UFV Universidade Federal de Viçosa DMA Departamento de Matemática MAT 138 Noções de Álgebra Linear 1 2 a LISTA DE EERCÍCIOS - 2005/I 1. Resolva os sistemas abaixo e classifique-os quanto ao número de soluções: x + y 3z + t = 1 x + 2y z = 2 x + 3y + 2z = 2 a) 3x + 3y + z + 2t b) 3x + 5y + z = c) 2x y + z = 5 2x + y + z 2t = 5x + 3y + z = 10 x + 3y + 2z = 9 3x y + z = 13 2x1 + 2x2 x3 + x5 x 8y = 12 x1 x2 + 2x3 3x + x5 x + 6y 8z = 1 d) 3x 6y = 9 e) f) 2x + y = 6 x1 + x2 2x3 x5 2x + 6y z x3 + x + x5 x+ y z = 1 2. Determine os valores de a, de modo que o seguinte sistema 2x + 3y + az = 3 tenha: x + ay + 3z = 2 a) nenhuma solução b) mais de uma solução c) uma única solução 3. No seguinte sistema estabeleça as condições que devem ser satisfeitas pelos termos independentes para que o sistema seja compatível: a) a + 3b = x 2 a b = y 2 a + b = z 3 a + b = t b) x 2 y z = a 2 x + y + 3z = b x 3 y+ z = c. No meu bairro há três cadeias de supermercados: A, B e C. A tabela abaixo apresenta os preços ( em reais por quilo) do produto, do produto Y e do produto Z, nessas cadeias. Produto Produto Y Produto Z A 3 2 B 1 6 C 1 7 Comprando-se x quilos do produto, y quilos do produto Y e z quilos do produto Z em qualquer dos supermercados, pagarei R$31,00. Determine x, y e z. 5. Num concurso, foram aplicadas a quatro candidatos três provas A, B e C de pesos a, b e c, respectivamente. O quadro abaixo mostra as notas obtidas em cada prova e a nota final de cada um dos candidatos desse concurso. Prova A Prova B Prova C Nota Final 1 o candidato 9 8 10 9 2 o candidato 6 8 9 8 3 o candidato 5 7 8 7 o candidato 7 9 6 Cada nota final foi obtida calculando-se a média ponderada das notas obtidas nas provas pelo candidato. Calcula-se a média ponderada somando-se os produtos das notas de cada prova pelo seu respectivo peso e dividindo-se a soma assim obtida pela soma dos pesos. O quarto candidato alegou que se as notas dos outros três candidatos estivessem corretas a sua estaria incorreta. Supondo que as notas finais dos outros três candidatos estejam corretas, calcule a nota final do quarto candidato.
2 6. Uma indústria produz três produtos, A, B e C, utilizando dois tipos de insumos, e Y. Para a manufatura de 1kg de A são utilizados 1g do insumo e 2g de Y; para 1 kg de B, 1 g de e 1g de Y e, para 1kg de C, 1g de e g de Y. O preço da venda do quilo de cada um dos produtos A, B e C é de R$ 2,00, R$ 3,00 e R$5,00, respectivamente. Com a venda de toda a produção de A, B e C manufaturada com 1kg de e 2kg de Y, essa indústria arrecadou R$ 2500,00. Determine quantos quilos de cada um dos produtos A, B e C foram vendidos. 7. Dois metais x e y são obtidos de dois tipos de minérios I e II. De 100 kg de I se obtém 3 gramas de x e 5 gramas de y e de 100 kg de II obtém-se gramas de x e 2,5 gramas de y. Quantos quilos de minério de cada tipo serão necessários para se obter 72 g. de x e 95 g. de y, usando-se simultaneamente os dois minérios? 8. Necessita-se corrigir um terreno acrescentando a cada 10m 2, 10g de nitrato, 190g de fósforo e 205g de potássio. Dispõe-se de quatro tipos de adubo, com as seguintes características por kg: o adubo I contém 10g de nitrato, 10g de fósforo e 100g de potássio e custa R$ 5,00; o adubo II contém 10g de nitrato, 100g de fósforo e 30g de potássio e custa R$ 15,00; o adubo III contém 50g de nitrato, 20g de fósforo e 20g de potássio e custa R$ 5,00; e o adubo IV contém 20g de nitrato, 0g de fósforo e 35g de potássio e custa R$ 10,00. Quanto de cada adubo deve ser misturado para conseguir o efeito desejado, podendo-se gastar R$ 0,00 para cada 10m 2 de adubação? 9. Uma firma fabrica dois produtos: A e B. Cada um deles passa por duas máquinas: I e II. Para se fabricar uma unidade de A gasta-se 1h da máquina I e 1h e 30 min da máquina II. Cada unidade de B gasta 3h de I e 2h de II. Quantas unidades de cada produto poderão ser fabricadas em um mês se, por motivos técnicos, I só funciona 300 horas e II só 250 horas por mês? 10. Durante 3 dias foi tomada a temperatura (em o C) numa região de uma cidade, por três vezes no período das 6 às 10 h. Determinar, usando todos os dados da tabela abaixo, a média das temperaturas dos três dias às 9 horas. Hora/dia 1 2 3 6 18 17 18 8 20 20 21 10 2 25 22 11. Uma refinaria de petróleo processa dois tipos de petróleo: com alto teor de enxofre e com baixo teor de enxofre. Cada tonelada de petróleo de baixo teor necessita de 5 minutos no setor de mistura e minutos no setor de refinaria; já o petróleo com alto teor são necessários minutos no setor de mistura e 2 minutos no setor de refinaria. Se o setor de mistura está disponível por 3 horas, e o setor de refinaria por 2 horas, quantas toneladas de cada tipo de combustível devem ser processadas para que os dois setores não fiquem ociosos? 12. Um fabricante de plástico produz dois tipos de plástico: o normal e o especial. Para produzir uma tonelada de plástico normal são necessárias duas horas na fábrica A e 5 horas na fábrica B; já na produção de uma tonelada de plástico especial são necessárias 2 horas na fábrica A e 3 horas na fábrica B. Se a fábrica A funciona 8 horas por dia e a fábrica B funciona 15 horas por dia, quantas toneladas de cada tipo de plástico devem ser produzidas diariamente para que as duas fábricas se mantenham totalmente ocupadas? 13. Um nutricionista está elaborando uma refeição que contenha os alimentos A, B e C. Cada grama do alimento A contém 2 unidades de proteína, 3 unidades de gordura e unidades de carboidrato. Cada grama do alimento B contém 3 unidades de proteína, 2 unidades de gordura e 1 unidade de carboidrato. Já no alimento C encontramos 3 unidades de proteína, 3 unidades de gordura e 2 unidades de carboidrato. Se a refeição deve fornecer exatamente 25 unidades de proteína, 2 unidades de gordura e 21 unidades de carboidrato, quantos gramas de cada tipo de alimento devem ser utilizados?
3 1. Um cooperativa produz três tipos de ração:, Y e Z, utilizando farelo de soja, gordura animal e milho. Cada quilograma da ração contém 100g de farelo de soja e 200g de milho e não contém gordura animal; cada quilograma da ração Y contém 300g de farelo de soja, 100g de gordura animal e 00g de milho; cada quilograma da ração Z contém 200g de farelo de soja, 200g de gordura animal e 100g de milho. Sabendo que a disponibilidade destes produtos na cooperativa nos meses de abril, maio e junho foi dada como na tabela abaixo: Quant./Mês(ton.) Farelo de Soja Gordura Animal Milho Abril 1,3 0,8 1,3 Maio 1,8 1,2 1,7 Junho 1,7 0,6 2,3 Pede-se para determinar qual a quantidade de cada tipo de ração foi produzido em cada um destes meses. 15. Uma empresa de transporte de carga transporta os contêineres de duas companhias, A e B. Cada contêiner da companhia A pesa 0Kg e mede 0,05m 3 de volume. Cada contêiner da companhia B pesa 50Kg e mede 0,081m 3 de volume. Por cada contêiner transportado, a empresa de transporte de carga cobra R$2,20 de frete da companhia A e R$3,00 de frete da companhia B. Sabendo que um caminhão da empresa não pode carregar mais do que 37000 Kg e não comporta mais do que 5 m 3, quantos contêineres das companhias A e B o caminhão deveria transportar para maximizar o valor do frete? 16. Um fabricante produz sacos de ração para galinhas a partir de dois ingredientes, A e B. Cada saco deve conter pelo menos 625g do nutriente N1, pelo menos 500g do nutriente N2 e pelo menos 750g do nutriente N3. Cada quilo do ingrediente A contém 125g do nutriente N1, 125g do nutriente N2 e 375g do nutriente N3. Cada quilo do ingrediente B contém 312,5g do nutriente N1, 187,5g do nutriente N2 e 250g do nutriente N3. Se o ingrediente A custa 8 centavos por quilo e o ingrediente B custa 9 centavos por quilo, quanto de cada ingrediente o fabricante deveria usar em cada saco de ração para minimizar seus custos? 17. Encontre a reta de ajuste linear de mínimos quadrados dos quatro pontos (0, 1); (2, 0); (3, 1) e (3, 2). 18. O dono de um negócio em rápida expansão descobre que nos cinco primeiros meses do ano as vendas (em milhares de reais) foram R$,0 ; R$, ; R$5,2; R$ 6, e R$ 8,0. O dono coloca estes dados num gráfico e conjectura que, pelo resto do ano, a curva de vendas pode ser aproximada por um polinômio. Encontre o polinômio quadrático de melhor ajuste de mínimos quadrados para a curva de vendas e use-o para projetar as vendas no último mês do ano. 19. Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta. (a) Um sistema linear com menos equações do que incógnitas tem um número infinito de soluções. (b) Um sistema linear com mais equações que incógnitas pode ter uma infinidade de soluções. (c) Se um sistema quadrado Ax tem somente a solução trivial, então Ax = b tem uma única solução. (d) A soma de dois vetores soluções de um sistema linear é sempre um vetor solução do sistema. (e) A soma de dois vetores soluções de um sistema linear homogêneo é também um vetor solução do sistema (f) Um múltiplo escalar de um vetor solução de um sistema homogêneo é também um vetor solução do sistema. (g) Um sistema linear compatível, com matriz dos coeficientes A quadrada, tem infinitas soluções se e somente se A pode ser linha-reduzida a uma matriz escalonada que contem alguma linha nula
Algumas questões de Provas 2002/200 1. (a) Encontre o conjunto solução do sistema de equações lineares 2x + y 2z t = 2 x y + z + t = 1 x+ 5y 7z 5t = 1 2x + y 2z t = a (b) Para que valores de a, b e c, o sistema x y + z + t = b tem solução. (sugestão: aplique no vetor x+ 5y 7z 5t = c mesma seqüência que operações elementares feitas sobre o sistema do item (a). a b c a 2) Um avião de combate a incêndios florestais pode transportar dois tipos de produtos P e Q. Uma tonelada de P permite combater uma área de incêndio de 1 ha e custa R$ 00,00. Uma tonelada de Q permite combater uma área de incêndio de 2 ha e custa R$ 700,00. O avião não pode transportar mais do que 3 toneladas desses produtos. Pretende-se definir a quantidade a transportar de cada produto de modo a combater incêndios numa área de pelo menos ha, minimizando os custos. (a) Formule em termos de PL o problema indicando o significado das variáveis utilizadas. (b) Esboce o gráfico da região viável para o PPL. (c) Mostre que 0 tonelada de P e 2 toneladas de Q é a solução ótima do PPL e determine o custo desta solução. 3) Um agricultor tem uma área de 20 alqueires onde pretende plantar três diferentes tipos de grãos. Ele dispõe de R$ 2.900,00 para produzir esses grãos. Por alqueire, o custo de produção do grão I é de R$ 100,00, do grão II, R$ 200,00 e do grão III, 150,00. Ele estima que cada alqueire do grão I renderá R$ 200,00, do grão II, R$ 500,00 e do grão III, R$ 00,00. Ele pretende obter, com a venda dos grãos, R$ 7.000,00. Para isso, quantos alqueires de cada grão ele têm que plantar? ) Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta! a) Se, em um sistema linear, uma equação é obtida através das demais equações, o sistema é indeterminado. b) Se det(a), então o sistema A pode ser resolvido com, pelo menos, uma equação a menos. c) A união de dois subconjuntos linearmente independentes de um espaço vetorial é sempre um conjunto linearmente independente. 5) Sejam u = (1, 2) e v = ( 1,1), determine: (a) 2u v (b) u v π 0 (c) Um vetor unitário w tal que o ângulo θ entre v e w seja θ = (5 ). (d) As coordenadas do vetor w = (1, ) em relação à base { u, v }. (e) w tal que { u, w } seja uma base ortogonal do 2. 6) Seja S = {(1, 2, 1, 1), (2, 1, 3, 1), (1, 1, 1, 1)} a) O conjunto S é linearmente independente? Justifique sua resposta. b) É possível completar S até uma base do? Justifique.
5 1. São feitas duas medidas em cada um de indivíduos. Os vetores de observação são as colunas da tabela abaixo. 1 2 3 m1 2 2 7 5 m2 10 2 a) Obtenha a média M dos vetores de observação. b) Calcule a matriz B, na forma de desvio médio, cujas colunas são da forma Yi = i M. 1 T c) Determine a matriz de covariância S = BB. N 1 2. 5 0 0 1 1 1 2 2 3 Calcule o determinante da matriz A = 1 2 3 0 0 3 1 0 0 3 2 0 2 0 3. 0 1 1 Encontre a matriz inversa da matriz C = 1 2 2 2 0. Um fabricante produz leite dos tipos A, B e C. Em cada tipo o produto passa, basicamente, por três etapas de produção: coleta, processamento e embalagem. O tempo (em horas) em cada etapa, por caixa de leite, é dado na tabela 1 abaixo. Tipo \ Etapa Coleta Processamento Embalagem A 2 1 B 2 2 1 C 1 1 1 (a) Obtenha uma matriz R e um vetor u tais que o produto Ru forneça o tempo gasto (em horas), em cada uma das 3 etapas, para a produção de 100 caixas de leite tipo A, 200 caixas do tipo B e 150 caixas de C. (b) Suponha que a produção para o dia 27 seja de 100 caixas de leite tipo A, 200 caixas do tipo B e 150 caixas de C e para o dia 28 seja de 200 caixas de leite tipo A, 100 caixas do tipo B e 100 caixas de C. Obtenha uma matriz R e uma matriz S tais que o produto RS forneça o tempo gasto (em horas), em cada uma das 3 etapas, em cada dia. O custo por hora de produção, por etapa, é dado pela tabela 2 abaixo. Etapa Custo (em reais) Coleta 1 Processamento 3 Embalagem 2 (c) Seja P a matriz associada à tabela 1 e seja Q a matriz associada a tabela 2. O que representa o elemento (PQ) 21, ou seja, o elemento da segunda linha e da primeira coluna da matriz PQ. 5. Uma fábrica despeja objetos poluentes no leito de um rio. Faz-se a coleta de amostra em algumas horas de um determinado dia para medir a quantidade de poluentes despejados no rio e o resultado é exibido na tabela abaixo. Número de horas após as 8:00 hs Quantidade de poluentes (kg/hora) 0 10 5 0 8 10 a) Encontre o polinômio de grau 2 que aproxima os dados.
b) Estime a quantidade de poluentes jogados pela fábrica neste dia as 10:00 hs. c) Estime o horário em que foi máxima a quantidade de poluentes despejados. 6 6. Deve-se produzir um determinado tipo de ração combinando dois alimentos P e Q. Cada quilo de P contém 6g de vitamina A e 3g de vitamina C; e 1 kg de Q contém 2g de vitamina A e 6g de vitamina C. O preço do quilo do alimento P é R$, 00 e de Q é R$ 3,00. Devem ser produzidos, no máximo, 7 kg desta ração com, no mínimo, 18g de vitamina A e 2g de vitamina C. Pretende-se definir a quantidade de cada alimento P e Q na ração tal que o custo seja mínimo. (d) Formule em termos de PPL o problema indicando o significado das variáveis utilizadas. (e) Esboce o gráfico da região viável para o PPL. (f) Encontre a solução ótima para o PPL. 8. A respeito de um sistema linear homogêneo, A, onde A é uma matriz 3 x, responda as perguntas abaixo e justifique sua resposta. a) O conjunto solução deste sistema é um subconjunto do deste sistema é também uma solução do sistema. Por que? 3 ou do? Qualquer combinação linear de soluções b) Discuta os possíveis valores para a dimensão do espaço-solução de um sistema como o descrito no enunciado. Dê exemplo uma 3 x matriz A, escalonada, tal que o espaço-solução do sistema A tenha dimensão 1.