ROOSTA DE RESOLUÇÃO DA ROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA ROVA 5) ª FASE DE JUNHO 0 Grupo I Questões 5 7 8 Versão C A C B B D C D Versão B D B C B C A C Grupo II Seja w = + Tem-se que: i w = + = sendo θ um argumento de w, como θ º quadrante e tg θ =, vem θ = Assim w = cis Considerando w = i, tem-se: w = + = sendo α um argumento de w, como α º quadrante e tg α =, vem α = Logo w = cis Substituindo vem:
( + i ) cis 8cis ( ) 8 8 z = = = = cis + = cis = cis i cis cis z z = cis ( cisα ) = cis cis ( α ) = cis + α z z seja um imaginário puro, α ara que + tem de ser da forma + ( ) k Ora + α = + k + 8α = + k 8α = + k α = +, k Z 8 k k Z retende-se que α pertença ao intervalo[ 0, [ ara isso, deve considerar-se k=0 e k= 5 Vem então α = e α = 8 8 Sabe-se que z = z z, z Assim, + z + z 0 + z + z + z z 0 + z + z + z z 0 + z + z + z z + z z + z z 0 + z z 0 z z z z z E assim se concluiu o pretendido Dado o acontecimento B :" As três bolas retiradas não têm a mesma cor " o acontecimento contrário é: B :" As três bolas retiradas têm a mesma cor " Ora o acontecimento B ocorre apenas quando as três bolas retiradas tiverem cor preta Atendendo a que a extração das três bolas é simultânea, o número de casos possíveis é dado por C e o número de casos favoráveis à ocorrência de B é igual Assim, ( B) ( B) C 5 = = = = C Conclui-se então que a probabilidade de as bolas retiradas não serem todas da mesma cor é Do enunciado retiramos que os valores da variável X são:,, e Seja o acontecimento sair bola preta ara determinar a probabilidade de cada um dos valores da variável, consideremos o seguinte diagrama: C
8 8 7 7 ( X = ) = = ( X = ) = = ( X = ) = = = 7 8 ( X = ) = = 7 8 Assim, a tabela de distribuição da variável X é: x i ( X = x i ) 0 8 (A B) designa a probabilidade de o acontecimento A ocorrer sabendo que B já ocorreu, isto é, a probabilidade de o nº registado no primeiro lançamento ser negativo, sabendo que o produto dos números registados nos dois lançamentos é positivo Ora se o produto dos nºs registados nos dois lançamentos é positivo isso significa que esses números são ambos positivos ou ambos negativos Vamos determinar o nº de casos possíveis com recurso a uma tabela de dupla entrada: Admitindo que o acontecimento B se realizou, sabemos que o produto dos números registados nos dois lançamentos é positivo, pelo que existem 0 casos possíveis, dos quais apenas um é favorável à realização do acontecimento A, ou seja há apenas um caso em que o nº registado no primeiro lançamento é negativo A B = 0 De acordo com a lei de Laplace o valor pedido é: ( ) O ângulo AHC é o ângulo formado pelos vetores HC e HA Como o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox as suas coordenadas são ( a,0,0), com a > 0 Como a aresta do cubo é o ponto A tem coordenadas (,0,0 ) x - - + - - - - + + + - + + + - + + +
Dado que o ponto C pertence ao semieixo negativo O e a aresta do cubo é as suas coordenadas são ( 0,,0) Como α é a amplitude do ângulo AHC tem-se que: HC HA HC HA= HC HA cosα cosα = HC HA or outro lado tem-se: HC = C H = ( 0,, 0) (,, ) = (,, ) ; HA = A H = (,0,0) (,,) = ( 0,, ) ; HC HA=,, 0,, = 0 + = 7 ; HC = + + = HA = 0 + + = e Assim vem, HC HA 7 7 cosα = cosα = cosα = HC HA 7 5 Como 5 sen α + cos α =, vem A função f é contínua em Comecemos por calcular os limites laterais: ( x ) + + x x 7 8 sen α + = sen α = sen α = 7 7 7 x = se, e só se, lim f ( x) lim f ( x) f + x x lim f x = lim ln e e = ln e e = ln e = = = lim f ( x) x x x e x + = lim x ; indeterminação do tipo 0 0 Fazendo a mudança de variável: = x x = + Como x então 0 e assim, ( x) x x e x + e x + e ( + ) + = x ( x ) lim f = lim = lim = lim x x x 0 e e = lim = lim + 0 0 Atendendo a que o limite da soma é igual à soma dos limites das parcelas, quando estes existem vem:
e e lim + = lim + lim = + = 0 0 0 Então f ( x) lim = x Concluímos então que lim f ( x) lim f ( x) + x x ortanto f não é contínua em x = porque os limites laterais são diferentes 5 Como o gráfico de f admite uma assíntota de equação = x + b, com b IR, quando x +, o declive da assíntota é m =, pelo que ( ) b = lim f x mx = lim f x x = lim ln e x e x ( ) b = lim ln e e x = lim ln e e ln e Então, b = ln x x x x e e = lim ln x e e = lim ln e e = ln + = ln 0 = ln x f x f f x f f ( x) f = = x x x lim lim lim x x x Como lim x f x f f = x = = = tem-se: e f sen sen( ) f ( x) f lim = = x x Assim, lim x f ( x) f = x
ara efetuar o estudo das concavidades do gráfico de f determinemos a expressão analítica da segunda derivada de f = f '' x x sen x ' = ( x) sen( x) = cos ( x) ( x) ( x) = cos Determinemos os zeros da segunda derivada de f no intervalo, f '' x = 0 cos x = 0 cos( x) = cos( x) = cos x = + k x = + k, com k Z x = + k x = + k, com k Z Como se pretendem os zeros de f no intervalo, devemos considerar k=0 As soluções da equação '' 0 Estudemos o sinal de f x f x = são: e f '' nd + 0 0 + nd f nd I I nd or observação da tabela, conclui-se que o gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em, e em, e tem a concavidade voltada para baixo no intervalo, O gráfico de f tem dois pontos de inflexão de abcissas e
7 De acordo com o enunciado, o triângulo [ ABC ] é retângulo em C Assim, designando por x a abcissa do ponto B, a área do triângulo [ ABC ] é dada, em função de x, por: BC AC x f x + A[ ] = 8 = = x ln ( x + e ) + ABC, com x e,0, pois a abcissa de B é negativa Recorrendo à calculadora gráfica, pretendemos determinar o valor de a condição: x ( x e ) ln + + = (*) x e,0 que verifica a x O valor de x que verifica a condição (*), corresponde à abcissa a, do ponto de interseção dos gráficos das funções designadas por e, com a,7 A abcissa do ponto B é aproximadamente -,7