RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO

RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO 1. ESTRUTURAS LÓGICAS LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO DIAGRAMAS LÓGICOS... 03 2. ÁLGEBRA LINEAR... 13 3. PROBABILIDADES... 27 4. COMBINAÇÕES... 29 5. ARRANJOS E PERMUTAÇÕES... 32 Raciocínio Lógico 1

PESQUISA E EDIÇÃO: FLÁVIO NASCIMENTO (Graduado em Administração de Empresas e Bacharelando em Direito pela Faculdades Toledo de Araçatuba SP) BIBLIOGRAFIA: Alencar F, Edgard de. Iniciacao a Logica Matematica. Editora Nobel, São Paulo Jacob Daghlian Lógica e álgebra de Boole 4º ed. São Paulo: Atlas, 1995. Coleção Schaum Álgebra Moderna Ed. McGraw-Hill 2 Raciocínio Lógico

1. ESTRUTURAS LÓGICAS, LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO, ESTRUTURAS LÓGICAS Iniciaremos com os primeiros passos da Lógica: PROPOSIÇÕES Temos vários tipos de sentenças: Declarativas Interrogativas Exclamativas Imperativas VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES O valor lógico de uma proposição r é a verdade(ou verdadeiro) se r é verdadeira. Escreve-se v(r) = V, isto é, o valor lógico de r é V. O valor lógico de uma proposição s é a falsidade(ou falso) se s é falsa. Escreve-se v(s) = F, isto é, o valor lógico de s é F. Os valores verdadeiro (V) e falso(f) são chamados de valores lógicos. LEIS DO PENSAMENTO Vejamos algumas leis do pensamento para que possamos desenvolver corretamente o nosso pensar. PRINCÍPIO DA IDENTIDADE. Se qualquer proposição é verdadeira, então, ela é verdadeira. PRINCÍPIO DE NÃO-CONTRADIÇÃO. Nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa. PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO. Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa. SENTENÇAS ABERTAS Quando substituímos numa proposição alguns componentes por variáveis, teremos uma sentença aberta. CONECTIVOS Chama-se conectivo a algumas palavras ou frases que em lógica são usadas para formarem proposições compostas. Veja alguns conectivos: A negação não cujo símbolo é ~. A desjunção ou cujo símbolo é v. A conjunção e cujo símbolo é ^ O condicional se,..., então, cujo símbolo é -->. O bicondicional se, e somente se, cujo símbolo é <->. PROPOSIÇÕES SIMPLES Uma proposição é simples quando declara ou afirma algo sem o uso de nenhum dos conectivos e, ou, se..., então e se, e somente se. PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Uma proposição é composta quando formada por mais de uma proposição simples. Raciocínio Lógico 3

1 - INTRODUÇÃO A Lógica Matemática, em síntese, pode ser considerada como a ciência do raciocínio e da demonstração. Este importante ramo da Matemática desenvolveu-se no século XIX, sobretudo através das idéias de George Boole, matemático inglês (1815-1864), criador da Álgebra Booleana, que utiliza símbolos e operações algébricas para representar proposições e suas inter-relações. As idéias de Boole tornaram-se a base da Lógica Simbólica, cuja aplicação estende-se por alguns ramos da eletricidade, da computação e da eletrônica. A lógica matemática (ou lógica simbólica), trata do estudo das sentenças declarativas também conhecidas como proposições, as quais devem satisfazer aos dois princípios fundamentais seguintes: Princípio do terceiro excluído: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, não havendo outra alternativa. Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa. Diz-se então que uma proposição verdadeira possui valor lógico V (verdade) e uma proposição falsa possui valor lógico F (falso). Os valores lógicos também costumam ser representados por 0 (zero) para proposições falsas ( 0 ou F) e 1 (um) para proposições verdadeiras ( 1 ou V ). As proposições são indicadas pelas letras latinas minúsculas: p, q, r, s, t, u,... De acordo com as considerações acima, expressões do tipo, "O dia está bonito", "3 + 5", "x é um número real", "x + 2 = 7", etc., não são proposições lógicas, uma vez que não poderemos associar a ela um valor lógico definido (verdadeiro ou falso). Exemplificamos a seguir algumas proposições, onde escreveremos ao lado de cada uma delas, o seu valor lógico V ou F. Poderia ser também 1 ou 0. p: " a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º " ( V ) q: " 3 + 5 = 2 " ( F ) r: " 7 + 5 = 12" ( V) s: " a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por S i = (n - 2). 180º " ( V ) t: " O Sol é um planeta" ( F ) w: " Um pentágono é um polígono de dez lados " ( F ) 2 - SÍMBOLOS UTILIZADOS NA LÓGICA MATEMÁTICA não e ou se... então se e somente se tal que implica equivalente existe existe um e somente um qualquer que seja 3 - O MODIFICADOR NEGAÇÃO Dada a proposição p, indicaremos a sua negação por ~p. (Lê-se " não p " ). Ex.: p: Três pontos determinam um único plano ( V ) ~p: Três pontos não determinam um único plano ( F ) Obs.: duas negações eqüivalem a uma afirmação ou seja, em termos simbólicos: ~(~p) = p. 4 Raciocínio Lógico

4 - OPERAÇÕES LÓGICAS As proposições lógicas podem ser combinadas através dos operadores lógicos,, e, dando origem ao que conhecemos como proposições compostas. Assim, sendo p e q duas proposições simples, poderemos então formar as seguintes proposições compostas: p q, p q, p q, p q (Os significados dos símbolos estão indicados na tabela anterior). Estas proposições compostas recebem designações particulares, conforme veremos a seguir. Conjunção: p q (lê-se "p e q " ). Disjunção: p q (lê-se "p ou q "). Condicional: p q (lê-se "se p então q " ). Bi-condicional: p q ( "p se e somente se q"). Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposições simples p e q, como determinaremos os valores lógicos das proposições compostas acima? Ah! caro vestibulando! Isto é conseguido através do uso da tabela a seguir, também conhecida pelo sugestivo nome de TABELA VERDADE. Sejam p e q duas proposições simples, cujos valores lógicos representaremos por 0 quando falsa (F) e 1 quando verdadeira (V). Podemos construir a seguinte tabela simplificada: p q p q p q p q p q 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 Da tabela acima, infere-se (deduz-se) que: a conjunção é verdadeira somente quando ambas as proposições são verdadeiras. a disjunção é falsa somente quando ambas as proposições são falsas. a condicional é falsa somente quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda falsa. a bi-condicional é verdadeira somente quando as proposições possuem valores lógicos iguais. Ex.: Dadas as proposições simples: p: O Sol não é uma estrela (valor lógico F ou 0) q: 3 + 5 = 8 (valor lógico V ou 1) Temos: p q tem valor lógico F (ou 0) p q tem valor lógico V (ou 1) p q tem valor lógico V (ou 1) p q tem valor lógico F (ou 0). Assim, a proposição composta "Se o Sol não é uma estrela então 3 + 5 = 8" é logicamente verdadeira, não obstante ao aspecto quase absurdo do contexto da frase! Não quero lhe assustar, mas o fato das proposições verdadeiras (valor lógico 1) ou falsas (valor lógico 0), não podem estar associadas à analogia de que zero (0) pode significar um circuito elétrico desligado e um (1) pode significar um circuito elétrico ligado? Isto lembra alguma coisa vinculada aos computadores? Pois é, caros amigos, isto é uma verdade, e é a base lógica da arquitetura dos computadores! Seria demais imaginar que a proposição p q pode ser associada a um circuito série e a proposição p q a um circuito em paralelo? Pois, as analogias são válidas e talvez tenham sido elas que mudaram o mundo! Vimos no texto anterior, a tabela verdade - reproduzida abaixo - que permite determinar o valor lógico de uma proposição composta, conhecendo-se os valores lógicos das proposições simples que a compõem. Raciocínio Lógico 5

p q p q p q p q p q 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 Nota: valor lógico verdadeiro = 1 ou V valor lógico falso = 0 ou F Podemos observar que é muito fácil entender (e o nosso intelecto admitir) as regras contidas na tabela acima para a conjunção, disjunção e equivalência, ou seja: a conjunção "p e q" só é verdadeira quando p e q forem ambas verdadeiras. A disjunção "p ou q" só é falsa quando p e q forem ambas falsas. A bi-condicional só e falsa quando p e q possuem valores lógicos opostos. Quanto à condicional "se p então q", vamos analisá-la separadamente, de modo a facilitar o entendimento das regras ali contidas: p q p q V V V V F F F V V F F V O raciocínio a seguir, será a base da nossa análise: Se é dada uma proposição p e é possível fazer-se um raciocínio válido que nos conduza a outra proposição q, consideraremos que p q é verdadeira. Visto isso, vamos analisar as quatro possibilidades contidas na tabela acima: 1º) p é V e q é V: somente através de um raciocínio válido é possível partir de uma proposição verdadeira para outra também verdadeira. Logo, p q é verdadeira. 2º) p é V e q é F: não existe raciocínio válido capaz de, partindo-se de uma proposição verdadeira chegar-se a uma proposição falsa. Logo, neste caso, p q é falsa. 3º) p é F e q é V: É possível partir de uma proposição falsa e chegar-se através de um raciocínio válido, a uma proposição verdadeira. Isto é um pouco difícil de entender, mas acompanhe o exemplo abaixo: Sejam as proposições: p: 10 = 5 (valor lógico F) q: 15 = 15 (valor lógico V) Através de um raciocínio válido, vamos mostrar que é possível a partir de p (falsa), chegar a q(verdadeira). Com efeito, se 10 = 5, então podemos dizer que 5 = 10. Somando membro a membro estas igualdades vem: 10+5 = 5+10 e portanto 15 = 15. Portanto a partir de p FALSA foi possível, através de um raciocínio válido chegar-se a q VERDADEIRA. Logo, p q é verdadeira 4º) p é F e q é F: É possível partir de uma proposição falsa e chegar-se através de um raciocínio válido, a uma proposição também falsa. Senão vejamos: Sejam as proposições: p: 10 = 5 (valor lógico F) q: 19 = 9 (valor lógico F) Através de um raciocínio válido, vamos mostrar que é possível a partir de p FALSA, chegarmos a q também FALSA. Com efeito, se 10 = 5, então, subtraindo uma unidade em cada membro, obteremos 9 = 4. 6 Raciocínio Lógico

Somando agora membro a membro estas duas igualdades, obtemos 10+9 = 5+4 e portanto 19 = 9, que é a proposição q dada. Logo, p q é verdadeira (V). Exercícios: 1) Sendo p uma proposição verdadeira e q uma proposição falsa, qual o valor lógico da proposição composta r: (p q) q? Solução: Teremos, substituindo os valores lógicos dados: p = V, q = F e ~q = V. r: (V V) F, logo, pelas tabelas acima vem: r: V F e portanto r é falsa. Valor lógico F ou 0. 2) Qual das afirmações abaixo é falsa? a) se Marte é um planeta então 3 = 7-4. b) a soma de dois números pares é um número par e 7 2 = 49. c) 3 = 5 se e somente se o urso é um animal invertebrado. d) se 10 2 = 100 então todo número inteiro é natural. e) 2 = 3 2-7 ou a Terra é plana. Analisando os valores lógicos das proposições simples envolvidas e usando-se as tabelas anteriores, concluiremos que apenas a proposição do item (d) é falsa, uma vez que 10 2 = 100 é V e "todo número inteiro é natural" é F ( o número negativo -3 por exemplo é inteiro, mas não é natural). Portanto, temos V F, que sabemos ser falsa. (Veja a segunda linha da tabela verdade acima). Resumo da Teoria 1 - Tautologias e Contradições Considere a proposição composta s: (p q) (p q) onde p e q são proposições simples lógicas quaisquer. Vamos construir a tabela verdade da proposição s : Considerando-se o que já foi visto até aqui, teremos: p q p q p q (p q) (p q) V V V V V V F F V V F V F V V F F F F V Observe que quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p e q, a proposição composta s é sempre logicamente verdadeira. Dizemos então que s é uma TAUTOLOGIA. Trazendo isto para a linguagem comum, considere as proposições: p: O Sol é um planeta (valor lógico falso - F) e q: A Terra é um planeta plano (valor lógico falso - F), podemos concluir que a proposição composta "Se o Sol é um planeta e a Terra é um planeta plano então o Sol é um planeta ou a Terra é um planeta plano" é uma proposição logicamente verdadeira. Opostamente, se ao construirmos uma tabela verdade para uma proposição composta, verificarmos que ela é sempre falsa, diremos que ela é uma CONTRADIÇÃO. Ex.: A proposição composta t: p ~p é uma contradição, senão vejamos: p ~p p ~p V F F F V F NOTA: Se uma proposição composta é formada por n proposições simples, a sua tabela verdade possuirá 2 n linhas. Ex.: Construa a tabela verdade da proposição composta t: (p q) r Raciocínio Lógico 7

Teremos: p q r (p q) (p q) r V V V V V V V F V V V F V F V V F F F F F V V F V F V F F F F F V F V F F F F F Observe que a proposição acima não é Tautologia nem Contradição. Apresentaremos a seguir, exemplos de TAUTOLOGIAS, as quais você poderá verifica-las, simplesmente construindo as respectivas tabelas verdades: Sendo p e q duas proposições simples quaisquer, podemos dizer que as seguintes proposições compostas, são TAUTOLOGIAS: 1) (p q) p 2) p (p q) 3) [p (p q)] q (esta tautologia recebe o nome particular de "modus ponens") 4) [(p q) ~q] ~p (esta tautologia recebe o nome particular de "modus tollens") Você deverá construir as tabelas verdades para as proposições compostas acima e comprovar que elas realmente são tautologias, ou seja, na última coluna da tabela verdade teremos V V V V. NOTAS: a) as tautologias acima são também conhecidas como regras de inferência. b) como uma tautologia é sempre verdadeira, podemos concluir que a negação de uma tautologia é sempre falsa, ou seja, uma contradição. 2 - Álgebra das proposições Sejam p, q e r três proposições simples quaisquer, v uma proposição verdadeira e f uma proposição falsa. São válidas as seguintes propriedades: a) Leis idempotentes p p = p p p = p b) Leis comutativas p q = q p p q = q p c) Leis de identidade p v = p p f = f p v = v p f = p d) Leis complementares ~(~p) = p (duas negações eqüivalem a uma afirmação) p ~p = f p ~p = v ~v = f ~f = v e)leis associativas (p q) r = p (q r) (p q) r = p (q r) 8 Raciocínio Lógico

f) Leis distributivas p (q r) = (p q) (p r) p (q r) = (p q) (p r) g) Leis de Augustus de Morgan ~(p q) = ~p ~q ~(p q) = ~p ~q h) Negação da condicional ~(p q) = p ~q Todas as propriedades acima podem ser verificadas com a construção das tabelas verdades. Vamos exemplificar verificando a propriedade do item (h): Para isto, vamos construir as tabelas verdades de ~(p q) e de p ~q : Tabela1: p q p q ~(p q) V V V F V F F V F V V F F F V F Tabela 2: p q ~q p ~q V V F F V F V V F V F F F F V F Observando as últimas colunas das tabelas verdades 1 e 2, percebemos que elas são iguais, ou seja, ambas apresentam a seqüência F V F F, o que significa que ~(p q) = p ~q. Exs.: 1) Qual a negação da proposição composta: "Eu estudo e aprendo"? Do item (g) acima, concluímos que a negação procurada é: "Eu não estudo ou não aprendo". 2) Qual a negação da proposição "O Brasil é um país ou a Bahia é um estado"? Do item (g) acima, concluímos que a negação é: "O Brasil não é um país e a Bahia não é um estado". 3) Qual a negação da proposição: "Se eu estudo então eu aprendo"? Conforme a propriedade do item (h) acima, concluímos facilmente que a negação procurada é: "Eu estudo e não aprendo" Dado um conjunto de proposições P 1, P 2, P 3,..., P n, Q (simples ou compostas) chama-se ARGUMENTO à proposição composta S : ( P 1 P 2 P 3... P n ) Q. As proposições P 1, P 2, P 3,..., P n são denominadas PREMISSAS e a proposição Q é denominada CONCLUSÃO. Costuma-se representar um argumento, também da forma simplificada: P 1, P 2, P 3,..., P n Q, onde o símbolo significa "logo" ou "de onde se deduz ". O argumento S : ( P 1 P 2 P 3... P n ) Q será VÁLIDO se e somente se a proposição composta s : ( P 1 P 2 P 3... P n ) Q for uma TAUTOLOGIA, ou seja, a última coluna da sua TABELA VERDADE só contiver o valor lógico verdadeiro (V). Caso contrário, o argumento não será válido e será denominado FALÁCIA. Consideremos o seguinte exemplo de argumento: Se chove então faz frio. Não chove, Logo, não faz frio. Raciocínio Lógico 9

Este argumento é válido? Vejamos: Sejam as proposições: p: " chove " q: " faz frio " Claro que a proposição "não chove" será ~p (a negação de p) e "não faz frio" será ~q (a negação de q). Poderemos então escrever o argumento na forma simbólica indicada acima: s: [(p q) ~p] ~q Para saber se o argumento apresentado é válido ou não, teremos que construir a tabela verdade da proposição composta s: [(p q) ~p] ~q. Teremos, com base nos nossos conhecimentos anteriores: p q ~p ~q p q [(p q) s ~p V V F F V F V V F F V F F V F V V F V V F F F V V V V V Como a proposição composta s: [(p q) ~p] ~q não é uma Tautologia (apareceu um F na terceira linha da última coluna), concluímos que o argumento dado não é válido. O argumento é, portanto, uma FALÁCIA. Vamos agora considerar o seguinte argumento: Se chove então faz frio. Não faz frio. Logo, não chove. Este argumento é válido? Vejamos: Sejam as proposições: p: " chove " q: " faz frio " Claro que a proposição "não chove" será ~p (a negação de p) e "não faz frio" será ~q (a negação de q). Poderemos então escrever o argumento na forma simbólica: s: [(p q) ~q] ~p Para saber se o argumento apresentado é válido ou não, teremos que construir a tabela verdade da proposição composta s: [(p q) ~q] ~p. Teremos, com base nos nossos conhecimentos anteriores: p q ~p ~q p q [(p q) ~q s V V F F V F V V F F V F F V F V V F V F V F F V V V V V Como a proposição composta s: [(p q) ~q] ~p é uma Tautologia (só aparece V na última coluna), concluímos que o argumento dado é válido. Este tipo de problema se complica um pouco quando o número de premissas aumenta, pois com duas premissas, 10 Raciocínio Lógico

a tabela verdade conterá 2 2 = 4 linhas, com três premissas, a tabela verdade conterá 2 3 = 8 linhas e assim sucessivamente. Com quatro premissas, a tabela verdade conterá 2 4 = 16 linhas; imagine 10 premissas! A tabela verdade conteria 2 10 = 1024 linhas. Aí, só os computadores resolveriam... Considere outro exemplo, agora com 3 premissas: Se o jardim não é florido então o gato mia. Se o jardim é florido então o passarinho não canta. O passarinho canta. Logo, o jardim é florido e o gato mia. Sejam as proposições: p: " o jardim não é florido" q: " o gato mia" r: " o pássaro canta" Poderemos escrever o argumento na seguinte forma simbólica: s : [(p q) (~ p ~ r) r ] ( ~ p q ) Teremos, com base nos nossos conhecimentos anteriores: p q r ~ r ~p q p q ~p ~p ~ r [(p q) (~p r) ( ~ r ) V V V F F V F V F V V V F V F V F V V F V F V F F F F V F V V F F V F F F V F V F V V F V V V F F V F V F V V V V V V V F F V F F V V F F V F F F V F V V V V F s Como o argumento s não é uma Tautologia (apareceu F na última coluna), o argumento não é válido. Notas: 1 o entendimento da tabela verdade acima, requer muita atenção. 2 neste tipo de exercício, não devemos usar a intuição, somente. A construção da tabela verdade é uma necessidade imperiosa, embora possa parecer muito trabalhosa. 3 recomendamos enfaticamente, imprimir o arquivo e analisar criteriosamente a tabela verdade. Agora resolva estes: 1 - Se o jardim não é florido então o gato mia. O gato não mia. Logo, o jardim é florido. Resposta: o argumento é válido. 2 - Se o jardim não é florido então o gato não mia. O jardim é florido. Logo, o gato mia. Resposta: o argumento não é válido. Raciocínio Lógico 11

2. ÁLGEBRA LINEAR NUMEROS COMPLEXOS No século XVI, os matemáticos Cardano e Bombelli, entre outros, realizaram alguns progressos no estudo das raízes quadradas de números negativos. Dois séculos depois, estes estudos foram ampliados por Wesses, Argand e Gauss. Estes matemáticos são considerados os criadores da teoria dos números complexos. A teoria dos Números Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade. Unidade imaginária: define-se a unidade imaginária, representada pela letra i, como sendo a raiz quadrada de -1. Pode-se escrever então: i = -1. Observe que a partir dessa definição, passam a ter sentido certas operações com números reais, a exemplo das raízes quadradas de números negativos. Ex: -16 = 16. -1 = 4.i = 4i Potências de i : i 0 = 1 i 1 = i i 2 = -1 i 3 = i 2. i = -i i 4 = (i 2 ) 2 = (-1) 2 = 1 i 5 = i 4. i = 1.i = i i 6 = i 5. i = i. i = i 2 = -1 i 7 = i 6. i = -i, etc. Percebe-se que os valores das potências de i se repetem no ciclo 1, i, -1, -i, de quatro em quatro a partir do expoente zero. Portanto, para se calcular qualquer potência inteira de i, basta eleva-lo ao resto da divisão do expoente por 4. Assim, podemos resumir: i 4n = i r onde r = 0, 1, 2 ou 3. (r é o resto da divisão de n por 4). Exemplo: Calcule i 2001 Ora, dividindo 2001 por 4, obtemos resto igual a 1. Logo i 2001 = i 1 = i. Definição: Dados dois números reais a e b, define-se o número complexo z como sendo: z = a + bi, onde i = -1 é a unidade imaginária. Exs: z = 2 + 3i ( a = 2 e b = 3) w = -3-5i (a = -3 e b = -5) u = 100i ( a = 0 e b = 100) NOTAS: a) diz-se que z = a + bi é a forma binômia ou algébrica do complexo z. b) dado o número complexo z = a + bi, a é denominada parte real e b parte imaginária. Escreve-se : a = Re(z) ; b = Im(z). c) se em z = a + bi tivermos a = 0 e b diferente de zero, dizemos que z é um imaginário puro. Ex: z = 3i. d)se em z = a + bi tivermos b = 0, dizemos que z é um número real. Ex: z = 5 = 5 + 0i. e)do item (c) acima concluímos que todo número real é complexo, ou seja, o conjunto dos números reais é um subconjunto do conjunto dos números complexos. f) um número complexo z = a + bi pode também ser representado como um par ordenado z = (a,b). Exercícios Resolvidos: 1) Sendo z = (m 2-5m + 6) + (m 2-1) i, determine m de modo que z seja um imaginário puro. 12 Raciocínio Lógico

Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve ser nula ou seja, devemos ter m 2-5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m=2 ou m=3. 2) Determine a parte real do número complexo z = (1 + i) 12. Solução: Observe que (1 + i) 12 = [(1 + i) 2 ] 6. Nestas condições, vamos desenvolver o produto notável (1 + i) 2 = 1 2 + 2.i + i 2 = 1 + 2i -1 = 2i (1 + i) 2 = 2i (isto é uma propriedade importante, que vale a pena ser memorizada). Substituindo na expressão dada, vem: (1 + i) 12 = [(1 + i) 2 ] 6 = (2i) 6 = 2 6.i 6 = 64.(i 2 ) 3 = 64.(-1) 3 = - 64. Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e portanto sua parte real é igual a -64. 3) Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i) 200. Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i) 2 ] 100. Desenvolvendo o produto notável (1 - i) 2 = 1 2-2.i + i 2 = 1-2i -1 = - 2i (1 - i) 2 = - 2i (isto é uma propriedade importante, que merece ser memorizada). Substituindo na expressão dada, vem: z = (- 2i) 100 = (- 2) 100. i 100 = 2 100. i 100 = 2 100. ( i 2 ) 50 = 2 100. (- 1) 50 = 2 100. 1 = 2 100. Logo, o número complexo z é igual a 2 100 e portanto um número real. Daí concluímos que a sua parte imaginária é zero. CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO Dado um número complexo z = a + bi, chama-se conjugado de z e representa-se por, a um outro número complexo que possui a mesma parte real de z e a parte imaginária o simétrico aditivo da parte imaginária de z. z = a + bi Ex: z = 3 + 5i ; = a - bi = 3-5i Obs : Sabemos que os números complexos podem também ser representados na forma de pares ordenados. Assim é que z = a + bi = (a,b). Portanto, por analogia com o sistema de coordenadas cartesianas, pode-se representar graficamente qualquer número complexo z num sistema de coordenadas cartesianas, bastando marcar a parte real a no eixo horizontal e a parte imaginária b no eixo vertical. Neste caso, o eixo horizontal é chamado eixo real e o eixo vertical é chamado eixo imaginário. O plano cartesiano, neste caso, denomina-se plano de Argand-Gauss. O ponto que representa o número complexo z, denomina-se afixo de z. DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA BINÔMIA Regra : Para dividir um número complexo z por outro w 0, basta multiplicar numerador e denominador pelo complexo conjugado do denominador. Ex: = = = 0,8 + 0,1 i Agora que você estudou a teoria, tente resolver os seguintes exercícios: 1 - Calcule o número complexo i 126 + i -126 + i 31 - i 180 2 - Sendo z = 5i + 3i 2-2i 3 + 4i 27 e w = 2i 12-3i 15, calcule Im(z).w + Im(w).z. 3 - UCMG - O número complexo 2z, tal que 5z + = 12 + 6i é: 4 - UCSal - Para que o produto (a+i). (3-2i) seja real, a deve ser: 5 - UFBA - Sendo a = -4 + 3i, b = 5-6i e c = 4-3i, o valor de ac+b é: Raciocínio Lógico 13

6 - Mackenzie-SP - O valor da expressão y = i + i 2 + i 3 +... + i 1001 é: 7) Determine o número natural n tal que (2i) n + (1 + i) 2n + 16i = 0. 8) Calcule [(1+i) 80 + (1+i) 82 ] : i 96.2 40 9) Se os números complexos z e w são tais que z = 2-5i e w = a+bi, sabendo-se que z+w é um número real e z.w.é um imaginário puro, pede-se calcular o valor de b 2-2a. 10) Se o número complexo z = 1-i é uma das raízes da equação x 10 + a = 0, então calcule o valor de a. 11) Determine o número complexo z tal que iz + 2. + 1 - i = 0. 12 - UEFS-92.1 - O valor da expressão E = x -1 + x 2, para x = 1 - i, é: a)-3i b)1-i c) 5/2 + (5/2)i d) 5/2 - (3/2)i e) ½ - (3/2)i 13 -UEFS-93.2 - Simplificando-se a expressão E = i 7 + i 5 + ( i 3 + 2i 4 ) 2, obtêm-se: a) -1+2i b) 1+2i c) 1-2i d) 3-4i e) 3 + 4i 14 - UEFS-93.2 - Se m - 1 + ni = (3+i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente: a) 1 e 10 b) 5 e 10 c) 7 e 9 d) 5 e 9 e) 0 e -9 15 - UEFS-94.1 - A soma de um numero complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8-6i. O módulo de z é: a) 13 b) 7 c) 13 d) 7 e) 5 16 - FESP/UPE - Seja z = 1+i, onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z 8 é igual a: a) 16 b) 161 c) 32 d) 32i e) 32+16i 17 - UCSal - Sabendo que (1+i) 2 = 2i, então o valor da expressão y = (1+i) 48 - (1+i) 49 é: a) 1 + i b) -1 + i c) 2 24. i d) 2 48. i e) -2 24. i GABARITO: 1) -3 - i 2) -3 + 18i 3) 4 + 3i 4) 3/2 5) -2 + 18i 6) i 14 7) 3 8) 1 + 2i 9) 50 10) 32i 11) -1 - i 12) B Raciocínio Lógico 13) D 14) A 15) A 16) A 17) E

MATRIZES e DETERMINANTE Matriz de ordem m x n : Para os nossos propósitos, podemos considerar uma matriz como sendo uma tabela rectangular de números reais (ou complexos) dispostos em m linhas e n colunas. Diz-se então que a matriz tem ordem m x n (lê-se: ordem m por n) Exemplos: A = ( 1 0 2-4 5) Uma linha e cinco colunas ( matriz de ordem 1 por 5 ou 1 x 5) B é uma matriz de quatro linhas e uma coluna, portanto de ordem 4 x 1. Notas: 1) se m = n, então dizemos que a matriz é quadrada de ordem n. Exemplo: A matriz X é uma matriz quadrada de ordem 3x3, dita simplesmente de ordem 3. 2) Uma matriz A de ordem m x n, pode ser indicada como A = (a ij ) mxn, onde a ij é um elemento da linha i e coluna j da matriz. Assim, por exemplo, na matriz X do exemplo anterior, temos a 23 = 2, a 31 = 4, a 33 = 3, a 31 = 4, a 3,2 = 5, etc. 3) Matriz Identidade de ordem n : I n = ( a ij ) n x n onde a ij = 1 se i = j e a ij = 0 se i j. Assim a matriz identidade de 2ª ordem ou seja de ordem 2x2 ou simplesmente de ordem 2 é: A matriz identidade de 3ª ordem ou seja de ordem 3x3 ou simplesmente de ordem 3 é: 4) Transposta de um matriz A : é a matriz A t obtida de A permutando-se as linhas pelas colunas e vice-versa. Exemplo: A matriz A t é a matriz transposta da matriz A. Notas: 4.1) se A = A t, então dizemos que a matriz A é simétrica. 4.2) Se A = - A t, dizemos que a matriz A é anti-simétrica. É óbvio que as matrizes simétricas e anti-simétricas são quadradas. 4.3) sendo A uma matriz anti-simétrica, temos que A + A t = 0 (matriz nula). Raciocínio Lógico 15

Produto de matrizes Para que exista o produto de duas matrizes A e B, o número de colunas de A, tem de ser igual ao número de linhas de B. A mxn x B nxq = C mxq Observe que se a matriz A tem ordem m x n e a matriz B tem ordem n x q, a matriz produto C tem ordem m x q. Vamos mostrar o produto de matrizes com um exemplo: Onde L1C1 é o produto escalar dos elementos da linha 1 da 1ª matriz pelos elementos da coluna1 da segunda matriz, obtido da seguinte forma: L1C1 = 3.2 + 1.7 = 13. Analogamente, teríamos para os outros elementos: L1C2 = 3.0 + 1.5 = 5 L1C3 = 3.3 + 1.8 = 17 L2C1 = 2.2 + 0.7 = 4 L2C2 = 2.0 + 0.5 = 0 L2C3 = 2.3 + 0.8 = 6 L3C1 = 4.2 + 6.7 = 50 L3C2 = 4.0 + 6.5 = 30 L3C3 = 4.3 + 6.8 = 60, e, portanto, a matriz produto será igual a: Observe que o produto de uma matriz de ordem 3x2 por outra 2x3, resultou na matriz produto P de ordem 3x3. Nota: O produto de matrizes é uma operação não comutativa, ou seja: A x B B x A DETERMINANTES Entenderemos por determinante, como sendo um número ou uma função, associado a uma matriz quadrada, calculado de acordo com regras específicas. É importante observar, que só as matrizes quadradas possuem determinante. Regra para o cálculo de um determinante de 2ª ordem. Dada a matriz quadrada de ordem 2 a seguir: O determinante de A será indicado por det(a) e calculado da seguinte forma : det (A) = A = ad - bc Exemplo: Ora, senx.senx + cosx.cosx = sen 2 x + cos 2 x = 1 ( Relação Fundamental da Trigonometria ). Portanto, o determinante da matriz dada é igual à unidade. 16 Raciocínio Lógico

Regra para o cálculo de um determinante de 3ª ordem ( Regra de SARRUS). SARRUS (pronuncia-se Sarrí), cujo nome completo é Pierre Frederic SARRUS (1798-1861), foi professor na universidade francesa de Strasbourg. A regra de SARRUS, foi provavelmente escrita no ano de 1833. Para o cálculo de um determinante de 3ª ordem pela Regra de Sarrus, proceda da seguinte maneira: 1 - Reescreva abaixo da 3ª linha do determinante, a 1ª e 2ª linhas do determinante. 2 - Efetue os produtos em "diagonal", atribuindo sinais negativos para os resultados à esquerda e sinal positivo para os resultados à direita. 3 - Efetue a soma algébrica. O resultado encontrado será o determinante associado à matriz dada. Exemplo:.2 3 5.1 7 4 Portanto, o determinante procurado é o número real negativo.- 77. Principais propriedades dos determinantes P1) somente as matrizes quadradas possuem determinantes. P2) o determinante de uma matriz e de sua transposta são iguais: det(a) = det( A t ). P3) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero, é nulo. Obs: Chama-se FILA de um determinante, qualquer LINHA ou COLUNA. P4) se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante, ele muda de sinal. P5) o determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais, é nulo. P6) multiplicando-se (ou dividindo-se) os elementos de uma fila por um número, o determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número. P7) um determinante não se altera quando se substitui uma fila pela soma desta com uma fila paralela, multiplicada por um número real qualquer. P8) determinante da matriz inversa : det( A -1 ) = 1/det(A). Se A -1 é a matriz inversa de A, então A. A -1 = A -1. A = I n, onde I n é a matriz identidade de ordem n. Nestas condições, podemos afirmar que det(a.a -1 ) = det(i n ) e portanto igual a 1. Logo, podemos também escrever det(a). det(a -1 ) = 1 ; logo, concluímos que: det(a -1 ) = 1 / det(a). Notas: 1) se det(a) = 0, não existe a matriz inversa A -1. Dizemos então que a matriz A é SINGULAR ou NÃO INVERSÍVEL. 2) se det A 0, então a matriz inversa A -1 existe e é única. Dizemos então que a matriz A é INVERSÍVEL. P9) Se todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n, forem nulos (matriz triangular), o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. P10) Se A é matriz quadrada de ordem n e k R então det(k.a) = k n. det A Exemplos: 1) Qual o determinante associado à matriz? Raciocínio Lógico 17

Observe que a 4ª linha da matriz é proporcional à 1ª linha (cada elemento da 4ª linha é obtido multiplicando os elementos da 1ª linha por 3). Portanto, pela propriedade P5, o determinante da matriz dada é NULO. 2) Calcule o determinante: Observe que a 2ª coluna é composta por zeros; FILA NULA DETERMINANTE NULO, conforme propriedade P3 acima. Logo, D = 0. 3) Calcule o determinante: Ora, pela propriedade P9 acima, temos: D = 2.5.9 = 90 Exercícios propostos: 1) As matrizes A e B, quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At, onde A t é a matriz transposta de A. Se o determinante de B é igual a 40, então o determinante da matriz inversa de A é igual a: *a) 1/5 b) 5 c) 1/40 d) 1/20 e) 20 2) Seja a matriz A de ordem n onde aij = 2 para i = j e aij = 0 para i j. Se det (3A) = 1296, então n é igual a: Resp: n = 4 3) Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = ( aij ) 3 X 3, onde aij = i + j se i j ou aij = i - j se i < j. Qual o determinante de A? Resp: soma dos elementos da diagonal principal = 12 e determinante = 72 4) Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i - j então podemos afirmar que o determinante da matriz 5 A é igual a: Resp: zero 1 - Definições: 1.1 - Chama-se Menor Complementar ( D ij ) de um elemento a ij de uma matriz quadrada A, ao determinante que se obtém eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz. Assim, dada a matriz quadrada de terceira ordem (3x3) A a seguir : 18 Raciocínio Lógico

Podemos escrever: D 23 = menor complementar do elemento a 23 = 9 da matriz A. Pela definição, D 23 será igual ao determinante que se obtém de A, eliminando-se a linha 2 e a coluna 3, ou seja: Da mesma forma determinaríamos D 11, D 12, D 13, D 21, D 22, D 31, D 32 e D 33. Faça os cálculos como exercício! 1.2 - Cofator de um elemento a ij de uma matriz : cof ( a ij ) = (-1 ) i+j. D ij. Assim por exemplo, o cofator do elemento a 23 = 9 da matriz do exemplo anterior, seria igual a: cof(a 23 ) = (-1) 2+3. D 23 = (-1) 5. 10 = - 10. 2 - Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. Este teorema permite o cálculo do determinante de uma matriz de qualquer ordem. Como já conhecemos as regras práticas para o cálculo dos determinantes de ordem 2 e de ordem 3, só recorremos à este teorema para o cálculo de determinantes de 4ª ordem em diante. O uso desse teorema, possibilita abaixar a ordem do determinante. Assim, para o cálculo de um determinante de 4ª ordem, a sua aplicação resultará no cálculo de quatro determinantes de 3ª ordem. O cálculo de determinantes de 5ª ordem, já justifica o uso de planilhas eletrônicas, a exemplo do Excel for Windows, Lótus 1-2-3, entre outros. Para expandir um determinante pelo teorema de Laplace, é mais prático escolher a fila (linha ou coluna) que contenha mais zeros, pois isto vai facilitar e reduzir o número de cálculos necessários. Pierre Simon Laplace - (1749-1827) - Matemático e astrônomo francês. 3 - Cálculo da inversa de uma matriz. a) A matriz inversa de uma matriz X, é a matriz X -1, tal que X. X -1 = X -1. X = I n, onde I n é a matriz identidade de ordem n. b) Matriz dos cofatores da matriz A: é a matriz obtida substituindo-se cada elemento pelo seu respectivo cofator. Símbolo: cof A. c) Fórmula para o cálculo da inversa de uma matriz: Onde: A -1 = matriz inversa de A; det A = determinante da matriz A; (cof A) T = matriz transposta da matriz dos cofatores de A. Exercícios propostos 1 - Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i - j então podemos afirmar que o seu determinante é igual a: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Resp: a 2 - UFBA-90 - Calcule o determinante da matriz: Resp: 15 Raciocínio Lógico 19

3 - Considere a matriz A = (aij)4x4 definida por aij = 1 se i j e aij = i + j se i < j. Pede-se calcular a soma dos elementos da diagonal secundária. Resp: 12 4 - As matrizes A e B, quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At, onde At é a matriz transposta de A. Se o determinante de B é igual a 40, então o determinante da matriz inversa de A é igual a: a) 1/5 b) 5 c) 1/40 d) 1/20 e) 20 Resp: a 5 - Dadas as matrizes A = (aij) 3x4 e B = (bij) 4x1 tais que aij = 2i + 3j e bij = 3i + 2j, o elemento c 12 da matriz C = A.B é: a)12 b) 11 c) 10 d) 9 e) inexistente Resp: e FUVEST 1999 1ª fase Se A é uma matriz 2x2 inversível que satisfaz 2A = A 2, então o determinante de A será: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 SOLUÇÃO: Diz-se que uma matriz é inversível, quando o seu determinante é um número diferente de zero. Se 2 A = A 2, então os seus determinantes são iguais, ou seja: det(2 A) = det(a 2 ) Sabemos que sendo det(a) o determinante de uma matriz de ordem n, podemos dizer que det(k.a) onde k é um número inteiro positivo, será igual a k n. det(a). Portanto, como n = 2 (ordem da matriz), vem: det(2 A) = 2 2.det(A) S abemos também que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto das matrizes, ou seja: det(a.b) = det(a).det(b). Então, det(a 2 ) = det(a. A) = det(a).det(a) Substituindo na igualdade det(2 A) = det(a 2 ), as expressões obtidas anteriormente, vem: 2 2.det(A) = det(a).det(a) 4.det(A) [det(a)] 2 = 0 Colocando det(a) em evidencia, fica: det(a).[4 det(a)] = 0 Daí, conclui-se que det(a) = 0 OU det(a) = 4. Como é dito que a matriz A é inversível, o seu determinante é não nulo e, portanto, a solução det(a) = 0 não serve. Portanto, det(a) = 4, e a alternativa correta é a de letra E. 1 - Equação linear SISTEMAS LINEARES Entenderemos por equação linear nas variáveis (incógnitas) x 1, x 2, x 3,..., x n, como sendo a equação da forma a 1.x 1 + a 2.x 2 + a 3.x 3 +... + a n.x n = b onde a 1, a 2, a 3,... a n e b são números reais ou complexos. a 1, a 2, a 3,... a n são denominados coeficientes e b, termo independente. Nota: se o valor de b for nulo, diz-se que temos uma equação linear homogênea. Exemplos de equações lineares: 2x 1 +3x 2 =7(variáveis ou incógnitas x 1 e x 2,coeficientes 2 e 3,e termo independente7) 3x + 5y = 5 (variáveis ou incógnitas x e y, coeficientes 3 e 5, e termo independente 5) 2x + 5y + z = 17 (variáveis ou incógnitas x, y e z, coeficientes 2,5 e 1 e termo independente 17) -x 1 + 3x 2-7x 3 + x 4 = 1 (variáveis x 1, x 2, x 3 e x 4, coeficientes -1, 3, -7, e 1 e termo independente 1) 20 Raciocínio Lógico

2x + 3y + z - 5t = 0 (variáveis ou incógnitas x, y, z e t, e termo independente nulo). Logo, este é um exemplo de equação linear homogênea. 2 - A solução de uma equação linear Já estamos acostumados a resolver equações lineares de uma incógnita (variável), que são as equações de primeiro grau. Por exemplo: 2x + 8 = 22, nos leva à solução única x = 14. Já, se tivermos uma equação com duas incógnitas (variáveis), por exemplo x + y = 10, a solução não é única, já que poderemos ter um número infinito de pares ordenados que satisfazem à equação, ou seja: x=1 e y=9 [par ordenado (1,9)], x =4 e y =6 [par ordenado (4,6)], x = 3/2 e y 17/2 [par ordenado (3/2,17/2)],..., etc. Consideremos agora, uma equação com 3 incógnitas. Seja por exemplo: x + y + z = 5 As soluções, serão x=1, y=4 e z=0, uma vez que 1+4+0 =5; x=3, y=7 e z=-5, uma vez que 3+7-5=5; x=10, y=-9 e y=4 (uma vez que 10-9+4=5);..., que são compostas por 3 elementos, o que nos leva a afirmar que as soluções são os ternos ordenados (1,4,0), (3,7,-5), (10, -9, 4),..., ou seja, existem infinitas soluções (um número infinito de ternos ordenados) que satisfazem à equação dada. De uma forma geral, as soluções de uma equação linear de duas variáveis, são pares ordenados; de três variáveis, são ternos ordenados; de quatro variáveis, são quadras ordenadas;.... Se a equação linear possuir n variáveis, dizemos que as soluções são n - uplas (lê-se ênuplas) ordenadas. Assim, se a ênupla ordenada (r 1, r 2, r 3,..., r n ) é solução da equação linear a 1.x 1 + a 2.x 2 + a 3.x 3 +... + a n.x n = b, isto significa que a igualdade é satisfeita para x 1 = r 1, x 2 = r 2, x 3 = r 3,..., x n = r n e poderemos escrever: a 1.r 1 + a 2.r 2 + a 3.r 3 +... + a n.r n = b. Exercícios resolvidos: 1 - Se o terno ordenado (2, 5, p) é solução da equação linear 6x - 7y + 2z = 5, qual o valor de p? Solução: Teremos por simples substituição, observando que x = 2, y = 5 e z = p, 6.2-7.5 + 2.p = 5. Logo, 12-35 + 2p = 5. Daí vem imediatamente que 2p = 28 e portanto, p = 14. 2 - Escreva a solução genérica para a equação linear 5x - 2y + z = 14, sabendo que o terno ordenado (α, β, γ ) é solução. Solução: Podemos escrever: 5α - 2β + γ = 14. Daí, tiramos: γ = 14-5α + 2β. Portanto, a solução genérica será o terno ordenado (α, β, 14-5α + 2β ). Observe que arbitrando-se os valores para α e β, a terceira variável ficará determinada em função desses valores. Por exemplo, fazendo-se α = 1, β = 3, teremos γ = 14-5α + 2β = 14-5.1 + 2.3 = 15, ou seja, o terno (1, 3, 15) é solução, e assim, sucessivamente. Verificamos pois que existem infinitas soluções para a equação linear dada, sendo o terno ordenado (α, β, 14-5α + 2β ) a solução genérica. 3 - Qual o conjunto solução da equação linear 0x + 0y + 0z = 1? Resp : S = φ 4 - Determine o valor de 6p, sabendo-se que a quadra ordenada (2, p, -3, p+3) é solução da equação 3x + 4y - 5z + 2t = 10. Resp : -17 1 - Sistema linear É um conjunto de m equações lineares de n incógnitas (x 1, x 2, x 3,..., x n ) do tipo: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 +... + a 2n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 +... + a 3n x n = b 3...... a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x 3 +... + a mn x n = b n Raciocínio Lógico 21

Exemplo: 3x + 2y - 5z = -8 4x - 3y + 2z = 4 7x + 2y - 3z = 2 0x + 0y + z = 3 Temos acima um sistema de 4 equações e 3 incógnitas (ou variáveis). Os termos a 11, a 12,..., a 1n,..., a m1, a m2,..., a mn são denominados coeficientes e b 1, b 2,..., b n são os termos independentes. A ênupla (α 1, α 2, α 3,..., α n ) será solução do sistema linear se e somente se satisfizer simultaneamente a todas as m equações. Exemplo: O terno ordenado (2, 3, 1) é solução do sistema: x + y + 2z = 7 3x + 2y - z = 11 x + 2z = 4 3x - y - z = 2 pois todas as equações são satisfeitas para x=2, y=3 e z=1. Notas: 1 - Dois sistemas lineares são EQUIVALENTES quando possuem as mesmas soluções. Exemplo: Os sistemas lineares 2x + 3y = 12 S 1 : 3x - 2y = 5 5x - 2y = 11 S 2 : 6x + y = 20 são equivalentes, pois ambos admitem o par ordenado (3, 2) como solução. Verifique! 2 - Se um sistema de equações possuir pelo menos uma solução, dizemos que ele é POSSÍVEL ou COMPATÍVEL. 3 - Se um sistema de equações não possuir solução, dizemos que ele é IMPOSSÍVEL ou INCOMPATÍVEL. 4 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui apenas uma solução, dizemos que ele é DETERMINADO. 5 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui mais de uma solução, dizemos que ele é INDETERMINADO. 6 - Se os termos independentes de todas as equações de um sistema linear forem todos nulos, ou seja b 1 = b 2 = b 3 =... = b n = 0, dizemos que temos um sistema linear HOMOGÊNEO. Exemplo: x + y + 2z = 0 2x - 3y + 5z = 0 5x - 2y + z = 0 Exercícios Resolvidos 1 - UEL - 84 (Universidade Estadual de Londrina) Se os sistemas x + y = 1 S 1 : x - 2y = -5 ax - by = 5 S 2 : ay - bx = -1 são equivalentes, então o valor de a 2 + b 2 é igual a: a) 1 b) 4 c) 5 d) 9 e) 10 Solução: Como os sistemas são equivalentes, eles possuem a mesma solução. Vamos resolver o sistema S 1 : 22 Raciocínio Lógico

x + y = 1 x - 2y = -5 Subtraindo membro a membro, vem: x - x + y - (-2y) = 1 - (-5). Logo, 3y = 6 y = 2. Portanto, como x+y = 1, vem, substituindo: x + 2 = 1 x = -1. O conjunto solução é portanto S = {(-1, 2)}. Como os sistemas são equivalentes, a solução acima é também solução do sistema S 2. Logo, substituindo em S 2 os valores de x e y encontrados para o sistema S 1, vem: a(-1) - b(2) = 5 - a - 2b = 5 a(2) - b (-1) = -1 2 a + b = -1 Multiplicando ambos os membros da primeira equação (em azul) por 2, fica: -2 a - 4b = 10 Somando membro a membro esta equação obtida com a segunda equação (em vermelho), fica: -3b = 9 b = - 3 Substituindo o valor encontrado para b na equação em vermelho acima (poderia ser também na outra equação em azul), teremos: 2 a + (-3) = -1 a = 1. Portanto, a 2 + b 2 = 1 2 + (-3) 2 = 1 + 9 = 10. Portanto a alternativa correta é a letra E. 2 - Determine o valor de m de modo que o sistema de equações abaixo, 2x - my = 10 3x + 5y = 8, seja impossível. Solução: Teremos, expressando x em função de m, na primeira equação: x = (10 + my) / 2 Substituindo o valor de x na segunda equação, vem: 3[(10+my) / 2] + 5y = 8 Multiplicando ambos os membros por 2, desenvolvendo e simplificando, vem: 3(10+my) + 10y = 16 30 + 3my + 10y = 16 (3m + 10)y = -14 y = -14 / (3m + 10) Ora, para que não exista o valor de y e, em conseqüência não exista o valor de x, deveremos ter o denominador igual a zero, já que, como sabemos, NÃO EXISTE DIVISÃO POR ZERO. Portanto, 3m + 10 = 0, de onde conclui-se m = -10/3, para que o sistema seja impossível, ou seja, não possua solução. Agora, resolva e classifique os seguintes sistemas: a) 2x + 5y.-..z = 10...3y + 2z =..9...3z = 15 b) 3x - 4y = 13...6x - 8y = 26 c) 2x + 5y = 6...8x + 20y = 18 Resp: a) sistema possível e determinado. S = {(25/3, -1/3, 5)} b) sistema possível e indeterminado. Possui um número infinito de soluções. c) sistema impossível. Não admite soluções. MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS OU MÉTODO DO ESCALONAMENTO Karl Friedrich Gauss - astrônomo, matemático e físico alemão - 1777/1855. O método de eliminação de Gauss para solução de sistemas de equações lineares, também conhecido como escalonamento, baseia-se em três transformações elementares, a saber: T1 - um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer do sistema. Raciocínio Lógico 23

Exemplo: os sistemas de equações lineares 2x + 3y = 10 5x - 2y = 6 5x - 2y = 6 2x + 3y = 10 são obviamente equivalentes, ou seja, possuem o mesmo conjunto solução. Observe que apenas mudamos a ordem de apresentação das equações. T2 - um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos os membros de qualquer uma das equações do sistema, por um número real não nulo. Exemplo: os sistemas de equações lineares 3x + 2y - z = 5 2x + y + z = 7 x - 2y + 3z = 1 3x + 2y - z = 5 2x + y + z = 7 3x - 6y + 9z = 3 são obviamente equivalentes, pois a terceira equação foi multiplicada membro a membro por 3. T3: um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma equação qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro desta equação, com outra na qual foi aplicada a transformação T2. Exemplo: os sistemas 15x - 3y = 22 5x + 2y = 32 15x - 3y = 22... - 9y = - 74 são obviamente equivalentes (ou seja, possuem o mesmo conjunto solução), pois a segunda equação foi substituída pela adição da primeira equação, com a segunda multiplicada por ( -3 ). Vamos resolver, a título de exemplo, um sistema de equações lineares, pelo método de Gauss ou escalonamento. Seja o sistema de equações lineares:. x + 3y - 2z = 3.Equação 1 2x. -.y + z = 12 Equação 2 4x + 3y - 5z = 6.Equação 3 SOLUÇÃO: 1 - Aplicando a transformação T1, permutando as posições das equações 1 e 2, vem: 2x.-...y + z = 12 x..+ 3y - 2z = 3 4x + 3y - 5z = 6 2 - Multiplicando ambos os membros da equação 2, por (- 2) - uso da transformação T2 - somando o resultado obtido com a equação 1 e substituindo a equação 2 pelo resultado obtido - uso da transformação T3 - vem: 2x -..y + z = 12...- 7y + 5z = 6 4x + 3y - 5z = 6 3 - Multiplicando ambos os membros da equação 1 por (-2), somando o resultado obtido com a equação 3 e substituindo a equação 3 pela nova equação obtida, vem: 2x -..y +..z =...12...- 7y + 5z =...6...5y - 7z = - 18 4 - Multiplicando a segunda equação acima por 5 e a terceira por 7, vem: 2x -...y +...z =...12...- 35y +25z =... 30...35y - 49z = -126 5 - Somando a segunda equação acima com a terceira, e substituindo a terceira pelo resultado obtido, vem: 2x -...y +...z =..12 24 Raciocínio Lógico

...- 35y + 25z =..30...- 24z = - 96 6 - Do sistema acima, tiramos imediatamente que: z = (-96) / (-24) = 4, ou seja, z = 4. Como conhecemos agora o valor de z, fica fácil achar os valores das outras incógnitas: Teremos: - 35y + 25(4) = 30 y = 2. Analogamente, substituindo os valores conhecidos de y e z na primeira equação acima, fica: 2x - 2 + 4 = 12 x = 5. Portanto, x = 5, y = 2 e z = 4, constitui a solução do sistema dado. Podemos então escrever que o conjunto solução S do sistema dado, é o conjunto unitário formado por um terno ordenado (5,2,4) : S = { (5, 2, 4) } Verificação: Substituindo os valores de x, y e z no sistema original, teremos: 5 + 3(2) - 2(4) = 3 2(5) - (2) + (4) = 12 4(5) + 3(2) - 5(4) = 6 o que comprova que o terno ordenado (5,4,3) é solução do sistema dado. Sobre a técnica de escalonamento utilizada para resolver o sistema dado, podemos observar que o nosso objetivo era escrever o sistema na forma ax + by + cz = k 1 dy + ez = k 2 fz = k 3 de modo a possibilitar achar o valor de z facilmente ( z = k 3 / f ) e daí, por substituição, determinar y e x. Este é o caminho comum para qualquer sistema. É importante ressaltar que se em z = k 3 / f, tivermos: a) f 0, o sistema é possível e determinado. b) f = 0 e k 3 0, o sistema é impossível, ou seja, não possui solução, ou podemos c) dizer também que o conjunto solução é vazio, ou seja: S = φ. d) f = 0 e k 3 = 0, o sistema é possível e indeterminado, isto é, possui um número infinito de soluções. Não podemos escrever uma regra geral para o escalonamento de um sistema de equações lineares, a não ser recomendar a correta e oportuna aplicação das transformações T1, T2 e T3 mostradas anteriormente. Podemos entretanto observar que o método de escalonamento consiste basicamente em eliminar a primeira incógnita a partir da segunda equação, eliminar a segunda incógnita em todas as equações a partir da terceira e assim sucessivamente, utilizando-se das transformações T1, T2 e T3 vistas acima. A prática, entretanto, será o fator determinante para a obtenção dos bons e esperados resultados. Agora, resolva os seguintes sistemas lineares, usando a técnica de escalonamento: Sistema I : Resp: S = { (3, 5) } 4x - 2y = 2 2x + 3y = 21 Sistema II : Resp: S = { (-1, 2, 4) } 2 a + 5b +.3c =...20 5 a + 3b - 10c = - 39...a +...b +...c =...5 Sistema III : Resp: S = { (2, 3, 5) }..x +.y.-..z =...0..x - 2y + 5z = 21 4x +.y + 4z = 31 Regra de Cramer para a solução de um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas. Gabriel Cramer - matemático suíço - 1704/1752. Raciocínio Lógico 25

Consideremos um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas, na sua forma genérica: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 +... + a 2n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 +... + a 3n x n = b 3...=......=... a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x 3 +... + a nn x n = b n onde os coeficientes a 11, a 12,..., a nn são números reais ou complexos, os termos independentes b 1, b 2,..., b n, são números reais ou complexos e x 1, x 2,..., x n são as incógnitas do sistema nxn. Seja o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas. Seja x i o determinante da matriz que se obtém do sistema dado, substituindo a coluna dos coeficientes da incógnita x i ( i = 1, 2, 3,..., n), pelos termos independentes b 1, b 2,..., b n. A regra de Cramer diz que: Os valores das incógnitas de um sistema linear de n equações e n incógnitas são dados por frações cujo denominador é o determinante dos coeficientes das incógnitas e o numerador é o determinante x i, ou seja: x i = x i / Exemplo: Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer: x + 3y - 2z = 3 2x - y + z = 12 4x + 3y - 5z = 6 Para o cálculo dos determinantes a seguir, é conveniente rever o capítulo Determinantes clicando AQUI. Para retornar, clique em VOLTAR no seu browser. Teremos: 26 Raciocínio Lógico