Lei de resfriamento de Newton C E N T R O D E C I Ê N C I A S T E C N O L Ó G I C A S D E P A R T A M E N T O D E F Í S I C A P R O F : J O R G E P A S S I N H O
Objetivos: Desenvolver um modelo de simulação para o processo de resfriamento de um sistema contendo água quente que perde calor para o meio ambiente. verificar se a simulação é coerente com o experimento (Lei de Resfriamento de Newton).
Material Utilizado: Cronômetro Resistência (usada para aquecer a água) Termopar (termômetro) Recipiente (com água)
Montagem e Procedimento Experimental: 1) Coloque água até encher uns 90% do recipiente e utilize a resistência para aquecer o sistema até cerca de 70 C. 2) Coloque o conjunto recipiente/água quente sobre a bancada e mergulhe o termopar no sistema (use uma flanela nessa operação, todo cuidado para não se queimar). 3) antes de colocar o termômetro na água meça e anote a temperatura ambiente. Para ter uma boa idéia se ocorre alguma variação ao longo do tempo, meça tal temperatura no início e no fim do experimento (se tiver um termômetro extra). 4) Acione o cronômetro e, então, a intervalos regulares t de tempo (por exemplo a cada 3 minutos), meça e anote a temperatura T da água (sistema). Para anotar os dados use uma tabela de tempo e temperatura
SIMULAÇÃO Neste etapa do trabalho objetivamos desenvolver um modelo de simulação para o processo de troca de calor entre a água num recipiente e o ambiente. O processo escolhido foi o de resfriamento (água quente perdendo calor para o meio ambiente). Para essa simulação entramos com dados obtidos no experimento.
Lei do resfriamento de Newton Sobre a transferência do calor: Um modelo real simples que trata sobre a troca de calor de um corpo com o meio ambiente onde está posto, aceita três hipóteses básicas: 1. A temperatura T=T(t) depende do tempo e é a mesma em todos os pontos do corpo. 2. A temperatura T m do meio ambiente permanece constante no decorrer da experiência. 3. A taxa de variação da temperatura com relação ao tempo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente.
Lei do resfriamento de Newton Montagem da EDO: Assumiremos verdadeiras as hipóteses anteriores, observando que: dt =-k T-Tm dt onde T=T(t) é a temperatura do corpo no instante t, T m é a temperatura constante do meio ambiente, T-T m é a diferença de temperatura e k é uma constante que depende do material com que o corpo foi construído, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do tempo, em relação à temperatura do meio ambiente.
Lei do resfriamento de Newton Resolução da EDO: Esta é uma EDO separável, que pode ser transformada em: dt T-T m =-kdt Integrando ambos os membros, teremos: ln T-T m =-kt+c
Lei do resfriamento de Newton logo, a solução da EDO será: T-T m =e -kt+c T=e -kt+c +T m T=Ce -kt +T m Quando temos a temperatura inicial do corpo é T(0)=T o, então podemos obter a constante C que aparece na solução, pois: T =Ce -k(0) +T T =C+T C=T -T o m o m o m
Lei do resfriamento de Newton A solução do PVI será: T= T o -T m e -kt +T m
Condições iniciais do experimento: Tm=27,8 C (temperatura do meio ambiente) T0=70,8 C (temperatura inicial do sistema) No instante to =0, temos: 70,8-27,8=Ce kt
Calculando a constante C: Substituindo t=0, temos que C=43, logo nossa eq. Fica: T Tm 43e kt
Depois de 69 minutos a temperatura da água estava 52,5 C, daí substituímos novamente na eq. anterior calculamos o valor de k, cujo resultado foi de k=0,011/s, a partir desses dados montamos o gráfico e comparamos com o resultado obtido experimentalmente.
Aqui temos um exemplo de como a temperatura da água vai diminuindo com o tempo. Construa dois gráficos: a) com os dados obtidos experimentalmente b) O outro com a sua solução da EDO que você resolveu utilizando PVI do seu experimento
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