Planejamento do Tratamento por Radioterapia Através de Métodos de Pontos Interiores 1

Panejamento do Tratamento por Radioterapia Através de Métodos de Pontos Interiores 1 Cecíia Boini Barboza Cid Orientador: Prof. Dr. Aureio Ribeiro Leite de Oiveira Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação ICMC-USP - São Caros 1 Trabaho reaizado com o apoio da CNPq

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Agradecimentos Quero manifestar minha gratidão ao meu orientador Professor Dr. Aureio Ribeiro Leite de Oiveira pea amizade, críticas, sugestões e apoio, os quais proporcionaram a eaboração deste trabaho. Meus agradecimentos à minha famíia, especiamente aos meus avós, Pínio e Izeda, por todo seu amor, sabedoria, incentivo e orações. Um obrigado muito especia ao Aexandre que me apoiou em todo momento, com muito amor, compreensão e incentivo. Também gostaria de agradecer a todos meus companheiros de mestrado que contribuíram para reaização deste trabaho e que se revearam grandes amigos. Quero manifestar meu reconhecimento e gratidão a Deus, que sempre me mostrou o caminho a ser seguido, nunca deixou que eu me esquecesse do quanto a vida é reamente bea, e que é verdadeiramente o responsáve pea reaização deste trabaho. Finamente, gostaria de agradecer ao apoio financeiro do CNPq e a todos que de diversas formas contribuíram para a reaização deste projeto de mestrado.

Resumo O objetivo deste trabaho consiste no desenvovimento, estudo e impementação de métodos de pontos interiores específicos para o probema de panejamento do tratamento de câncer por radioterapia. Este é um probema de grande porte que contém uma estrutura matricia particuar. A exporação desta estrutura de forma eficiente obtém bom desempenho computaciona, através da redução da dimensão dos sistemas ineares que devem ser resovidos a cada iteração, agiizando a definição de um tratamento adequado, uma vez que tipicamente várias simuações são reaizadas antes da definição de um pano definitivo. Resutados numéricos em Matab iustram a eficiência desta abordagem em probemas reais e mostram a superioridade do método preditor corretor em comparação ao método prima-dua. i

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Abstract In this work, a speciaized interior point method is deveoped for panning cancer treatment by radiotherapy. This is a arge-scae probem with a specific matrix structure. That structure is expored in an efficient way reducing the dimension of the inear system which must be soved at each iteration speeding up the treatment design since usuay severa versions must be soved to obtain a satisfactory pan. Moreover, the system obtained is sparse, symmetric and positive definite. Numerica resuts in Matab iustrate the efficiency of this approach in rea probems and show the superiority of the preditor-corrector method in comparison to the prima-dua method. iii

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Conteúdo 1 Introdução 1 1.1 Abordagem por Métodos de Pontos Interiores................ 1 2 Métodos de Pontos Interiores para Programação Linear 3 2.1 Método de Newton para uma Variáve.................... 4 2.2 Método de Newton para Várias Variáveis................... 5 2.3 Método Prima-Dua Afim Escaa....................... 5 2.3.1 Método Prima-Dua Cássico..................... 7 2.4 Método Preditor-Corretor........................... 8 2.5 Cácuo das Direções nos Métodos de Pontos Interiores........... 10 3 Um Modeo para Formuação do Tratamento por Radioterapia 13 3.1 Formuação do Modeo............................. 16 3.2 Probema de Otimização Linear........................ 18 3.3 Propriedades das Restrições Eásticas..................... 20 3.3.1 Interpretação das Souções....................... 20 4 Métodos de Pontos Interiores Apicados ao Modeo de Tratamento por Radioterapia 23 4.1 Anáise Média.................................. 23 4.1.1 O Método Prima-Dua para Anáise Média.............. 28 4.1.2 Eiminação de Variáveis........................ 30 4.1.3 Resumo do Método de Pontos Interiores............... 35 4.1.4 Método Preditor-Corretor para Anáise Média............ 36 4.2 Anáise Absouta................................ 37 v

4.2.1 O Método Prima-Dua para Anáise Absouta............ 43 4.2.2 Eiminação de Variáveis........................ 45 4.2.3 Resumo do Método de Pontos Interiores............... 52 4.2.4 Método Preditor-Corretor para Anáise Absouta.......... 53 5 Resutados Computacionais 55 6 Concusões 59 6.1 Perspectivas Futuras.............................. 59 Bibiografia 61 vi

Capítuo 1 Introdução Modeos de programação inear tem sido usados extensivamente para encontrar bons panos de tratamento por radioterapia. A primeira formuação proposta como um modeo de programação inear ocorreu em 1968 [3]. O objetivo do tratamento é eiminar as céuas do tumor através de radiação ao mesmo tempo em que procura evitar a destruição de céuas vizinhas saudáveis também afetadas pea radiação. Existem atuamente máquinas sofisticadas inspiradas na tomografia computadorizada que emitem radiação ao ongo de todo o corpo do paciente [23], por um ado ampiando as possibiidades de minimização destes efeitos coaterais e por outro aumentando a compexidade de obtenção de panos de tratamento. Do ponto de vista matemático, o desafio consiste em emitir uma ata dosagem de radiação no tumor, suficiente para sua eiminação, e simutaneamente, minimizar a radiação nas regiões vizinhas compostas de tecido saudáve, reduzindo ao máximo as compicações nestas regiões que são muitas vezes críticas. 1.1 Abordagem por Métodos de Pontos Interiores Uma vantagem deste probema, do ponto de vista computaciona, é que ee pode ser modeado como um probema de otimização inear [3, 8, 9, 22, 24, 23]. Por outro ado, o tipo de soução obtida peo método simpex para estes modeos não corresponde ao tratamento mais adequado do ponto de vista médico porque as variáveis não básicas estarão nos seus respectivos imites [8]. Isto significa, nestes modeos, que parte do tumor recebe a dosagem 1

mínima estabeecida para sua eiminação enquanto parte do tecido saudáve pode receber a dosagem máxima permitida. Souções deste tipo são naturamente evitadas peos métodos de pontos interiores. Na presença de mútipas souções esses métodos convergem para aqueas, em certa medida, distanciadas de vértices. Estas seriam as souções mais adequadas na formuação de um tratamento, pois as variáveis não tendem a atingir seus imites na presença de mútipas souções. Uma outra vantagem da abordagem por pontos interiores é a possibiidade de trabahar com pontos infactíveis durante o processo de otimização, faciitando a identificação de modeos ma formuados. Uma motivação adiciona para a abordagem por métodos de pontos interiores, está na estrutura matricia bem definida deste probema. Experiências anteriores com o desenvovimento de métodos de pontos interiores específicos para uma casse de probemas e a exporação da estrutura matricia dos sistemas ineares resutantes mostra que esta abordagem é muito bem sucedida em termos da obtenção de mehor desempenho computaciona [4, 15, 16, 18, 17, 19, 20, 21]. Este trabaho está organizado da seguinte forma: no Capituo 2 são discutidos os métodos de pontos interiores para programação inear. No Capituo 3 apresentamos modeos para a formuação do tratamento por radioterapia e discutimos com mais detahes o modeo adotado. No Capítuo 4 os métodos de pontos interiores são apicados ao modeo de tratamento por radioterapia. No Capituo 5 são apresentados os resutados computacionais obtidos. Finamente, no Capituo 6 são apresentadas as concusões e perspectivas futuras deste trabaho. 2

Capítuo 2 Métodos de Pontos Interiores para Programação Linear Neste capítuo vamos adotar a seguinte forma, denominada padrão, para o probema de programação inear: min s.a c T x Ax = b x 0, onde, A R m n com posto m e os vetores couna x, c e b tem a dimensão apropriada. O dua desse probema é dado por: max s.a b T y A T y + z = c z 0. Um ponto é dito interior quando todas as variáveis estão estritamente dentro de seus imites [27] no probema dua por exempo z 0 > 0 é um ponto interior. Um ponto interior é factíve quando todas as restrições são satisfeitas, ou seja, o ponto x 0, onde, Ax 0 = b com x 0 > 0 é um ponto interior factíve. As condições de otimaidade para probemas prima e dua são dadas pea [27]: 3

factibiidade prima b Ax = 0 x 0, factibiidade dua c A T y z = 0 z 0, e condições de compementaridade [26] x i z i = 0, i = 1 n ou seja, XZe = 0, onde, X é a matriz diagona formada peos eementos do vetor x, Z é a matriz diagona formada peos eementos do vetor z e e é o vetor unitário, e T = (1, 1, 1,, 1). Os métodos de pontos interiores primais-duais podem ser desenvovidos através apicação do método de Newton às condições de otimaidade [27] partindo de um ponto interior desconsiderando as desiguadades. A não negatividade das variáveis é controada peo tamanho do passo. 2.1 Método de Newton para uma Variáve Antes de desenvovermos estes métodos, apresentaremos uma breve revisão do método de Newton. O método de Newton para uma variáve busca zeros de uma função resovendo equações da forma, φ(x) = 0. Este método pode ser deduzido apicando a série de Tayor a φ(x) em torno de x 0, obtendo: φ(x) = φ(x 0 ) + φ (x 0 )(x x 0 ) + Ignorando os termos de ordem superior temos, para φ(x) = 0 com φ (x) 0 : φ(x0 ) φ (x 0 ) = x x0 x = φ(x0 ) φ (x 0 ) + x0 obtendo assim o processo iterativo: x k+1 = x k φ(xk ) φ (x k ), onde dk = φ(xk ) φ (x k ) é a direção de Newton. Este processo pode ser repetido até que uma toerância estabeecida seja satisfeita. 4

2.2 Método de Newton para Várias Variáveis O método de Newton para várias variáveis tem como objetivo encontrar os zeros de sistemas de equações da seguinte forma: seja, f(x)=0, um conjunto de funções não ineares φ i (x) onde φ i (x) = 0, i = 1,, n. O método pode ser deduzido apicando a série de Tayor para cada φ i (x) em torno de x 0, obtendo: φ i (x) = φ i (x 0 ) + [ φ i (x 0 )] T (x x 0 ) +, φ i (x 0 ) = para todo, i = 1 n, onde φ i (x 0 ) x 1. φ i (x 0 ) x n Ignorando os termos de ordem superior temos: [ φ i (x 0 )] T (x x 0 ) = φ i (x 0 ), i = 1,, n. Onde definimos agora o Jacobiano no ponto x 0 : φ 1 (x 0 T ) J(x 0 ) =. e f(x 0 ) = φ n (x 0 ) Podemos resumir assim o método de Newton: φ 1 (x 0 ). φ n (x 0 ) Dado um ponto inicia x 0 Para k = 0, 1, Cácuo da direção d k = J(x k ) 1 f(x k ) Cácuo do novo ponto x k+1 = x k + d k até convergir onde um critério de convergência poderia ser f(x k+1 ) / x k+1 menor que uma dada toerância. 2.3 Método Prima-Dua Afim Escaa Este método busca a soução dos probemas de programação inear prima e dua apicando variantes do método de Newton às condições de otimaidade, e modificando o tamanho do passo para manter os pontos interiores [14]. Escrevemos as condições de otimaidade 5

da seguinte forma, f(x, y, z) = Ax b A T y + z c XZe = 0. Apicando o método de Newton a este sistema de equações não ineares obtemos: (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) (J(x 0, y 0, z 0 )) 1 f(x 0, y 0, z 0 ) = (x 0, y 0, z 0 ) d 0. onde, f(x 0, y 0, z 0 ) = Ax 0 b A T y 0 + z 0 c X 0 Z 0 e = r 0 p r 0 d r 0 a r0. A direção do método de Newton apicado às equações f(x,y,z) torna-se: J(x 0, y 0, z 0 )d 0 = A 0 0 0 A T I Z 0 0 X 0 d 0 x d 0 y d 0 z = rp 0 rd 0 ra 0 ogo, d 0 = d 0 x d 0 y d 0 z = A 0 0 0 A T I Z 0 0 X 0 1 r 0 p r 0 d r 0 a. Podemos assim resumir o método de pontos interiores prima-dua afim escaa: dado um ponto interior (x 0, y 0, z 0 ) onde (x 0, z 0 ) > 0 Para k = 0, 1, rp k = b Ax k rd k = c AT y k z k ra k = X k Z k e d k = J 1 (x k, y k, z k )r k cacue o tamanho do passo prima αp k e dua αd k x k+1 = x k + αpd k k x y k+1 = y k + αd kdk y z k+1 = z k + αd kdk z 6

até convergir. O critério de convergência usado neste método é baseado nas condições de otimaidade: x t z 1+c t x+b t y ɛ b Ax 1 + b ɛ, c A t y z ɛ, 1 + c onde ɛ é a toerância desejada e x t z uma medida da condição de compementaridade. O tamanho do passo α k p, α k d primeiramente cacuamos: e em seguida, Os vaores ρ k p e ρ k d de x e z se anuam respectivamente. (0,1): é cacuado da seguinte forma: ρ k p = min xk i, (2.1) dx k i <0 dx k i ρ k d = min zk i. (2.2) dzi k<0 dzi k representam o tamanho de passo máximo ta que a primeira variáve Portanto, o tamanho do passo será obtido mutipicando ρ por um parâmetro τ αp k = min(1, τρ k p) e (2.3) αd k = min(1, τρk d ) o que garante que nenhuma variáve de x ou z se anue. Adicionamente, o passo é imitado ao tamanho máximo 1, que corresponde a um passo de newton. 2.3.1 Método Prima-Dua Cássico O método afim-escaa têm uma desvantagem importante: ee permite que as variáveis (x,z) se aproximem de seus imites muito rapidamente. Conseqüentemente as direções cacuadas são muito distorcidas e o método converge entamente, pois x i z i 0. Para evitar que isto ocorra é acrescentada uma perturbação (µ) na condição de compementaridade x i z i = 0 [27]. Em seu ugar consideramos x i z i = µ ou seja, o método prima-dua 7

resove o seguinte sistema de equações não ineares a cada iteração: b Ax k = 0 c A t y k z k = 0 µ k e X k Z k e = 0, onde µ k é um parâmetro que varia a cada iteração µ k 0 quando k. As únicas aterações do método prima-dua cássico em reação ao método afim-escaa são a substituição de r k a por r k c = µ k e X k Z k e e o cácuo da pertubação µ k = σ k γk n, onde γk = x t z, σ (0,1), o vaor γk n seria uma medida da distância média de um ponto a uma soução ótima. É importante ressatar que o Jacobiano permanece o mesmo o que significa que ambos métodos necessitam resover sistemas ineares com a mesma matriz. 2.4 Método Preditor-Corretor O método preditor-corretor [13] é o método de pontos interiores mais utiizado na prática, pois obtém os mehores resutados computacionais e tem convergência quadrática considerando a resoução de dois sistemas ineares em uma única iteração. Este método cacua uma direção com três componentes [27]: direção afim-escaa, direção de centragem (σ), direção de correção que compensa a aproximação inear do método de Newton, que pode ser visuaizada pea reação (x + d x ) t (z + d z ) = d t xd z. No método preditor corretor cacua-se primeiro a direção afim escaa( d = d x, d y, d z ): A d x = r p A t dy + d z = r d Z d x + X d z = r a = XZe (2.4) Usando o mesmo Jacobiano encontra-se em seguida a direção perturbada no ponto, ( x, ỹ, z) = (x, y, z) + ( d x, d y, d z ) 8

ou seja: A ˆd x = r p = b A x = b A(x + d x ) = 0 A t ˆdy + ˆd z = z A T ỹ z = 0 Z ˆd x + X ˆd z = µe (X + D x )(Z + D z )e = µe D x Dz e onde, µe é a direção de centragem e (X + D x )(Z + D z ) representa a correção não inear. A direção utiizada será a soma das duas direções: d x = d x + ˆd x, d y = d y + ˆd y, d z = d z + ˆd z. Logo, (d x, d y, d z ), podem ser cacuados diretamente somando o dois sistemas ineares: Ad x = r p A t d y + d z = r d Zd x + Xd z = r a + µe D x Dz e = r s. (2.5) ou seja, não é necessário que ˆd = ( ˆd x, ˆd y, ˆd z ) seja cacuada. O cácuo da perturbação µ k é função da direção afim [13]. Quanto mehor a direção menor será a perturbação e vice-versa: considere, µ k = σ k γk n ; onde, α k p e α k d γk = (x k + α k pd k x) t (z k + α k d dk z) são o tamanho do passo em reação ao probema prima e dua, respectivamente para a direção afim, cacuados da seguinte forma: ρ k p = min x k i e ρ k dx k i <0 k d = min z k i d x i dzi k<0 d z, sendo k αk p = min(1, τ ρ k p) e α d k = min(1, τ ρ k d), i com τ (0, 1). E, σ k = ( γk γ k ) 3, se γ k > 1 γ k n, caso contrário. (2.6) A idéia desse método é cacuar a direção afim-escaa e estudar o progresso do método ao ongo dessa direção, cacuando a perturbação µ k de acordo com este progresso. Uma vez que uma segunda direção é cacuada, também cacua-se a correção não inear utiizando o mesmo Jacobiano da direção anterior [13]. Por outro ado, se γ k < 1 existem razões teóricas para cacuar uma perturbação proporciona a (γ k ) 2 [25], expicando assim a segunda reação no cácuo de σ. 9

Podemos resumir o método preditor-corretor da seguinte forma: Dados τ (0, 1), (x 0, y 0, z 0 ) ta que (x 0, z 0 ) > 0 para k = 0, 1, rp k = b Ax k rd k = c AT y k z k ra k = X k Z k e Cacue d k usando (2.4) Cacue α p, k α d k γ k = (x k + α pd k k x) t (z k + α d kdk z) Cacue µ k usando (2.6) rs k = µ k e + ra k D x kd z ke Cacue d k usando (2.5) Cacue αp, k αd k x k+1 = x k + αpd k k x y k+1 = y k + αd kdk y z k+1 = z k + αd kdk z até convergir. O critério de convergência é o mesmo dos métodos primais-duais. 2.5 Cácuo das Direções nos Métodos de Pontos Interiores O sistema inear (2.5) tem dimensão 2n+m. Este sistema pode ser reduzido à dimensão m através das seguintes reações: d y = (AD 1 A T ) 1 (r p + AD 1 r d AZ 1 r s ) d x = D 1 (A T d y r d + X 1 r s ) d z = X 1 (r s Zd x ), obtidas eiminando-se d z e d x sucessivamente onde D = X 1 Z. Essas simpificações também são váidas para os métodos prima-dua afim escaa e cássico. A única ateração será do resíduo r s que representa os vaores r a e r c, respectivamente. O maior esforço computaciona destes métodos, portanto, está no cácuo de d y, 10

onde uma matriz simétrica definida positiva (AD 1 A T ) deve ser decomposta a cada iteração. Usuamente é utiizada a decomposição de Choesky [7] na resoução deste sistema inear, obtendo-se exceente desempenho computaciona [1, 2, 11, 12, 15]. 11

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Capítuo 3 Um Modeo para Formuação do Tratamento por Radioterapia Neste capítuo são apresentados aguns modeos de programação inear para o tratamento por radioterapia. O primeiro passo no desenvovimento de um pano de tratamento é definir a ocaização do tumor e da região de risco (estrutura crítica). Em seguida, a dose do raio é cacuada individuamente conforme cada paciente. Uma formuação para programação inear consiste em minimizar a dose tota emitida sujeito a um imite inferior da dose na região do tumor. Este modeo pode ser representado pea seguinte formuação: onde, min f = m i=1 m j=1 D ij s. a D ij = n p=1 ω pa p ij (i, j) D ij w 0, (i, j) Γ D ij representa a dosagem tota recebida peo paciente na posição (i, j); A ij representa a dosagem nomina emitida peo raio p na posição (i, j); w representa a ponderação da dosagem emitida peos raios; representa a dosagem mínima a ser recebida peo tumor; Γ representa o subconjunto de posições onde se encontra o tumor; n representa o número de raios; 13

Figura 3.1: Uma representação de apareho de tratamento para radioterapia m representa o número tota de pixes. Definindo os seguintes subconjuntos: R representa o subconjunto de posições onde se encontra tecido crítico (saudáve) ou estrutura crítica; N representa o subconjunto de posições onde se encontram os demais tecidos saudáveis; é possíve formuar um modeo com ponderações em cada região do paciente priviegiando ou penaizando agumas áreas quanto à quantidade de dosagem a ser recebida. Em [23] são apresentados outros modeos de otimização inear que consistem em pequenas variações do modeo acima, tendo em mente o apareho mostrado na Figura 3.1. Suponha uma matriz de pixes de imagem n n, e que os ânguos avaiados são θ 1, θ 2, θ 3,, θ ρ. Aém disso, supomos que cada ânguo está composto por η sub-raios. Os sistemas de tratamento modernos são capazes de reaizar combinações compexas entre estes sub-raios. A geometria de um modeo usando raios eementares, onde n=2, ρ = 4 e η = 4, é indicada na Figura 3.2. Os intervaos entre os ânguos é π, e o ânguo inicia é 4 (usuamente) zero. Seja x (a,i) a dose ao ongo do i-ésimo sub-raio do a-ésimo ânguo (a = 1, 2,..., p) e d (p,a,i) a distância entre o sub-raio x (a,i) e a imagem do pixe p. Definimos A (p,a,i) como o produto de e µd (p,a,i) e a área geométrica comum a ambos os sub-raios x(a,i) e o pixe p. Por exempo, na Figura 3.2 o raio hachurado correspondente a x (1,2) atinge a metade do pixe 3 e a distância deste pixe a este raio eementar é 3 2 (supondo que cada pixe tenha 2 a mesma argura igua a 1). Conseqüentemente, A (3,1,2) = 1 2 e 3 2 µ. Os componentes da 2 14

x x (2,1) (1,4) x (2,2) x (1,3) x (2,3) x (1,2) x (2,4) 1 2 x (1,1) x (3,1) x (3,2) x (3,3) x (3,4) 3 4 x (4,1) x (4,2) x (4,3) x (4,4) Figura 3.2: Geometria de uma imagem de pixe 2 2 com ânguos π 4, 3π 4, 5π 4 e 7π 4. matriz de propagação dos raios, denotada por A, são A (p,a,i), onde as inhas de A são indexadas por p e as counas são indexadas por (a,i). O fator e µd (p,a,i) mede atenuação da radiação sobre o tecido, e os vaores deste coeficiente de atenuação, (µ), dependem da energia do raio. O coeficiente de atenuação define a característica do tecido, ou seja, com reação a sua densidade. Podemos tomar como exempo o Raio-X: quanto menor a densidade do tecido menor o coeficiente de atenuação, portanto queimará mais o fime e conseqüentemente este ficará mais escuro; quanto maior a densidade do tecido maior o coeficiente de atenuação, portanto queimará menos o fime ficando mais caro. dada por: A matriz dose de propagação sem atenuação (µ=0) do exempo da Figura 3.2, é 0 0 1 2 0 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 0 0 1 2 1 2 0 0 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 0 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 0 0 1 2 1 2 0 0 0 1 2 1 2 0 0 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 Os eementos de x podem ser ordenados da seguinte forma: 1 0 2 1 2 1 0 0 2 1 0 2 [x (1,1) x (1,2) x (1,r) x (2,1) x (2,r) x (ρ,1) x (ρ,r) ], assim a dose de radiação no pixe p é o p-ésimo componente de Ax. Embora a matriz de propagação da dose permita modear facimente os imites superior e inferior da radiação para agum pixe na imagem, eaborar um pano de tratamento não é uma tarefa trivia. Por exempo, um pano de tratamento pode prescrever. 15

que o tumor não receba menos do que 80 Gy, onde Gy é a dose absorvida, usuamente medida em joues por quiograma (J/kg), também denominada gray (Gy): 1Gy = 1 J/kg. Por outro ado, o pano de tratamento pode não permitir que aguma estrutura crítica receba mais do que 40 Gy. A maioria das pesquisas tem utiizado modeos de otimização com restrições ineares, com uma das duas funções objetivos mais evidente, maximização da dose no tumor ou minimização da dose na estrutura crítica. Uma vez que esta maximização eva geramente a atas doses, outros trabahos buscam maximizar a dose mínima do tumor ou minimizar a dose máxima da estrutura crítica [10]. As metas istadas abaixo indicam que este probema tem uma grande quantidade de parâmetros a considerar na decisão do que seria desejáve para um pano de tratamento: Transmitir uma dose uniformemente eta na região do tumor. Transmitir uma radiação tão pequena quanto possíve na estrutura crítica. Obter uma dose tota tão pequena quanto possíve. Reduzir a freqüência de doses atas fora da região do tumor. Controar o número de raios utiizados no pano de tratamento. O objetivo mais comum adotado na prática consiste em transmitir a maior radiação possíve no tumor [23]. Há duas razões para evitar este objetivo. Normamente atos níveis de radiação podem conduzir uma grande soma de necrose, e o corpo humano tem dificudade na eiminação de um grande voume de tecido morto. Aém disso, céuas doentes estão distribuídas entre tecidos saudáveis. Conseqüentemente, uma dose eta uniformemente distribuída na região do tumor é crucia para o sucesso do pano de tratamento, pois, uma dose inferior permite que a céua cancerosa sobreviva enquanto uma dose superior pode ter efeitos atamente indesejáveis nos tecidos vizinhos. 3.1 Formuação do Modeo Suponha que cada órgão do corpo humano está dividido por pixes, onde cada pixe representará parte do tecido saudáve ou do tumor em um órgão doente. Seja, m T o 16

número de pixes do tumor, m C o número de pixes da estrutura crítica e m G o número de pixes restantes (tecido saudáve), ou seja, m = m G + m T + m C. Finamente n, representa o número de sub-raios para atingir o avo. A prescrição é definida por quatro imites: u t : representa o vetor de imite superior para radiação no tumor (u t R mt ); t : representa o vetor de imite inferior para radiação no tumor ( t R mt ); u c : representa o vetor de imite superior para radiação na estrutura crítica (u c R mc ); u g : representa o vetor de imite superior para radiação no restante de tecido saudáve (u g R mg ). Fazemos as suposições óbvias que 0 < t u t, u c 0, e u g 0. Se uma dose eta uniforme é transmitida ao tumor, o imite superior e inferior para os pixes do tumor são obtidos através das metas estabeecidas. Supondo que as metas estabeecidas para uma céua cancerosa sejam t g, os vaores de u ti e ti são geramente (1 + ɛ)t g e (1 ɛ)t g, respectivamente, onde, ɛ é a porcentagem da variação para a dosagem do tumor e é denominado níve de uniformidade do tumor. Vaores típicos de ɛ encontrados na iteratura vão de 0.02 à 0.15 [8]. O vetor u g representa a maior quantidade de radiação permitida para agum pixe (saudáve). Em gera tecidos saudáveis não devem receber mais do que 10% da dose estabeecida para o tumor. Ou seja, u g = t g (1 + 0.10). As inhas da matriz de propagação da dose podem ser reordenadas considerando as inhas que correspondem ao tumor, as inhas que correspondem à estrutura crítica, e as inhas que correspondem ao tecido saudáve. Esta reordenação é representada peas sub-matrizes A T, A C e A G, como indicado abaixo: A = ou seja, A T : tumor, A C : estrutura crítica e A G : restante de tecido saudáve. Sub-raios que não atingem o tumor são removidos pea eiminação das counas de A que tem o vetor zero na couna correspondente da submatriz A T. Assim, sem perda de generaidade, consideraremos que a matriz A T não tem counas nuas. Portanto, temos que A R m n, A T R m T n, A C R mc n e A G R mg n. A T A C A G 17

3.2 Probema de Otimização Linear Um novo modeo de programação inear usado para auxiiar no pano de radioterapia foi introduzido em [8]. Este modeo incorpora restrições eásticas, e quando resovidas peo método de pontos interiores, produzem panos favoráveis. A função objetivo é representada pea soma ponderada de três metas: T t, que mede o quanto fata para que o pano encontrado consiga apicar a dose mínima na região do tumor; u T c c que mede a quantidade de radiação acima da prescrita recebida pea região crítica; e u T g g que mede a quantidade de radiação acima da prescrita nos demais tecidos saudáveis. O escaar positivo w pondera a importância da formuação de um pano que obtenha a dose mínima na região do tumor, isto é, vaores grandes de w forçam T t a ser tão pequeno quanto possíve. Seria desejáve que existisse vaor para um finito w > 0 ta que o vaor ótimo da componente T t fosse zero o que garantiria ao tumor receba o níve mínimo de radiação necessário para sua eiminação. O modeo proposto pode ser representado pea seguinte formuação: min s.a w T t + u T c c + u T g g t Lt A T x u t A C x u c + U C c A G x u g + U G g 0 Lt t u c U C c U G g 0 x 0. (3.1) onde, w: escaar positivo, x: dose do sub-raio que entra na imagem para acançar o pixe p, (x R n ); t: t R m T, t 0; c: c R m C ; g: g R m G, g 0; As restrições t Lt A T x, A C x u c +U C c, e A G x u g +U G g, são denominadas eásticas, pois seus imites podem variar de acordo com os vetores t, c, e g, respectivamente. As matrizes L, U C e U G definem como medir a easticidade, e, u c e u g controam a 18

penaização ou recompensa com reação à easticidade. Vaores fixos de, u c, u g, L, U C e U G definem um conjunto de funções eásticas. E estas são incorporadas peas seguintes razões: 1) a restrição eástica garante que agum conjunto de funções eásticas, (3.1) é sempre estritamente factíve; 2) a diferença dos imites inferiores nas funções eásticas nos permitem incorporar diferentes objetivos de tratamento. Considerando que conjuntos diferentes de funções eásticas determinam diferentes fiosofias de tratamento a interpretação do modeo (3.1) depende da escoha deste conjunto. Em [8] foram propostas as seguintes escohas, anáise média e anáise absouta. Na anáise média, = 1 m T e, onde R m T ; u c = 1 m C e, onde u C R m C ; u G = 1 m G e, onde u G R m G ; (3.2) L = I, onde L R m T m T ; U C = I, onde U C R m C m C ; U G = I, onde U G R m G m G. sendo I a matriz identidade. Esta escoha tem os seguintes objetivos: minimizar a dosagem média recebida peo tumor dentro do imite prescrito; minimizar a dosagem média da radiação que a estrutura crítica recebe, e minimizar a dosagem média que o tecido saudáve recebe. Na anáise absouta, Esta escoha tem os seguintes objetivos: = e mt, onde R m T ; u c = e mc, onde u C R m C ; u G = e mg, onde u G R m G ; (3.3) L = e mt e T m T, onde L R m T ; U C = e mc e T m C, onde U C R m C ; U G = e mg e T m G, onde U G R m G. 19

minimizar a dosagem máxima recebida peo tumor dentro do imite prescrito; minimizar a dosagem máxima da radiação que a estrutura crítica recebe, e minimizar a dosagem máxima recebida peo tecido saudáve. 3.3 Propriedades das Restrições Eásticas Considere a seguinte definição: Definição A prescrição (u t, t, u c, u g ) admite a uniformidade do tratamento do tumor se existe um pano, x 0, ta que t A T x u t. O Teorema abaixo foi demonstrado em [8]. Teorema 3.3.1 Seja (x (w), t (w), c (w), g (w)) uma soução ótima de (3.1). Para quaquer conjunto de funções eásticas temos que T t (w) = O( 1 ), desde que a prescrição w admita a uniformidade do tratamento do tumor. Este Teorema mostra que se a prescrição do tratamento é viáve, o déficit de radiação no tumor é uniformemente imitada peo inverso de w. Utiizando este resutado é possíve, resovendo apenas um probema de programação inear, interpretar o resutado e concuir se existe um tratamento que atende à prescrição vioando ou não os imites u g e u c [8]. 3.3.1 Interpretação das Souções Em [8] Hoder mostra que quando w = κ e o vaor ótimo de ɛ T t é menor do que ɛ, então a uniformidade na região do tumor é garantida, onde κ é uma constante que depende dos dados do probema. Portanto, dados w como definido acima e soução do probema inear correspondente, podemos interpretar a soução para as anáises média e absouta da seguinte forma: Anáise Média ( = e, u c = e, u g = e) Caso 1 : T t (w) > ɛ, concuímos que a prescrição não permite a uniformidade do tumor. Caso 2 : T t (w) ɛ, concuímos que a prescrição permite a uniformidade do tumor. 20

Esta situação contém dois importante subcasos: Caso 2a: u T c c (w) + u T g g (w) > 0, a concusão é que a uniformidade do tumor é acessíve, mas é cara, pois tecidos saudáveis estão recebendo mais radiação do que desejado. Caso 2b: u T c c (w)+u T g g (w) 0, a concusão é que a uniformidade do tumor é permitida, a soma média de radiação sobre o tecido saudáve é no mínimo tão boa quanto desejada. Anáise Absouta ( = u c = u g = 1) Caso 1 : t (w) > ɛ, mesma interpretação da anáise média. Caso 2 : t (w) ɛ, idem. Esta situação contém dois importante subcasos: Caso 2a: u T c c (w) + u T g g (w) > 0, mesma interpretação da anáise média. Caso 2b: u T c c (w) + u T g g (w) 0, idem. 21

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Capítuo 4 Métodos de Pontos Interiores Apicados ao Modeo de Tratamento por Radioterapia Neste capítuo apicaremos os métodos de pontos interiores para o modeo (3.1) considerando duas situações a anáise média e anáise absouta. 4.1 Anáise Média Adotamos iniciamente a anáise média (3.2), descrita no Capítuo 3. Com esta escoha o probema (3.1) se reduz a: min w 1 m T e T t + 1 m C e T c + 1 m G e T g s.a t t A T x u t A C x u c + c A G x u g + g 0 t t u c c (g, x) 0. Nosso próximo objetivo consiste em obter um probema de programação inear na forma padrão, contendo apenas restrições de iguadade. Seja, A T x = a, substituindo a restrição 23

canaizada por t t a u t e u c + c = c c = c u c, teremos então: min w 1 m T e T t + 1 m C e T ( c u c ) + 1 m G e T g s.a t t a u t A T x = a A C x c A G x u g + g 0 t t ( c, g, x) 0. Introduzimos as variáveis de foga e desconsideramos a constante e T u c, obtendo o probema prima: min w 1 m T e T t + 1 m C e T c + 1 m G e T g s.a a + s u = u t a + t s = t A T x a = 0 A C x + s c c = 0 (4.1) A G x g + s g = u g t + s t = t (t, c, g, x, s u, s, s c, s g, s t ) 0, onde sem perda de generaidade substituímos c por c. Primeiramente escrevemos a matriz de restrições de (4.1): I 0 0 0 0 I 0 0 0 0 I 0 I 0 0 0 I 0 0 0 I A M = T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A C 0 I 0 0 0 I 0 0 0 A G 0 0 I 0 0 0 I 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 I Encontraremos agora o probema dua. Mutipicando a transposta de M, por y, o vetor de variáveis duais temos: 24

M t y = I I I 0 0 0 0 0 A t T A t C At G 0 0 I 0 0 0 I 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 I 0 I 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 I y u y y a y c y g y t ou seja, y u + y y a = 0 A t T y a + A t C y c + A t G y g 0 y + y t w 1 m T e y c 1 m C e y g 1 m G e y u 0 y 0 y c 0 y g 0 y t 0. Definindo, y u = ỹ u ; y c = ỹ c ; y g = ỹ g ; y t = ỹ t e 25

substituindo no sistema anterior, obtemos: ỹ u + y y a = 0 A t T y a A t Cỹc A t Gỹg 0 y ỹ t w 1 m T e ỹ c 1 m C e ỹ g 1 m G e (ỹ u, y, ỹ c, ỹ g, ỹ t ) 0. Isso impica que: ỹ u + y y a = 0 A t T y a A t Cỹc A t Gỹg 0 y ỹ t w 1 m T e 0 ỹ c 1 m C e 0 ỹ g 1 m G e (ỹ u, y, ỹ t ) 0. Introduzindo agora as variáveis de foga z e w temos: ỹ u + y y a = 0 A t T y a A t Cỹc A t Gỹg + z x = 0 y ỹ t + z t = w 1 m T e ỹ c + w c = 1 m C e ỹ g + w g = 1 m G e (ỹ u, y, ỹ c, ỹ g, ỹ t ) 0 (z x, z t ) 0 (w c, w g ) 0. 26

Sem perda de generaidade, tomamos ỹ u = y u ; ỹ c = y c ; ỹ g = y g ; ỹ t = y t e, encontramos finamente o probema dua no formato desejado: max u t ty u + t ty u t gy g t ty t s.a y u + y y a = 0 A t T y a A t C y c A t G y g + z x = 0 y y t + z t = w 1 m T e (4.2) y c + w c = 1 m C e y g + w g = 1 m G e (y u, y, y c, y g, y t, z x, z t, w c, w g ) 0. As condições de compementaridade [27] para os probemas (4.1) e (4.2) são dadas por: Y u S u e = 0; Y S e = 0 Y c S c e = 0; Y g S g e = 0; Y t S t e = 0 (4.3) XZ x e = 0; T Z t e = 0; CW c e = 0; GW g e = 0. As condições de otimaidade para os probemas (4.1) e (4.2) são dadas pea factibiidade prima: a + s u = u t a + t s = t A T x a = 0 A C x + s c c = 0 factibiidade dua: A G x g + s g = u g t + s t = t (t, c, g, x, s u, s, s c, s g, s t ) 0, y u + y y a = 0 A t T y a A t C y c A t G y g + z x = 0 y y t + z t = w 1 m T e y c + w c = 1 m C e y g + w g = 1 m G e (y u, y, y c, y g, y t, z x, z t, w c, w g ) 0, e as condições de compementaridade (4.3). 27

4.1.1 O Método Prima-Dua para Anáise Média Agora, seguindo os passos descritos no Capítuo 2, determinamos as direções do método prima-dua, para os probemas (4.1) e (4.2) escrevendo primeiramente o Jacobiano: J = I 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 I 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I A T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A C 0 I 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A G 0 0 I 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I I I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A t T A t C A t G 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 I 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 Y u 0 0 0 0 S u 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Y 0 0 0 0 S 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Y c 0 0 0 0 0 S c 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Y g 0 0 0 0 0 S g 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Y t 0 0 0 0 0 S t 0 0 0 0 0 Z x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X 0 0 0 0 0 Z t 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T 0 0 0 0 0 W c 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C 0 0 0 0 0 W g 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 G Mutipicando esta matriz peas seguintes direções: d t = (d a, d x, d t, d c, d g, d su, d s, d sc, d sg, d st, d yu, d y, d ya, d yc, d yg, d yt, d zx, d zt, d wc, d wg ), e iguaando aos resíduos: r = (r 1, r 2, r 3,, r 20 ), onde: 28

r 1 = u t a s u r 2 = t a t + s r 3 = a A T x r 4 = A C x s c + c r 5 = u g A G x + g s g r 6 = t t s t r 7 = y u y + y a r 8 = A t T y a + A t C y c + A t G y g z x r 9 = w 1 m T e y + y t z t r 10 = 1 m C e y c w c r 11 = 1 m G e y g w g r 12 = µe Y u S u e mt (4.4) r 13 = µe Y S e mt r 14 = µe Y c S c e mc r 15 = µe Y g S g e mg r 16 = µe Y t S t e mt r 17 = µe XZ x e r 18 = µe T Z t e mt r 19 = µe CW c e mc r 20 = µe GW g e mg, 29

obtemos assim o sistema inear, Jd=r: d a + d su = r 1 (4.5) d a + d t d s = r 2 (4.6) d a + A T d x = r 3 (4.7) A C d x d c + d sc = r 4 (4.8) A G d x d g + d sg = r 5 (4.9) d t + d st = r 6 (4.10) d yu + d y d ya = r 7 (4.11) A t T d ya A t Cd yc A t Gd yg + d zx = r 8 (4.12) d y d yt + d zt = r 9 (4.13) d yc + d wc = r 10 (4.14) d yg + d wg = r 11 (4.15) Y u d su + S u d yu = r 12 (4.16) Y d s + S d y = r 13 (4.17) Y c d sc + S c d yc = r 14 (4.18) Y g d sg + S g d yg = r 15 (4.19) Y t d st + S t d yt = r 16 (4.20) Z x d x + Xd zx = r 17 (4.21) Z t d t + T d zt = r 18 (4.22) W c d c + Cd wc = r 19 (4.23) W g d g + Gd wg = r 20. (4.24) 4.1.2 Eiminação de Variáveis As equações de (4.5) a (4.24) definem o sistema inear que determina as direções dos métodos de pontos interiores. Este sistema pode ser resovido diretamente mas esta opção é muito cara computacionamente devido à sua grande dimensão. No entanto, este sistema pode ser reduzido através da substituição de variáveis de forma simiar à redução reaizado para probema na forma padrão. 30

Isoando as variáveis duais de (4.16) a (4.24), obtemos: d yu = S 1 u (r 12 Y u d su ) d y = S 1 (r 13 Y d s ) d yc = S 1 c (r 14 Y c d sc ) d yg = S 1 g (r 15 Y g d sg ) d yt = S 1 t (r 16 Y t d st ) d zx = X 1 (r 17 Z x d x ) (4.25) d zt = T 1 (r 18 Z t d t ) d wc = C 1 (r 19 W c d c ) d wg = G 1 (r 20 W g d g ) substituindo em (4.11) à (4.15): S 1 u S 1 u (r 12 Y u d su ) + S 1 (r 13 Y d s ) d ya = r 7 Y u d su S 1 Y d s d ya = r 7 + Su 1 r 12 S 1 r 13 = r 21 A t T d y a A t C S 1 c A t T d y a +A t C S 1 c (r 14 Y c d sc ) A t G S 1 g (r 15 Y g d sg ) + X 1 (r 17 Z x d x ) = r 8 Y c d sc +A t G S 1 g Y g d sg X 1 Z x d x = r 8 +A t C S 1 c r 14 +A t G S 1 g r 15 X 1 r 17 = r 22 S 1 S 1 (r 13 Y d s ) St 1 (r 16 Y t d st ) + T 1 (r 18 Z t d t ) = r 9 Y d s + S 1 t Y t d st T 1 Z t d t = r 9 S 1 r 13 + St 1 r 16 T 1 r 18 = r 23 Sc 1 (r 14 Y c d sc ) + C 1 (r 19 W c d c ) = r 10 Sc 1 Y c d sc C 1 W c d c = r 10 Sc 1 r 14 C 1 r 19 = r 24 Sg 1 (r 15 Y g d sg ) + G 1 (r 20 W g d g ) = r 11 Sg 1 Y g d sg G 1 W g d g = r 11 Sg 1 r 15 G 1 r 20 = r 25. O novo sistema inear é dado peas equações de (4.5) à (4.10) em conjunto com as equações 31

abaixo: Su 1 Y u d su S 1 Y d s d ya = r 21 (4.26) A t T d ya + A t CSc 1 Y c d sc + A t GSg 1 Y g d sg X 1 Z x d x = r 22 (4.27) S 1 Y d s + St 1 Y t d st T 1 Z t d t = r 23 (4.28) S 1 c Y c d sc C 1 W c d c = r 24 (4.29) S 1 g Y g d sg G 1 W g d g = r 25. (4.30) Tomemos agora: d su = r 1 d a d s = r 2 + d a + d t d sc = Y 1 c S c ( C 1 W c d c r 24 ) (4.31) d sg = Y 1 g S g ( G 1 W g d g r 25 ) d st = r 6 d t e substituindo as equações acima em (4.8), (4.9) e (4.26) a (4.28) temos: A c d x d c + Yc 1 S c ( C 1 W c d c r 24 ) = r 4 A c d x (I + Yc 1 S c C 1 W c )d c = r 4 + Yc 1 S c r 24 = r 26 A g d x d g + Yg 1 S g ( G 1 W g d g r 25 ) = r 5 A g d x (I + Yg 1 S g G 1 W g )d g = r 5 + Yg 1 S g r 25 = r 27 S 1 u (S 1 u Y u (r 1 d a ) S 1 Y ( r 2 + d a + d t ) d ya = r 21 Y u + S 1 Y )d a S 1 Y d t d ya = r 21 Su 1 Y u r 1 S 1 Y r 2 = r 28 A t T d y a +A t C S 1 c Y c (Y 1 c S c ( C 1 W c d c r 24 ))+A t G S 1 g Y g (Yg 1 S g ( G 1 W g d g r 25 )) X 1 Z x d x = r 22 A t T d y a A t C C 1 W c d c A t G G 1 W g d g X 1 Z x d x = r 22 + A t C r 24 + A t G r 25 = r 29 S 1 S 1 Y ( r 2 + d a + d t ) + St 1 Y t (r 6 d t ) T 1 Z t d t = r 23 Y d a (S 1 Y + S 1 t Y t + T 1 Z t )d t = r 23 S 1 Y r 2 St 1 Y t r 6 = r 30. 32

Restando as seguintes equações: d a + A T d x = r 3 A c d x (I + Y 1 c S c C 1 W c )d c = r 26 A g d x (I + Y 1 g S g G 1 W g )d g = r 27 (S 1 u Y u + S 1 Y )d a S 1 Y d t d ya = r 28 A t T d y a A t C C 1 W c d c A t G G 1 W g d g X 1 Z x d x = r 29 S 1 Y d a (S 1 Y + St 1 Y t + T 1 Z t )d t = r 30. (4.32) Definimos agora as seguintes matrizes diagonais para simpificar a notação: D 1 = I + Yc 1 S c C 1 W c D 2 = I + Yg 1 S g G 1 W g D 3 = S 1 u Y u + S 1 Y D 4 = S 1 Y (4.33) D 5 = C 1 W c D 6 = G 1 W g D 7 = X 1 Z x D 8 = S 1 Y + St 1 Y t + T 1 Z t. Substituindo no sistema (4.32), temos: d a + A T d x = r 3 (4.34) A c d x D 1 d c = r 26 (4.35) A g d x D 2 d g = r 27 (4.36) D 3 d a D 4 d t d ya = r 28 (4.37) A t T d ya A t CD 5 d c A t GD 6 d g D 7 d x = r 29 (4.38) D 4 d a D 8 d t = r 30. (4.39) Isoando d ya e d t das equações (4.37)e (4.39), teremos: d ya = D 3 d a D 4 d t r 28 e (4.40) d t = D 1 8 (r 30 + D 4 d a ). (4.41) 33

Substituímos na Equação (4.38), obtemos: A t T ( D 3d a D 4 d t r 28 ) A t C D 5d c A t G D 6d g D 7 d x = r 29 A t T D 3d a A t T D 4d t A t C D 5d c A t G D 6d g D 7 d x = r 29 + A t T r 28 A t T D 3d a A t T D 4( D 1 8 (r 30 + D 4 d a )) A t C D 5d c A t G D 6d g D 7 d x = r 29 + A t T r 28 A t T D 3d a + A t T D 4D 1 8 D 4 d a A t C D 5d c A t G D 6d g D 7 d x = r 29 + A t T r 28 A t T D 4D 1 8 r 30 A t T (D 3 + D 4 D 1 8 D 4 )d a A t CD5d c A t GD 6 d g D 7 d x = r 31. (4.42) Logo, temos o seguinte sistema inear: A T d x d a = r 3 A C d x D 1 d c = r 26 A G d x D 2 d g = r 27 A t T D ad a A t C D 5d c A t G D 6d g D 7 d x = r 31, onde, D a = (D 3 D 4 D 1 8 D 4 ). (4.43) Lembrando que: A = A T A C e definindo d = d a d c, D = I 0 0 0 D 1 0, r p = r 3 r 26 e A G d g 0 0 D 2 r 27 D = D a 0 0 0 D 5 0. 0 0 D 6 Podemos reescrever o sistema da seguinte forma: Ad x Dd = r p (4.44) D 7 d x A t Dd = r31. (4.45) Isoando d da equação (4.44), temos: d = D 1 (Ad x r p ). (4.46) Admitindo-se que a matriz A tem mais inhas (que estão representadas peo número de pixes) do que counas (que são representadas peo número de raios) e substituindo (4.46) 34

em (4.45) temos: D 7 d x A T DD 1 Ad x + A T DD 1 r p = r 31 (D 7 + A T DD 1 A)d x = r 31 A T DD 1 r p = r p. Logo, (A T DD 1 A + D 7 )d x = r p. (4.47) Este sistema é simétrico e definido positivo podendo ser resovido pea decomposição de Choesky. Sua dimensão é muito menor que o sistema origina representado peas equações (4.5) a (4.24). 4.1.3 Resumo do Método de Pontos Interiores O método de pontos interiores desenvovido nesta seção pode ser resumido da seguinte forma: Seja, h= (t, c, g, x, s u, s, s c, s g, s t ) e j= (y u, y, y c, y g, y t, z x, z t, w c, w g ) Dado um ponto interior (h 0, j 0 ) Para k = 1, 2, Cacue as matrizes diagonais D 1 à D 8 por (4.33) e D a por (4.43) Cacue os resíduos: r 1 a r 20 por (4.4) r 21 a r 25 por (4.26) à (4.30) r 26 a r 30 por (4.35) à (4.39) r 31 por (4.42) r p por (4.44) e r p por (4.47) Cacue d por (4.47), Cacue as direções: d ya por (4.40), d t por (4.41), d su, d s, d sc, d sg, d st por (4.31) e d yu, d yc, d yg, d yt, d zx, d zt, d wc, d wg por (4.25) Cacue ρ p por (2.1) e ρ d por (2.2) Cacue α p e α d por (2.3) a k+1 = a k + α p d k a 35

ya k+1 = ya k + α d d k y a h k+1 p j k+1 d até convergir. = h k + α k pd k h = j k + α k d dk j 4.1.4 Método Preditor-Corretor para Anáise Média No método preditor-corretor dois sistemas ineares determinam as direções. Primeiramente é cacuada a direção afim (d h, d j, d a, d ya ) resovendo o sistema inear (4.5) a (4.24) com µ = 0. Em seguida, a direção desejada é obtida resovendo o seguinte sistema inear [13]: d a + d su = r 1 d a + d t d s = r 2 d a + A T d x = r 3 A C d x d c + d sc = r 4 A G d x d g + d sg = r 5 d t + d st = r 6 d yu + d y d ya = r 7 A t T d y a A t C d y c A t G d y g + d zx = r 8 d y d yt + d zt = r 9 d yc + d wc = r 10 d yg + d wg = r 11 Y u d su + S u d yu = r 12 Y d s + S d y = r 13 Y c d sc + S c d yc = r 14 Y g d sg + S g d yg = r 15 Y t d st + S t d yt = r 16 Z x d x + Xd zx = r 17 Z t d t + T d zt = r 18 W c d c + Cd wc = r 19 W g d g + Gd wg = r 20 36

onde os novos resíduos são dados por: r 12 = µe mt Y u S u e mt Dỹ u D s u e mt r 13 = µe mt Y S e mt Dỹ D s e mt r 14 = µe mc Y c S c e mc Dỹ c D s c e mc r 15 = µe mg Y g S g e mg Dỹ g D s g e mg r 16 = µe mt Y t S t e mt Dỹ t D s t e mt r 17 = µe Z x Xe D z x D xe r 18 = µe mt Z t T e mt D z t D te mt r 19 = µe mc W c Ce mc D w c D ce mc r 20 = µe mg W g Ge mg D w g D ge mg e o parâmetro µ é cacuado da forma descrita no Capítuo 2. 4.2 Anáise Absouta Trabahamos agora com a anáise absouta (3.3), descrita no Capítuo 3. Com esta escoha o probema (3.1) se reduz a: min s.a we T m T t + e T m C c + e T m G g t e mt e T m T t A T x u t A C x e mc + e mc e T m C c A G x e mg + e mg e T m G g 0 e mt e T m T t t e mc e mc e T m C c e mg e T m G g 0 x 0. Nosso próximo objetivo consiste em obter um probema inear na forma padrão contendo apenas restrições de iguadade. Seja, A T x = a, e λ = min( t ) e como existem m T e m G 37

equações ineares, teremos então: min s.a we T m T t + e T m C c + e T m G g t e mt e T m T t a u t A T x = a A C x e mc + e mc e T m C c A G x e mg + e mg e T m G g 0 e T m T t λ e T m C c 1 e T m G g 0 x 0. Os vetores t, c e g não tem significado físico e neste modeo só nos interessa a soma dos seus eementos. Assim, criamos uma variáve para caracterizar a soma dos eementos de cada um dees: e T m T t = τ, e T m C c = γ, e T m G g = β, obtendo o seguinte probema: min s.a wτ + γ + β t e mt τ a u t A T x = a A C x e mc + e mc γ A G x e mg + e mg β 0 τ λ γ 1 β 0 x 0. 38

Tomando γ = γ + 1 para faciitar o desenvovimento, e introduzindo as variáveis de foga para obter as equações de iguadade e temos: min s.a wτ + γ 1 + β a + s u = u t a + e mt τ s = t A T x a = 0 A C x e mc γ + s c = 0 A G x e mg β + s g = e mg τ + σ t = λ (x, s u, s, s c, s g, σ t, τ, β, γ) 0, a : ivre. Retiramos o -1 da função objetivo e sem perda de generaidade substituímos γ no ugar de γ obtemos o probema prima: min s.a wτ + γ + β a + s u = u t a + e mt τ s = t A T x a = 0 A C x e mc γ + s c = 0 (4.48) A G x e mg β + s g = e mg τ + σ t = λ (x, s u, s, s c, s g, σ t, τ, β, γ) 0, a : ivre. 39

Para encontrar o probema dua, escrevemos a matriz de restrições de (4.48): M = I 0 0 0 0 I 0 0 0 0 I e mt 0 0 0 0 I 0 0 0 I 0 0 0 A T 0 0 0 0 0 0 0 e mc 0 A C 0 0 I 0 0 0 0 0 e mg A G 0 0 0 I 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1. Mutipicando a transposta de M, por y, o vetor de variáveis duais temos: M t y = I I I 0 0 0 0 e T m T 0 0 0 1 0 0 0 e T m C 0 0 0 0 0 0 e T m G 0 0 0 A T T A T C A T G 0 I 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 1 y u y y a y c y g π t 40

ou seja, y u + y y a = 0 e T m T y + π t w e T m C y c 1 e T m G y g 1 A T T y a + A T C y c + A T G y g 0 y u 0 y 0 y c 0 y g 0 π t 0. Definindo, y u = ỹ u ; y c = ỹ c ; y g = ỹ g ; π t = π t e substituindo no modeo anterior, obtemos: ỹ u + y y a = 0 e T m T y π t w e T m C ỹ c 1 e T m G ỹ g 1 A T T y a A T Cỹc A T Gỹg 0 (ỹ u, y, ỹ c, ỹ g, π t, 0 y a : ivre. 41

Introduzimos agora as variáveis de foga z, ζ t, ζ c e ζ g obtemos as restrições na forma de iguadade: ỹ u + y y a = 0 e T m T y π t + ζ t = w e T m C ỹ c + ζ c = 1 e T m G ỹ g + ζ g = 1 A T T y a A T Cỹc A T Gỹg + z x = 0 (ỹ u, y, ỹ c, ỹ g, π t, ζ t, ζ c ζ g z x ) 0 y a : ivre. Sem perda de generaidade, tomamos ỹ u = y u ; ỹ c = y c ; ỹ g = y g ; π t = π t e, encontramos finamente o probema dua no formato desejado: max u T t y u + T t y e T m g y g λπ t s.a y u + y y a = 0 e T m T y π t + ζ t = w e T m C y c + ζ c = 1 (4.49) e T m G y g + ζ g = 1 A T T y a A T C y c A T G y g + z x = 0 (y u, y, y c, y g, π t, ζ t, ζ c, ζ g, z x ) 0 y a : ivre. As condições de compementaridade para os probemas (4.48) e (4.49) são dadas por: Y u S u e mt = 0; Y S e mt = 0; Y c S c e mc = 0 Y g S g e mg = 0; π t σ t = 0; τζ t = 0 γζ c = 0; βζ g = 0; XZ x e = 0. (4.50) 42

As condições de otimaidade para os probemas (4.48) e (4.49) são dadas pea factibiidade prima: a + s u = u t a + e mt τ s = t A T x a = 0 A C x e mc γ + s c = 0 A G x e mg β + s g = e mg τ + σ t = λ (x, s u, s, s c, s g, σ t, τ, β, γ) 0, a : ivre, factibiidade dua: y u + y y a = 0 e T m T y π t + ζ t = w e T m C y c + ζ c = 1 e T m G y g + ζ g = 1 A T T y a A T C y c A T G y g + z x = 0 (y u, y, y c, y g, π t, ζ t, ζ c, ζ g, z x ) 0 y a : ivre, e as condições de compementaridade (4.50). 4.2.1 O Método Prima-Dua para Anáise Absouta Seguindo os passos descritos no Capítuo 2, determinamos as direções do método primadua, para os probemas (4.48) e (4.49) escrevendo primeiramente o Jacobiano: I 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 e mt 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I A T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A C 0 e mc 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A G 0 0 e mg 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I I I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e T m 0 0 1 1 0 0 0 t 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e T 0 0 0 1 0 0 mc 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e J = T 0 0 0 1 0 mg 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A T T 0 0 A T C A T G 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 Y u 0 0 0 0 0 S u 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Y 0 0 0 0 0 S 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Y c 0 0 0 0 0 S c 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Y g 0 0 0 0 0 S g 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 π t 0 0 0 0 0 σ t 0 0 0 0 0 0 ζ t 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 τ 0 0 0 0 0 0 ζ c 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 γ 0 0 0 0 0 0 ζ g 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 β 0 0 Z x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X 43

Obtemos agora os resíduos resutantes da apicação do método de Newton às condições de otimaidade: r 1 = u t a s u r 2 = t a e mt τ + s r 3 = A T x + a r 4 = A C x + e mc γ s c r 5 = e mg A G x + e mg β s g r 6 = λ τ σ t r 7 = y u y + y a r 8 = w e T m T y + π t ζ t r 9 = 1 e T m C y c ζ c r 10 = 1 e T m G y g ζ g r 11 = A T T y a + A T C y c + A T G y g z x (4.51) r 12 = Y u S u e mt r 13 = Y S e mt + µe mt + µe mt r 14 = Y c S c e mc + µe mc r 15 = Y g S g e mg + µe mg r 16 = π t σ t + µ r 17 = τζ t + µ r 18 = γζ c + µ r 19 = βζ g + µ r 20 = XZ x e + µe. Mutipicamos a matriz do Jacobiano peas seguintes direções: d t = (d a, d x, d τ, d γ, d β, d su, d s, d sc, d sg, d σt, d ya, d yu, d y, d yc, d yg, d πt, d ζt, d ζc, d ζg, d zx ), e as iguaamos 44

aos resíduos r = (r 1, r 2, r 3,, r 20 ), temos, Jd=r: d a + d su = r 1 (4.52) d a + e mt d τ d s = r 2 (4.53) d a + A T d x = r 3 (4.54) A C d x e mc d γ + d sc = r 4 (4.55) A G d x e mg d β + d sg = r 5 (4.56) d τ + d σt = r 6 (4.57) d ya d yu + d y = r 7 (4.58) e T m T d y d πt + d ζt = r 8 (4.59) e T m C d yc + d ζc = r 9 (4.60) e T m G d yg + d ζg = r 10 (4.61) A T T d ya A T Cd yc A T Gd yg + d zx = r 11 (4.62) Y u d su + S u d yu = r 12 (4.63) Y d s + S d y = r 13 (4.64) Y c d sc + S c d yc = r 14 (4.65) Y g d sg + S g d yg = r 15 (4.66) π t d σt + σ t d πt = r 16 (4.67) ζ t d τ + τd ζt = r 17 (4.68) ζ c d γ + γd ζc = r 18 (4.69) ζ g d β + βd ζg = r 19 (4.70) Z x d x + Xd zx = r 20. (4.71) 4.2.2 Eiminação de Variáveis As equações de (4.52) a (4.71) definem o sistema inear que determina as direções dos métodos de pontos interiores para a anáise média. Este sistema pode ser resovido diretamente mas esta opção é muito cara computacionamente devido à sua grande dimensão. No entanto, este probema pode ser reduzido através da substituição de variáveis. 45