original. Uma aproximação mantém a tendênia geral da imagem original enquanto que um detalhe mostra os omponentes de alta freqüênia da mesma (SANTIAGO; PEDERIVA, 006). O método proposto por Mallat aborda ténias de filtragem. A filtragem é feita utilizando matrizes denominadas másaras, as quais são apliadas sobre a imagem, om entro na posição (i,j), sendo i o número de uma dada linha e j o número de uma dada oluna sobre a imagem, o valor do pixel na posição (i,j) é substituído por um novo valor que depende dos valores dos pixels vizinhos e dos pesos da másara, gerando uma nova imagem om a eliminação das linhas e olunas iniiais e finais da imagem original, assim algumas omponentes de freqüênia são eliminadas e outras não.
Capítulo 3: Teoria Wavelet 47 Os filtros mais utilizados em proessamento de imagens podem ser onsiderados om um divisor da imagem em duas partes iguais: passa - baixa H (t) e passa - alta G (t). 3.5. Filtro passa-baixa O efeito visual de um filtro passa-baixa H (t) numa imagem é o de suavização da imagem e a redução do número de níveis de inza. As altas freqüênias, que orrespondem às transições abruptas são atenuadas. A suavização tende a minimizar ruídos e apresenta o efeito de borramento da imagem. Uma representação de um filtro passa-baixa é a matriz quadrada definida por: d d n M j d d d d M j K K O L d i di M j di i j onde: n: número de elementos da matriz; j d i : pixels; i: linhas; j: olunas. Algumas janelas que efetuam uma filtragem passa-baixa, numa vizinhança de dimensão 3x3, 5x5 ou 7x7 estão indiadas a seguir. Estes filtros são onheidos omo filtros de média, pois obtém a média entre pixels vizinhos.