TORÇÃO EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 1 TORÇÃO EM VIGS DE CONCRETO RMDO 1. INTRODUÇÃO Um conjugado que tende a torcer uma peça fazendo-a girar sobre o seu próprio eixo é denominado momento de torção, momento torçor ou torque. O caso mais comum de torção ocorre em eixos de transmissão. torção simples, torção uniforme ou torção pura (não atuação simultânea com M e V) ocorre apenas raramente na prática. Geralmente a torção ocorre combinada com momento fletor e força cortante, mesmo que esses esforços sejam causados apenas pelo peso próprio do elemento estrutural. De modo aproximado, os princípios de dimensionamento para a torção simples são aplicados às vigas com atuação simultânea de momento fletor e força cortante (LEONHRDT & MÖNNIG, 1982). Nas estruturas de concreto, a ligação monolítica entre vigas e lajes e entre vigas com vigas de apoio origina momentos de torção, que podem ser desprezados por não serem essenciais ao equilíbrio dos elementos. Entretanto, no caso da chamada torção de equilíbrio, como se verá adiante, a consideração dos momentos torçores é imprescindível para garantir o equilíbrio do elemento. Desde o início do século passado numerosos estudos experimentais já foram realizados sobre vigas de concreto armado sob solicitação de torção simples. Como uma conseqüência desses estudos, as vigas serão dimensionadas simplificadamente à torção considerando-se a seção vazada (oca) com parede fina, segundo as equações clássicas da Resistência dos Materiais, formuladas por BREDT. Semelhantemente ao dimensionamento das vigas ao esforço cortante será feita também a analogia com uma treliça, agora espacial. Treliça Generalizada, com ângulo θ de inclinação das diagonais comprimidas variável, é o modelo atualmente mais aceito internacionalmente. Como feito no dimensionamento para outros tipos de solicitação, as tensões de compressão serão absorvidas pelo concreto e as tensões de tração pelo aço, na forma de duas diferentes armaduras, uma longitudinal e outra transversal (estribos). análise da torção em perfis abertos de paredes finas, com aplicação da torção de Vlassov ou Flexo-Torção, não é apresentada nesta apostila por não fazer parte do programa da disciplina na graduação em engenharia.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 2 2. CSOS MIS COMUNS Um caso comum de torção nas vigas de concreto ocorre quando existe uma distância entre a linha de ação da carga e o eixo longitudinal da viga, como mostrado nas Figuras 1 e 2. Na Figura 1, a viga B, estando obrigatoriamente engastada na extremidade B da viga BC, aplica nesta um momento de torção, que deve ser obrigatoriamente considerado no equilíbrio da viga BC. Na viga mostrada na Figura 2 a torção existirá se as cargas F 1 e F 2 forem diferentes. Essa situação pode ocorrer durante a fase de construção ou mesmo quando atuarem os carregamentos permanentes e variáveis, se estes forem diferentes nas estruturas que se apóiam na viga pré-moldada. C F 1 F 2 F B Figura 1 Viga em balanço com carregamento excêntrico. Figura 2 Viga do tipo pré-moldada para apoio de estrutura de piso ou de cobertura. Talvez o caso mais comum de torção ocorra com lajes em balanço, engastadas em vigas de apoio, como por exemplo lajes (marquises) para proteção de porta de entrada de barracões, lojas, galpões, etc. (Figuras 3 e 4). O fato da laje em balanço não ter continuidade com outras lajes internas à construção faz com que a laje deva estar obrigatoriamente engastada na viga de apoio, de modo que a flexão na laje passa a ser torção na viga. torção na viga torna-se flexão no pilar, devendo ser considerada no seu dimensionamento.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 3 Figura 3 Torção em viga devido a engastamento de laje em balanço. C B C B B Figura 4 Viga contínua sob torção por efeito de laje em balanço. Um outro caso de torção em viga, de certa forma também comum nas construções, ocorre em vigas com mudança de direção, como mostrado na Figura 5. No ponto de mudança de direção um tramo aplica sobre o outro um momento de torção. torção também ocorre em vigas curvas, com ou sem mudança de direção, como mostrado na Figura 6. Se a torção for necessária ao equilíbrio da viga e não for apropriadamente considerada no seu dimensionamento, intensa fissuração pode se desenvolver, prejudicando a segurança e a estética da construção.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 4 Figura 5 Torção em viga devido à mudança de direção. Figura 6 Vigas curvas e com mudança de direção são solicitação por torção. 3. CSOS TÍPICOS PR O MOMENTO DE TORÇÃO presentam-se nas Figuras 7 a 11 os valores dos momentos de torção para alguns casos mais comuns na prática das estruturas. m T = - m T Figura 7 Torção concentrada na extremidade de viga em balanço.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 5 m m a a l T = m T T = - m Figura 8 Torção aplicada à distância a das extremidades de viga biengastada. m l m l T = 2 T Figura 9 Torção uniformemente distribuída em viga biengastada. m l/2 l/2 l T = m/2 T T = m/2 Figura 10 Torção concentrada no centro de viga biengastada.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 6 F a b Mt= F. e l B e T = T Figura 11 Torção concentrada em viga biengastada. M t b l T B = T B M t a l 4. TORÇÃO DE EQUILÍBRIO E DE COMPTIBILIDDE torção nas estruturas pode ser dividida em duas categorias: torção de equilíbrio e torção de compatibilidade. Na torção de equilíbrio, o momento de torção deve ser obrigatoriamente considerado, pois ele é necessário para o equilíbrio da estrutura. s estruturas mostradas nas Figuras 1 a 6 encontramse solicitadas por torção de equilíbrio, devendo ser obrigatoriamente considerada. torção de compatibilidade ocorre comumente nos sistemas estruturais, como por exemplo aquele mostrado na Figura 12, com uma laje engastada na viga de borda. o tentar girar a laje aplica um momento de torção (m T ) na viga, que tende a girar também, sendo impedida pela rigidez à flexão dos pilares. Surgem então momentos torçores solicitantes na viga e momentos fletores nos pilares. Quando a rigidez da viga à torção é pequena comparada à sua rigidez à flexão, a viga fissura e gira, permitindo o giro da laje também. Ocorre então uma compatibilização entre as deformações na viga e na laje, e como conseqüência os momentos torçores na viga diminuem bastante, podendo ser desprezados.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 7 T m (Viga de borda) m (Laje) m (Laje) E (Laje) Momento de dimensionamento da laje T (Viga de bordo) m = m T E (Laje) Mf (Pilar) T M f Figura 12 Torção de compatibilidade de laje com a viga de apoio. (LEONHRDT & MÖNNIG, 1982). Um outro exemplo de torção de compatibilidade é aquele mostrado nas Figuras 13 e 14. Como se observa na Figura 14, a viga B apóia-se nas vigas CD e EF. Figura 13 Estrutura real. Figura 15 mostra o caso das vigas de apoio CD e EF com rigidez à torção elevada. Neste caso não existe total liberdade de rotação para a viga B nas suas extremidades, o que faz surgir os momentos de engastamento M e M B, que, por outro lado, passam a ser momentos torçores concentrados e aplicados em e B.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 8 Figura 14 Esquema estrutural (SÜSSEKIND, 1985). Figura 15 Caso das vigas de apoio com elevada rigidez à torção. intensidade dos momentos fletores e torçores depende das rigidezes relativas das vigas, ou seja, da rigidez à torção das vigas CD e EF e da rigidez à flexão da viga B. Se a rigidez à torção das vigas CD e EF for zero, a viga B fica livre para girar em e B, levando a zero os momentos

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 9 fletores M e M B, e conseqüentemente também os momentos torçores (Figura 16). Nesta análise percebe-se que a torção é conseqüência da compatibilidade de deformações das vigas, daí a chamada torção de compatibilidade. Neste caso há o equilíbrio, embora sem se considerar a ligação monolítica da viga B com as vigas CD e EF. Por outro lado, sob o efeito do momento de torção a viga irá fissurar, o que acarreta uma significativa diminuição na rigidez da viga à torção. Desse modo, as vigas CD e EF, ao fissurarem por efeito da torção proveniente da viga B, têm sua rigidez à torção diminuída, diminuindo por conseqüência os momentos M e T, o que leva ao aumento do momento fletor positivo da viga B. Figura 16 Caso de pequena rigidez à torção. Pode-se assim resumir que, a torção nas vigas deve ser considerada quando for necessária para o equilíbrio (torção de equilíbrio), e pode ser desconsiderada quando for de compatibilidade. Considerando-se o pavimento de um edifício constituído por lajes e vigas, além da torção de compatibilidade existente entre as vigas, a ligação monolítica entre as lajes e as vigas, como mostrado na Figura 12, também ocasiona o surgimento de momentos de torção nas vigas, de

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 10 compatibilidade, não imprescindível ao equilíbrio do sistema, podendo assim ser desprezado também. Somado a isso, por imposição da arquitetura a largura das vigas varia normalmente de 10 a 20 cm, e para alturas correntes para as vigas (comumente até 60 cm), a rigidez à torção não é significativa, o que leva a valores baixos para a torção de compatibilidade, justificando a sua desconsideração. Outra análise que se faz é que, se as vigas CD e EF forem livres para girar nas extremidades, T será zero, ou seja, não existirá o momento de torção. Ou, por outro lado, e o que é mais comum na prática das estruturas, devido à ligação monolítica das vigas CD e EF com os pilares de apoio, se as vigas não podem girar e a rigidez à torção das vigas CD e EF é muito maior que a rigidez à flexão da viga B, o momento fletor M se aproxima do momento fletor de engastamento. Portanto, os momentos T e M resultam do giro da viga B em e B, que deve ser compatível com o ângulo de torção das vigas CD e EF em e B. 5. TORÇÃO SIMPLES (TORÇÃO DE ST. VENNT) Numa barra de seção circular, como a indicada na Figura 17, submetida a momento de torção, com empenamento permitido (torção livre), surgem tensões principais inclinadas de 45 e 135 com o eixo longitudinal da seção. s trajetórias das tensões principais desenvolvem-se segundo uma curvatura helicoidal, em torno da barra. trajetória das tensões principais de tração ocorre na direção da rotação e a compressão na direção contrária, ao longo de toda o perímetro da seção. Figura 17 Trajetórias das tensões principais na seção circular. Se considerado um estado de tensão segundo a direção dos eixos longitudinal e transversal da seção, o momento de torção provoca o surgimento de tensões de cisalhamento em planos

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 11 perpendiculares ao eixo da barra circular e em planos longitudinais, simultaneamente, como mostrado nas Figuras 18, 19 e 20. τ τ Figura 18 Tensões de cisalhamento numa barra de seção circular sob torção. a) b) c) Figura 19 Tensões devidas à torção: a) tensões de cisalhamento; b) tensões principais de tração e compressão; c) trajetória helicoidal das fissuras. (MCGREGOR, 1997).

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 12 Figura 20 Tensões de cisalhamento e tensões principais na seção circular. distribuição das tensões de cisalhamento em seções transversais circulares e quadradas é como indicado na Figura 21. tensão de cisalhamento é máxima nas superfícies da seção e zero nos vértices e no eixo que passa pelo centro de gravidade. Figura 21 Variação da tensão de cisalhamento na seção transversal. Por questão de simplicidade, as vigas de concreto armado sob momento de torção são dimensionadas como se fossem ocas e de parede fina. o desprezar a parte correspondente à área interna da seção o erro cometido não é significativo nem antieconômico, porque a espessura da casca ou parede é determinada de forma que represente uma seção com grande percentual de resistência ao momento de torção. Este procedimento resulta num acréscimo de segurança que não é excessivo, sendo, portanto, pouco anti-econômico.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 13 6. TORÇÃO SIMPLES PLICD SEÇÕES VZDS DE PREDE FIN de torção T. Considere a seção vazada mostrada na Figura 22, com espessura t, submetida ao momento I X ' T LINH MÉDI O x s s x d + ds s t dt + ds s s r B d ds T -I X t Figura 22 Seção vazada com parede fina (SÁNCHEZ, 2001). Do equilíbrio estático da seção tem-se a igualdade da resultante das tensões τ com o momento de torção T que as originou: ( t ds ) T = τ r (Eq. 1) O produto τ. t (fluxo de cisalhamento ou de torção) é constante, e o produto ds. r é o dobro da área do triângulo OB (d. e ), vindo: T = 2 τ t d e (Eq. 2) Da Eq. 2 surge a tensão de cisalhamento em qualquer ponto da parede fina, devida ao momento de torção: T τ = (Eq. 3) 2 t e com e sendo a área interna compreendida pelo eixo da parede fina, como indicada na Figura 23.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 14 t e Figura 23 Área e da seção vazada. 7. COMPORTMENTO DS VIGS DE CONCRETO RMDO SUBMETIDS À TORÇÃO SIMPLES LEONHRDT & MÖNNIG (1982) descrevem os resultados de ensaios realizados por MÖRSCH, entre 1904 e 1921. Foram estudados cilindros ocos à torção simples, sem armadura, com armadura longitudinal, com armadura transversal, com ambas as armaduras e com armadura em forma de hélice, como mostrado na Figura 24. Os ensaios confirmaram que nas seções de concreto armado as tensões principais de tração e de compressão são inclinadas de 45 e com traçado helicoidal. pós o surgimento das fissuras de torção que se desenvolvem em forma de hélice, apenas uma casca externa e com pequena espessura colabora na resistência da seção à torção. Isso ficou evidenciado em ensaios de seções ocas ou cheias com armaduras idênticas, que apresentaram as mesmas deformações e tensões nas armaduras. φ 10 φ 10 φ 10 10,8 10,8 φ 10 10,8 10,8 10,8 10,8 φ 10 34 34 34 34 40 10,7 40 40 10,7 40 Figura 24 Seções estudadas por MÖRSCH (LEONHRDT & MÖNNIG, 1982).

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 15 Tabela 1 apresenta os resultados experimentais obtidos, para o momento fletor de fissuração (momento fletor correspondente à primeira fissura) e para o momento fletor de ruptura. Tabela 1 Momentos fletores de primeira fissura e de ruptura (MPm) de seções ocas ensaiadas por MÖRSCH. Seção Momento Fletor de Primeira fissura Momento Fletor de Ruptura Sem armaduras 2,33 2,33 Com armadura longitudinal 2,33 2,38 Com armadura transversal 2,50 2,50 Com armaduras longitudinal e 2,47 3,78 transversal Com armadura helicoidal 2,70 > 7,00 * * máquina de ensaio não levou a seção à ruptura Os ensaios demonstraram que: na seção oca sem armadura as fissuras são inclinadas a 45 e em forma de hélice; com somente uma armadura, seja longitudinal ou transversal, o aumento de resistência é muito pequeno e desprezível; com duas armaduras a resistência aumentou e, com armadura helicoidal, segundo a trajetória das tensões principais de tração, o aumento de resistência foi muito efetivo. Os valores contidos na Tabela 1 demonstram as observações. Fissuras inclinadas podem se desenvolver quando a tensão principal de tração alcança a resistência do concreto à tração, levando uma viga não armada à ruptura. Se a viga for armada com barras longitudinais e estribos fechados transversais, à viga pode resistir a um aumento de carga após a fissuração inicial. 8. NLOGI D TRELIÇ ESPCIL PR TORÇÃO SIMPLES Existem hoje basicamente duas teorias muito diferentes com o intuito de explicar o comportamento de uma viga sob torção. Uma delas é chamada de Flexão Esconsa (skew bending theory), e foi desenvolvida por LESSIG (1959) e atualizada por HSU (1968). segunda teoria baseia-se na analogia da seção vazada (Teoria de Bredt) com uma treliça espacial, chamada de Treliça Generalizada. teoria foi inicialmente elaborada por RUSCH em 1929, estando em uso por diversas normas até os dias de hoje. Como apresentado no item anterior os ensaios experimentais realizados mostraram que as seções cheias de concreto podem ser calculadas como seções vazadas de paredes finas. Figura 25 mostra o modelo de uma seção cheia fissurada, sob torção simples. s tensões de compressão são resistidas pelo concreto da casca e as tensões de tração são resistidas pelo conjunto armadura longitudinal e armadura transversal (estribos).

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 16 Fissuras R s,e C d C d C d R sl C d C d C d R sl C d C d C d R sl R s,e R sl Figura 25 Modelo resistente para a torção simples em viga de concreto fissurada. (LEONHRDT & MÖNNIG, 1982). treliça clássica inicialmente concebida admitia que a viga apresentasse fissuras inclinadas de 45 com o eixo longitudinal (Figura 26). Os banzos paralelos representam a armadura longitudinal, as diagonais comprimidas desenvolvem-se em hélice, com inclinação de 45, representando as bielas de compressão e os montantes verticais e horizontais representam estribos fechados a 90 com o eixo longitudinal da viga. Esforços solicitantes no corte ll - ll C d /sen 45 C d /cos 45 M C d /sen 45 B C d /cos 45 ll Esforços nas barras do nó B R sl estr m a = b a D 45 ll C d 45 R s,e R sl R s,e C d 45 b m b m M T Barras tracionadas Diagonais comprimidas Figura 26 Treliça espacial para viga com torção simples com armadura longitudinal e transversal (LEONHRDT & MÖNNIG, 1982).

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 17 9. TORÇÃO COMBIND COM MOMENTO FLETOR E FORÇ CORTNTE Figura 27 mostra as trajetórias das fissuras numa viga de concreto de seção retangular. s fissuras apresentam-se com trajetórias inclinadas de aproximadamente 45 com o eixo longitudinal da viga. T Figura 27 Trajetórias das fissuras na viga vazada de seção retangular. Quando o valor do momento fletor é elevado comparativamente ao momento de torção, a zona comprimida pelo momento fletor fica isenta de fissuras, como mostrado na Figura 28. T M V Figura 28 Modelo para vigas com altos momentos fletores (LEONHRDT & MÖNNIG, 1982). No caso da força cortante elevada, uma face vertical deverá ficar isenta de fissuras, sendo aquela onde as tensões de cisalhamento da torção e do esforço cortante têm sentidos contrários. Isso fica demonstrado nos modelos de treliça adotados, onde as diagonais comprimidas da treliça para o cortante opõem-se às diagonais tracionadas da treliça espacial da torção. s fissuras nesses casos apresentam-se contínuas, em forma de hélice e em três das quatro faces da viga. Numa face, onde as tensões de compressão superam a de tração, não surgem fissuras (Figura 29).

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 18 T M V Figura 29 Modelo para vigas com altas forças cortantes (LEONHRDT & MÖNNIG, 1982). 10. FORMS DE RUPTUR POR TORÇÃO pós a fissuração, a ruptura de uma viga sob torção pura pode ocorrer de alguns modos: escoamento dos estribos, da armadura longitudinal, ou escoamento de ambas as armaduras. No caso de vigas superarmadas à torção, o concreto comprimido compreendido entre as fissuras inclinadas pode esmagar pelo efeito das tensões principais de compressão, antes do escoamento das armaduras. Outros modos de ruptura podem também ocorrer, estando descritos a seguir. 10.1 Ruptura por Tração ruptura brusca também pode ocorrer por efeito de torção, após o surgimento das primeiras fissuras. ruptura brusca pode ser evitada pela colocação de uma armadura mínima, para resistir às tensões de tração por torção. Segundo LEONHRDT & MÖNNIG (1982) sendo as armaduras longitudinal e transversal diferentes, a menor armadura determinará o tipo de ruptura. Uma pequena diferença nas armaduras, pode, no entanto, ser compensada por uma redistribuição de esforços. o contrário do esforço cortante, onde a inclinação do banzo comprimido pode diminuir a tração na alma da viga, na torção essa diminuição não pode ocorrer, dado que na analogia de treliça espacial não existe banzo comprimido inclinado. 10.2 Ruptura por Compressão Com armaduras colocadas longitudinalmente e transversalmente pode surgir forte empenamento das faces laterais, ocasionando tensões adicionais ao longo das bielas comprimidas, podendo ocorrer o seu esmagamento (Figura 30).

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 19 Compressão Tração C d T c 45 t T R c R s Superfície de dupla curvatura Figura 30 Empenamento da viga originando tensões adicionais de flexão. (LEONHRDT & MÖNNIG, 1982). 10.3 Ruptura dos Cantos mudança de direção das tensões de compressão nos cantos, como indicado na Figura 31, origina uma força que pode levar ao rompimento dos cantos da viga. Os estribos e as barras longitudinais dos cantos contribuem para evitar essa forma de ruptura. Vigas com tensões de cisalhamento da torção muito elevadas devem ter o espaçamento dos estribos limitados a 10 cm para evitar essa forma de ruptura. Engastamento à torção T R c U R c U R c U R c Rompimento do canto U Estribo R c R c Figura 31 Possível ruptura do canto devida à mudança de direção das diagonais comprimidas. (LEONHRDT & MÖNNIG, 1982).

lcotg lcotg UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 20 10.4 Ruptura da ncoragem Esta forma de ruptura pode ocorrer por insuficiência da ancoragem do estribo, levando ao seu escorregamento, e pelo deslizamento das barras longitudinais. O cuidado na ancoragem das armaduras pode evitar essa forma de ruptura. 11. DEFINIÇÃO DS FORÇS E TENSÕES N TRELIÇ GENERLIZD À TORÇÃO SIMPLES Nas décadas de 60 e 70 a treliça clássica foi generalizada por LMPERT, THÜRLIMNN e outros, com a admissão de ângulos variáveis (θ) para a inclinação das bielas (Figura 32). O modelo de treliça generalizada é o atualmente adotado pelas principais normas internacionais, como CI 318/95 e MC-90 do CEB (1990). NBR 6118/2004 também considera o modelo de treliça generalizada para o dimensionamento de vigas de concreto armado à torção, em concordância com a treliça plana generalizada concebida para a análise da força cortante. Estribo B Barras Longitudinais Cd R ld NÓ Rwd Rwd Cd R ld Bielas Comprimidas C l cotg D = inclinação da biela l l Y Z X PLNO BCD C dsen l C d sen C d sen lcotg y y C d sen l Figura 32 Treliça espacial generalizada (LIM et al. 2000).

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 21 11.1 Bielas de Concreto Considerando-se o plano BCD da treliça espacial generalizada indicada na Figura 32 e que os esforços internos resistentes devem igualar o esforço externo (T d ), tem-se: Td = 2 Cd sen θ l (Eq. 4) força nas bielas comprimidas surge da Eq. 4: C d Td = 2 l sen θ (Eq. 5) com: C d = força na biela comprimida; T d = momento de torção de cálculo; θ = ângulo de inclinação da biela; l = distância entre os banzos. força de compressão C d nas bielas atua sobre uma seção transversal de área: y. t = l cos θ. t (Eq. 6) com: t = espessura da casca da seção oca; y = largura de influência da diagonal inclinada da treliça. ssim, substituindo a força C d da Eq. 5 por σ cd y t = σ cd na biela (σcd) assume o valor: l cos θ. t, a tensão de compressão σ cd l cosθ. t = Td 2 l sen θ σ cd = T d ( l cosθ. t) 2 l sen θ σ cd = l 2 T d t sen 2 θ (Eq. 7)

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 22 2 como l = : e Td σcd = (Eq. 8) t sen 2 θ e Eq. 3 pode ser escrita como: T d = τ t 2 e t. Da Eq. 3 reescrita na Eq. 8 fica: 2 τ σ = td cd (Eq. 9) sen 2 θ 11.2 rmadura longitudinal Fazendo o equilíbrio de forças na direção x, tem-se: 4 R ld = 4 Cd cosθ (Eq. 10) com R l d = resultante em um banzo longitudinal. Como 4 R l d = s l f ywd, substituindo na Eq. 10 fica: sl f ywd = 4 Cd cos θ (Eq. 11) Substituindo a Eq. 5 na Eq. 11 fica: sl f ywd = Td 4 θ 2 l sen θ cos Isolando a armadura longitudinal: 2 Td sl = cot g θ (Eq. 12) l f ywd Com o objetivo de evitar fissuração entre os vértices da seção vazada, a armadura deve ser distribuída no perímetro u = 4 l, de modo que a taxa de armadura longitudinal por comprimento do eixo médio da seção vazada é: s u l 2 Td 2 Td = cot g θ = cot g θ l f u l f 4 l ywd ywd

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 23 u sl Td = cot g θ 2 f e ywd (Eq. 13) ou com: sl Td = (Eq. 14) u 2 f tg θ e ywd = área total da armadura longitudinal; sl e = área interna delimitada pelo eixo da casca (ver Figura 23); u = perímetro do contorno da área e. 11.3 Estribos Fazendo o equilíbrio do nó na direção do eixo Z, tem-se: R wd = C d sen θ (Eq. 15) Substituindo a Eq. 5 na Eq. 15 tem-se: R Td Td = sen θ (Eq. 16) 2 l sen θ 2 l wd = Sendo s o espaçamento dos estribos e l cot g θ o comprimento de influência das barras transversais da treliça que representam os estribos (ver Figura 32), tem-se: R wd cot g θ = l s s,90 f ywd (Eq. 17) Igualando as Eq. 16 e 17 fica: l cot g s θ s,90 f ywd = Td 2 l Isolando a armadura transversal relativamente ao espaçamento s dos estribos: s,90 s Td = 2 l l cot g θ f ywd s,90 s Td = tg θ 2 f e ywd (Eq. 18)

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 24 12. DIMENSIONMENTO SEGUNDO NBR 6118/2004 NO ESTDO LIMITE ÚLTIMO norma separa o estudo dos elementos lineares sujeitos à torção em Torção Uniforme e Torção em Perfis bertos de Parede Fina (item 17.5). No texto subseqüente será considerado o dimensionamento apenas dos elementos lineares sujeitos à torção uniforme. norma pressupõe um modelo resistente constituído por treliça espacial, definida a partir de um elemento estrutural de seção vazada equivalente ao elemento estrutural a dimensionar. s diagonais de compressão dessa treliça, formada por elementos de concreto, têm inclinação que pode ser arbitrada pelo projeto no intervalo de 30 θ 45. Esse modelo é o da treliça espacial generalizada, descrito anteriormente. O projetista tem a liberdade de escolher o ângulo de inclinação das bielas de compressão, que deve estar coerente com o ângulo adotado no dimensionamento à força cortante. 12.1 Geometria da Seção Resistente No caso de seções poligonais convexas cheias, a seção vazada equivalente terá a espessura da parede equivalente (h e ) dada por: h e (Eq. 19) u h e 2 c 1 (Eq. 20) onde: = área da seção cheia; u = perímetro da seção cheia; c 1 = distância entre o eixo da barra longitudinal do canto e a face lateral do elemento estrutural. NBR 6118/2004 também define como deve ser considerada a seção resistente de Seções Compostas por Retângulos e de Seções Vazadas. 12.2 Torção de Compatibilidade No caso de torção de compatibilidade a norma diz que é possível desprezá-la, desde que o elemento estrutural tenha a adequada capacidade de adaptação plástica e que todos os outros esforços sejam calculados sem considerar os efeitos por ela provocados.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 25 No caso de elementos sob torção com comprimento menor ou igual a duas vezes a altura ( 2 h), com o objetivo de possibilitar a adaptação plástica, a norma recomenda que a peça tenha a armadura mínima à torção e a força cortante de cálculo fique limitada a: com: V Sd 0,7 V Rd2 (Eq. 21) V Rd2 = 0,27 α v. f cd. b w. d. sen 2 θ (Eq. 22) 12.3 Torção de Equilíbrio Elementos sujeitos à torção de equilíbrio devem possuir armaduras longitudinal e transversal (estribos fechados e verticais), destinados a resistir aos esforços de tração. dmite-se satisfeita a resistência de um elemento estrutural à torção pura quando se verificarem simultaneamente as seguintes condições: T Sd T Rd,2 (T Rd,2 = limite dado pela resistência das diagonais comprimidas do concreto); T Sd T Rd,3 (T Rd,3 = limite definido pela parcela resistida pelos estribos normais ao eixo do elemento estrutural); T Sd T Rd,4 (T Rd,4 = limite definido pela parcela resistida pelas barras longitudinais, paralelas ao eixo do elemento estrutural). resistência proveniente das diagonais comprimidas de concreto deve ser obtida por: T Rd,2 = 0,50. α v2. f cd. e. h e. sen 2 θ (Eq. 23) com: α v2 = 1 f ck /250 e f ck em MPa; θ = ângulo de inclinação das diagonais de concreto, arbitrado no intervalo 30 θ 45 ; e = área limitada pela linha média da parede da seção vazada, real ou equivalente, incluindo a parte vazada; h e = espessura equivalente da parede da seção vazada, real ou equivalente, no ponto considerado. resistência decorrente dos estribos normais ao eixo do elemento estrutural deve atender à expressão: T Rd,3 = ( s,90 /s) f ywd 2 e cotg θ (Eq. 24)

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 26 donde, com T Sd = T Rd,3 de forma semelhante à Eq. 24, calcula-se a área da armadura transversal: s,90 s TSd = tg θ 2 f e ywd (Eq. 25) onde: f ywd é a resistência de cálculo do aço da armadura passiva, limitada a 435 MPa. Para estribo a 45 : s,45 s T Sd = (Eq. 26) 2 e f ywd resistência decorrente da armadura longitudinal deve atender à expressão: T Rd,4 = ( sl / u). 2 e f ywd tg θ (Eq. 27) donde, com T Sd = T Rd,4 de forma semelhante à Eq. 27, calcula-se a área da armadura longitudinal: sl TSd = (Eq. 28) u 2 f tg θ e ywd Para θ = 45 : T = u 2 f sl Sd (Eq. 29) e ywd onde: sl = soma das áreas das seções das barras longitudinais; u = perímetro de e. 12.4 rmadura Mínima Sempre que a torção for de equilíbrio, deve existir armadura resistente aos esforços de tração, constituída por estribos verticais e barras longitudinais distribuídas na área correspondente à parede equivalente ao longo do perímetro da seção resistente. taxa geométrica mínima de armadura é:

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 27 ρ f sw sl ct,m sl = ρsw = = 0,2 (Eq. 30) bw s bw u f ywk com: = taxa mínima de armadura longitudinal; ρ sl ρ sw = taxa mínima de armadura transversal; sw = área da seção transversal total de cada estribo, compreendendo todos os seus ramos; = área total de armadura longitudinal; sl b w = largura média da alma; s = espaçamentos dos estribos; u = perímetro da seção transversal; f ct,m = resistência média à tração do concreto. f ywk = resistência ao escoamento do aço da armadura transversal; Isolando sw /s e / u : sl s sw 0,2 f sl ct,m = bw (Eq. 31) u f ywk Fazendo o espaçamento s e o perímetro u iguais a 100 cm, a armadura mínima fica: 20 fct,m sw,mín = sl,mín = bw (cm 2 /m) (Eq. 32) f com: b w em cm; f ywk e f ct,m em kn/cm 2 ; ct,m 3 2 fck ywk f = 0,3 (MPa). 12.5 Solicitações Combinadas 12.5.1 Flexão e Torção Nos elementos estruturais submetidos à torção e à flexão simples ou composta, as verificações podem ser efetuadas separadamente para a torção e para as solicitações normais, devendo-se atender ainda: - na zona tracionada pela flexão, a armadura longitudinal de torção deve ser acrescentada à armadura longitudinal necessária para flexão; - no banzo comprimido pela flexão, a armadura longitudinal de torção pode ser reduzida em função dos esforços de compressão que atuam na espessura efetiva h e e no trecho de comprimento u correspondente à barra ou feixe de barras consideradas;

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 28 - nas seções em que a torção atua simultaneamente com solicitações normais intensas, que reduzem excessivamente a profundidade da linha neutra, particularmente em vigas de seção celular, o valor de cálculo da tensão principal de compressão não deve superar o valor 0,85 f cd. Esta tensão principal deve ser calculada como em um estado plano de tensões, a partir da tensão normal média que age no banzo comprimido de flexão e da tensão tangencial de torção, calculada por: τ Td = T d / 2 e h e (Eq. 33) 12.5.2 Torção e Força Cortante Na combinação de torção com força cortante, o projeto deve prever ângulos de inclinação das bielas de concreto (θ) coincidentes para os dois esforços. Na utilização do modelo de cálculo I para a força cortante, subentende-se θ = 45º também para a torção. resistência à compressão diagonal do concreto será satisfeita se atendida a expressão: V V Sd Rd TSd + 1 (Eq. 34) T Rd2 onde V Sd é a força cortante de cálculo e T Sd é o momento de torção de cálculo. armadura transversal total pode ser calculada pela soma das armaduras calculadas separadamente para V Sd e T Sd. 12.6 Disposições Construtivas armadura destinada a resistir aos esforços de tração provocados por torção deve ser constituída por estribos normais ao eixo da viga, combinados com barras longitudinais paralelas ao mesmo eixo. Os estribos e as barras da armadura longitudinal devem estar contidos no interior da parede fictícia da seção vazada equivalente. Para prevenir a ruptura dos cantos é necessário alojar quatro barras longitudinais nos vértices das seções retangulares. Segundo LEONHRDT & MÖNNIG (1982), para seções de grandes dimensões, é necessário distribuir a armadura longitudinal ao longo do perímetro da seção, a fim de se limitar a fissuração.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 29 12.6.1 Fissuração Diagonal da lma Usualmente não é necessário verificar a fissuração diagonal da alma de elementos estruturais de concreto. Em casos especiais em que isso for considerado importante deve-se limitar o espaçamento da armadura transversal a 15 cm. 12.6.2 Estribos Os estribos para torção devem ser fechados em todo o seu contorno, envolvendo as barras das armaduras longitudinais de tração, e com as extremidades adequadamente ancoradas por meio de ganchos em ângulo de 45º. Diâmetro do estribo: 5 mm b w < φt 10 (Eq. 35) 12 mm para barra lisa 4,2 mm para estribos formados por tela soldada O espaçamento entre os estribos deve possibilitar a passagem da agulha do vibrador, a fim de garantir o perfeito adensamento do concreto. O espaçamento máximo deve atender as condições: - se V Sd 0,67 V Rd2 s máx = 0,6 d 30 cm; - se V Sd 0,67 V Rd2 s máx = 0,3 d 20 cm. (Eq. 36) 12.6.3 rmadura Longitudinal s barras longitudinais da armadura de torção podem ter arranjo distribuído ou concentrado ao longo do perímetro interno dos estribos, espaçadas no máximo de 35 cm. Deve-se respeitar a relação sl / u, onde u é o trecho de perímetro da seção efetiva correspondente a cada barra ou feixe de barras de área sl, exigida pelo dimensionamento. armadura longitudinal de torção de área total sl pode ter arranjo distribuído ou concentrado, mantendo-se obrigatoriamente constante a relação sl / u, onde u é o trecho de perímetro, da seção efetiva, correspondente a cada barra ou feixe de barras de área sl. Nas seções poligonais, em cada vértice dos estribos de torção, deve ser colocada pelo menos uma barra longitudinal.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 30 13. EXEMPLOS NUMÉRICOS DE PLICÇÃO presentam-se a seguir três exemplos numéricos de aplicação sobre o dimensionamento de vigas de concreto armado submetidas à torção. 13.1 EXEMPLO 1 Uma viga em balanço, como mostrada na Figura 33, suporta em sua extremidade uma outra viga, nela engastada, com uma carga concentrada de 50 kn em sua extremidade. s distâncias e dimensões adotadas para as duas vigas estão indicadas na planta de fôrma mostrada na Figura 34. s vigas estão submetidas somente à carga F e ao peso próprio. São conhecidos: C25 ; C-50 ; c nom = 2,5 cm ; γ c = γ f = 1,4 ; γ s = 1,15. V1 (35 x 50) F V (20 x 50) P1 35/60 V2 (20 x 50) 97,5 150 Figura 33 Perspectiva da estrutura com a força F aplicada. Figura 34 Planta de fôrma. RESOLUÇÃO Os esforços solicitantes serão calculados de dois modos, primeiro considerando-se a atuação conjunta das vigas como uma grelha, e segundo considerando-se as vigas individualmente. Para cálculo da grelha foi utilizado o programa GPLN4, de CORRÊ et al. (1992). a) Cálculo dos esforços como grelha Vão efetivo e peso próprio da viga V2: l ef,v2 = l o + a 1 = 80 + 15 = 95 cm l o = 80 cm

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 31 t1 / 2 = 35 / 2 = 17,5 cm a1 a 1 = 15 cm 0,3 h = 0,3 50 = 15 cm Peso próprio: g pp,v2 = 25. 0,20. 0,50 = 2,5 kn/m Vão efetivo e peso próprio da viga V1: l ef,v1 = l o + a 1 = 150 + 15 = 165 cm l o = 150 cm t1 / 2 = 60 / 2 = 30 cm a1 a 1 = 15 cm 0,3 h = 0,3 50 = 15 cm Peso próprio: g pp,v1 = 25. 0,35. 0,50 = 4,375 kn/m Figura 35 mostra o esquema utilizado para a grelha, com a numeração dos nós e das barras. Na barra correspondente à viga V1 (2) deve ser considerado o momento de inércia à torção. O nó 2 deve ser obrigatoriamente considerado um engaste perfeito, e os nós 1 e 3 não têm restrições nodais. 165 2 2 3 1 95 1 Figura 35 Esquema da grelha. Para o módulo de elasticidade (módulo de deformação longitudinal) foi considerado o valor secante. O módulo tangente na origem pode ser avaliado pela seguinte expressão (NBR 6118/2004, item 8.2.8): E ci = 5.600 f 1/2 ck = 5.600. 25 1/2 = 28.000 MPa = 2.800 kn/cm 2 O módulo de elasticidade secante (E cs ) vale: E cs = 0,85 E ci = 0,85. 2800 = 2.380 kn/cm 2 Para o módulo de deformação transversal (G) pode-se utilizar 0,20 E cs, o que resulta 476 kn/cm 2. Para a grelha em questão foi adotado um valor um pouco superior, de 480 kn/cm 2. O arquivo de dados para entrada no programa, apresentado a seguir, foi feito conforme o manual de utilização do programa (CORRÊ et al., 1992) e o manual com diretrizes para a sua aplicação, de BSTOS (1995).

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 32 OPTE,0,2,0,0,2, TORCO CONCRETO II EXEMPLO 1 NO 1,165,0, 2,0,95, 3,165,95, RES 2,1,1,1, BR 1,1,3,1,1, 2,2,3,2,1, PROP 1,1,1000,208333,100,50, 2,1,1750,364583,405169,50, MTL 1,2380,480, FIMG CRR1 CBR 1,1,-.025,1, 2,1,-.04375,1, CNO 1,-50, FIMC FIME Os resultados gerados pelo programa estão listados nos nexos. Os diagramas de esforços solicitantes característicos estão indicados na Figura 36. flecha máxima para a grelha resultou igual a 0,5 cm, no nó 1, menor que o valor limite indicado pela NBR 6118/04. 4863 + 59,6 52,4 9237-4863 - T k (kn.cm) V k (kn) M k (kn.cm) Figura 36 Diagrama de esforços solicitantes característicos. 50 b) Cálculo dos esforços e dimensionamento da viga V2 (20 x 50) título de exemplo e comparação com os esforços da grelha, as vigas terão os esforços novamente calculados, agora considerando-as individualmente. viga V2 deve estar obrigatoriamente engastada na viga V1. Seu esquema estático e carregamento estão indicados na Figura 37.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 33 b1) Esforços solicitantes V = 2,5. 0,95 + 50 = 52,4 kn 2,5 kn/m 50 kn 2,5 0,95 M = 2 2 + 50 0,95 M = 48,63 kn.m = 4863 kn.cm 95 52,4 50 V (kn) k 4863 _ M (kn.cm) k Figura 37 Esquema estático, carregamento e esforços na viga V2. b2) Dimensionamento à flexão armadura mínima é calculada para o momento fletor mínimo, de acordo com: M d,mín = 0,8 W 0 f ctk,sup f 3 2 3 2 ctk,sup ct,m ck = I = b h 12 = 1,3 f = 1,3. 0,3 f = 1,3. 0,3 25 3,33 MPa 3 3 20. 50 = 12 = 208333 cm 4 I 208333 W 0 = = = 8333 cm 3 (no estádio I, y é tomado na meia altura da viga) y 25 M d,mín = 0,8. 8333. 0,333 = 2.220 kn.cm Dimensionamento da armadura para o momento fletor mínimo: 2 2 bw d 20. 46 K c = = 19, 1 Md 2220 = da Tabela de K c e K s tem-se K s = 0,023. Md 2220 s = Ks = 0,023 = 1, 11 cm 2 d 46 Conforme a Tabela 2 da apostila de Vigas (BSTOS, 2004) para seção retangular e concreto C25, a taxa mínima de armadura (ρ mín ) deve ser de 0,15 % c, portanto: s,mín = 0,0015. 20. 50 = 1,50 cm 2 > 1,11 cm 2 (2 φ 10 mm = 1,60 cm 2 )

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 34 M d = 1,4. 4863 = 6.808 kn.cm K 2 c = 20 46 = 6808 6,2 na Tabela de K c tem-se: β x = 0,14, K s = 0,024 e dom. 2. 6808 s = 0,024 = 3,55 cm 2 s,mín = 1,50 cm 2 46 (2 φ 16 mm = 4,00 cm 2 ou 3 φ 12,5 = 3,75 cm 2 ) distância livre entre as três barras deve ser suficiente para passar a agulha do vibrador. 2,5 2,5 20 3 φ 12,5 50 b3) rmadura de pele armadura de pele não é necessária, dado que a viga não tem altura superior a 60 cm. No entanto, a fim de evitar fissuras de retração que surgem em vigas com altura superior a 50 cm, será colocada uma armadura de pele com área de 0,05 % c (área da armadura de pele conforme a NBR 6118/80), em cada face da viga: s,pele = 0,0005. 20. 50 = 0,50 cm 2 4 φ 4,2 mm = 0,56 cm 2 em cada face, distribuídos ao longo da altura. b4) Dimensionamento ao esforço cortante resolução da viga ao esforço cortante será feita mediante as equações simplificadas desenvolvidas e apresentadas em BSTOS (2004). Sendo a seção retangular será considerado o Modelo de Cálculo II, com ângulo θ de 38. V k = 52,4 kn.cm V d = γ f. V k = 1,4. 52,4 = 73,4 kn b4.1) Verificação das bielas de compressão Da Tabela 2 da apostila de Cortante (BSTOS, 2004) em viga, para o concreto C25, determina-se a força cortante última ou máxima: V Rd2 = 0,87 bw. d. sen θ. cos θ = 0,87. 20. 46. sen 38. cos 38 = 388,3 kn V 2 Sd = 73,4 < VRd = 388,3 kn não ocorrerá esmagamento das diagonais de concreto. b4.2) Cálculo da armadura transversal Da Tabela 2 da apostila de Cortante para o concreto C25, a equação para determinar a força cortante correspondente à armadura mínima é: V Sd,mín = 0,040. bw. d. cot g θ + V c 1

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 35 V c1 = V c0 V V Rd2 Rd2 V V Sd c0 Com V c0 : V 3 2 0,3 25 = 0,6 f ctd b w d = 0,6 0,7 20. 46 70,8 KN 10.1,4 c 0 = 388,3 73,4 = 70,8 70,2 kn 388,3 70,8 V c 1 = V Sd,mín = 0,040. 20. 46. cot g 38 + 70,2 = 117, 3kN VSd = 73,4 < VSd, mín = 117,3 kn portanto, deve-se dispor a armadura transversal mínima. armadura mínima é calculada pela equação: 20 f ctm sw,mín = bw (cm 2 3 2 3 2 /m), com f ctm 0, 3 f ck = 0, 3 25 = 2, 56 f ywk 20. 0, 256 =. 20 2 05 cm 2 /m 50 sw, mín =, = MPa Supondo estribo de dois ramos com diâmetro de 5 mm tem-se: 0, 40 = 0, 0205 s s = 19,5 cm s máx = 27,6 cm b4.3) Detalhamento da armadura transversal - Diâmetro do estribo: 5 mm φ t b w /10 φ t 200/10 20 mm - Espaçamento máximo: 0,67 V Rd2 = 0,67. 388,3 = 260,2 kn V Sd,máx = 73,4 < 260,2 kn s 0,6 d 30 cm 0,6 d = 0,6. 46 = 27,6 cm Portanto, s 27,6 cm b5) ncoragem da armadura negativa armadura negativa deve ser cuidadosamente ancorada na viga V1, sob sérios riscos de ruptura. Conforme apresentado na apostila de ncoragem e Emendas (BSTOS, 2004) o comprimento de ancoragem básico é: φ f yd l b = com f bd = η 1. η 2. η 3. f ctd 4 f f bd 3 2 ctd, c 0, 7. 0, 3 3 2 0, 7 0, 3 25 = f ck = = 128 MPa γ 14, com barra de alta aderência e situação de má aderência tem-se: f bd = 2,25. 0,7. 1,0. 1,28 = 2,02 MPa

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 36 Para barra de diâmetro 12,5 mm o comprimento de ancoragem básico para situação de má aderência resulta: φ f yd 125, 50 l b = = = 67, 3 cm 4 f 4 115, 0, 202 bd O comprimento de ancoragem necessário, considerando a armadura calculada de 3,55 cm 2 e a armadura efetiva composta por 3 φ 12,5 (3,75 cm 2 ), com gancho, é: l b,nec = α 1 l b s,calc s,ef l b,mín Comprimento de ancoragem mínimo para barra φ 12,5 mm: r = (D/2) φ = 2,5 φ = 2,5. 1,25 = 3,125 cm r + 5,5 φ = 3,125 + 5,5. 1,25 = 10,0 cm 3,55 l b,nec = 0,7 67,3 = 44,6 > l b,mín = 10,0 cm 3,75 Comprimento de ancoragem efetivo: l be = b c = 35 2,5 = 32,5 cm l b,nec s,ef VIG DE POIO b Numa primeira análise verifica-se que o comprimento de ancoragem necessário, com gancho, é superior ao comprimento de ancoragem efetivo (l b,nec = 44,6 cm > l be = 32,5 cm). Se a armadura for aumentada para s,corr fica: l 67,3 b s,corr = s,calc = 3,55 = 4, 53 l be + 0,3 l b 32,5 + 0,3 67,3 3 φ 12,5 + 1 grampo φ 8 = 4,75 cm 2 cm 2 Figura 38 mostra o detalhamento completo da armadura da viga V2. O espaçamento dos estribos foi diminuído de 19,5 cm para 15 cm, a favor da segurança e com pequeno acréscimo no consumo de aço. armadura de pele, embora não obrigatória neste caso, foi adotada. s barras longitudinais inferiores, porta-estribos, foram adotadas φ 8 mm. c) Cálculo e dimensionamento da viga V1 (35 x 50) viga V1 deve estar obrigatoriamente engastada no pilar P1. Ela tem como carregamento o seu próprio peso e as ações provenientes da viga V2 (reação de apoio e momento torçor). O esquema estático e o carregamento estão indicados na Figura 39.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 37 V2 (20 x 50) N1-6 c/ 15 3N2 2N3 4N4 4N4 110 45 N2* - 3 φ 12,5 C = 275 45 2N5 14 30 N3-2 φ 8 C = 228 (2 cam) 15 N4-2 x 4 φ 4,2 C = 110 45 N5-2 φ 8 C = 110 * N2 sobre N2 da V1 N1-6 φ 5 C = 130 Figura 38 rmadura final da viga V2. c1) Esforços solicitantes 4,375 kn/m 52,4 kn V = 4,375. 1,65 + 52,4 = 59,6 kn 4,375 1,65 M = 2 2 + 52,4 1,65 M = 92,42 kn.m = 9.242kN.cm P1 165 4863 kn.cm 59,6 52,4 V (kn) T = 4.863 kn.cm k 9242 _ M (kn.cm) k 4863 T (kn.cm) k Figura 39 Esquema estático, carregamento e esforços na viga V1.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 38 c2) Dimensionamento á flexão armadura mínima é calculada para o momento fletor mínimo, de acordo com: M d,mín = 0,8 W 0 f ctk,sup, f ctk,sup = 3,33 MPa 3 b h 35. 50 I = = = 364.583cm 4 12 12 3 I 364583 W 0 = = = 14.583 cm 3 (no estádio I, y é tomado na meia altura da viga) y 25 M d,mín = 0,8. 14583. 0,333 = 3.885 kn.cm Dimensionamento da armadura para o momento fletor mínimo: 2 2 bw d 35. 46 K c = = 19, 1 Md 3885 = da Tabela de K c e K s tem-se K s = 0,023. Md 3885 s = Ks = 0,023 = 1, 94 cm 2 d 46 Conforme a Tabela 2 da apostila de Vigas (BSTOS, 2004) para seção retangular e concreto C25, a taxa mínima de armadura (ρ mín ) deve ser de 0,15 % c, portanto: s,mín = 0,0015. 35. 50 = 2,63 cm 2 > 1,94 cm 2 (2 φ 12,5 mm = 2,50 cm 2 ) M d = 1,4. 9.242 = 12.939 kn.cm K 2 c = 35 46 = 12939 5,7 na Tabela de K c tem-se: β x = 0,16 0,50, K s = 0,025 e dom. 2. 12939 s = 0,025 = 7,03 cm 2 s,mín = 2,63 cm 2 46 (5 φ 12,5 + 1 φ 10 = 7,05 cm 2 ) O espaçamento livre entre as barras é: [ 2 ( 2,5 + 0,63) + 5 1,25 + 1,0] 35 e h = = 4,3 cm 5 (suficiente para a passagem da agulha do vibrador). 2,5 1 φ 10 2,5 e h 35 5 φ 12,5 50 c3) rmadura de pele armadura de pele não é necessária, dado que a viga não tem altura superior a 60 cm. No entanto, a fim de evitar fissuras de retração que surgem em vigas com altura superior a 50 cm, será colocada uma armadura de pele com área de 0,05 % c (área da armadura de pele conforme a NBR 6118/80), em cada face da viga:

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 39 s,pele = 0,0005. 35. 50 = 0,88 cm 2 4 φ 5 mm = 0,80 cm 2 em cada face, distribuídos ao longo da altura. c4) Dimensionamento ao esforço cortante Sendo a seção retangular será considerado o Modelo de Cálculo II, com ângulo θ de 38. V k = 59,6 kn.cm V d = γ f. V k = 1,4. 59,6 = 83,4 kn c3.1) Verificação das bielas de compressão Da Tabela 2 da apostila de Cortante em viga (BSTOS, 2004) para o concreto C25, determina-se a força cortante última ou máxima: V Rd2 = 0,87 b w. d. sen θ. cos θ = 0,87. 35. 46. sen 38. cos 38 = 679,5 kn V 2 Sd = 83,4 < VRd = 679,5 kn não ocorrerá esmagamento das diagonais de concreto. c4.2) Cálculo da armadura transversal Da Tabela 2, para o concreto C25, a equação para determinar a força cortante correspondente à armadura mínima é: V Sd,mín = 0,040. b w. d. cot g θ + V c 1 V c1 = V c0 Com V c0 : V V V Rd2 Rd2 V V Sd c0 3 2 0,3 25 = 0,6 f ctd b w d = 0,6 0,7 35. 46 123,9 KN 10.1,4 c 0 = 679,5 83,4 = 123,9 132,9 kn 679,5 123,9 V c 1 = V Sd,mín = 0,040. 35. 46. cot g 38 + 132,9 = 215, 3 kn VSd = 83,4 < VSd, mín = 215,3 kn portanto, deve-se dispor a armadura transversal mínima. armadura mínima é calculada pela equação: 20 f ctm sw,mín = bw (cm 2 3 2 3 2 /m), com f ctm 0, 3 f ck = 0, 3 25 = 2, 56 f ywk 20. 0,256 =. 35 3,58 cm 2 /m 50 sw, mín = c4.3) Detalhamento da armadura transversal = MPa - Diâmetro do estribo: 5 mm φ t b w /10 φ t 350/10 35 mm

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 40 - Espaçamento máximo: 0,67 V Rd2 = 0,67. 679,5 = 455,3 kn V Sd,máx = 83,4 < 455,3 kn s 0,6 d 30 cm 0,6 d = 0,6. 46 = 27,6 cm Portanto, s 27,6 cm c5) ncoragem da armadura negativa armadura negativa deve ancorar no pilar P1, com seção transversal 35/60. Com concreto C25, barra de alta aderência e situação de má aderência, o comprimento de ancoragem básico, já calculado no item b5) para φ 12,5 mm é 67,3 cm. O comprimento de ancoragem necessário, considerando a armadura calculada de 7,03 cm 2 e a armadura efetiva composta por 5 φ 12,5 + 1 φ 10 (7,05 cm 2 ), sem gancho, é: l b,nec = α 1 l b s,calc s,ef l b,mín Comprimento de ancoragem mínimo para barra φ 12,5 mm: r = (D/2) φ = 2,5 φ = 2,5. 1,25 = 3,125 cm r + 5,5 φ = 3,125 + 5,5. 1,25 = 10,0 cm l b,mín = 10,0 cm 7,03 l b,nec = 67,3 = 67,1 > l b,mín =10,0 cm 7,05 Comprimento de ancoragem efetivo: l be = b c = 60 2,5 = 57,5 cm l b, nec 67,1 s, ef 50 c l be 2,5 57,5 b 60 Verifica-se que o comprimento de ancoragem necessário, sem gancho, é superior ao comprimento de ancoragem efetivo (l b,nec = 67,1 cm > l be = 57,5 cm), o que não possibilita fazer a ancoragem reta no pilar. alternativa é fazer gancho nas extremidades das barras, reduzindo o comprimento necessário para: l 7,03 = 0,7 67,3 7,05 b,nec = 47,0 cm O comprimento de ancoragem necessário, com gancho, é inferior ao comprimento de ancoragem efetivo (l b,nec = 47,0 cm < l be = 57,5 cm), o que possibilita fazer a ancoragem no pilar, sem a necessidade de acréscimo de armadura. favor da segurança, a armadura é estendida até próximo à face do pilar, no comprimento de l be, como mostrado na Figura 40.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 41 c6) Dimensionamento à torção c6.1) Verificação da biela comprimida T k = 4.863 kn.cm T Sd = 1,4. 4863 = 6.808 kn.cm Para não ocorrer esmagamento das bielas comprimidas de concreto, conforme a Eq. 34 deve-se ter: V V Sd Rd2 T + T Sd Rd2 1 V Rd2 = 679,5 kn conforme calculado no item c4.1); V Sd = 83,4 kn. Área da seção transversal: = b w. h = 35. 50 = 1.750 cm 2 Perímetro da seção transversal: u = 2 (b w + h) = 2 (35 + 50) = 170 cm s Eq. 19 e 20 fornecem os limites para a espessura h e da casca: 1750 h e = = 10,3 cm com h e 2 c 1 u 170 c 1 = φ l /2 + φ t + c nom = 1,25/2 + 0,63 + 2,5 = 3,76 cm h e 2. 3,76 = 7,51 cm Portanto, os limites para h e são: 7,51 cm h e 10,3 cm Será adotado h e = 10,0 cm. e = (b w h e ). (h h e ) = (35 10). (50 10) = 1.000 cm 2 u = 2 [(b w h e ) + (h h e )] = 2 [(35 10) + (50 10)] = 130 cm O momento torçor máximo, determinado pela Eq. 23, com ângulo θ (38 ) igual ao aplicado no cálculo da viga ao esforço cortante é: T Rd,2 = 0,5 α v2 f cd e h e sen 2 θ = 0,5 (1 25/250). (2,5/1,4) 1000. 10. sen 2. 38 = 7.797 kn plicando a Eq. 34 tem-se: 83,4 679,5 6808 + = 1,0 1,0 7797 Como a equação foi satisfeita não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão. Caso resultasse valor superior à unidade, haveria a necessidade de se fazer alguma mudança. O aumento da largura ou da altura da viga são soluções comumente utilizadas na prática. c6.2) Cálculo das armaduras armadura mínima transversal já foi calculada no dimensionamento da viga ao esforço cortante, sendo 3,58 cm 2 /m. Esta armadura é a mínima também para a torção, tanto para a armadura transversal como para a longitudinal, como mostrado na Eq. 32.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 42 rmadura transversal (estribos) conforme a Eq. 25: s,90 s s,90 s TSd = tg θ 2 f e ywd TSd 6808 = = tg 38 = 0,0612 cm 2 /cm =6,12 cm 2 /m sw,mín = 3,58 cm 2 /m 2 f 50 e ywd 2 1000 1,15 rmadura longitudinal conforme a Eq. 28: sl u = 2 e T f Sd ywd 6808 = = 0,1002 cm 2 /cm = 10,02 cm 2 /m tg θ 50 s l, mín = 3, 58 2 1000 tg 38 1,15 c6.3) Detalhamento c6.3.1) rmadura longitudinal área total de armadura longitudinal é obtida pela soma das armaduras da flexão e da torção, calculada para cada uma das quatro faces da viga. s áreas de armadura longitudinal nas faces da viga são: Face superior: - da flexão s = 7,03 cm 2 - da torção s = (b w h e ) sl = (35 10) 0,1002 = 2,51 cm 2 - s,total = 7,03 + 2,51 = 9,54 cm 2 (8 φ 12,5 = 10,00 cm 2 ) Face inferior: - da flexão s = 0,00 cm 2 - da torção s = (b w h e ) sl = (35 10) 0,1002 = 2,51 cm 2 - s,total = 2,51 cm 2 (2 φ 12,5 mm = 2,50 cm 2 ) Faces laterais: - s,total = (h h e ) sl = (50 10) 0,1002 = 4,01 cm 2 (5 φ 10 mm = 4,00 cm 2 ). Esta armadura pode atuar também para evitar as fissuras por retração do concreto, não sendo necessário somar a ela a armadura de pele. É importante ressaltar que esta armadura deve ser disposta nas duas faces laterais da viga. c6.3.2) rmadura transversal área total de estribos é calculada pela soma das áreas relativas ao esforço cortante e à torção. armadura para o esforço cortante resultou igual à armadura mínima, de 3,58 cm 2 /m. Como

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 43 a armadura para a torção supera a armadura mínima do cortante, é suficiente considerar apenas a armadura para a torção:, 90 s = 0,0612 cm 2 /cm = 6,12 cm 2 /m s O diâmetro do estribo para a torção deve ser igual ou superior a 5 mm. Supondo estribo fechado de dois ramos com diâmetro de 6,3 mm tem-se: 0,63 = 0,0612 s = 10,3 cm s máx = 27,6 cm s Figura 40 mostra o detalhamento final das armaduras da viga V1. Como visto, as armaduras para o momento fletor, para o esforço cortante e para a torção foram calculadas separadamente e somadas no final, como mostradas na Figura 40. O comprimento do gancho das barras N2 foi aumentado de 10 cm para 15 cm, para melhorar um pouco a ancoragem no pilar. V1 (35 x 50) 6 N2 N1-13 c/ 10 2 N3 5 N4 5 N4 P1 15 202 N2-6 φ 12,5 C = 217 2 N5 30 N3-2 φ 12,5 C = 202 (2 cam) N4-2 x 5 φ 10 C = 202 45 N5-2 φ 12,5 C = 202 N1-13 φ 6,3 C = 160 Figura 40 rmadura final da viga V1.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 44 12.2 EXEMPLO 2 Este exemplo refere-se ao projeto estrutural de uma laje em balanço (marquise) engastada na viga de apoio. marquise tem a função arquitetônica de proteger a entrada de uma construção. s Figuras 41 e 42 mostram a planta de fôrma da estrutura e o pórtico do qual a marquise faz parte. Figura 43 mostra uma perspectiva da estrutura. Este exemplo tem alguma semelhança aquele encontrado em GIONGO (1994). Pede-se calcular e dimensionar a viga V1. NOT: planta de fôrma da estrutura é desenhada com o observador posicionado no nível inferior à estrutura que se quer mostrar e olhando para cima. Por este motivo os traços internos das vigas são desenhados com linha tracejada. s seguintes informações são conhecidas: a) marquise acessível a pessoas apenas para serviços de construção e manutenção; b) o coeficiente de segurança das ações permanentes e variáveis (γ f ) será tomado como 1,4 (tabela 11.1 NBR 6118/04). O coeficiente de segurança do concreto (γ c ) será tomado como 1,4; c) lajes e vigas em concreto aparente (sem revestimentos); d) sobre a viga V1 há uma parede de alvenaria de bloco cerâmico furado (γ alv = 13 kn/m 3 ), com espessura final de 23 cm e altura de 2,6 m; e) γ concr = 25 kn/m 3, γ imperm = 21 kn/m 3 ; f) espessura média de 3 cm para a camada de impermeabilização e regularização sobre a laje da marquise; g) vigas V2, V3 e V4 sem função estrutural; h) classe II de agressividade ambiental (tabela 6.1 da NBR 6118/04); i) concreto C25 (tabela 7.1 da NBR 6118/04); j) cobrimento nominal de 2,0 cm (item 7.4.7.6 da NBR 6118/04); k) carga da laje interna na viga V1 (g laje = 5,0 kn/m).

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 45 394 394 V4 (20 x 35) V1 (20 x 40) V5 (20 x 35) 20 V7 (20 x 35) V3 (10 x 40) P1 20/30 P2 20/30 h = 10 cm 140 P3 20/30 V6 (10 x 40) 155 V2 (10 x 40) 10 788 10 10 Corte V3 10 30 V2 V1 40 P2 10 140 20 Figura 41 Planta de fôrma e corte da marquise. V (20 x 40) 40 300 P1 20/30 260 P2 20/30 P3 20/30 V1 (20 x 40) 40 tramo 1 tramo 2 450 30 359 30 359 30 417,5 V (20 x 25) 25 Figura 42 Vista do pórtico com a viga V1.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 46 Figura 43 Perspectiva da estrutura. RESOLUÇÃO Como a laje em balanço está num nível inferior ao da laje interna à construção, não é indicado considerar alguma vinculação entre as duas lajes, de modo que a laje em balanço deve ser considerada engastada na viga V1, onde se apóia. flexão na laje passa a ser torção na viga, devendo ser obrigatoriamente considerada. No cálculo dos pilares também deve ser computada a flexão originária da torção na viga. a) Dimensionamento da laje da marquise Na laje da marquise ocorrem ações uniformemente distribuídas na área da laje e linearmente distribuídas no contorno externo da marquise, representadas pelas vigas V2, V3 e V6. a1) ções uniformemente distribuídas s cargas atuantes na laje são as seguintes: - peso próprio g pp = 25. 0,10 = 2,50 kn/m 2 - impermeabilização g imp = 21. 0,03 = 0,63 kn/m 2 - ação variável q = 0,5 kn/m 2 (laje sem acesso público) - CRG TOTL - p = 3,63 kn/m 2

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 47 a2) ções uniformemente distribuídas no contorno No contorno da laje há a ação do peso próprio das vigas V2, V3 e V6, em concreto aparente: - g pp,vigas = 25. 0,10. 0,30 = 0,75 kn/m a3) Cálculo das solicitações Não havendo a possibilidade de engastamento da laje da marquise com outras lajes internas ao edifício, a laje em balanço deve ser obrigatoriamente engastada na viga V1. Como a laje é armada em uma direção, os esforços solicitantes são calculados supondo-se a laje como viga de largura unitária (1 m). Na Figura 44 encontra-se o esquema considerado. Vão efetivo da laje: l ef = l o + a 1 = 150 + 3 = 153 cm 0,75 kn 3,63 kn/m l o = 150 cm t1 / 2 = 20/ 2 = 10 cm a1 a 1 = 3 cm 0,3 h = 0,3 10 = 3 cm 5 148-536 M (kn.cm/m) K Os esforços solicitantes máximos são: 6,30 2 3,63 1,53 M = + 0,75 1,48 = 5,36 kn.m/m 2 V = 3,63. 1,53 + 0,75 = 6,30 kn/m a4) Verificação da laje à força cortante 0,75 V (kn/m) K Figura 44 Esquema estático, carregamento e esforços solicitantes. laje deve ser verificada quanto à necessidade ou não de armadura transversal. De modo geral as lajes maciças não requerem esse tipo de armadura. a5) Determinação da armadura de flexão na laje determinação da armadura principal, posicionada perpendicularmente ao eixo longitudinal da viga V1 e junto à face superior da laje, considerando a altura útil d é: d = h (c + φ/2) = 10 (2,0 + 0,63/2) = 7,7 cm K 2 c = 100 7,7 = 7,9 Da tabela de K c e K s tem-se K s = 0,024 1,4 536 1,4 536 s = 0,024 = 2,34 cm 2 /m (φ 6,3 c/13 = 2,42 cm 2 /m) 7,7

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 48 armadura negativa das lajes, segundo as tabelas 19.1 e 17.3 da NBR 6118/2004 deve ter o valor mínimo de: 0,15 = 0,15 % bw h = 100 10 1,50cm 2 /m < s = 2,34 cm 2 /m 100 s,mín = O espaçamento máximo para laje armada em uma direção deve atender a: 2h = 2 10 = 20 cm s 20 cm s 20 cm s lajes armadas em uma direção devem ter, posicionada na direção secundária, uma armadura de distribuição de área igual a 1/5 da área da armadura principal, com o espaçamento máximo de 33 cm ( s,sec = 2,34/5 = 0,47 cm 2 /m - φ 4,2 c/28 cm = 0,49 cm 2 /m). a6) Detalhamento das armaduras O detalhamento esquemático das armaduras dimensionadas pode ser visto na Figura 45. Deve-se observar que a armadura principal da laje em balanço é posicionada junto à face superior, isto é, onde ocorrem as tensões longitudinais de tração. armadura principal da laje deve ser cuidadosamente ancorada na viga onde está engastada. O detalhe das barras N1 no interior da viga V1 garante a necessária ancoragem. armadura inferior (barras N3) não é necessária ao equilíbrio da laje, podendo ser dispensada. Nas lajes em balanço, no entanto, a sua colocação pode ser útil para aumentar a segurança da laje numa eventual ruptura, além de aumentar a sua ductilidade e diminuir a flecha. N1 V1 N2-6 φ 4,2 c/ 25 CORR N3 6 166 N1-61 φ 6,3 c/ 13 C = 235 36 16 6 N3-26 φ 4,2 c/ 30 C = 165 Figura 45 Detalhamento esquemático das armaduras da laje.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 49 b) Dimensionamento da viga V1 Sobre a viga V1 atuam ações provenientes do seu peso próprio, da parede de alvenaria construída sobre ela, e da laje em balanço, isto é, a reação de apoio da laje na viga e o momento fletor na seção de engastamento da laje, que leva à torção da viga. Todas essas ações são uniformemente distribuídas ao longo do comprimento da viga. b1) ções a considerar - peso próprio g pp = 25. 0,20. 0,40 = 2,00 kn/m - parede g par = 13. 0,23. 2,60 = 7,77 kn/m - laje externa (marquise) g laje = 6,30 kn/m - laje interna g laje = 5,0 kn/m - CRG TOTL p = 21,07 kn/m b2) Esforços solicitantes O modelo adotado para o esquema estrutural da viga, para a determinação dos momentos fletores e torçores e forças cortante, é aquele que considera a viga vinculada aos pilares extremos por meio de engastes elásticos (molas). Para a avaliação dos momentos torçores há que se considerar os dois tramos da viga engastados nos pilares. Os vãos efetivos da viga são: l ef = l o + a 1 = 359 + 12 +12 = 383 cm l o = 359 cm t1 / 2 = 30/ 2 = 15 cm a1 a 1 = 12 cm 0,3 h = 0,3 40 = 12 cm O apoio interno da viga (pilar P2) pode ser considerado como um apoio simples, pois de acordo com o esquema mostrado na Figura 42, tem-se: l e = 450 cm (comprimento de flambagem do pilar) l e /4 = 450/4 = 112,5 cm b int = 30 cm < l e /4 = 112,5 cm considerar apoio simples. viga deveria ser considerada engastada no pilar P2 caso b int resultasse maior que l e /4. Figura 46 mostra o esquema estático da viga, com os carregamentos atuantes, vãos efetivos, numeração das barras e nós, etc. Para determinação dos esforços solicitantes na viga pode ser utilizado qualquer programa computacional com essa finalidade. Para o exemplo foi aplicado o programa para cálculo de pórtico plano, chamado PPLN4, de CORRÊ et al. (1992).

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 50 y 21,07 kn/m 1 1 2 2 3 3 4 4 5 x 191,5 191,5 191,5 191,5 383 383 Figura 46 - Esquema estático, carregamento e numeração dos nós e barras da viga V1. Considerando que os pilares extremos P1 e P3, nos quais a viga se encontra vinculada, estão engastados na estrutura de fundação (bloco de duas estacas e vigas baldrames), o coeficiente de rigidez do lance inferior do pilar será tomado como 4EI/l e. Quando o pilar for considerado apoiado na estrutura de fundação, o coeficiente de rigidez deverá ser tomado como 3EI/l e. Pilares sobre blocos de uma estaca devem ser considerados apoiados. rigidez da mola que vincula a viga a esses pilares é avaliada por: K mola = K p,sup + K p,inf O módulo de elasticidade (módulo de deformação longitudinal) tangente na origem pode ser avaliado pela seguinte expressão (NBR 6118/2004, item 8.2.8): E ci = 5.600 f 1/2 ck = 5.600. 25 1/2 = 28.000 MPa = 2.800 kn/cm 2 O módulo de elasticidade secante (E cs ) vale: E cs = 0,85 E ci = 0,85. 2800 = 2.380 kn/cm 2 O momento de inércia dos lances inferior e superior do pilar é: 3 b h 20. 30 I p,sup = I p,inf = = = 45. 000 cm 4 12 12 3 Os coeficientes de rigidez dos lances inferior e superior do pilar são: 4 2380 45000 K p,inf = = 952. 000 kn.cm 450 4 2380 45000 K p,sup = = 1.428. 000 kn.cm 300 Rigidez da mola: K mola = 952.000 + 1.428.000 = 2.380.000 kn.cm viga em questão tem simetria de geometria e carregamento no pilar interno (nó 3). viga pode, por simplicidade, ser calculada considerando-se apenas os nós 1, 2 e 3, e as barras 1 e 2. Para isso deve-se fazer o nó 3 com restrição de rotação, além das restrições de apoio simples. Os resultados devem ser idênticos aqueles para a viga completa. O arquivo de dados de entrada no programa, considerando a simetria, tem o aspecto:

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 51 OPTE,0,2,0,0,2, CONCRETO II EXEMPLO 2 V 1 (20 x 40) NOGL 1,3,1,0,0,383,0, RES 1,1,1,2,0,0,2380000, 3,1,1,1, BRG 1,2,1,1,1,2,1,1,1, PROP 1,1,800,106667,40, MTL 1,2380, FIMG CRR1 CBRG 1,2,1,1,-0.2107,1, FIMC FIME Figura 47 mostra os diagramas de forças cortantes e de momentos fletores (valores característicos máximos) obtidos no programa PPLN4. listagem dos resultados calculados pelo programa encontra-se nos nexos. Na Figura 47 também estão incluídos os esforços de torção, provocados pelo momento fletor na laje em balanço (5,36 kn.m), que é momento de torção solicitante na viga. 5,36 kn.m P1 P2 P3 3,83 m 3,83 m 10,26 10,26 10,26 T (kn.m) K 10,26 35,0 45,7 45,7 V (kn) K 35,0 1218 ~ 172 ~ 57 + - ~ 90 3254 M (kn.cm) K 1218 1690 1690 Figura 47 Diagramas de esforços solicitantes.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 52 flecha calculada pelo programa para o nó 2 (0,07 cm) não é a flecha máxima no vão, mas é próxima a ela, de modo que serve como um indicativo da deslocabilidade da viga. Um valor mais próximo da flecha máxima poderia ser obtido colocando-se outros nós à esquerda do nó 2 indicado na Figura 46. flecha de 0,07 cm é muito pequena e com certeza inferior à flecha máxima permitida para a viga. b3) Dimensionamento das armaduras Serão dimensionadas as armaduras longitudinal e transversal. b3.1) rmadura mínima armadura mínima é calculada para o momento fletor mínimo, de acordo com: M d,mín = 0,8 W 0 f ctk,sup f 3 2 3 2 ctk,sup ct,m ck = = 1,3 f = 1,3. 0,3 f = 1,3. 0,3 25 3,33 MPa 3 b h 20. 40 I = = = 106.667 cm 3 12 12 3 I 106667 W 0 = = = 5333 cm 3 (no estádio I, y é tomado na meia altura da viga) y 20 M d,mín = 0,8. 5333. 0,333 = 1.421 kn.cm Dimensionamento da armadura para o momento fletor mínimo: 2 2 bw d 20. 37 K c = = 19, 3 Md 1421 = da Tabela de K c e K s tem-se K s = 0,023. Md 1421 s = Ks = 0,023 = 0, 88 cm 2 d 37 Conforme a Tabela 2 da apostila de Vigas (BSTOS, 2004) para seção retangular e concreto C25, a taxa mínima de armadura (ρ mín ) deve ser de 0,15 % c, portanto: s,mín = 0,0015. 20. 40 = 1,20 cm 2 > 0,88 cm 2 (2 φ 10 mm = 1,60 cm 2 ) b3.2) rmadura de pele armadura de pele não é necessária, dado que a viga não tem altura superior a 60 cm. Para a viga com largura de 20 cm e a altura de 40 cm não devem surgir fissuras por retração. b3.3) Momento fletor negativo b3.3.1) poio interno (P2) M k = - 3.254 kn.cm M d = γ f. M k = 1,4. (- 3.254) = - 4.556 kn.cm

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 53 Para a altura da viga de 40 cm será adotada a altura útil de 37 cm. largura colaborante da laje em balanço para formar uma seção L com a viga, conforme o item 14.6.2.2 da NBR 6118/2004, é: b 3 = 0,10 (0,6. 383) = 23 cm b f = b w + b 3 = 20 + 23 = 43 cm 2 2 bf d 43. 37 K c = = = 12, 9 M 4556 d Da Tabela de K c e K s tem-se: β x = x/d = 0,06 0,50, K s = 0,024 e domínio 2. Md 4556 s = Ks = 0,024 = 2, 95 cm 2 > s,mín = 1,20 cm 2 d 37 4 φ 10 mm = 3,20 cm 2 ou 2 φ 12,5 + 1 φ 8 = 3,00 cm 2 No caso de se adotar 4 φ 10 na primeira camada, a distância livre horizontal entre as barras deve ser superior a 25 mm, a fim de permitir a passagem da agulha do vibrador. Supondo o diâmetro do estribo igual a 6,3 mm, para 4φ 10 mm a distância livre resulta: [ 2 ( 2,0 + 0,63) + 4.1,0] 20 e h = = 3,6 cm 3 distância suficiente para a passagem da agulha do vibrador. b3.3.2) poios extremos (P1 e P3) M k = - 1.218 kn.cm M d = γ f. M k = 1,4. (- 1.218) = - 1.705 kn.cm 2 2 bf d 43. 37 K c = = = 34, 5 Md 1705 Md 1705 s = Ks = 0,023 = 1, 06 cm 2 < s,mín = 1,20 cm 2 d 37 2 φ 10 mm = 1,60 cm 2 b3.3.3) Momento fletor máximo positivo M k = - 1.690 kn.cm M d = γ f. M k = 1,4. (- 1.690) = - 2.366 kn.cm Na seção do máximo momento positivo pode-se considerar a contribuição da laje interna para formar uma seção L, dado que a laje está comprimida: b 1 = 0,10 (0,6. 383) = 23 cm

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 54 b f = b w + b 1 = 20 + 23 = 43 cm 2 2 bf d 43. 37 K c = = = 24, 5 Md 2366 Md 2366 s = Ks = 0,023 = 1, 47 cm 2 > s,mín = 1,20 cm 2 d 37 2 φ 10 mm = 1,60 cm 2 b3.3.4) rmadura longitudinal máxima soma das armaduras de tração e de compressão ( s + s ) não deve ter valor maior que 4 % c, calculada na região fora da zona de emendas. Para a viga em questão, as taxas de armadura longitudinais são pequenas e não superam a taxa de armadura máxima. b4) Dimensionamento da armadura transversal ao esforço cortante resolução da viga ao esforço cortante será feita mediante as equações simplificadas desenvolvidas e apresentadas na apostila de Cortante em vigas (BSTOS, 2004). Considerando que no apoio interno não ocorre a contribuição da inclinação do banzo comprimido da treliça na direção do apoio, a seção será dimensionada como retangular, com o Modelo de Cálculo II e ângulo θ de 38. b4.1) Pilar interno P2 V k = 45,7 kn.cm V d = γ f. V k = 1,4. 45,7 = 64,0 kn a) Verificação das bielas de compressão Da Tabela 2 da apostila de cortante em viga, para o concreto C25, determina-se a força cortante última ou máxima: V Rd2 = 0,87 bw. d. sen θ. cos θ = 0,87. 20. 37. sen 38. cos 38 = 312,3 kn V Sd = 64,0 kn < V Rd2 = 312,3 kn não ocorrerá esmagamento das diagonais de concreto. b) Cálculo da armadura transversal Da Tabela 2, para o concreto C25, a equação para determinar a força cortante correspondente à armadura mínima é: V Sd,mín = 0,040. bw. d. cot g θ + V c 1 V c1 = V c0 Com V c0 : V V Rd2 Rd2 V V Sd c0

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 55 V 3 2 0,3 25 = 0,6 fctd bw d = 0,6 0,7 20. 37 56,9 KN 10.1,4 c 0 = 312,3 64,0 = 56,9 55,3 kn 312,3 56,9 V c 1 = V Sd,mín = 0,040. 20. 37. cotg 38 + 55,3 = 93,2 kn V Sd = 64,0 kn < V Sd,mín = 93,2 kn portanto, deve-se dispor a armadura transversal mínima armadura mínima é calculada pela equação: 20 f ctm sw,mín = bw (cm 2 3 2 3 2 /m), com f ctm 0, 3 f ck = 0, 3 25 = 2, 56 f ywk 20. 0, 256 =. 20 2 05 cm 2 /m 50 sw, mín =, = MPa força cortante de cálculo nos pilares extremos (V Sd = 49,0 kn) é também menor que a força cortante mínima, o que significa que a armadura mínima deve se estender ao longo dos dois vãos livres da viga. b4.2) Detalhamento da armadura transversal a) Diâmetro do estribo: 5 mm φ t b w /10 φ t 200/10 20 mm b) Espaçamento máximo: 0,67 V Rd2 = 0,67. 312,3 = 209,2 kn V Sd,máx = 64,0 < 209,2 kn s 0,6 d 30 cm 0,6 d = 0,6. 37 = 22,2 cm Portanto, s 22 cm b5) ncoragem da armadura longitudinal b5.1) rmadura positiva nos pilares extremos P1 e P3 Valor do deslocamento do diagrama de momentos fletores (a l ) segundo o modelo de cálculo II, com V Sd = 49,0 kn: a l = 0,5 d (cot g θ cot g α) = 0,5. 37 (cotg 38 cotg 90) a l = 23,6 cm 0,5 d = 0,5. 37 = 18,5 cm Conforme a Eq. 16 da apostila de ncoragem, a armadura a ancorar no apoio é: 1 a l 1 23,6 s, calc = VSd + NSd = 49,0 = 0, 72cm 2 f yd d 50 37 1,15

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 56 armadura positiva do vão adjacente é composta por 2 φ 10 mm, que deverão ser obrigatoriamente estendidos até os apoios. Portanto, s,ef = 2 φ 10 = 1,60 cm 2. armadura efetiva no apoio deve atender à armadura mínima, dada pelas relações: s,calc 1 3 1 4 s,vão s,vão se se M M apoio apoio M = 0 ou negativo e Mapoio 2 M vão = negativo e Mapoio > 2 M d,apoio = - 1.705 kn.cm > M d,vão /2 = 2.366/2 = 1.183 kn.cm Portanto, s, calc 1/4 s,vão = 1,47/4 = 0,37 cm 2 s, calc = 0,72 cm 2 > 1/4 s,vão = 0,37 cm 2 portanto, ancorar 0,72 cm 2 O comprimento mínimo da ancoragem no apoio (l b,mín ) é: l b,mín r + 5,5 φ 6 cm r = 5/2 φ = 2,5. 1,0 = 2,5 cm (com r determinado na Tabela 1 da apostila de ncoragem) 2,5 + 5,5. 1,0 = 8,0 cm > 6 cm Comprimento de ancoragem efetivo: l be = b c = 30 2 = 28 cm Comprimento de ancoragem básico: l Resistência de aderência: f bd = η 1. η 2. η 3. f ctd b φ = 4 0,7. 0,3 3 2 0, 7. 0, 3 3 2 com fctd = fck = 25 = 0, 128kN/cm 2 b γ 14,. 10 c Considerando barra nervurada e situação de boa aderência, fica: f bd = 2,25. 1,0. 1,0. 0,128 = 0,29 kn/cm 2 l 50 10, 115, = = 37 7 cm 4 0, 29 b, Comprimento de ancoragem necessário, sem gancho: l 0,72 = 1,0. 37,7 1,60 s,calc b,nec = α1 l b = s,ef f f yd bd 17,0 cm Numa primeira análise verifica-se que o comprimento de ancoragem necessário (sem gancho) é inferior ao comprimento de ancoragem efetivo (l b,nec = 17 cm < l be = 28 cm). Isto significa que é possível fazer a ancoragem sem gancho, no comprimento de 17 cm. favor da segurança pode-se estender as duas barras até próximo à face externa do pilar. vão c l b,nec l be s,ef

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 57 b5.2) rmadura positiva no pilar interno P2 Estendendo 2 φ 10 (1,60 cm 2 ) da armadura longitudinal positiva até o pilar interno, esta armadura deve ser superior à mínima, dada por: M d,apoio = - 4.556 kn.cm > M d,vão /2 = 2.366/2 = 1.183 kn.cm Portanto, s, calc 1/4 s,vão = 1,47/4 = 0,37 cm 2 s,ef = 1,60 cm 2 > 1/4 s,vão = 0,37 cm 2 s duas barras de 10 mm devem se estender 10φ além da face do apoio, como mostrado na Figura 36 da apostila de ncoragem e Emendas. b5.3) rmadura negativa nos pilares extremos P1 e P3 armadura negativa proveniente do engastamento elástico nos pilares extremos deve penetrar até próximo à face do pilar, respeitando-se a espessura do cobrimento, e possuir um gancho direcionado para baixo, com comprimento de pelo menos 35φ. O diâmetro de dobramento deve ser de 5φ, como indicado na Figura 48. 2φ10 5 φ 35 φ 35 cm 40 30 Figura 48 ncoragem da armadura negativa nos pilares extremos. b6) Dimensionamento à torção b6.1) Verificação da biela comprimida T k = 1.026 kn.cm T Sd = 1,4. 1026 = 1.436 kn.cm Como a torção tem o mesmo valor máximo nos pilares, a verificação das bielas será feita para o esforço cortante máximo na viga (pilar P2). Para não ocorrer esmagamento das bielas comprimidas de concreto, conforme a Eq. 34 deve-se ter: V V Sd Rd2 T + T Sd Rd2 1

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 58 V Rd2 = 312,3 kn força cortante máxima permitida na viga; V Sd,P2 = 64,0 kn. Área da seção transversal: = b w. h = 20. 40 = 800 cm 2 Perímetro da seção transversal: u = 2 (b w + h) = 2 (20 + 40) = 120 cm s Eq. 19 e 20 fornecem os limites para a espessura h e da casca: 800 h e = = 6,7 cm com h e 2 c 1 u 120 c 1 = φ l /2 + φ t + c nom = 1,25/2 + 0,63 + 2,0 = 3,26 cm h e 2. 3,26 = 6,5 cm Portanto, os limites para h e são: 6,5 cm h e 6,7 cm Será adotado h e = 6,5 cm. e = (b w h e ). (h h e ) = (20 6,5). (40 6,5) = 452,3 cm 2 u = 2 [(b w h e ) + (h h e )] = 2 [(20 6,5) + (40 6,5)] = 94 cm O momento torçor máximo, determinado pela Eq. 23, com ângulo θ (38 ) igual ao aplicado no cálculo da viga ao esforço cortante é: T Rd,2 = 0,5 α v2 f cd e h e sen 2 θ = 0,5 (1 25/250). (2,5/1,4) 452,3. 6,5. sen 2. 38 = 2.292 kn 64,0 312,3 1436 + = 0,83 1,0 2292 Como a equação foi satisfeita não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão. b6.2) Cálculo das armaduras s armaduras mínimas, transversal e longitudinal para a torção são iguais à armadura mínima para o esforço cortante (ver Eq. 32) e já foram calculadas, com valor de 2,05 cm 2 /m. rmadura transversal (estribos) conforme a Eq. 25: s,90 s TSd 1436 = tg θ = tg 38 = 0,0285cm 2 /cm = 2,85cm 2 /m sw,mín = 2,05 cm 2 /m 2 f 50 e ywd 2 452,3 1,15 rmadura longitudinal conforme a Eq. 28: s l TSd 1436 = = 0,0467 u 2 f tg 50 e ywd θ = cm 2 /cm = 4,67 cm 2 /m 05 s l, mín = 2, 2 452,3 tg 38 1,15

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 59 b6.3) Detalhamento b6.3.1) rmadura longitudinal área total de armadura é obtida pela soma das armaduras de flexão e de torção, calculada para cada uma das quatro faces externas da viga. s diferentes regiões com as maiores armaduras ao longo da viga devem ser analisadas. Pilares P1 e P3: Face superior: - da flexão s = 1,06 cm 2 2 - da torção s = (b w h e ) sl = (20 6,5) 0,0467 = 0,63 cm - s,total = 1,06 + 0,63 = 1,69 cm 2 (2 φ 10 = 1,60 cm 2 ) Face inferior: - da flexão s = 0,00 cm 2 - da torção s = (20 6,5) 0,0467 = 0,63 cm 2 - s,total = 0,63 cm 2 (esta armadura será atendida pela armadura longitudinal positiva que se Faces laterais: estende até o apoio - 2 φ 10 mm = 1,60 cm 2 ) 2 - s,total = (h h e ) sl = (40 6,5) 0,0467 = 1,56 cm (3 φ 8 mm = 1,50 cm 2 ). Esta armadura contribui também para evitar possíveis fissuras causadas pela retração do concreto. Pilar P2 Face superior: - da flexão s = 2,95 cm 2 - da torção s = (20 6,5) 0,0468 = 0,63 cm 2 - s,total = 2,95 + 0,63 = 3,58 cm 2 (3 φ 12,5 = 3,75 cm 2 ) Face inferior: - da flexão s = 0,00 cm 2 - da torção s = (20 6,5) 0,0467 = 0,63 cm 2 - s,total = 0,63 cm 2 (esta armadura será atendida pela armadura longitudinal positiva que se estende até o apoio - 2 φ 10 mm = 1,60 cm 2 ) Faces laterais: - s,total = (40 6,5) 0,0467 = 1,56 cm 2 (3 φ 8 mm = 1,50 cm 2 ).

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 60 b6.3.2) rmadura transversal área total de estribos é calculada pela soma das áreas relativas ao esforço cortante e à torção. armadura para o esforço cortante resultou igual à armadura mínima, de 2,05 cm 2 /m, ao longo de toda a viga. Como a armadura para a torção supera a armadura mínima do cortante, é suficiente considerar a armadura para torção:, 90 s = 0,0285cm 2 /cm = 2,85 cm 2 /m s O diâmetro do estribo deve ser superior a 5 mm e inferior a b w /10 = 200/10 = 20 mm. Supondo estribo de dois ramos com diâmetro de 5 mm tem-se: 0,40 = 0,0285 s s = 14,0 cm < s máx = 22 cm (este espaçamento máximo vale para o cortante e para a torção). Para a armadura mínima o espaçamento resulta: 0,40 = 0,0205 s = 19,5 cm < s máx = 22 cm s Por questão de simplicidade e a favor da segurança pode-se dispor estribos φ 5 c/14 em toda a extensão do vão livre da viga. Figura 50 mostra o detalhamento final das armaduras da viga V1. b7) Detalhamento da armadura longitudinal O deslocamento (a l ) do diagrama de momentos fletores de cálculo foi determinado como 23,6 cm. O cobrimento deve ser feito apenas para a armadura negativa no pilar P2, já que as armaduras positivas dos vãos têm apenas duas barras, que devem se estender até os apoios. No item b5) do Exemplo 1 foi determinado o comprimento de ancoragem básico (67,3 cm) para barra φ 12,5 mm, em região de má aderência e concreto C25. Figura 49 mostra o cobrimento do diagrama de momentos fletores, feito para determinar o comprimento das barras das armaduras longitudinais, positiva e negativa. Como a viga é simétrica o cobrimento foi feito sobre um lado apenas. No pilar interno P2 foi considerada a armadura calculada para a flexão (2 φ 12,5 + 1 φ 8 mm). Porém, no detalhamento final a barra φ 8 foi trocada por φ 12,5 por imposição da área necessária à torção. armadura positiva, composta por apenas 2 φ 10 mm, é estendida até os dois apoios.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 61 126 102 l b = 78 l b = 78 1 φ 8 95 face externa do pilar l = 63 b 10 φ 2 φ 12,5 2 φ 10 10 φ a l B a l B a l 2 φ 10 centro do pilar Figura 49 Esquema do cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo. Figura 50 mostra o detalhamento final das armaduras da viga V1. s barras N6 foram estendidas até as faces do pilar interno com o propósito de melhorar a ancoragem dessas barras, dado que elas trabalham também à torção. V 1 (20 x 40) N1-26 c/14 N1-26 c/14 2 N3 1 N4 35 P1 N2-2φ10 C = 352 P2 40 40 125 125 N3-2 φ 12,5 C = 250 105 105 N4-1 φ 12,5 C = 210 N2-2φ10 C = 352 P3 35 2 x 3 N5 2 N6 16 36 N1-52 φ 5 mm C=114 N5-2 x 3 φ 8 CORR 10 N6-2 φ 10 C = 417 N6-2 φ 10 C = 417 10 Figura 50 rmadura final da viga V1.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 62 12.3 EXEMPLO 3 s Figuras 51, 52 e 53 mostram a estrutura em três dimensões, a planta de fôrma e um corte esquemático da estrutura de concreto de uma construção com dois pavimentos. Essa estrutura já teve a viga VS1 calculada e mostrada na apostila de Vigas de Edifícios (BSTOS, 2004). gora, a viga VS1 teve seu traçado modificado com o objetivo de introduzir esforços de torção, para este terceiro exemplo numérico de aplicação. Para as vigas VS1 e VS6 pede-se projetar e detalhar as suas armaduras. São conhecidos: concreto C20, aço C-50, γ c = γ f = 1,4, γ s = 1,15, c nom = 2,0 cm, γ rev = 19 kn/m 3, γ contr = 21 kn/m 3, γ conc = 25 kn/m 3, γ alv = 13 kn/m 3. OBSERVÇÕES: a) há uma parede de vedação em toda a extensão das vigas, constituída por blocos cerâmicos de oito furos (dimensões de 9 x 19 x 19 cm), espessura final de 23 cm e altura variável em função da altura das vigas; b) laje do tipo pré-fabricada treliçada com altura total de 16 cm e peso próprio de 2,33 kn/m 2 ; c) ação variável (q) nas lajes de 2,0 kn/m 2 ; d) piso cerâmico sobre as lajes, com γ piso = 0,15 kn/m 2. Figura 51 Perspectiva da estrutura.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 63 VS1 (19 x 60) 719 330 389 P1 19/19 P2 19/30 P3 19/30 284 523 45 16 VS2 (19 x 70) P4 19/30 P5 19/30 P6 19/30 523 VS4 (19 x 45) VS3 (19 x 60) VS5 (19 x 45) VS6 (19 x 60) P7 19/19 719 P8 19/30 719 P9 19/19 Figura 52 Planta de fôrma do pavimento superior com as vigas VS1 e VS6. VC1 (19 x 60) 60 300 P1 19/19 240 P2 19/30 P3 19/30 VS1 (19 x 60) VS6 60 tramo 1 tramo 2 tramo 3 300 19 700 255 19 305,5 VB1 (19 x 30) 30 Figura 53 Vista em elevação do pórtico que contém a viga VS1.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 64 RESOLUÇÃO Todas as vigas do pavimento superior serão representadas em um modelo de grelha, para assim se determinarem os esforços e deslocamentos. s vigas serão consideradas vinculadas aos pilares extremos por meio de engastes elásticos. Devido à mudança de direção que ocorre nas vigas VS1 e VS6 surgirão esforços de torção nessas vigas entre os pilares P3 e P6. a) Vãos efetivos a1) Lajes O vão efetivo da laje pré-fabricada é de centro a centro dos apoios dos trilhos ou nervuras, portanto, igual a 523 cm. a2) Vigas Por simplicidade e como o erro cometido será pequeno e a favor da segurança, na discretização da grelha os apoios verticais (pilares) serão considerados no centro geométrico dos pilares. Essa simplificação leva a vãos um pouco maiores que aqueles que resultariam caso se considerassem os vão efetivos. b) Estimativa da altura das vigas largura das vigas foi adotada igual à dimensão do bloco cerâmico de oito furos assentado na posição deitada, ou seja, na dimensão de 19 cm. Sendo o concreto do tipo C20, para a estimativa da viga VS1 foi aplicada a equação: ef 719 h = l = = 59,9 cm h = 60 cm 12 12 garantida. viga VS6 terá a mesma seção transversal da VS1, isto é, 19 x 60 cm. Como as vigas têm lajes apoiadas em toda as suas extensões, a estabilidade lateral delas está c) Cargas na laje e nas vigas Como se pode observar na Figura 52, há a atuação da carga de uma laje pré-fabricada sobre a viga VS1, pois as nervuras da laje nela se apóiam. Na viga VS6 a laje aplica apenas uma pequena parcela de carga, dado que as nervuras da laje não se apóiam nessa viga.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 65 c1) Lajes Para a laje de piso do pavimento superior, considerou-se a laje do tipo pré-fabricada treliçada, com altura total de 16 cm, peso próprio de 2,33 kn/m 2. carga total por m 2 da área da laje é: - peso próprio: g pp = 2,33 kn/m 2 - revestimento teto: g rev = 19. 0,015 = 0,29 kn/m 2 - contrapiso: g contr = 21. 0,03 = 0,63 kn/m 2 - piso: g piso = 0,15 kn/m 2 - ação variável: q = 2,00 kn/m 2 CRG TOTL: p = 5,40 kn/m 2 c2) Viga VS1 Considerando a carga total na viga consistindo de uma parede apoiada sobre toda a sua extensão (composta por blocos furados de peso específico 13 kn/m 3, com espessura final de 23 cm e altura de 2,40 m), de uma laje pré-fabricada com carga total de 5,40 kn/m 2, e o peso próprio da viga (com seção transversal de 19 x 60 cm), a carga externa total atuante nos vãos entre os pilares P1 e P3 é: - peso próprio: g pp = 25. 0,19. 0,60 = 2,85 kn/m - parede: g par = 13. 0,23. 2,40 = 7,18 kn/m - laje: g laje = 5,40. (5,23/2) = 14,12 kn/m CRG TOTL: p = 24,15 kn/m No vão onde ocorre a mudança de direção, entre o pilar P3 e a viga VS6, a carga da laje na VS1 foi diminuída proporcionalmente à diminuição do comprimento das nervuras da laje. O vão entre o P6 e a VS6 foi dividido ao meio para separar dois trechos de carga, com as nervuras da laje tendo os comprimentos médios de 474 cm e 341 cm. carga da laje foi calculada segundo esses comprimentos médios (Figura 54).

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 66 474 389 P2 19/30 P3 19/30 474 341 285 523 P5 19/30 P6 19/30 Figura 54 Comprimentos médios considerados para as nervuras da laje no final da viga VS1. c3) Viga VS6 carga da laje na viga foi calculada como sendo a correspondente à metade da largura da lajota (30 cm). carga atuante na viga VS6 é: - peso próprio: g pp = 25. 0,19. 0,60 = 2,85 kn/m - parede: g par = 13. 0,23. 2,40 = 7,18 kn/m - laje: g laje = 5,40. (0,30/2) = 0,81 kn/m CRG TOTL: p = 10,84 kn/m d) Modelo de grelha para as vigas do pavimento Os apoios internos das vigas podem ser considerados como apoios simples, pois de acordo com o esquema mostrado na Figura 55, tem-se: l e = 300 cm (comprimento de flambagem do pilar) l e /4 = 300/4 = 75 cm b int = 19 cm < l e /4 = 75 cm considerar apoio simples. NBR 6118/2004 considera que a flexão das vigas contínuas calculadas isoladamente com os pilares extremos seja obrigatoriamente considerada. Neste exemplo, as vigas serão consideradas vinculadas aos pilares extremos por meio de molas (engastamento elástico). No pilar P3 não se considerou a mola devido à continuidade das vigas VS1 e VS6 neste pilar.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 67 Para determinação dos esforços solicitantes na grelha pode ser utilizado qualquer programa computacional com essa finalidade. Para o exemplo foi aplicado o programa chamado GLN4, de CORRÊ et al. (1992). Na Figura 55 mostra-se o modelo de grelha representativo do pavimento superior, com a numeração dos nós e das barras. Os números externos ao modelo são as propriedades das barras. No total são 16 nós e 19 barras. lguns nós no meio das barras não são necessários ao modelo; foram introduzidos apenas para fornecerem uma indicação das flechas nas vigas. 4 4 1 3 13 9 14 10 15 11 16 12 1 17 19 12 13 11 3 14 5 6 7 6 7 8 9 8 10 2 y 16 x 18 15 1 1 2 2 3 3 4 4 5 1 Figura 55 Numeração dos nós e barras da grelha. d1) Rigidez da mola rigidez da mola é avaliada por: K mola = K p,sup + K p,inf Como os comprimentos de flambagem dos lances inferior e superior e a seção transversal dos pilares extremos são idênticos, as rigidezes dos lances inferior e superior são iguais e valem: K p,sup = K p,inf = 4 EI l rigidez da mola vale portanto: e K mola 8 EI = l O módulo de elasticidade (módulo de deformação longitudinal) tangente na origem pode ser avaliado pela seguinte expressão (NBR 6118/2003, item 8.2.8): E ci = 5.600 f 1/2 ck = 5.600. 20 1/2 = 25.044 MPa = 2504,4 kn/cm 2 O módulo de elasticidade secante (E cs ) vale: e

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 68 E cs = 0,85 E ci = 0,85. 2504,4 = 2128,7 kn/cm 2 O momento de inércia dos lances inferior e superior dos pilares P1, P7 e P9 é: 3 b h 19.19 I p,sup = I p,inf = = = 10. 860 cm 4 12 12 Rigidez da mola: K mola e 3 = 8 EI l = 8. 2128,7.10860 = 616. 300 476 kn.cm O momento de inércia dos lances inferior e superior dos pilares P4 e P6 é: 3 b h 30.19 I p,sup = I p,inf = = = 17. 148 cm 4 12 12 Rigidez da mola: K mola e 3 = 8 EI l = 8. 2128,7.17148 = 973. 300 384 kn.cm O momento de inércia dos lances inferior e superior dos pilares P2 e P8 é: 3 b h 19. 30 I p,sup = I p,inf = = = 42. 750 cm 4 12 12 Rigidez da mola: K mola e 3 8 EI 8. 2128,7. 42750 = = = 2.426. 718 kn.cm l 300 d2) rquivo de dados Para o arquivo de dados da grelha seguiram-se as recomendações contidas no manual de utilização do programa GPLN4 e na publicação de BSTOS (2004). Para o módulo de elasticidade do concreto adotou-se o valor de 2128 kn/cm 2 e para o módulo de deformação transversal o valor de 480 kn/cm 2. Nas barras com mudança de direção (12, 13 e 14) é necessário considerar o momento de inércia à torção. Nas demais barras, sem torção, apenas um valor pequeno deve ser adotado (100). O arquivo de dados de entrada para o programa GPLN4 tem o aspecto: OPTE,0,2,0,0,2, TORCO EXEMPLO 3 - COM MOLS GRELH PV. NOGP 1,5,1,0,0,1438,0, 6,10,5,0,523,1438,523, NOGL 11,12,1,1438,807,1244,925,

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 69 13,15,1,0,1046,719,1046, NO 16,1049,1046, RESG 1,5,4,1,2,2,0,616476,616476, 6,10,4,1,0,2,0,0,973384, 3,15,12,1,2,0,0,2426718, RES 13,1,2,2,0,616476,616476, 8,1, 16,1, BRG 1,4,1,1,1,2,1,1,1, 5,8,1,6,1,7,1,2,1, 9,11,1,13,1,14,1,1,1, 12,13,1,16,-4,12,-1,3,1, 16,17,1,1,5,6,7,4,1, 18,19,1,3,5,8,7,4,1, BR 14,11,10,3,1, 15,10,5,1,1, PROP 1,1,1140,342000,100,60, 2,1,1330,543083,100,70, 3,1,1140,342000,109647,60, 4,1,855,144281,100,45, MTL 1,2128,480, FIMG CRR1 CBRG 1,4,1,1,-.2415,1, 5,8,1,1,-.3844,1, 9,11,1,1,-.2415,1, 14,15,1,1,-.1084,1, 16,17,1,1,-.1057,1, 18,19,1,1,-.1138,1, CBR 12,1,-.2283,1, 13,1,-.1926,1, FIMC FIME d3) Esforços solicitantes s Figuras 56 e 57 mostram os diagramas de forças cortantes, de momentos fletores e de momentos torçores (valores característicos máximos) obtidos no programa GPLN4 para as vigas VS1 e VS6, respectivamente. listagem dos resultados calculados pelo programa encontra-se nos nexos. flecha calculada pelo programa para os nós 2 (0,43 cm), 7 (0,44 cm), 14 (0,60 cm), 11 (1,04 cm) e 12 (0,69 cm), embora não sendo as flechas máximas da viga, servem como indicativos da deslocabilidade da viga. maior flecha, de 1,04 cm no nó 11 ainda é inferior à máxima permitida pela NBR 6118/2004.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 70 V (kn) k 74,2 66,2 58,2 Barras 12 e 13 P1 P2 99,5 13,5 37,9 P3 10810 M k (kn.cm) ~325-1790 Barras 12 e 13 1721 P1 + ~130 P2 2101 P3 + 1918 5636 9638 T k (kn.cm) Barras 12 e 13 P2 P3 1099 Figura 56 Diagrama de esforços característicos na viga VS1. 2,4 P9 68,7 54,3 P6 37,9 Barra 14 V (kn) k 13188-372 P9 ~ 416 P6 + 1940 Barra 14 M k (kn.cm) Barra 14 P6 P9 1059 1059 T k (kn.cm) Figura 57 Diagrama de esforços característicos na viga VS6.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 71 Com relação aos momentos fletores positivos é importante analisar os vãos entre os pilares P2 e P3 da viga VS1 e o vão entre os pilares P9 e P6 da viga VS6. Na Figura 58 encontra-se o esquema para obtenção do momento fletor máximo positivo na viga VS1. 24,15 kn/m 1 1 2 330 Figura 58 Esquema estático, carregamento e numeração dos nós e barra para obtenção do momento positivo considerando engaste no apoio interno da viga VS1. O arquivo de dados de entrada para o programa PPLN4 tem o aspecto apresentado abaixo e a listagem dos resultados encontra-se nos nexos. OPTE,0,2,0,0,2, CONCRETO II - TORCO MOMENTO POSITIVO COM ENGSTE NO POIO INTERNO VS 1 (19 x 60) NOGL 1,2,1,0,0,330,0, RES 1,1,1,1, 2,1,1, BR 1,1,2,1,1, PROP 1,1,1140,342000,60, MTL 1,2128, FIMG CRR1 CBR 1,1,-0.2415,1, FIMC FIME O máximo momento positivo para o esquema mostrado na Figura 58, conforme o arquivo de dados acima, resultou 1.840 kn.cm. Esse momento positivo deve ser considerado no dimensionamento do vão, que no modelo de grelha apresentou somente momentos negativos. Para verificação do máximo momento positivo na viga VS6 será calculado o momento considerando o vão engastado no pilar P6 e com engaste elástico no pilar P9 (Figura 59). Na rigidez da mola do engaste elástico será considerado apenas o lance inferior do pilar, considerando que o lance superior do pilar ainda não esteja construído. O momento de inércia do lance inferior do pilar P9 é:

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 72 3 b h 19.19 I p,sup = I p,inf = = = 10. 860 cm 4 12 12 Rigidez da mola: K mola e 3 = 4 EI l = 4. 2128,7.10860 = 308. 300 238 kn.cm y 10,84 kn/m 1 1 2 x 523 Figura 59 Esquema estático, carregamento e numeração dos nós e barras para obtenção do momento positivo considerando engaste no apoio interno da viga VS6. O arquivo de dados de entrada para o programa PPLN4 tem o aspecto apresentado abaixo e a listagem dos resultados encontra-se nos nexos. OPTE,0,2,0,0,2, CONCRETO II - TORÇÃO MOMENTO POSITIVO COM ENGSTE NO POIO INTERNO VS 6 (19 x 60) NOGL 1,2,1,0,0,523,0, RES 1,1,2,0,308238, 2,1,1,1, BR 1,1,1,2,1,1, PROP 1,1,1140,342000,60, MTL 1,2128, FIMG CRR1 CBR 1,1,-0.1084,1, FIMC FIME O máximo momento positivo para o esquema mostrado na Figura 59, conforme o arquivo de dados acima, resulta 2.023 kn.cm. Esse momento é superior aos momentos fletores positivos obtidos para o vão considerado e foi considerado no dimensionamento da armadura do vão. e) rmadura mínima de flexão Para a seção transversal 19 x 60 cm a armadura mínima de flexão é: M d,mín = 0,8 W 0 f ctk,sup

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 73 f 3 2 3 2 ctk,sup ct,m ck = = 1,3 f = 1,3. 0,3 f = 1,3. 0,3 20 2,87 MPa 3 b h 19. 60 I = = = 342.000 cm 3 12 12 3 I 342000 W 0 = = = 11.400 cm 3 (no estádio I, y é tomado na meia altura da viga) y 30 M d,mín = 0,8. 11400. 0,287 = 2.617 kn.cm Dimensionamento da armadura para o momento fletor mínimo: 2 2 bw d 19. 55 K c = = 22, 0 Md 2617 Md 2617 s = Ks = 0,023 = 1, 09 cm 2 d 55 = da Tabela de K c e K s tem-se K s = 0,023. Conforme a Tabela 2 da apostila de Vigas (BSTOS, 2004) para seção retangular e concreto C20, a taxa mínima de armadura (ρ mín ) deve ser de 0,15 % c, portanto: s,mín = 0,0015. 19. 60 = 1,71 cm 2 > 1,09 cm 2 (2 φ 10 mm = 1,60 cm 2 ) f) rmadura de pele armadura de pele não é necessária, dado que a viga não tem altura superior a 60 cm. No entanto, a fim de evitar fissuras de retração que surgem em vigas com altura superior a 50 cm, será colocada uma armadura de pele com área de 0,05 % c (área da armadura de pele conforme a NBR 6118/80), em cada face da viga: s,pele = 0,0005. 19. 60 = 0,57 cm 2 4 φ 4,2 mm = 0,56 cm 2 em cada face, distribuídos ao longo da altura. g) Dimensionamento das armaduras da viga VS1 Serão dimensionadas as armaduras longitudinais e transversais, para M, V e T. g1) rmadura longitudinal de flexão Normalmente a armadura longitudinal é calculada apenas para os momentos fletores máximos, positivos e negativos.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 74 g1.1) Momento fletor negativo g1.1.1) poio interno P2 M k = - 10.810 kn.cm M d = γ f. M k = 1,4. (-10.810) = - 15.134 kn.cm Para a altura da viga de 60 cm será adotada a altura útil de 56 cm: 2 2 bw d 19. 56 K c = = = 3, 9 M 15134 d Da Tabela de K c e K s tem-se: β x = x/d = 0,30 0,50, K s = 0,026 e domínio 3. Md 15134 s = Ks = 0,026 = 7, 03 cm 2 d 56 6 φ 12,5 mm = 7,50 cm 2 distância livre horizontal entre as barras das duas primeiras fiadas deve ser superior a 25 mm, a fim de permitir a passagem da agulha do vibrador. Supondo o diâmetro do estribo igual a 5 mm, para o detalhamento mostrado, a distância livre resulta: [ 2 ( 2, 0 + 0, 5) + 4. 125, ] 19 e h = = 3, 0 cm 3 distância suficiente para a passagem da agulha do vibrador. e h 6 φ 12,5 g1.1.2) poio interno P3 Neste pilar, devido aos esforços de torção, ocorrem dois diferentes valores para o momento fletor negativo. O cálculo será feito para o maior valor, de 2.101 kn.cm. M d = γ f. M k = 1,4. (- 2.101) = - 2.941 kn.cm 2 2 bw d 19. 57 K c = = = 21, 0 Md 2941 Da Tabela de K c e K s tem-se: β x = x/d = 0,05, K s = 0,024 e domínio 2. Md 2101 s = Ks = 0,024 = 1, 24 cm 2 < s,mín d 57 ( s,mín = 1,71 cm 2 2 φ 10 mm) 2φ10 g1.1.3) poio extremo P1 M k = - 1.721 kn.cm M d = γ f. M k = 1,4. (- 1.721) = - 2.409 kn.cm

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 75 M d = 2.409 < M d,mín = 2.617 kn.cm s = s,mín = 1,71 cm 2 2 φ 10 mm 2φ10 g1.1.4) Momento fletor positivo entre os pilares P1 e P2 M k = 9.638 kn.cm M d = γ f. M k = 1,4. 9.638 = 13.493 kn.cm Como a laje adjacente à viga é do tipo nervurada pré-fabricada, com capa de concreto de espessura 4,0 cm, normalmente não se considera a contribuição da capa para formar a mesa da seção T, de modo que a viga é então calculada como seção retangular. 2 2 bw d 19. 57 K c = = = 4, 6 Md 13493 Da Tabela de K c e K s tem-se: β x = x/d = 0,25 < 0,50, K s = 0,026 e domínio 2. Md 13493 s = Ks = 0,026 = 6, 15 cm 2 d 57 3 φ 16 = 6,00 cm 2 ou 5 φ 12,5 = 6,25 cm 2 (escolha indicada para construções de pequeno porte). 5 φ 12,5 g1.1.5) Momento fletor positivo entre os pilares P2 e P3 M k = 1.841 kn.cm (ver listagem de resultados nos nexos) M d = 1,4. 1841 = 2.577 kn.cm < M d,mín = 2.617 s = s,mín = 1,71 cm 2 2 φ 10 mm 2 φ 10 g1.1.6) Momento fletor positivo à direita do pilar P3 M k = 5.636 kn.cm M d = γ f. M k = 1,4. 5.636 = 7.890 kn.cm

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 76 2 2 bw d 19. 57 K c = = = 7, 8 Md 7890 Da Tabela de K c e K s tem-se: β x = x/d = 0,14 < 0,50, K s = 0,024 e domínio 2. Md 7890 s = Ks = 0,024 = 3, 32 cm 2 d 57 3 φ 12,5 = 3,75 cm 2 3 φ 12,5 g2) rmadura transversal ao esforço cortante O dimensionamento ao esforço cortante será feito com as equações simplificadas apresentadas na apostila de Cortante em vigas, de BSTOS (2004). Sendo a seção retangular será considerado o Modelo de Cálculo II, com ângulo θ de 38. O cálculo está apresentado apenas para o cortante máximo na viga VS1; para as demais forças cortantes a armadura está apenas indicada. g2.1) Pilar interno P2 V k = 99,5 kn.cm V d = γ f. V k = 1,4. 99,5 = 139,3 kn g2.1.1) Verificação das bielas de compressão Para o concreto C20 determina-se a força cortante última ou máxima: V Rd2 = 0,71 bw. d. sen θ. cos θ = 0,71. 19. 56. sen 38. cos 38 = 366,5 kn V 2 Sd = 139,3 < VRd = 366,5 kn não ocorrerá esmagamento das diagonais de concreto. g2.1.2) Cálculo da armadura transversal Para o concreto C20 a equação para determinar a força cortante correspondente à armadura mínima é: V Sd,mín = 0,035. bw. d. cot g θ + V c 1 V c1 = V c0 Com V c0 : V V V Rd2 Rd2 V V Sd c0 3 2 0,3 20 = 0,6 fctd bw d = 0,6 0,7 19. 56 70,6 KN 10.1,4 c 0 = 366,5 139,3 = 70,6 54,2 kn 366,5 70,6 V c 1 = V Sd,mín = 0,035.19. 56. cot g 38 + 54,2 = 101, 9 kn

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 77 VSd = 139,3 > VSd, mín = 101,9 kn portanto, deve-se calcular a armadura transversal p/ V Sd Da equação para sw na Tabela 2 da apostila de cortante em vigas (concreto C20): ( V V ) c1 sw = 2,55 d. cot g θ Sd = ( 139,3 54,2) 2,55 = 3,03 cm 2 /m 56. cot g 38 armadura mínima é calculada pela equação: 20 f ctm sw,mín = bw (cm 2 3 2 3 2 /m), com fctm 0,3 fck = 0,3 20 = 2, 21 f ywk = MPa 20. 0,221 =.19 1,68 cm 2 /m 50 sw, mín = Como sw = 3,03 cm 2 /m > sw,mín = 1,68 cm 2 /m deve-se dispor a armadura calculada. g2.1.3) Detalhamento da armadura transversal - Diâmetro do estribo: 5 mm φ t b w /10 φ t 190/10 19 mm - Espaçamento máximo: 0,67 V Rd2 = 0,67. 366,5 = 245,6 kn V Sd = 139,3 < 245,6 kn s 0,6 d 30 cm 0,6 d = 0,6. 56 = 33,6 cm Portanto, s 30 cm - Espaçamento transversal entre os ramos do estribo: 0,20 V Rd2 = 0,20. 366,5 = 73,3 kn V Sd = 139,3 > 73,3 kn s 0,6 d 35 cm 0,6 d = 0,6. 56 = 33,6 cm Portanto, s 33,6 cm g2.1.4) Detalhamento da armadura transversal Pilar P2 ( sw = 3,03 cm 2 ) Considerando estribo vertical composto por dois ramos e diâmetro de 5 mm (1φ 5 mm = 0,20 cm 2 ), tem-se: sw 0,0303 s = cm 2 /cm 0,40 = 0, s 0303 s = 13,2 cm s máx = 30 cm rmadura Mínima ( sw,mín = 1,68 cm 2 ) Para a armadura mínima de 1,68 cm 2 /m, considerando o mesmo estribo, tem-se: sw 0,0168 s = cm 2 /cm 0,40 = 0, s 0168 s = 23,8 cm s máx = 30 cm Para as demais forças cortantes ao longo da viga VS1 as armaduras transversais são mostradas na Tabela 2. Como as forças cortantes são pequenas, resulta a armadura mínima. penas

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 78 no lado esquerdo do pilar P2 e no trecho com mudança de direção a armadura transversal será maior que a mínima. Tabela 2 Forças cortantes e armaduras ao longo da viga VS1. Pilar V k (kn) V Sd (kn) sw (cm 2 /m) P1 74,2 103,9 1,70 P2 66,2 92,3 1,68 P3 58,2 81,5 1,68 P3 13,5 18,9 1,68 Intersecção VS6 37,9 53,1 1,68 g3) ncoragem das armaduras longitudinais g3.1) rmadura positiva no pilar extremo P1 II: V k = 74,2 kn V Sd = 1,4. 74,2 = 103,9 kn Valor do deslocamento do diagrama de momentos fletores (a l ) segundo o modelo de cálculo a l = 0,5 d (cot g θ cot g α) = 0,5. 57 (cotg 38 cotg 90) a l = 36,5 cm 0,5 d = 0,5. 57 = 28,5 cm Conforme a Eq. 16 da apostila de ncoragem, a armadura a ancorar no apoio é: 1 a l 1 36,5 s, calc = VSd + NSd = 103,9 = 1, 53 cm 2 f yd d 50 57 1,15 armadura positiva do vão adjacente é composta por 5 φ 12,5 mm, onde 2 φ 12,5 mm posicionados nos vértices dos estribos devem ser obrigatoriamente estendidos até os apoios. Portanto, s,ef = 2 φ 12,5 mm = 2,50 cm 2. armadura efetiva no apoio deve atender à armadura mínima, dada por: s,calc 1 3 1 4 s,vão s,vão se se M M apoio apoio M = 0 ou negativo e Mapoio 2 M vão = negativo e Mapoio > 2 M d,apoio = - 2.409 kn.cm < M d,vão /2 = 13.493/2 = 6.747 kn.cm Portanto, s, calc 1/3 s,vão = 6,15/3 = 2,05 cm 2 s, calc = 1,53 cm 2 < 1/3 s,vão = 2,05 cm 2 portanto, ancorar 2,05 cm 2 vão O comprimento mínimo da ancoragem no apoio (l b,mín ) é: l b,mín r + 5,5 φ 6 cm

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 79 r = 5/2 φ = 2,5. 1,25 = 3,1 cm (com r determinado na Tabela 1 na apostila de ncoragem) 3,1 + 5,5. 1,25 = 10,0 cm > 6 cm Comprimento de ancoragem efetivo: l be = b c = 19 2 = 17 cm Comprimento de ancoragem básico: l b φ = 4 f f yd bd Resistência de aderência: c l b,nec l be s,ef f bd = η 1. η 2. η 3. f ctd 0,7. 0,3 3 2 0,7. 0,3 3 com fctd = fck = 20 2 = 0, 11kN/cm 2 γ 1,4.10 c b Considerando barra nervurada e situação de boa aderência, fica: f bd = 2,25. 1,0. 1,0. 0,11 = 0,25 kn/cm 2 l 50 1,25 1,15 = 4 0,25 b = 54,6 cm Comprimento de ancoragem necessário, sem gancho: l 2,05 = 1,0. 54,6 2,50 s,calc b,nec = α1 l b = s,ef 44,8 cm Numa primeira análise verifica-se que o comprimento de ancoragem necessário (sem gancho) é superior ao comprimento de ancoragem efetivo (l b,nec = 44,8 cm > l be = 17 cm). Isto significa que não é possível fazer a ancoragem sem gancho. próxima tentativa de ancoragem é fazer o gancho. O comprimento de ancoragem necessário, com gancho é: l = 0,7. 44,8 b,nec,g = 31,3cm Verifica-se que mesmo com o gancho ainda não é possível fazer a ancoragem, pois o comprimento de ancoragem resultou maior que o comprimento de ancoragem efetivo: (l b,nec,g = 31,3 cm > l be = 17 cm). próxima alternativa é aumentar a armadura longitudinal a ancorar no apoio, para s,corr, como definido pela Eq. 19 da apostila de ncoragem e Emendas (BSTOS, 2004), ou colocar grampos: l 54,6 b s,corr = s,calc = 2,05 = 3, 35 l be + 0,3 l b 17 + 0,3. 54,6 cm 2

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 80 Entre vários arranjos possíveis para atender a armadura corrigida, pode-se estender uma terceira barra das cinco da armadura positiva no vão, o que leva a s,ef = 3 φ 12,5 = 3,75 cm 2, o que atende à armadura necessária. Como exemplo, caso se optasse pela colocação direta de grampos, a área de grampos seria: s,grampo = s,calc s,ef l be φgr + 0,3 l l b b l be φ l gr b,gr + 0,3 l b,gr Comprimento de ancoragem básico dos grampos, supondo diâmetro de 6,3 mm: l φ f yd = 4 f bd 50 0,63 1,15 = 4. 0,25 b,gr = 27,4 cm Supondo a armadura efetiva composta por 2 φ 12,5 = 2,50 cm 2 (com ganchos), a área para os grampos resulta:, grampo 17 0,63 + 0,3. 54,6 27,4 = 2,05 2,50 0,61cm 2 54,6 17 0,63 + 0,3. 27,4 s = Área da armadura total a ancorar: 2,50 + 0,61 = 3,11 cm 2. rmadura efetiva (escolhida): 2 φ 12,5 + 2 φ 6,3 (1 grampo) = 3,13 cm 2. O detalhe da ancoragem está mostrado na Figura 60. 2,0 95 φ = 60 cm gr 2 φ 12,5 10 2 cm 16,4 19 Grampo Figura 60 Detalhe da ancoragem nos pilares extremos. g3.2) rmadura positiva nos pilares internos Nos pilares internos a ancoragem da armadura longitudinal positiva deve atender a armadura mínima e estender 10φ além da face do apoio.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 81 g3.3) rmadura negativa no pilar extremo P1 armadura negativa proveniente do engastamento elástico nos pilares extremos deve penetrar até próximo à face do pilar, respeitando-se a espessura do cobrimento, e possuir um gancho direcionado para baixo, com comprimento de pelo menos 35φ. O diâmetro de dobramento deve ser de 5φ, como indicado na Figura 61. 2 φ 10 5 φ 35 φ 35 cm Figura 61 ncoragem da armadura negativa nos pilares extremos. g4) Dimensionamento à torção g4.1) Verificação da biela comprimida T k = 1.099 kn.cm T Sd = 1,4. 1.099 = 1.539 kn.cm Para não ocorrer esmagamento das bielas comprimidas de concreto, conforme a Eq. 34 deve-se ter: V V Sd Rd2 T + T Sd Rd2 1 V Rd2 = 366,5 kn esforço cortante máximo permitido na viga; V Sd,máx = 81,5 kn. Área da seção transversal: = b w. h = 19. 60 = 1140 cm 2 Perímetro da seção transversal: u = 2 (b w + h) = 2 (19 + 60) = 158 cm s Eq. 19 e 20 fornecem os limites para a espessura h e da casca: 1140 h e = = 7,2 cm com h e 2 c 1 u 158 c 1 = φ l /2 + φ t + c nom = 1,25/2 + 0,5 + 2,0 = 3,125 cm h e 2. 3,125 = 6,25 cm Portanto, os limites para h e são: 6,25 cm h e 7,2 cm

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 82 Será adotado h e = 7,0 cm. e = (b w h e ). (h h e ) = (19 7). (60 7) = 636 cm 2 O momento torçor máximo, determinado pela Eq. 23, com ângulo θ (38 ) igual ao aplicado no cálculo da viga ao esforço cortante é: T Rd,2 = 0,5 α v2 f cd e h e sen 2 θ = 0,5 (1 20/250). (2,0/1,4) 636. 7,0. sen 2. 38 = 2.838,7 kn plicando os valores na Eq. 34 fica: 81,5 366,5 1539,0 + = 0,76 1,0 2838,7 Como a equação foi satisfeita não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão. g4.2) Cálculo das armaduras s armaduras mínimas, transversal e longitudinal, já foram calculadas no dimensionamento da viga ao cortante, e valem 1,68 cm 2 /m. rmadura transversal (estribos) conforme a Eq. 25: s,90 s TSd 1539 = tg θ = tg 38 = 0,0217 cm 2 /cm = 2,17 cm 2 /m sw,mín = 1,68 cm 2 /m 2 f 50 e ywd 2 636 1,15 rmadura longitudinal conforme a Eq. 28: s l TSd 1539 = = 0,0356 u 2 f tg 50 e ywd θ = cm 2 /cm = 3,56 cm 2 /m 68 s l, mín = 1, 2 636 tg 38 1,15 g4.3) Detalhamento g4.3.1) rmadura longitudinal área total de armadura é obtida pela soma das armaduras de flexão e de torção, calculada para cada uma das quatro faces da viga. Pilar P3: Face superior: - da flexão s = 1,24 cm 2 - da torção s = (b w h e ) sl = (19 7) 0,0356 = 0,43 cm 2 - s,total = 1,24 + 0,43 = 1,67 cm 2 (2 φ 10 = 1,60 cm 2 ) Face inferior: - da flexão s = 0,00 cm 2 - da torção s = (b w h e ) sl = (19 7) 0,0356 = 0,43 cm 2

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 83 - s,total = 0,43 cm 2 (esta armadura será atendida pela armadura longitudinal positiva que se estende até o apoio - 2 φ 12,5 mm = 2,50 cm 2 ) Faces laterais: - s,total = (h h e ) sl = (60 7) 0,0356 = 1,89 cm 2 (4 φ 8 mm = 2,00 cm 2 ). Esta armadura deverá se estender do pilar P3 até a intersecção com a viga VS6; a armadura contribui também para evitar possíveis fissuras por retração do concreto. Região do máximo momento positivo Face superior: - da flexão s = 0,00 cm 2 - da torção s = (19 7) 0,0356 = 0,43 cm 2 - s,total = 0,43 cm 2 (2 φ 8 = 1,00 cm 2 ) Face inferior: - da flexão s = 3,32 cm 2 - da torção s = (19 7) 0,0356 = 0,43 cm 2 - s,total = 3,32 + 0,43 = 3,75 cm 2 (3 φ 12,5 mm = 3,75 cm 2 ) Faces laterais: - s,total = (h h e ) sl = (60 7) 0,0356 = 1,89 cm 2 (4 φ 8 mm = 2,00 cm 2 ). g4.3.2) rmadura transversal área total de estribos é calculada pela soma das áreas relativas ao esforço cortante e à torção. armadura para o esforço cortante máximo entre o pilar P3 e a interseção com a viga VS6 resultou na armadura mínima, de 1,68 cm 2 /m. Como a armadura para a torção supera a armadura mínima do cortante, é suficiente considerar a armadura para torção:, 90 s = 0,0217 cm 2 /cm = 2,17 cm 2 /m s O diâmetro mínimo para o estribo à torção é de 5 mm. Supondo estribo fechado de dois ramos com diâmetro de 5 mm tem-se: 0,40 = 0,0217 s = 18,4 cm < s máx = 30 cm s Na Figura 63 encontra-se mostrado o detalhamento final das armaduras da viga VS1.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 84 g5) Detalhamento da armadura longitudinal Segundo o modelo de cálculo II o deslocamento (a l ) do diagrama de momentos fletores resultou 36 cm. O comprimento de ancoragem básico para barras φ 12,5 mm em situação de má aderência e concreto C20 já foi calculado e vale 78 cm. Figura 62 mostra o cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo, feito para determinação do comprimento das barras das armaduras longitudinais, positiva e negativa. 194 152 196 114 114 78 78 2 φ 12,5 78 78 120 12,5 12,5 62 78 2 φ12,5 12,5 2 φ 10 2 φ 12,5 12,5 114 78 10 12,5 12,5 61 B 10 φ 12,5 151 10 φ 12,5 l b 54 1 φ 12,5 2 φ 12,5 2 φ 12,5 10 φ 12,5 l b 54 B 10 φ 12,5 234 143 79 12,5 2 φ 12,5 1 φ 12,5 370 12,5 Figura 62 Cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo da viga VS1. Figura 63 apresenta o detalhamento final das armaduras da viga. Este desenho é feito comumente na escala 1:50. O desenho do corte da seção transversal e do estribo é feito normalmente na escala de 1:25 ou 1:20.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 85 35 VS 1 (19 x 60) N1-26 c/23 N1-8 c/13 104 N1-13 c/23 P1 P2 P3 N2-2 φ 10 C = 606 40 195 N3-2 φ 12,5 C = 660 150 195 N5-2 φ 12,5 C = 345 115 115 N6-2 φ 12,5 C = 230 (2 cam) N7-2 x 4 φ 4,2 C = 1056 30 120 50 N1-25 c/18 N4-2 φ 8 C = 414 VS6 40 2N5 2N3 2N6 4N7 4N7 1N9 2N12 2N10 15 56 N8-2 x 4 φ 8 C = 501 150 235 N9-1 φ 12,5 C = 343 (2 cam) N1-72 φ 5 C = 152 60 N10-2 φ 12,5 C = 528 140 80 30 N11-1 φ 12,5 C = 361 14 10 30 60 N12-2 φ 12,5 C = 742 N13-2 φ 10 C = 340 N15-1 φ 6,3 C = 134 N14-2 φ 12,5 C = 511 40 Figura 63 Desenho final com a armadura da viga VS1. h) Dimensionamento das armaduras da viga VS6 Serão dimensionadas as armaduras longitudinais e transversais para os esforços de M, V e T. h1) rmadura longitudinal de flexão Normalmente a armadura longitudinal é calculada apenas para os momentos fletores máximos, positivos e negativos. h1.1) poio interno P6 M k = - 13.188 kn.cm M d = γ f. M k = 1,4. (- 13.188) = - 18.463 kn.cm Para a altura da viga de 60 cm será adotada a altura útil de 56 cm: 2 2 bw d 19. 55,5 K c = = = 3, 2 M 18463 d Da Tabela de K c e K s tem-se: β x = x/d = 0,38 0,50, K s = 0,027 e domínio 3. Md 18463 s = Ks = 0,027 = 8, 98 cm 2 d 55,5 e h 7 φ 12,5

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 86 7 φ 12,5 mm = 8,75 cm 2 Deve-se ter β x = x/d 0,50. Neste caso, com β x = x/d = 0,38 o limite está satisfeito, o que deve garantir a necessária ductilidade à viga nesta seção. distância livre horizontal entre as barras das duas primeiras fiadas deve ser superior a 25 mm, a fim de permitir a passagem da agulha do vibrador. Supondo o diâmetro do estribo igual a 5 mm, para o detalhamento mostrado, a distância livre resulta: [ 2 ( 2, 0 + 0, 5) + 4. 125, ] 19 e h = = 3, 0 cm 3 distância suficiente para a passagem da agulha do vibrador. h1.2) Momento positivo na extremidade da viga M k = 1.940 kn.cm M d = γ f. M k = 1,4. (1.940) = 2.716 kn.cm 2φ10 2 2 bw d 19. 57 K c = = = 22, 7 Md 2716 Da Tabela de K c e K s tem-se K s = 0,024 e dom. 2. Md 2716 s = Ks = 0,024 = 1, 14 cm 2 < s,mín d 57 ( s,mín = 1,71 cm 2 2 φ 10 mm) h1.3) Momento fletor positivo entre os pilares P6 e P9 M k = 2.023 kn.cm M d = γ f. M k = 1,4. 2.023 = 2.832 kn.cm 2 2 bw d 19. 57 K c = = = 21, 8 Md 2832 Da Tabela de K c e K s tem-se K s = 0,024. Md 2832 s = Ks = 0,024 = 1, 19 cm 2 < s,mín d 57 ( s,mín = 1,71 cm 2 2 φ 10 mm) 2 φ 10 h2) rmadura transversal ao esforço cortante Na viga VS6 o esforço cortante máximo é V Sd = 96,2 kn, valor menor que a força cortante mínima, o que leva à armadura transversal mínima ( sw,mín = 1,68 cm 2 /m estribo φ 5 c/ 23 cm) na viga.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 87 h3) ncoragem das armaduras longitudinais O esforço cortante no pilar P9 é pequeno (2,4 kn) e existe também um pequeno momento fletor positivo (372 kn.cm). armadura mínima de flexão do vão adjacente (2 φ 10 mm) é suficiente para resistir a este momento. favor da segurança deve-se ancorar as duas barras no pilar P9 fazendo-se o gancho. h4) rmadura positiva no pilar interno Nos pilares internos a ancoragem da armadura longitudinal positiva deve atender a armadura mínima e estender 10φ além da face do apoio. h5) Dimensionamento à torção h5.1) Verificação da biela comprimida T k = 1.059 kn.cm T Sd = 1,4. 1.059 = 1.483 kn.cm Este momento torçor é um pouco menor e muito próximo daquele encontrado para o trecho final da viga VS1 (T d = 1.539 kn.cm). Desse modo, como a seção transversal é a mesma, será adotada a mesma armadura de torção calculada para a viga VS1. 90 Estribos: s, = 0, 0217 cm 2 /cm = 2,17 cm 2 /m sw,mín = 1,68 cm 2 /m s rmadura longitudinal: s l = 0, 0356 u cm 2 /cm = 3,56 cm 2 /m 1,68 cm s l, mín = 2 /m h5.2) Detalhamento h5.2.1) rmadura longitudinal área total de armadura é obtida pela soma das armaduras de flexão e de torção, calculadas para cada uma das quatro faces externas da viga. Face superior: - da flexão s = 8,98 cm 2 - da torção s = (19 7) 0,0356 = 0,43 cm 2 - s,total = 8,98 + 0,43 = 9,41 cm 2 (7 φ 12,5 + 1 φ10 = 9,55 cm 2 ) Face inferior: - da flexão s = 0,00 cm 2 - da torção s = (19 7) 0,0356 = 0,43 cm 2 - s,total = 0,43 cm 2 (esta armadura será atendida pela armadura longitudinal positiva que se estende até o apoio - 2 φ 10 mm = 1,60 cm 2 ) Faces laterais:

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 88 - s,total = (60 7) 0,0356 = 1,89 cm 2 (4 φ 8 mm = 2,00 cm 2 ). Esta armadura deverá se estender do pilar P6 até a intersecção com a viga VS1. h5.3.2) rmadura transversal área total de estribos é calculada pela soma das áreas relativas ao esforço cortante e à torção. armadura para o esforço cortante máximo entre o pilar P6 e a interseção com a viga VS1 resultou na armadura mínima, de 1,68 cm 2 /m. Como a armadura para a torção supera a armadura mínima do cortante, é suficiente considerar a armadura para torção:, 90 s = 0,0217 cm 2 /cm = 2,17 cm 2 /m s Supondo estribo fechado de dois ramos com diâmetro de 5 mm tem-se: 0,40 = 0,0217 s = 18,4 cm < s máx = 30 cm s Na Figura 65 encontra-se mostrado o detalhamento final das armaduras da viga VS1. h6) Detalhamento da armadura longitudinal Como já calculado o deslocamento do diagrama de momentos fletores de cálculo é 36 cm. O comprimento de ancoragem básico para barras φ 12,5 mm em situação de má aderência e concreto C20 é 78 cm. Figura 64 mostra o cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo, feito para determinação do comprimento das barras das armaduras longitudinais, positiva e negativa. 463 284 272 205 167 78 137 78 78 12,5 3 φ 12,5 78 12,5 12,5 12,5 B 2 φ 12,5 2 φ 12,5 B 12,5 78 12,5 B Figura 64 Esquema do cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 89 Figura 65 apresenta o detalhamento final das armaduras da viga. Este desenho é feito normalmente na escala 1:50. O desenho do corte da seção transversal e do estribo é feito normalmente na escala de 1:25 ou 1:20. tenção máxima deve ser dispensada a este detalhamento final, pois comumente é apenas com ele que a armação da viga será executada. VS 6 (19 x 60) N1-22 c/ 23 N1-15 c/ 18 2N3 2N2 1N5 3N4 P9 P6 VS1 4N7 4N7 40 N2-2 φ 12,5 C = 895 270 205 40 2N9 15 N3-2 φ 12,5 C = 475 170 140 56 N4-3 φ 12,5 C = 310 (2 cam) N5-1 φ 10 C = 299 (2 cam) N1-37 φ 5 mm C = 152 N6-2 x 4 φ 4,2 C = 535 N7-2 x 4 φ 8 C = 329 30 10 N8-2 φ 10 C = 545 N9-2 φ 10 C = 339 40 Figura 65 Desenho com a armadura final da viga VS6. 14. QUESTIONÁRIO 1ª) Comente sobre os casos mais comuns de torção nas construções. 2ª) O que são torção de equilíbrio e torção de compatibilidade? Cite exemplos. 3ª) Qual o valor do momento de torção solicitante no caso de viga biengastada sob solicitação de torção externa uniforme no vão? 4ª) O que é torção de St. Venant? 5ª) Para uma seção circular, mostre numa figura como se configuram as tensões principais devidas à torção. 6ª) E como se configuram as tensões de cisalhamento devidas à torção? 7ª) Qual a equação que define a tensão de cisalhamento devida à torção para uma seção vazada? 8ª) Indique numa figura o que é a área e e o perímetro u.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 90 9ª) Verifique a eficiência alcançada pela viga em função dos diferentes arranjos para a armadura. 10ª) Por que uma viga de concreto armado retangular pode ser analisada à torção como se fosse oca e com espessura da casca constante? 11ª) Por que pode-se fazer uma analogia da viga sob torção com uma treliça espacial? 12ª) Como se configura a treliça espacial generalizada? 13ª) Como se configuram as trajetórias das fissuras numa viga sob torção e flexão? 14ª) Explique resumidamente quais são as formas de ruptura de uma viga por torção. 15ª) Estude a dedução das equações desenvolvidas para a treliça espacial generalizada. 16ª) Como a norma define a espessura da casca da seção vazada? 17ª) Qual é a resistência proporcionada pelas diagonais comprimidas de concreto? 18ª) Como são as equações que definem as armaduras para a torção? 19ª) No caso de torção combinada com cortante, como se verifica a biela de concreto comprimido? 20ª) Qual o objetivo de se dispor uma armadura mínima à torção? 21ª) Como é calculada a armadura mínima para a torção? 22ª) Qual o diâmetro mínimo e máximo para os estribos? Qual é o espaçamento máximo? 23ª) Por que os estribos para torção não podem ser abertos? 24ª) Como deve ser feita a distribuição da armadura longitudinal nas faces da viga? REFERÊNCIS BIBLIOGRÁFICS MERICN CONCRETE INSTITUTE. Building code requirements for structural concrete, CI 318 R-95. Farmington Hills, 1995, 369p. SSOCIÇÃO BRSILEIR DE NORMS TÉCNICS. Projeto de estruturas de concreto Procedimento - NBR 6118, versão corrigida, Rio de Janeiro, BNT, mar/2004, 170p. BSTOS, P.S.S. Dimensionamento de vigas de concreto armado ao esforço cortante. Disciplina 1309 Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista, mar/2004, 70p. BSTOS, P.S.S. ncoragem e emenda de armaduras. Disciplina 1309 Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista, mar/2004, 42p. BSTOS, P.S.S. Vigas de edifícios. Disciplina 1309 Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista, abr/2004, 43p. BSTOS, P.S.S. Programa GPLN3 Diretrizes para o desenvolvimento de modelos de grelhas. Disciplina 1365 Estruturas de Concreto IV. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista, set/1995, 26p.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 91 COMITÉ EURO-INTERNTIONL DU BÉTON. Model Code 1990, MC-90, CEB-FIP, Bulletin D Information n. 204, Lausanne, 1991. CORRÊ, M.R.S. ; RMLHO, M.. ; CEOTTO, L.H. Sistema PPLN4/GPLN4 Manual de utilização. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos USP, Departamento de Engenharia de Estruturas, 1992, 80p. GIONGO, J.S. Concreto armado: Vigas submetidas a esforços de torção. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos USP, Departamento de Engenharia de Estruturas, 1996, 40p. LEONHRDT, F. ; MÖNNIG, E. Construções de concreto Princípios básicos do dimensionamento de estruturas de concreto armado, v. 1, Rio de Janeiro, Ed. Interciência, 1982, 305p. LIM, J.S. ; GURD, M.C. ; PINHEIRO, L.M. nálise de torção em vigas de acordo com a nova NBR 6118. In: 42 CONGRESSO BRSILEIRO DO CONCRETO, IBRCON. Fortaleza, ago/2000, CD-ROM, 16p. MCGREGOR, J.G. Reinforced concrete Mechanics and design. 3a ed., Upper Saddle River, Ed. Prentice Hall, 1997, 939p. SÁNCHEZ, E. Dimensionamento à torção: novas prescrições normativas brasileiras. In: Nova normalização brasileira para o concreto estrutural. 2001, p.155-185. SÜSSEKIND, J.C. Curso de concreto, v. 1, 4 a ed., Porto legre, Ed. Globo, 1985, 376p. BIBLIOGRFI COMPLEMENTR FUSCO, P.B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo, Ed. Pini, 2000, 382p. LEONHRDT, F. ; MÖNNIG, E. Construções de concreto Princípios básicos sobre a armação de estruturas de concreto armado, v. 3, Rio de Janeiro, Ed. Interciência, 1982, 273p. NWY, E.G. Reinforced concrete fundamental approach. Englewood Cliffs, Ed. Prentice Hall, 1985, 701p. PINHEIRO, L.M. Concreto armado Tabelas e ábacos. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos USP, Departamento de Engenharia de Estruturas, 1986. SÁNCHEZ, E. nálise crítica do projeto de revisão da NB-1: Prescrições para o dimensionamento à torção. In: XXIX JORNDS SUDMERICNS DE INGENIERI ESTRUCTURL, 2000, CD-ROM, 7p.

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 92 NEXOS - LISTGEM DE RESULTDOS DOS PROGRMS GPLN4 E PPLN4 LISTGEM DE RESULTDOS DO EXEMPLO 1 - GRELH ESCOL DE ENGENHRI DE SO CRLOS - USP SISTEM NSER - NLISE DE SISTEMS ESTRUTURIS RETICULDOS PROGRM GPLN4 - NLISE DE GRELHS - VERSO FEV/92 PROJETO: TORCO CLIENTE: CONCRETO II --------------------------------------------------------------------------- GERCO D GEOMETRI D GRELH: EXEMPLO 1 --------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------- GERCO DE COORDENDS NODIS NO COORD X COORD Y IDENT --------------------------------------------------------------------------- 1 165.000.000 NO 2.000 95.000 NO 3 165.000 95.000 NO --------------------------------------------------------------------------- GERCO DE RESTRICOES NODIS NO RESTR Z RESTR X RESTR Y IDENT --------------------------------------------------------------------------- 2 1 1 1 RES -------------------------------------------------------------------------- GERCO DE CRCTERISTICS DE BRRS NO NO COSSENO OPCO BRR INIC FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR DIG IDENT --------------------------------------------------------------------------- 1 1 3 1 95.000.0000 1 BR 2 2 3 2 165.000 1.0000 1 BR --------------------------------------------------------------------------- GERCO DE PROPRIEDDES DE BRRS PROP MT RE I FLEXO I TORCO LTUR IDENT --------------------------------------------------------------------------- 1 1.10000E+04.20833E+06.10000E+03 50.00 PROP 2 1.17500E+04.36458E+06.40517E+06 50.00 PROP

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 93 --------------------------------------------------------------------------- GERCO DE PROPRIEDDES DE MTERIIS MT MOD LONG MOD TRNS PESO ESP COEF TERM IDENT --------------------------------------------------------------------------- 1.238000E+04.480000E+03.00000E+00.0000E+00 MTL --------------------------------------------------------------------------- PRMETROS GEOMETRICOS E ELSTICOS D GRELH: EXEMPLO 1 --------------------------------------------------------------------------- NUMERO DE NOS... 3 NUMERO DE NOS COM RESTRICOES... 1 NUMERO DE RESTRICOES NODIS... 3 NUMERO DE BRRS... 2 NUMERO DE BRRS COM ROTUL(S)... 0 NUMERO DE ROTULS... 0 NUMERO DE PROPRIEDDES DE BRRS... 2 NUMERO DE MTERIIS... 1 NUMERO DE GRUS DE LIBERDDE... 6 MXIM DIFERENC ENTRE NUMEROS DE NOS DE BRRS... 2 LRGUR DE BND D MTRIZ DE RIGIDEZ... 9 NUMERO DE ELEMENTOS D MTRIZ DE RIGIDEZ... 54 --------------------------------------------- I FIM D CONSISTENCI DE DDOS D GEOMETRI I I I I CONTECERM: 0 ERROS E 0 DVERTENCIS I --------------------------------------------- ESCOL DE ENGENHRI DE SO CRLOS - USP SISTEM NSER - NLISE DE SISTEMS ESTRUTURIS RETICULDOS PROGRM GPLN4 - NLISE DE GRELHS - VERSO FEV/92 PROJETO: TORCO CLIENTE: CONCRETO II ============================ GRELH: EXEMPLO 1 ============================ COORDENDS E RESTRICOES NODIS NO COORD X COORD Y RESTR Z RESTR X RESTR Y 1 165.000.000 0 0 0 2.000 95.000 1 1 1 3 165.000 95.000 0 0 0 CRCTERISTICS DS BRRS NO ROT NO ROT COSSENO BRR INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR 1 1 0 3 0 1 95.000.0000 2 2 0 3 0 2 165.000 1.0000

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 94 PROPRIEDDES DS BRRS PROP MT RE I FLEXO I TORCO LTUR 1 1.10000E+04.20833E+06.10000E+03 50.00 2 1.17500E+04.36458E+06.40517E+06 50.00 PROPRIEDDES DOS MTERIIS MT MOD LONG MOD TRNS PESO ESP COEF TERM 1.238000E+04.480000E+03.00000E+00.0000E+00 --------------------------------------------------------------------------- GERCO DO CRREGMENTO: CRR1 ( GRELH: EXEMPLO 1 ) --------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------- GERCO DE CRGS EM BRRS BRR TIPO CRG I CRG F REL C/L REL I/L IDENT --------------------------------------------------------------------------- 1 1 -.0250 -.0250 1.000.000 CBR 2 1 -.0437 -.0437 1.000.000 CBR --------------------------------------------------------------------------- GERCO DE CRGS NODIS NO FORC Z MOMENTO X MOMENTO Y IDENT --------------------------------------------------------------------------- 1-50.000.000.000 CNO --------------------------------------------------------------------------- ESTTISTIC DOS DDOS DO CRREGMENTO --------------------------------------------------------------------------- NUMERO DE NOS CRREGDOS... 1 NUMERO DE NOS DESCRREGDOS... 2 NUMERO DE BRRS CRREGDS (EXCETO PESO PROPRIO)... 2 NUMERO DE BRRS DESCRREGDS (EXCETO PESO PROPRIO)... 0 SOMTORIO DS FORCS TRNSVERSIS TUNTES... -59.594 ------------------------------------------------ I FIM D CONSISTENCI DE DDOS DO CRREGMENTO I I I I CONTECERM: 0 ERROS E 0 DVERTENCIS I ------------------------------------------------ CRREGMENTO: CRR1 (GRELH: EXEMPLO 1 )

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 95 DESLOCMENTOS NODIS NO DESLOC Z ROTCO X ROTCO Y 1 -.5163226.0045879.0008594 2.0000000.0000000.0000000 3 -.0950533.0041256.0008594 ESFORCOS NS EXTREMIDDES DS BRRS BRR NO CORTNTE M FLETOR M TORCOR 1 1-50.000.015.000 3-52.375-4862.804.000 2 2 59.594-9237.421 4862.793 3 52.375 -.002 4862.793 RESULTNTES NODIS NO FORC Z MOMENTO X MOMENTO Y 1.000 -.015.000 2 59.594-4862.793-9237.421 3.000 -.011.002 SOMTORIO DS RECOES TRNSVERSIS... 59.594 SOMTORIO DS FORCS TRNSVERSIS TUNTES... -59.594 ERRO PERCENTUL....0000256 % ESFORCOS O LONGO DS BRRS BRR REL X/L CORTNTE M FLETOR M TORCOR 1 0/10-50.000.015.000 1 1/10-50.238-476.114.000 1 2/10-50.475-954.499.000 1 3/10-50.713-1435.140.000 1 4/10-50.950-1918.037.000 1 5/10-51.188-2403.191.000 1 6/10-51.425-2890.601.000 1 7/10-51.663-3380.268.000 1 8/10-51.900-3872.190.000 1 9/10-52.138-4366.369.000 1 10/10-52.375-4862.804.000 2 0/10 59.594-9237.421 4862.793 2 1/10 58.872-8260.080 4862.793 2 2/10 58.150-7294.649 4862.793 2 3/10 57.428-6341.130 4862.793 2 4/10 56.706-5399.522 4862.793 2 5/10 55.984-4469.825 4862.793

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 96 2 6/10 55.262-3552.038 4862.793 2 7/10 54.541-2646.162 4862.793 2 8/10 53.819-1752.198 4862.793 2 9/10 53.097-870.144 4862.793 2 10/10 52.375 -.001 4862.793 - nalise completa - fim do processamento LISTGEM DE RESULTDOS DO EXEMPLO 2 ESCOL DE ENGENHRI DE SO CRLOS SISTEM NSER - NLISE DE SISTEMS ESTRUTURIS RETICULDOS PROGRM PPLN4 - NLISE DE PORTICOS PLNOS - VERSO FEV/92 PROJETO: CONCRETO II CLIENTE: EXEMPLO 2 ============================ PORTICO: V 1 (20 x 40) ============================ COORDENDS E RESTRICOES NODIS NO COORD X COORD Y RESTR X RESTR Y RESTR R 1.000.000.10000E+38.10000E+38.23800E+07 2 191.500.000 0 0 0 3 383.000.000 1 1 1 CRCTERISTICS DS BRRS NO ROT NO ROT COSSENO BRR INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR 1 1 0 2 0 1 191.500 1.0000 2 2 0 3 0 1 191.500 1.0000 PROPRIEDDES DS BRRS PROP MT RE I FLEXO LTUR TEMP 1 1.80000E+03.10667E+06 40.00.00

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 97 PROPRIEDDES DOS MTERIIS MT MOD LONG PESO ESP COEF TERM 1.238000E+04.00000E+00.00000E+00 --------------------------------------------------------------------------- GERCO DO CRREGMENTO: CRR1 ( PORTICO: V 1 (20 x 40) ) --------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------- GERCO DE CRGS EM BRRS BRR TIPO INTENSIDDE REL C/L REL I/L IDENT --------------------------------------------------------------------------- 1 1 -.2107 1.000.000 CBRG 2 1 -.2107 1.000.000 CBRG --------------------------------------------------------------------------- ESTTISTIC DOS DDOS DO CRREGMENTO --------------------------------------------------------------------------- NUMERO DE NOS CRREGDOS... 0 NUMERO DE NOS DESCRREGDOS... 3 NUMERO DE BRRS CRREGDS (EXCETO PESO PROPRIO)... 2 NUMERO DE BRRS DESCRREGDS (EXCETO PESO PROPRIO)... 0 SOMTORIO DS FORCS SEGUNDO O EIXO X....000 SOMTORIO DS FORCS SEGUNDO O EIXO Y... -80.698 ------------------------------------------------ I FIM D CONSISTENCI DE DDOS DO CRREGMENTO I I I I CONTECERM: 0 ERROS E 0 DVERTENCIS I ------------------------------------------------ CRREGMENTO: CRR1 (PORTICO: V 1 (20 x 40) ) DESLOCMENTOS NODIS NO DESLOC X DESLOC Y ROTCO 1.0000000.0000000.0005119 2.0000000 -.0710151 -.0001280 3.0000000.0000000.0000000

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 98 ESFORCOS NS EXTREMIDDES DS BRRS BRR NO NORML CORTNTE M FLETOR 1 1.000 35.033-1218.352 2.000-5.316 1627.123 2 2.000-5.316 1627.123 3.000-45.665-3254.246 RESULTNTES NODIS NO RESULT X RESULT Y MOMENTO 1.000 35.033-1218.352 2.000.000.000 3.000 45.665 3254.246 SOMTORIO DS RECOES SEGUNDO O EIXO Y... 80.698 SOMTORIO DS FORCS TUNTES SEGUNDO O EIXO Y... -80.698 ERRO PERCENTUL....0000000 % ESFORCOS O LONGO DS BRRS BRR REL X/L NORML CORTNTE M FLETOR 1 0/10.000 35.033-1218.352 1 1/10.000 30.998-586.096 1 2/10.000 26.964-31.109 1 3/10.000 22.929 446.609 1 4/10.000 18.894 847.059 1 5/10.000 14.859 1170.241 1 6/10.000 10.824 1416.154 1 7/10.000 6.789 1584.799 1 8/10.000 2.754 1676.176 1 9/10.000-1.281 1690.283 1 10/10.000-5.316 1627.123 2 0/10.000-5.316 1627.123 2 1/10.000-9.351 1486.694 2 2/10.000-13.385 1268.997 2 3/10.000-17.420 974.031 2 4/10.000-21.455 601.797 2 5/10.000-25.490 152.294 2 6/10.000-29.525-374.477 2 7/10.000-33.560-978.517 2 8/10.000-37.595-1659.825 2 9/10.000-41.630-2418.401 2 10/10.000-45.665-3254.246

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 99 LISTGEM DE RESULTDOS DO EXEMPLO 3 GRELH ESCOL DE ENGENHRI DE SO CRLOS - USP SISTEM NSER - NLISE DE SISTEMS ESTRUTURIS RETICULDOS PROGRM GPLN4 - NLISE DE GRELHS - VERSO FEV/92 PROJETO: TORCO CLIENTE: EXEMPLO 3 - COM MOLS ============================ GRELH: GRELH PV. ============================ COORDENDS E RESTRICOES NODIS NO COORD X COORD Y RESTR Z RESTR X RESTR Y 1.000.000.10000E+38.61648E+06.61648E+06 2 359.500.000 0 0 0 3 719.000.000.10000E+38.24267E+07.00000E+00 4 1078.500.000 0 0 0 5 1438.000.000.10000E+38.61648E+06.61648E+06 6.000 523.000.10000E+38.00000E+00.97338E+06 7 359.500 523.000 0 0 0 8 719.000 523.000 1 0 0 9 1078.500 523.000 0 0 0 10 1438.000 523.000.10000E+38.00000E+00.97338E+06 11 1438.000 807.000 0 0 0 12 1243.500 926.500 0 0 0 13.000 1046.000.10000E+38.61648E+06.61648E+06 14 359.500 1046.000 0 0 0 15 719.000 1046.000.10000E+38.24267E+07.00000E+00 16 1049.000 1046.000 1 0 0 CRCTERISTICS DS BRRS NO ROT NO ROT COSSENO BRR INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR 1 1 0 2 0 1 359.500 1.0000 2 2 0 3 0 1 359.500 1.0000 3 3 0 4 0 1 359.500 1.0000 4 4 0 5 0 1 359.500 1.0000 5 6 0 7 0 2 359.500 1.0000 6 7 0 8 0 2 359.500 1.0000 7 8 0 9 0 2 359.500 1.0000 8 9 0 10 0 2 359.500 1.0000 9 13 0 14 0 1 359.500 1.0000

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 100 10 14 0 15 0 1 359.500 1.0000 11 15 0 16 0 1 330.000 1.0000 12 16 0 12 0 3 228.277.8520 13 12 0 11 0 3 228.277.8520 14 11 0 10 0 3 284.000.0000 15 10 0 5 0 1 523.000.0000 16 1 0 6 0 4 523.000.0000 17 6 0 13 0 4 523.000.0000 18 3 0 8 0 4 523.000.0000 19 8 0 15 0 4 523.000.0000 PROPRIEDDES DS BRRS PROP MT RE I FLEXO I TORCO LTUR 1 1.11400E+04.34200E+06.10000E+03 60.00 2 1.13300E+04.54308E+06.10000E+03 70.00 3 1.11400E+04.34200E+06.10965E+06 60.00 4 1.85500E+03.14428E+06.10000E+03 45.00 PROPRIEDDES DOS MTERIIS MT MOD LONG MOD TRNS PESO ESP COEF TERM 1.212800E+04.480000E+03.00000E+00.0000E+00 CRREGMENTO: CRR1 (GRELH: GRELH PV. ) DESLOCMENTOS NODIS NO DESLOC Z ROTCO X ROTCO Y 1.0000000 -.0008127.0022300 2 -.4313683 -.0006779 -.0005575 3.0000000 -.0005432.0000000 4 -.4313675.0000298.0005575 5.0000000.0006027 -.0022300 6.0000000.0000000.0022569 7 -.4384310.0000000 -.0005528 8.0000000 -.0000001 -.0000457 9 -.4137887 -.0011135.0005299 10.0000000 -.0022268 -.0020741 11-1.0433960 -.0041370.0036414 12 -.6875809.0006757.0023666 13.0000000.0008127.0027923 14 -.5983620.0006780 -.0003741 15.0000000.0005434 -.0012958 16.0000000.0052094.0006376

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 101 ESFORCOS NS EXTREMIDDES DS BRRS BRR NO CORTNTE M FLETOR M TORCOR 1 1 67.983-1374.770.018 2-18.837 7459.192.018 2 2-18.837 7459.191.018 3-105.656-14918.370.018 3 3 105.656-14918.380.077 4 18.837 7459.182.077 4 4 18.837 7459.182.077 5-67.983-1374.782.077 5 6 108.533-2196.740.000 7-29.659 11980.990.000 6 7-29.659 11980.990.000 8-167.850-23521.220.000 7 8 166.625-23521.330 -.149 9 28.433 11540.290 -.149 8 9 28.433 11540.290 -.149 10-109.759-3078.051 -.149 9 13 74.178-1721.450 -.018 14-12.641 9339.938 -.018 10 14-12.641 9339.936 -.018 15-99.460-10810.200 -.018 11 15 66.239-10810.080.679 16-13.456-2101.024.679 12 16 58.202-1790.493-1099.280 12 6.087 5547.339-1099.280 13 12 6.087 5547.332-1099.280 11-37.880 1918.534-1099.280 14 11-37.880 1940.952 1059.191 10-68.665-13188.420 1059.191 15 10 54.274-13188.270.014 5-2.419 371.645.014 16 1 22.167-501.009.002 6-33.114-3363.497.002 17 6 33.114-3363.497.049 13-22.167-501.009.049 18 3 26.100-1318.285 -.004 8-33.418-3231.950 -.004 19 8 33.418-3231.802 -.115 15-26.099-1318.011 -.115

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 102 RESULTNTES NODIS NO FORC Z MOMENTO X MOMENTO Y 1 90.150 500.991-1374.773 2.000.000.000 3 237.412 1318.227.000 4.000.000.000 5 70.402-371.569 1374.768 6 174.761.000-2196.786 7.000.000 -.002 8 401.311.000.000 9.000.000.000 10 232.698 -.003 2018.874 11.000.001 -.007 12.000 -.003 -.006 13 96.346-500.991-1721.401 14.000.000 -.003 15 191.798-1318.708.001 16 71.659.004.005 SOMTORIO DS RECOES TRNSVERSIS... 1566.536 SOMTORIO DS FORCS TRNSVERSIS TUNTES... -1566.536 ERRO PERCENTUL....0000078 % ESFORCOS O LONGO DS BRRS BRR REL X/L CORTNTE M FLETOR M TORCOR 1 0/10 67.983-1374.770.018 1 1/10 59.301 913.144.018 1 2/10 50.619 2888.944.018 1 3/10 41.937 4552.628.018 1 4/10 33.255 5904.197.018 1 5/10 24.573 6943.651.018 1 6/10 15.891 7670.990.018 1 7/10 7.209 8086.214.018 1 8/10-1.473 8189.322.018 1 9/10-10.155 7980.316.018 1 10/10-18.837 7459.193.018 2 0/10-18.837 7459.191.018 2 1/10-27.519 6625.954.018 2 2/10-36.201 5480.601.018 2 3/10-44.882 4023.132.018 2 4/10-53.564 2253.549.018 2 5/10-62.246 171.850.018 2 6/10-70.928-2221.964.018 2 7/10-79.610-4927.894.018 2 8/10-88.292-7945.938.018 2 9/10-96.974-11276.100.018 2 10/10-105.656-14918.370.018 3 0/10 105.656-14918.380.077 3 1/10 96.974-11276.100.077 3 2/10 88.292-7945.942.077

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 103 3 3/10 79.610-4927.898.077 3 4/10 70.928-2221.970.077 3 5/10 62.246 171.844.077 3 6/10 53.564 2253.542.077 3 7/10 44.882 4023.125.077 3 8/10 36.201 5480.594.077 3 9/10 27.519 6625.947.077 3 10/10 18.837 7459.184.077 4 0/10 18.837 7459.182.077 4 1/10 10.155 7980.304.077 4 2/10 1.473 8189.311.077 4 3/10-7.209 8086.202.077 4 4/10-15.891 7670.979.077 4 5/10-24.573 6943.640.077 4 6/10-33.255 5904.186.077 4 7/10-41.937 4552.616.077 4 8/10-50.619 2888.932.077 4 9/10-59.301 913.132.077 4 10/10-67.983-1374.783.077 5 0/10 108.533-2196.740.000 5 1/10 94.714 1456.631.000 5 2/10 80.895 4613.203.000 5 3/10 67.076 7272.975.000 5 4/10 53.257 9435.947.000 5 5/10 39.437 11102.120.000 5 6/10 25.618 12271.490.000 5 7/10 11.799 12944.070.000 5 8/10-2.020 13119.840.000 5 9/10-15.839 12798.820.000 5 10/10-29.659 11981.000.000 6 0/10-29.659 11980.990.000 6 1/10-43.478 10666.370.000 6 2/10-57.297 8854.944.000 6 3/10-71.116 6546.722.000 6 4/10-84.935 3741.700.000 6 5/10-98.754 439.878.000 6 6/10-112.574-3358.744.000 6 7/10-126.393-7654.165.000 6 8/10-140.212-12446.390.000 6 9/10-154.031-17735.410.000 6 10/10-167.850-23521.230.000 7 0/10 166.625-23521.330 -.149 7 1/10 152.806-17779.570 -.149 7 2/10 138.986-12534.610 -.149 7 3/10 125.167-7786.453 -.149 7 4/10 111.348-3535.092 -.149 7 5/10 97.529 219.470 -.149 7 6/10 83.710 3477.233 -.149 7 7/10 69.890 6238.196 -.149 7 8/10 56.071 8502.359 -.149 7 9/10 42.252 10269.730 -.149 7 10/10 28.433 11540.290 -.149 8 0/10 28.433 11540.290 -.149 8 1/10 14.614 12314.050 -.149 8 2/10.795 12591.010 -.149 8 3/10-13.025 12371.180 -.149 8 4/10-26.844 11654.540 -.149 8 5/10-40.663 10441.110 -.149 8 6/10-54.482 8730.878 -.149

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 104 8 7/10-68.301 6523.844 -.149 8 8/10-82.121 3820.011 -.149 8 9/10-95.940 619.380 -.149 8 10/10-109.759-3078.052 -.149 9 0/10 74.178-1721.450 -.018 9 1/10 65.497 789.207 -.018 9 2/10 56.815 2987.749 -.018 9 3/10 48.133 4874.176 -.018 9 4/10 39.451 6448.488 -.018 9 5/10 30.769 7710.685 -.018 9 6/10 22.087 8660.766 -.018 9 7/10 13.405 9298.732 -.018 9 8/10 4.723 9624.583 -.018 9 9/10-3.959 9638.319 -.018 9 10/10-12.641 9339.939 -.018 10 0/10-12.641 9339.936 -.018 10 1/10-21.323 8729.440 -.018 10 2/10-30.005 7806.831 -.018 10 3/10-38.687 6572.105 -.018 10 4/10-47.369 5025.265 -.018 10 5/10-56.050 3166.309 -.018 10 6/10-64.732 995.237 -.018 10 7/10-73.414-1487.949 -.018 10 8/10-82.096-4283.251 -.018 10 9/10-90.778-7390.668 -.018 10 10/10-99.460-10810.200 -.018 11 0/10 66.239-10810.080.679 11 1/10 58.269-8755.705.679 11 2/10 50.300-6964.322.679 11 3/10 42.330-5435.933.679 11 4/10 34.361-4170.537.679 11 5/10 26.391-3168.135.679 11 6/10 18.422-2428.725.679 11 7/10 10.452-1952.310.679 11 8/10 2.483-1738.887.679 11 9/10-5.487-1788.459.679 11 10/10-13.456-2101.023.679 12 0/10 58.202-1790.493-1099.280 12 1/10 52.991-521.353-1099.280 12 2/10 47.779 628.819-1099.280 12 3/10 42.568 1660.023-1099.280 12 4/10 37.356 2572.259-1099.280 12 5/10 32.144 3365.526-1099.280 12 6/10 26.933 4039.825-1099.280 12 7/10 21.721 4595.156-1099.280 12 8/10 16.510 5031.519-1099.280 12 9/10 11.298 5348.914-1099.280 12 10/10 6.087 5547.340-1099.280 13 0/10 6.087 5547.332-1099.280 13 1/10 1.690 5636.094-1099.280 13 2/10-2.707 5624.491-1099.280 13 3/10-7.103 5512.523-1099.280 13 4/10-11.500 5300.190-1099.280 13 5/10-15.896 4987.493-1099.280 13 6/10-20.293 4574.431-1099.280 13 7/10-24.690 4061.004-1099.280 13 8/10-29.086 3447.212-1099.280 13 9/10-33.483 2733.055-1099.280 13 10/10-37.880 1918.533-1099.280

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 105 14 0/10-37.880 1940.952 1059.191 14 1/10-40.958 821.455 1059.191 14 2/10-44.037-385.473 1059.191 14 3/10-47.115-1679.832 1059.191 14 4/10-50.194-3061.622 1059.191 14 5/10-53.272-4530.843 1059.191 14 6/10-56.351-6087.496 1059.191 14 7/10-59.430-7731.580 1059.191 14 8/10-62.508-9463.095 1059.191 14 9/10-65.587-11282.040 1059.191 14 10/10-68.665-13188.420 1059.191 15 0/10 54.274-13188.270.014 15 1/10 48.604-10498.000.014 15 2/10 42.935-8104.244.014 15 3/10 37.266-6006.988.014 15 4/10 31.597-4206.239.014 15 5/10 25.927-2701.995.014 15 6/10 20.258-1494.255.014 15 7/10 14.589-583.022.014 15 8/10 8.919 31.707.014 15 9/10 3.250 349.929.014 15 10/10-2.419 371.647.014 16 0/10 22.167-501.009.002 16 1/10 16.639 513.783.002 16 2/10 11.111 1239.455.002 16 3/10 5.583 1676.006.002 16 4/10.055 1823.438.002 16 5/10-5.473 1681.749.002 16 6/10-11.001 1250.940.002 16 7/10-16.529 531.011.002 16 8/10-22.058-478.038.002 16 9/10-27.586-1776.208.002 16 10/10-33.114-3363.498.002 17 0/10 33.114-3363.497.049 17 1/10 27.586-1776.208.049 17 2/10 22.058-478.038.049 17 3/10 16.529 531.011.049 17 4/10 11.001 1250.940.049 17 5/10 5.473 1681.749.049 17 6/10 -.055 1823.438.049 17 7/10-5.583 1676.007.049 17 8/10-11.111 1239.455.049 17 9/10-16.639 513.783.049 17 10/10-22.167-501.008.049 18 0/10 26.100-1318.285 -.004 18 1/10 20.148-108.910 -.004 18 2/10 14.196 789.190 -.004 18 3/10 8.244 1376.013 -.004 18 4/10 2.293 1651.561 -.004 18 5/10-3.659 1615.832 -.004 18 6/10-9.611 1268.828 -.004 18 7/10-15.562 610.547 -.004 18 8/10-21.514-359.010 -.004 18 9/10-27.466-1639.842 -.004 18 10/10-33.418-3231.951 -.004 19 0/10 33.418-3231.802 -.115 19 1/10 27.466-1639.681 -.115 19 2/10 21.514-358.836 -.115

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 106 19 3/10 15.563 610.733 -.115 19 4/10 9.611 1269.027 -.115 19 5/10 3.659 1616.044 -.115 19 6/10-2.292 1651.785 -.115 19 7/10-8.244 1376.250 -.115 19 8/10-14.196 789.439 -.115 19 9/10-20.148-108.648 -.115 19 10/10-26.099-1318.011 -.115 - nalise completa - fim do processamento Viga VS1 ESCOL DE ENGENHRI DE SO CRLOS SISTEM NSER - NLISE DE SISTEMS ESTRUTURIS RETICULDOS PROGRM PPLN4 - NLISE DE PORTICOS PLNOS - VERSO FEV/92 PROJETO: CONCRETO II - TORCO CLIENTE: MOMENTO POSITIVO COM ENGSTE NO POIO INTERNO ============================ PORTICO: VS 1 (19 x 60) ============================ COORDENDS E RESTRICOES NODIS NO COORD X COORD Y RESTR X RESTR Y RESTR R 1.000.000 1 1 1 2 330.000.000 1 1 0 CRCTERISTICS DS BRRS NO ROT NO ROT COSSENO BRR INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR 1 1 0 2 0 1 330.000 1.0000 PROPRIEDDES DS BRRS PROP MT RE I FLEXO LTUR TEMP 1 1.11400E+04.34200E+06 60.00.00

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 107 PROPRIEDDES DOS MTERIIS MT MOD LONG PESO ESP COEF TERM 1.212800E+04.00000E+00.00000E+00 CRREGMENTO: CRR1 (PORTICO: VS 1 (19 x 60) ) DESLOCMENTOS NODIS NO DESLOC X DESLOC Y ROTCO 1.0000000.0000000.0000000 2.0000000.0000000 -.0002484 ESFORCOS NS EXTREMIDDES DS BRRS BRR NO NORML CORTNTE M FLETOR 1 1.000 49.809-3287.419 2.000-29.886.000 RESULTNTES NODIS NO RESULT X RESULT Y MOMENTO 1.000 49.809-3287.419 2.000 29.886.000 SOMTORIO DS RECOES SEGUNDO O EIXO Y... 79.695 SOMTORIO DS FORCS TUNTES SEGUNDO O EIXO Y... -79.695 ERRO PERCENTUL....0000000 % ESFORCOS O LONGO DS BRRS BRR REL X/L NORML CORTNTE M FLETOR 1 0/10.000 49.809-3287.419 1 1/10.000 41.840-1775.206 1 2/10.000 33.870-525.987 1 3/10.000 25.901 460.238 1 4/10.000 17.931 1183.471 1 5/10.000 9.962 1643.709 1 6/10.000 1.992 1840.954 1 7/10.000-5.977 1775.206 1 8/10.000-13.947 1446.464 1 9/10.000-21.916 854.729 1 10/10.000-29.886.000

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 108 Viga VS6 ESCOL DE ENGENHRI DE SO CRLOS SISTEM NSER - NLISE DE SISTEMS ESTRUTURIS RETICULDOS PROGRM PPLN4 - NLISE DE PORTICOS PLNOS - VERSO FEV/92 PROJETO: CONCRETO II - TORCO CLIENTE: MOMENTO POSITIVO COM ENGSTE NO POIO INTERNO ============================ PORTICO: VS 6 (19 x 60) ============================ COORDENDS E RESTRICOES NODIS NO COORD X COORD Y RESTR X RESTR Y RESTR R 1.000.000.10000E+38.10000E+38.30824E+06 2 523.000.000 1 1 1 CRCTERISTICS DS BRRS NO ROT NO ROT COSSENO BRR INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR 1 1 0 2 0 1 523.000 1.0000 PROPRIEDDES DS BRRS PROP MT RE I FLEXO LTUR TEMP 1 1.11400E+04.34200E+06 60.00.00 PROPRIEDDES DOS MTERIIS MT MOD LONG PESO ESP COEF TERM 1.212800E+04.00000E+00.00000E+00 CRREGMENTO: CRR1 (PORTICO: VS 6 (19 x 60) ) DESLOCMENTOS NODIS NO DESLOC X DESLOC Y ROTCO 1.0000000.0000000.0004206 2.0000000.0000000.0000000

UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto rmado 109 ESFORCOS NS EXTREMIDDES DS BRRS BRR NO NORML CORTNTE M FLETOR 1 1.000 21.632-129.650 2.000-35.061-3641.493 RESULTNTES NODIS NO RESULT X RESULT Y MOMENTO 1.000 21.632-129.650 2.000 35.061 3641.493 SOMTORIO DS RECOES SEGUNDO O EIXO Y... 56.693 SOMTORIO DS FORCS TUNTES SEGUNDO O EIXO Y... -56.693 ERRO PERCENTUL....0000000 % ESFORCOS O LONGO DS BRRS BRR REL X/L NORML CORTNTE M FLETOR 1 0/10.000 21.632-129.650 1 1/10.000 15.962 853.440 1 2/10.000 10.293 1540.025 1 3/10.000 4.624 1930.104 1 4/10.000-1.045 2023.678 1 5/10.000-6.715 1820.747 1 6/10.000-12.384 1321.310 1 7/10.000-18.053 525.367 1 8/10.000-23.723-567.081 1 9/10.000-29.392-1956.035 1 10/10.000-35.061-3641.493