FIS 26. Mecânica II *****

* ** FIS 26 Mecânica II *** * https://def.fe.up.pt/dinamica/movimento_curvilineo.html ** http://www.met.reading.ac.uk/pplato2/h-flap/phys5_3.html *** http://www.esquerda.net/artigo/como-explicar-ondas-gravitacionais-tua-avo/41226 **** https://pt.wikipedia.org/wiki/gravidade ***** http://www.cim.mcgill.ca/~michalsk/tip.html **** *****

Apresentação do curso - Ementa Dinâmica do corpo rígido (Pedro Pompeia) Movimento oscilatório (Ronaldo Pelá) Movimento ondulatório (Rene Spada) Gravitação (Bogos Sismanoglu) Introdução à Mecânica Analítica (Bogos Sismanoglu) Bibliografia: Hibbeler, R. C., Mecânica para Engenheiros, Vol 2, 12ª ed., Pearson Education do Brasil, São Paulo, 2005; Nussenzveig, H. M., Curso de Física Básica, Vols 1 e 2, 2ª ed., Edgard Blücher, São Paulo, 1993; Arya, A. P., Introduction to Classical Mechanics, 2ª ed., Prentice Hall, New York, 1997.

FIS 26 Mecânica II Aula 1: Revisão de Mecânica I. - movimento plano.

Revisão de Mecânica I Sistema de (várias) partículas Considere um sistema composto por n partículas distribuídas no espaço. Massa total Vetor posição do Centro de Massa CM z O x y

Revisão de Mecânica I Sistema de (várias) partículas Para sistemas com distribuição contínua de massa: Distribuição linear Distribuição superficial Distribuição volumétrica

Revisão de Mecânica I Sistema de (várias) partículas O momento linear total do sistema, dado como a soma dos momentos de cada partícula, pode ser expresso como o momento de um única partícula contendo toda a massa do sistema, com posição dada pelo CM. A segunda lei de Newton mostra que o movimento do CM comporta-se como se toda a massa do sistema estivesse concentrada neste ponto e como se todas as forças dos sistema estivessem atuando nele. Momento linear total Segunda lei de Newton Teorema do impulso e momento

Revisão de Mecânica I Sistema de (várias) partículas A energia cinética total do sistema é dada pela soma da energia cinética do centro de massa com as energias cinéticas relativas a este. O teorema do trabalho e energia (para forças independentes do tempo) mostra que a variação da energia cinética do sistema entre os instantes t2 e t1 é igual à soma dos trabalhos da forças internas e externas. Energia cinética Teorema do trabalho e energia Para forças conservativas (internas e externas) a energia potencial total é dada pela soma das energias cinéticas das forças internas e externas. Energia potencial total Conservação da energia total

Revisão de Mecânica I Sistema de (várias) partículas O momento angular total do sistema em relação a um ponto O é dada pela soma dos momentos angulares de todas as partículas e mostra-se que ele é igual à soma dos momentos angulares da partículas em relação ao centro de massa com o momento angular do centro de massa em relação a O. O torque resultante/total do sistema em relação a um ponto O é igual à variação temporal do momento angular total, sendo válido o teorema do impulso e momento angulares, onde o impulso angular de um torque é definido pela sua integral temporal em um dado intervalo. Momento angular Torque resultante Impulso angular Teorema do impulso e momento angulares

Revisão de Mecânica I Referenciais não inerciais É possível relacionar as quantidades cinemáticas em diferentes referenciais. O movimento relativo entre referenciais estabelece relações entre quantidades cinemáticas absolutas e relativas: Posição Velocidade Aceleração

Revisão de Mecânica I Referenciais não inerciais O movimento mais geral que se pode considerar é entre referenciais não inerciais em rotação e translação: considere que há uma rotação em torno de um ponto A e que A translada com relação a um referencial parado. Para descrever corretamente o movimento do ponto de vista do referencial não inercial é preciso considerar as forças de inércia ( fictícias ). Forças inerciais Forças de interação Força inercial de translação Força de Euler Força centrífuga Força de Coriolis

- Roteiro O que é um corpo rígido? Movimentos do corpo rígido Translação Rotação em torno de um eixo Movimento geral planar Movimento geral tridimensional

O que é um corpo rígido? Definições: Um corpo rígido é definido como um sistema constituído por um grande número de massas puntuais, chamadas partículas, tal que as distâncias entre os pares de massas puntuais permanece constante, mesmo quando o corpo está em movimento ou sob a ação de forças exernas. ¹ Um corpo é rígido quando a distância entre duas partículas quaisquer do corpo é invariável. ² Definimos um corpo rígido como uma coleção de partículas cujas distâncias relativas são vinculadas a permanecer absolutamente fixas. ³ 1 Arya, A.P., Introduction to Classical Mechanics, 1ª ed. Allyn and Bacon, 1ª.ed., 1990. 2 Nussenzveig, H. M., Curso de Física Básica, Vol. 1, 2ª.ed., Edgard Blücher, 1993. 3 Marion, J. B., Thornton, S.T., Classical Dynamics of Particles and Systems, 4ª.ed., Saunders College Pub.,1995.

O que é um corpo rígido? Observações: nenhum corpo de qualquer tamanho físico é estritamente rígido; ele se deforma sob a ação de forças aplicadas. ¹ Nenhum corpo é perfeitamente rígido: uma barra de aço se deforma sob a ação de forças suficientemente intensas (...) ² - ( ) as partículas compondo todo corpo (os átomos) estão sempre sujeitas a algum movimento relativo ( ), uma pancada (em uma barra) seria sentida instantaneamente na extremidade oposta. Isso corresponde a uma transmissão de sinal com velocidade infinita uma situação que, pela teoria relativista, sabemos ser impossível ³ 1 Arya, A.P., Introduction to Classical Mechanics, 1ª ed. Allyn and Bacon, 1ª.ed., 1990. 2 Nussenzveig, H. M., Curso de Física Básica, Vol. 1, 2ª.ed., Edgard Blücher, 1993. 3 Marion, J. B., Thornton, S.T., Classical Dynamics of Particles and Systems, 4ª.ed., Saunders College Pub.,1995.

O que é um corpo rígido? Validade: Todavia, o conceito de um corpo rígido idealizado é útil na descrição do movimento, e os desvios resultantes não são tão significativos. ¹ as deformações são em geral suficientemente pequenas para que possam ser desprezadas em primeira aproximação. ² podemos seguramente desprezar as mudanças em tamanho e forma causadas por tais deformações e obter equações de movimento válidas com um alto grau de exatidão ³. 1 Arya, A.P., Introduction to Classical Mechanics, 1ª ed. Allyn and Bacon, 1ª.ed., 1990. 2 Nussenzveig, H. M., Curso de Física Básica, Vol. 1, 2ª.ed., Edgard Blücher, 1993. 3 Marion, J. B., Thornton, S.T., Classical Dynamics of Particles and Systems, 4ª.ed., Saunders College Pub.,1995.

Movimentos do corpo rígido

Movimentos do corpo rígido Translação: trajetória de translação retilínea¹ trajetória de translação curvilínea¹.

Movimentos do corpo rígido Translação: Rotação: trajetória de translação retilínea¹ rotação em torno de um eixo¹ trajetória de translação curvilínea¹.

Movimentos do corpo rígido Translação: Rotação: trajetória de translação retilínea¹ rotação em torno de um eixo¹ trajetória de translação curvilínea¹. rotação em torno de um ponto fixo² 2 Beer et al- Vector Mechanics Engineers Statics Dynamics 9ª Ed. McGraw Hill

Movimentos do corpo rígido Movimento geral planar: Movimento geral: translação + rotação: translação + rotações (em torno de 3 eixos):

Movimento em que todas as partículas de um corpo rígido movem-se ao longo de trajetórias que são equidistantes de um plano fixo ¹. Translação: Rotação: trajetória de translação retilínea¹ rotação em torno de um eixo¹ Movimento geral: trajetória de translação curvilínea¹. translação + rotação:

translação retilínea translação curvilínea rotação em torno de um eixo translação + rotação: Identifique os tipos de movimentos dos objetos abaixo: Barra 2 Barra 3 Pistão Disco Barra 1

translação retilínea translação curvilínea rotação em torno de um eixo translação + rotação: Identifique os tipos de movimentos dos objetos abaixo:

Translação: para descrever o movimento do corpo rígido é interessante, em muitos casos, utilizar dois sistemas referenciais. Um deles é um sistema fixo, com coordenadas x, y, z, e outro apenas translada com relação ao sistema fixo possui coordenadas x, y, z : x//x, y//y, z//z, para todo t.

Translação: para descrever o movimento do corpo rígido é interessante, em muitos casos, utilizar dois sistemas referenciais. Um deles é um sistema fixo, com coordenadas x, y, z, e outro apenas translada com relação ao sistema fixo possui coordenadas x, y, z : x//x, y//y, z//z, para todo t. Vetor de posição Posição de A Posição de B Posição de B em relação a A

Translação: para descrever o movimento do corpo rígido é interessante, em muitos casos, utilizar dois sistemas referenciais. Um deles é um sistema fixo, com coordenadas x, y, z, e outro apenas translada com relação ao sistema fixo possui coordenadas x, y, z : x//x, y//y, z//z, para todo t. Vetor de posição Para ser corpo rígido, para todos t e t0 :

Translação: Vetor de posição Para ser translação : Para ser corpo rígido, para todos t e t0 :

Translação: Vetor de posição Velocidade Aceleração

Translação: Vetor de posição Velocidade Aceleração Na translação todos os pontos possuem a mesma velocidade e a mesma aceleração.

Rotação em torno de um eixo: Todas as partículas do corpo, exceto aquelas que encontram-se sobre o eixo, movem-se ao longo de trajetórias circulares¹

Rotação em torno de um eixo: Todas as partículas do corpo, exceto aquelas que encontram-se sobre o eixo, movem-se ao longo de trajetórias circulares¹ Deslocamento do ponto P

Rotação em torno de um eixo: Todas as partículas do corpo, exceto aquelas que encontram-se sobre o eixo, movem-se ao longo de trajetórias circulares¹

Rotação em torno de um eixo: Todas as partículas do corpo, exceto aquelas que encontram-se sobre o eixo, movem-se ao longo de trajetórias circulares¹ Módulos de vetores

Rotação em torno de um eixo: Todas as partículas do corpo, exceto aquelas que encontram-se sobre o eixo, movem-se ao longo de trajetórias circulares¹ Define-se o vetor Perpendicular ao plano de rotação

Rotação em torno de um eixo: Todas as partículas do corpo, exceto aquelas que encontram-se sobre o eixo, movem-se ao longo de trajetórias circulares¹ Rotações infinitesimais são comutativas, diferentemente das rotações finitas.

Rotação em torno de um eixo: Define-se a velocidade angular de rotação como sendo um vetor. A partir de sua definição, pode-se obter a velocidade (linear). Velocidade angular Velocidade

Rotação em torno de um eixo: Por se tratar de um movimento planar ao redor de um eixo, o eixo não pode mudar de direção. Aceleração angular

Rotação em torno de um eixo: Exercício: Partindo das expressões abaixo, mostre como a aceleração é expressa em termos de Aceleração angular Velocidade

Rotação em torno de um eixo: Exercício: Partindo das expressões abaixo, mostre como a aceleração é expressa em termos de Aceleração angular Velocidade Aceleração

Rotação em torno de um eixo: Exercício: A rotação do braço robótico ocorre devido ao movimento linear dos cilindros hidráulicos A e B. Se este movimento induz a engrenagem D a rotacionar no sentido horário a 5 rad/s, determine a magnitude da velocidade e aceleração da parte C, segura pela pinça.

Movimento geral planar: O movimento geral planar pode ser entendido como a superposição de um movimento de translação com um movimento de rotação ao redor de um eixo.

Movimento geral planar: O movimento geral planar pode ser entendido como a superposição de um movimento de translação com um movimento de rotação ao redor de um eixo. É conveniente usar dois sistemas de coordenadas.

Movimento geral planar: O ponto A pode ser um ponto qualquer e é chamado ponto de base. É conveniente escolher A de forma que sua trajetória seja conhecida. A distância de B a A é fixa.

Movimento geral planar: O ponto A pode ser um ponto qualquer e é chamado ponto de base. É conveniente escolher A de forma que sua trajetória seja conhecida. A distância de B a A é fixa. Posição de B em relação a (x,y) Posição de A ( ponto de base ) em relação a (x,y) Posição de B em relação a A (x,y )

Movimento geral planar: O deslocamento de B pode ser entendido como uma translação de dra, seguida de uma rotação de drb/a em torno da posição final de A.

Movimento geral planar: Os vetores de posição, velocidade e aceleração de um ponto B do corpo rígido são: e são paralelos.

Movimentos tridimensional do corpo rígido Movimento geral: Os vetores de posição, velocidade e aceleração de um ponto B do corpo rígido são: e NÃO são paralelos.