Funções Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos A e B que a cada elemento do conjunto A (conjunto de partida) associa um e um só elemento, ou, do conjunto B (conjunto de chegada). Simbolicamente, : A B A B Numa função, o conjunto de partida A designa-se por domínio da função e representa-se por. Os elementos do domínio designam-se por objetos e os respetivos elementos do conjunto B designam-se por imagens. O conjunto das imagens designa-se por contradomínio da função e representa-se por. A Rita tem num saco 6 rebuçados. O Paulo retirou do saco alguns rebuçados ( ). Considera a função que a cada valor de faz corresponder o número de rebuçados que ficaram no saco ( ). - Se o Paulo retirar 1 rebuçado, ficam no saco 5 rebuçados; - Se o Paulo retirar 6 rebuçados, ficam no saco 0 rebuçados. O número de rebuçados que ficam no saco depende do número de rebuçados retirados. Assim, a dá-se o nome de variável independente e a o nome de variável dependente. Esta função pode ser representada de diferentes formas: Diagrama sagital Gráfico cartesiano 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6.. 6. 5. 4. 3. 2. 1. 0 6 5 4 34 2 3 1 2 1 2 3 4 5 6 Conjunto de pontos do plano que têm por coordenadas ( ) sendo Tabela Expressão algébrica 0 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 0
perímetro (cm) Considera as seguintes correspondências: Não é uma função porque ao elemento Luís do conjunto A corresponde mais do que um elemento do conjunto B. Não é uma função porque ao elemento Diogo do conjunto A não corresponde nenhum elemento do conjunto B. Função linear A uma função do tipo chama-se função linear. Os pontos do seu gráfico estão todos sobre uma reta que passa pela origem do referencial. A chama-se coeficiente de (ou declive) e tem-se que. Considera a função que a cada valor, em cm, do lado de um quadrado faz corresponder o respetivo perímetro. 12 10 8 6 4 2 Lado (cm) 1 1,5 2 2,5 Perímetro (cm) 4 6 8 10 0 0 1 2 3 lado (cm) Facilmente se verifica que.
Função afim A uma função do tipo chama-se função afim. Os pontos do seu gráfico estão todos sobre uma reta que interseta o eixo das ordenadas no ponto. A chama-se coeficiente de (ou declive) e a termo independente (ou ordenada na origem). Os pontos dos gráficos das funções definidas por e estão sobre duas retas paralelas, pois têm o mesmo declive. A Maria chamou um técnico para vir a sua casa arranjar o frigorífico. O técnico cobra 15 pela deslocação e mais 10 por cada hora de trabalho. Considera a função pagar pelo trabalho, em euros. Temos que: Facilmente se verifica que Proporcionalidade direta que ao tempo de trabalho, em horas, faz corresponder o respetivo preço a 70 60 50 40 30 20 10 0 0 1 2 3 4 5 6 Duas varáveis e são diretamente proporcionais se o quociente entre elas for constante, ou seja, se ou, sendo um número diferente de zero. O número k designa-se constante de proporcionalidade. Uma função linear traduz situações de proporcionalidade direta. Assim, uma função do tipo (ou com ) tem o nome de função de proporcionalidade direta.
A Luísa vai comprar bananas. Cada quilograma custa 2. Considera a função que a cada quantidade de bananas, em kg, faz corresponder o respetivo preço a pagar, em euros. Na tabela seguinte estão representados alguns valores correspondentes a a : (kg) 2 3 4 8 10 ( ) 4 6 8 16 20 e Repara que os quocientes entre valores correspondentes de e são constantes. Neste caso, o valor da constante de proporcionalidade é 2 e representa o preço de cada kg de bananas. Repara que: (kg) 2 3 4 8 10 ( ) 4 6 8 16 20 Podemos concluir que dadas duas grandezas diretamente proporcionais, se uma é multiplicada por um fator, a correspondente é multiplicada pelo mesmo fator. Assim, numa função de proporcionalidade direta: Se tivermos a representação gráfica de uma função de proporcionalidade direta, como calcular a sua expressão algébrica? Basta considerar um ponto pertencente à reta. Por exemplo, o ponto A de coordenadas (3,4). Então: Portanto a expressão analítica da função representada ao lado é :
Exercícios: Referencial cartesiano A Fernanda pretende ir acampar nas férias e necessita de comprar alguns artigos. Para isso dirige-se ao supermercado que tem estes artigos em promoção. Na figura estão representados pontos correspondentes aos artigos que a Fernanda pretende comprar, bem como ao carrinho das compras. a) Identifica as coordenadas dos pontos correspondentes aos produtos Barbatanas (A) e Cadeira (C). b) Identifica o artigo e indica as coordenadas do ponto que o representa, sabendo que: b.1) o produto das coordenadas é zero; b.2) pertence ao 3º quadrante; b.3) a abcissa é positiva e o produto das coordenadas é negativo; b.4) a soma das coordenadas é -1; b.5) a diferença entre a abcissa e a ordenada é -4. Generalidades sobre funções 1. Qual das correspondências é uma função? Justifica. 2. Considera a seguinte correspondência entre A e B: a) Justifica que a correspondência, f, é uma função. b) Indica o domínio da função. c) Indica o conjunto de chegada da função. d) Indica o contradomínio, D f da função. e) Qual é a imagem do objeto -12? f) Quais os objetos que têm imagem 10? g) Indica uma expressão algébrica para a função f.
3. Considera a função g que a cada número faz corresponder a soma do seu quádruplo com 1. a) Escreve uma expressão algébrica da função g. b) Qual é a imagem do objeto 3? c) Qual é o objeto que tem como imagem que 21? d) Determina g(-6) e g. 4. Na figura estão representados seis jogadores de uma equipa de futebol. Para cada jogador é dada informação sobre o número da camisola, a idade e o número de anos que pratica a modalidade. Camisola: 5 Idade: 18 Pratica: 5 anos Camisola: 9 Idade: 19 Pratica: 5 anos Camisola: 7 Idade: 18 Pratica: 3 anos Camisola: 3 Idade: 16 Pratica: 4 anos Camisola: 1 Idade: 20 Pratica: 8 anos Camisola: 12 Idade: 17 Pratica: 2 anos a) Considera a correspondência que à idade do jogador faz corresponder o número de anos que pratica a modalidade. Esta correspondência é uma função? b) Considera a correspondência que ao número da camisola do jogador faz corresponder o número de anos que esse jogador pratica a modalidade. b.1) Indica o domínio e o contradomínio dessa função. b.2) O João pratica a modalidade há 5 anos. É possível saber o número da sua camisola? Justifica. 5. Um grupo de alunos de uma escola pretende alugar um autocarro para um passeio. O aluguer é 500 e vai ser dividido de igual forma pelo número de alunos que participarem no passeio. Considera que g : {1, 2,, 50} estabelece o preço a pagar por cada aluno em função do número de alunos participantes. a) Quantos alunos tem a escola? b) Determina g(40) e explica o seu significado desse valor no contexto do problema. c) Qual o valor mínimo que cada aluno pode vir a pagar? d) Verifica se o ponto de coordenadas (20, 25) pertence ao gráfico de g. e) Indica uma expressão algébrica para a função g.
Função linear e afim 1. Determina as expressões analíticas das funções representadas graficamente. 2. Um técnico de eletricidade faz serviços ao domicílio. Pela deslocação a casa do cliente cobra 10 e o custo da mão-de-obra é 22,50 à hora. a) Se o técnico de eletricidade trabalhou 1 hora e 30 minutos, quanto é que recebeu de honorários? b) Se o técnico de eletricidade trabalhou 20 minutos, quanto é que recebeu de honorários? c) Sabendo que o técnico recebeu 39,25 euros quando foi à casa da Maria, quantas horas e minutos lá trabalhou? d) Indica uma expressão algébrica da função h que ao tempo t de trabalho, em horas, faz corresponder o respetivo valor dos honorários a pagar ao técnico Proporcionalidade direta 1. Uma torneira lança água durante algum tempo. Os dados registaram-se na seguinte tabela: a) Verifica se a quantidade de água é diretamente proporcional ao tempo e justifica a tua resposta. b) Tendo em conta a resposta dada na alínea anterior, indica o valor da constante de proporcionalidade. Qual é o significado da constante, neste problema? c) Completa: Quantidade de água = x Tempo Tempo = x Quantidade de água d) Calcula a quantidade de água que foi lançada ao fim de 9 minutos. e) Determina ao fim de quanto tempo foi lançada uma quantidade de água de 32,5 litros.
2. Observa os gráficos seguintes: a) Qual ou quais dos gráficos representam uma situação de proporcionalidade direta? Justifica a tua resposta. b)tendo em conta a resposta que deste na alínea anterior calcula o(s) valor(es) da(s) constante(s) de proporcionalidade e escreve uma expressão algébrica que relacione as variáveis em causa. 3. Na confeção de um determinado bolo, a quantidade de farinha,, é diretamente proporcional à quantidade de açúcar utilizado,, de acordo com a informação da tabela. Açúcar - (Kg) 0,2 0,5 1 1,5 Farinha (Kg) 0,2 a) Indica a constante de proporcionalidade e indica o seu significado no contexto do problema. b) Escreve uma expressão analítica que te permita relacionar a quantidade de farinha com a quantidade de açúcar. c) Completa a tabela. 4. A função f é uma função de proporcionalidade direta. Sabe-se que. Qual das expressões algébricas seguintes define a função? Justifica com palavras e cálculos a tua resposta. (A) (B) (C) (D) 5. O Carlos estacionou a sua viatura num parque de estacionamento durante 2 h e pagou 3. A Marta estacionou no mesmo parque o seu automóvel durante 6 h e pagou 5. Podes concluir que o preço é diretamente proporcional ao tempo de estacionamento? Justifica.
6. Um pintor está a pintar o muro de uma quinta, sabe-se que a área A pintada é proporcional ao tempo de trabalho do pintor, de acordo com a seguinte representação gráfica: a) Determina a constante de proporcionalidade e indica qual o seu significado. 24 b) Indica uma expressão analítica que defina a função. 0 0 60 c) O pintor fez um intervalo ao fim de uma hora e meia de trabalho. Qual a área pintada até ao intervalo? d) O muro tem uma altura de 2 m e encontra-se a vedar um terreno retangular com as dimensões indicadas na figura. 126 m 54 m Quanto tempo demorará o pintor a realizar o trabalho? Apresenta o resultado em horas. 7. O Zé recebeu pela internet um documento com 126 páginas e vai imprimi-lo. A impressora do Zé imprime 6 páginas em meio minuto. a) Completa a tabela: t -Tempo de impressão (min) 2 7,5 n - Nº de páginas impressas 60 126 b) O número de páginas impressas é proporcional ao tempo de impressão? Indica a constante de proporcionalidade e o seu significado atendendo ao contexto. c) Quanto tempo demorou a impressão do documento?
d) Considera a função que relaciona o número de folhas impressas com o tempo de impressão, em minutos, que está representado graficamente no referencial da figura: d.1) Qual a abcissa do ponto F? E a ordenada? d.2) Indica o significado das coordenadas do ponto F. d.3) Determina as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E e G. d.4) O ponto P(9, 102) pertence ao gráfico apresentado? Justifica.