Determinação da condutividade térmica do Cobre

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1 Determinação da condutividade térmica do Cobre TEORIA Quando a distribuição de temperatura de um corpo não é uniforme (ou seja, diferentes pontos estão a temperaturas diferentes), dá-se expontaneamente a transferência de energia na forma de calor das partes mais quentes para as partes mais frias. A lei que regula esse fluxo de calor é P = δq/δt = k S grad T (1) sendo P a quantidade de calor transferida através da área S por unidade de tempo, T a temperatura e k a condutividade térmica. O gradiente da temperatura, grad T, é o vector grad T = ( T/ x) ê x + ( T/ y) ê y + ( T/ z) ê z (2) Numa barra cilíndrica de secção S em que a altura é muito superior ao diâmetro, se se puderem desprezar as perdas através da face lateral (por exemplo, se essa face estiver termicamente isolada), pode-se admitir que o fluxo de calor se dá apenas numa direcção. Se se designar por Ox o eixo longitudinal da barra, e se as suas extremidades se encontrarem às temperaturas T A e T B, com T B < T A, podemos escrever aproximadamente (admitindo que o gradiente de T tem um valor constante ao longo da barra): Q = [k S (T A T B )/H] t (3) sendo Q o calor que flui através da secção S da barra no intervalo de tempo t, e H o comprimento da barra. Na segunda parte desta experiência vamos fundir uma dada massa de gelo para controlar a quantidade de calor transmitida ao longo de uma barra cilíndrica. Quando fornecemos uma quantidade de calor Q a um corpo de massa m, a sua temperatura eleva-se de T, sendo as duas quantidades relacionadas através de Q = m c T (4) onde c é o calor específico da substância. O produto mc é designado por capacidade calorífica do corpo. Porém, ao se iniciar uma mudança de fase - por exemplo, a fusão de uma massa de gelo - a temperatura deixa de variar até se completar essa mudança de fase. Nesse intervalo de tempo, o calor fornecido à substância para que a massa m mude de fase é dado por Q = m L (5) sendo L o calor latente de mudança de fase. L pode ser negativo (logo, Q também), se se passar do estado gasoso ao estado líquido (condensação) ou do estado líquido ao estado sólido (congelação). Nestes casos, o corpo liberta energia ao mudar de fase. Na passagem de sólido a líquido (fusão) ou de líquido a gasoso (evaporação) o corpo 1

2 absorve energia. Para a fusão do gelo, o valor de L é 3,34x10 5 J/Kg, e o calor específico do gelo é 2,06x10 3 J/Kg/ºC (cerca de metade do valor da água líquida). mais quente δq 1 δq 2 mais Figura 2 frio x 1 x 1 + δx x Se considerarmos um pequeno segmento da barra de comprimento δx, como se indica na figura 2, ele recebe através de uma das bases, num intervalo de tempo δt, uma quantidade de calor δq 1 = - k S ( T/ x) 1 δt (6) ( T/ x é negativo) e perde pela outra base δq 2 = - k S ( T/ x) 2 δt (7) Em primeira aproximação pode-se escrever (desenvolvendo em série de Taylor T/ x em torno do ponto x 1 e retendo apenas dois termos): ( T/ x) 2 ( T/ x) 1 + ( 2 T/ x 2 ) δx (8) Substituindo a expressão (8) na equação (7) e calculando δq corresponde à energia ganha pelo segmento, obtem-se = δq 1 - δq 2, que ou, por unidade de tempo, A massa do pequeno segmento é δq = k S ( 2 T/ x 2 ) δx δt (9) P = (δq/δt) = ks ( 2 T/ x 2 ) δx (10) δm = ρ S δx (11) sendo ρ a massa volúmica (massa da unidade de volume). Segundo a equação (4) será δq = ρ S δx c δt (12) o que, combinado com a equação (9), permite concluir (substituindo as razões incrementais por derivadas parciais) que T/ t = [k/(ρc)] 2 T/ x 2 (13) Esta equação relaciona a maneira como a temperatura num dado ponto varia no tempo com a segunda derivada espacial da temperatura em torno desse ponto. 2

3 Determinação da condutividade térmica do Cobre (Cu) Turno Grupo Data Nomes Números RELATÓRIO Atenção: 1) Neste trabalho vai usar água a ferver. Alguns objectos estarão a temperatura muito elevada, e o vapor que se pode escapar pelos orifícios também queima. Use as luvas de protecção sempre que manipular a tampa do recipiente, as rolhas ou os objectos nela colocados. Não faça movimentos bruscos junto à montagem. 2) O termómetro e a barra de vidro são muito frágeis, manipule-os com cuidado. 1-EQUIPAMENTO: - Um termómetro. - Diversas barras de materiais diferentes, revestidas com papel indicador da temperatura (muda de cor a 40ºC). - Uma barra de cobre acoplada a um pequeno recipiente com 80 gramas de gelo. - Um recipiente metálico com tampa perfurada e rolhas para suporte do termómetro e das barras. - Uma placa eléctrica. - Um cronómetro. 2-PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL Primeira parte: observação qualitativa das diferentes condutividades térmicas. 2.1 Meça a temperatura ambiente na sala, e registe esse valor. Temperatura ambiente: 2.2 Coloque 1 litro de água no interior do recipiente metálico. Aqueça a água com a placa eléctrica, até se iniciar a ebulição. Baixe a potência da placa de modo a manter uma ebulição lenta. Durante a experiência não se deve evaporar toda a água 2.3 Monte as barras de madeira, vidro, ferro, latão e alumínio na tampa perfurada, usando as rolhas de borracha para fixação. Coloque a barra de madeira ao centro. 3

4 Coloque o termómetro no orifício correspondente (Figura 3), fixando-o com a rolha de borracha. 7 Figura 3 Montagem experimental. 1 Recipiente metálico. 2 Tampa perfurada. 3 Rolhas de fixação. 4 Barras de diversos materiais. 5 Orifício para o termómetro. 6 Rolhas extra, uma perfurada e outra não perfurada. 7 Barra de cobre com recipiente para gelo. Outro material, não representado: placa elétrica, cronómetro, termómetro. ATENÇÃO : use as luvas de protecção sempre que manipular a tampa junto do recipiente. Não retire as rolhas de borracha sem as luvas o vapor de água queima Cuidado com a saída de vapor pelos quatro orifícios do rebordo. 2.4 Coloque o conjunto sobre o recipiente contendo a água em ebulição, como se indica na figura 3. Ligue o cronómetro quando colocar a tampa. 2.5 Observe o modo como a temperatura vai variando ao longo das várias barras, tendo em conta que o papel envolvente muda de amarelho para vermelho quando atinge os 40ºC. Para as barras de alumínio e latão, meça os tempos t 40 (m) e t 40 (e) que o ponto médio e a extremidade de cada barra levam até atingir 40ºC. Faça uma estimativa (δt) da incerteza nessa medição. Preencha as três primeiras colunas da Tabela I com esses valores. Deixe estabilizar a leitura do termómetro, e registe a temperatura do vapor abaixo da rolha. T A :. Em seguida passe à alínea 2.8 (faça 2.6 e 2.7 no fim). TABELA I (m) (e) material t 40 t 40 δt ρ c k (s) (s) (s) (Kg/m 3 ) (J/Kg/ºC) (W/m/ºC) alumínio x10 2 latão 8.5 x x10 1 (40-T i )/t 40 (m) (ºC/s) 2 T/ x 2 (ºC 2 /m 2 ) ε (ºC 2 /m 2 ) 4

5 2.6 Admita em primeira aproximação que para cada barra a taxa T/ t tem um valor constante e uniforme, e calcule esse valor no ponto médio (coluna 7 da Tabela I). Preencha a coluna 8 com o correspondente valor de 2 T/ x 2 segundo a equação 13. Faça uma estimativa dos erros ε associados a esses valores, e registe na última coluna. 2.7 Dentro da aproximação da alínea anterior será 2 T/ x 2 = c te (veja equação 13) pelo que, em cada instante, o perfil de temperatura ao longo do eixo da barra será T(x) = T A + a x + ( 2 T/ x 2 ) x 2 (14) sendo T A a temperatura no ponto imediatamente abaixo da rolha (ponto x = 0), dada pelo termómetro (admitindo que a barra nessa zona está em equilíbrio térmico com o vapor), e x a distância ao longo da barra medida a partir desse ponto. Sabendo que em x = 0,130 m (extremidade da barra) a temperatura no instante t 40 é 40ºC, calcule o valor de a nesse instante, usando o valor da segunda derivada registado na Tabela I. Preencha a Tabela II, e trace os correspondentes perfis de temperatura para as duas barras, usando a equação (14). TABELA II material a (ºC/m) T x=0 (T A ) alum latão T x=2cm T x=4cm T x=6cm T x=8cm T x=10cm T x=12cm 100 T x (cm) Qual o significado físico da curvatura dos perfis? Que poderia concluir se os perfis fossem rectilíneos? Esboçe como seriam os perfis se as barras estivessem a arrefecer. T x 5

6 Segunda parte: determinação da condutividade térmica do cobre. 2.8 Coloque a barra de cobre com o gelo (0.020 Kg) na tampa do recipiente (substitua a barra de madeira. Não tente retirar a rolha extra, pode queimar-se) 2.9 Observe o gelo na vizinhança da extremidade da barra. Quando se iniciar a fusão (o gelo inicialmente estava vários graus abaixo de 0ºC) ligue o cronómetro e meça o tempo t que leva até todo o gelo fundir. t = s Calcule o calor cedido pelo cobre ao gelo durante o tempo t, admitindo que todo esse calor é usado para fundir o gelo (esta aproximação é razoável, mas em rigor uma parte do calor foi usado para trazer todo o gelo até 0ºC). Tenha em conta a equação (5), e o valor L = 3,34x10 5 J/Kg correspondente à fusão de gelo. Q = J 2.11 Leia no termómetro a temperatura T A do vapor junto à tampa, que está em equilíbrio com a parte interna da barra. Admita que a extremidade superior da barra está em equilíbrio com o gelo fundente (0ºC), e que o módulo do gradiente é aproximadamente (T A T B )/H, em que H é a distância entre a base da rolha e a extremidade superior. Usando a equação (3), calcule a condutividade térmica do cobre. material m (Kg) L (J/Kg) Q (J) t (s) P (W) gelo ,34x10 5 material S (m 2 ) H (m) T A T B k (W/m/ºC) cobre 5,026x10-5 0, Compare o seu resultado experimental com o valor correcto, k Cu = 401 W/m/ºC. Calcule o erro relativo (em percentagem). Aponte possíveis causas de erro. Outros comentários: 6 João Fonseca, Dezembro 2007