Sistemas Dinâmicos e Controlo

Sistemas Dinâmicos e Controlo José Dores Costa Escola Náutica Infante D. Henrique 003

Ao leitor, Estas folhas constituem um resumo das matérias que fazem parte dos programas das disciplinas na área do controlo de sistemas do departamento de Radiotecnia da ENIDH. Fundamentalmente, são uma colectânea revista dos apontamentos dispersos que elaborei desde 988. Estes apontamentos foram sendo escritos e revistos ao longo das aulas e são, portanto, uma simples sebenta que serve de guia e orientação para o estudo das matérias que considero mais importantes. A sua leitura não substitui a consulta e o estudo atento da bibliografia apresentada. Inicialmente destinados ao curso de bacharelato, decidi incluir agora algumas matérias que são ministradas do curso de licenciatura. Os apontamentos estão divididos em duas partes: na Primeira, incluem-se os primeiros seis capítulos que constituem, grosso modo, o programa da componente teórica da disciplina de Sistemas de Controlo do curso de bacharelato; a Segunda Parte, formada pelos capítulos 7, 8 e 9, destina-se a apoiar a disciplina de Sistemas Dinâmicos e Controlo do curso de licenciatura. Os capítulos a 6 referem os aspectos principais da teoria clássica do controlo; os restantes constituem uma introdução à moderna Teoria do Controlo. Esta Segunda Parte não é autónoma porque faz referência a matérias que são expostas no curso de bacharelato. Consciente das limitações, apresento as minhas desculpas pelas omissões que detectarão e peço a vossa indulgência para a apresentação e para a paginação destes apontamentos. Apesar disso, espero que os leitores encontrem nestes apontamentos as linhas mestras para o primeiro contacto, simples, com a teoria do controlo e, também, que deles tirem proveito para obterem boas classificações. José Dores Costa "Entendamo-nos bem. A Ciência não tem, nem pode ter, como objectivo descrever a realidade tal como ela é. Aquilo a que ela aspira é a construir quadros racionais de interpretação e previsão; a legitimidade de tais quadros dura enquanto durar o seu acordo com os resultados da observação e da experimentação. Bento de Jesus Caraça, Conceitos Fundamentais da Matemática. 4

ÍNDICE CAPÍTULO... 8 INTRODUÇÃO... 8 CAPÍTULO... MODELOS MATEMÁTICOS DOS SISTEMAS CONTÍNUOS.... EQUAÇÕES DIFERENCIAIS.... EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE ª ORDEM... 5.3 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE ª ORDEM... 6.4 EXEMPLOS DE SISTEMAS DE ª ORDEM.....5 PRINCÍPIO DA SOBREPOSIÇÃO... 5.6 MODELO DE ESTADO... 6.7 RESUMO... 3 CAPÍTULO 3... 33 TRANSFORMADA DE LAPLACE... 33 3. INTRODUÇÃO... 33 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE... 34 3.3 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA... 37 3.4 DIAGRAMAS DE BLOCOS... 4 3.5 DIAGRAMA DE BLOCOS EM CADEIA FECHADA... 4 3.6 DECOMPOSIÇÃO EM FRACÇÕES PARCIAIS... 45 3.7 CONVOLUÇÃO... 49 3.8 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA... 5 3.9 DIAGRAMAS DE BODE... 56 3.0 ASSÍNTOTAS DOS DIAGRAMAS DA AMPLITUDE... 60 3. DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DE G(jω)... 64 3. CONSTRUÇÃO DE UMA ESCALA LOGARÍTMICA... 65 3.3 RESUMO... 66 ANEXO 3.... 67 Resumo das Propriedades da Transformada de Laplace... 67 ANEXO 3.... 68 Tabela de Transformada de Laplace... 68 ANEXO 3.3... 7 Circuitos com amplificadores operacionais e funções de transferência... 7 CAPÍTULO 4... 73 ESTABILIDADE... 73 4. INTRODUÇÃO... 73 4. CRITÉRIO DE ROUTH-HURWITZ... 75 5

4.3 LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES (DIAGRAMA DE EVANS)... 78 4.3. Condição de Módulo e Condição de Ângulo... 8 4.3. Regras de Construção... 8 4.4 CRITÉRIO DE NYQUIST... 88 4.5 ESTABILIDADE RELATIVA... 9 4.5. Margem de Ganho... 9 4.5. Margem de Fase... 93 4.6 RESUMO... 95 CAPÍTULO 5... 96 CARACTERÍSTICAS DOS SISTEMAS EM CADEIA FECHADA... 96 5. INTRODUÇÃO... 96 5. EXACTIDÃO... 97 5.3 RELAÇÃO ENTRE A ESTABILIDADE E A EXACTIDÃO... 00 5.4 SENSIBILIDADE... 0 5.5 RESUMO... 04 CAPÍTULO 6... 05 COMPENSAÇÃO... 05 6. INTRODUÇÃO... 05 6. COMPENSADORES DE AVANÇO DE FASE... 07 6.3 COMPENSADORES DE ATRASO DE FASE... 09 6.4 COMPENSADORES MISTOS... 6.5 PROJECTO DOS COMPENSADORES... 6.6 REGULADORES INDUSTRIAIS... 4 6.6.. Regulador proporcional (P)... 4 6.6.. Regulador proporcional e integral (PI)... 5 6.6.3. Regulador proporcional e derivativo (PD)... 8 6.6.4. Regulador proporcional, integral e derivativo (PID)... 9 6.7 AJUSTE DOS REGULADORES INDUSTRIAIS... 9 6.7. Ensaio em cadeia aberta... 0 6.7. Máxima sensibilidade (ensaio em cadeia fechada)... 6.8 COMPENSAÇÃO EM PARALELO... 6.9 RESUMO... CAPÍTULO 7... 4 MODELOS DE ESTADO... 4 7. INTRODUÇÃO... 4 7. MODELOS DE ESTADO... 5 7.3 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE ESTADO... 3 7.4 DIAGRAMAS DE BLOCOS... 34 7.5 FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA... 4 6

7.6 OBSERVABILIDADE E CONTROLABILIDADE... 45 7.7 TRANSFORMAÇÃO DE SEMELHANÇA... 50 7.8 RESUMO... 56 CAPÍTULO 8... 57 PROJECTO DO CONTROLO... 57 8. INTRODUÇÃO... 57 8. RECTROACÇÃO LINEAR DAS VARIÁVEIS DE ESTADO... 58 8.3 RECONSTRUÇÃO DO ESTADO... 69 8.4 RESUMO... 74 CAPÍTULO 9... 75 CONTROLO DIGITAL... 75 9. INTRODUÇÃO... 75 9. REPRESENTAÇÃO DE VARIÁVEIS DISCRETAS... 76 9.3 DISCRETIZAÇÃO DO MODELO DE ESTADO... 79 9.4 MODELO DE ESTADO DISCRETO... 84 9.5 TRANSFORMADA Z... 86 9.6 TRANSFORMADA Z INVERSA... 90 9.7 ESTABILIDADE... 95 9.8 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA... 99 9.9 MODELOS DE ESTADO E FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA... 07 9.0 CONTROLO DOS SISTEMAS AMOSTRADOS... 09 RESUMO... 7 BIBLIOGRAFIA... 8 7

CAPÍTULO INTRODUÇÃO PRIMEIRA PARTE Os sistemas com comando automático são utilizados em inúmeros equipamentos, desde os mais sofisticados, como os da indústria aeroespacial, até nos mais vulgares electrodomésticos. A moderna tecnologia tornou possível que equipamentos cada vez mais complexos e fiáveis substituam o homem nas tarefas mais cansativas, mais monótonas e mais exigentes, com elevado desempenho. A ideia do controlo está associada á actividade humana: os nossos sentidos fornecem indicações ao cérebro que por sua vez controla os músculos para que uma dada tarefa saia a nosso contento. Por exemplo, ao serrar uma tábua, a trajectória do corte é continuamente controlada pelo cérebro a partir da imagem fornecida pelos olhos. (Ninguém, de bom senso, serra uma tábua ou conduz um carro de olhos fechados!). São conhecidas as máquinas usadas nas indústrias metalomecânica, automóvel e construção naval, por exemplo, que cortam segundo uma trajectória previamente definida; estas máquinas têm sensores, circuitos de controlo e actuadores que substituem os olhos, o cérebro e os músculos humanos, respectivamente; diz-se então que é uma máquina com controlo de corte automático. É usual referir o regulador de velocidade das máquinas de vapor, inventado em 788 por Matthew Boulton e James Watt, como um dos primeiros sistemas que se destinou a substituir o homem no controlo de uma máquina. Desde então, o desenvolvimento de sistemas de controlo automático acompanhou a evolução industrial. O projecto dos sistemas que controlam os equipamentos que executam tarefas de grande complexidade exige a utilização de métodos matemáticos precisos. A organização destes métodos deu origem ao aparecimento da teoria do controlo. Esta teoria ganhou forma já neste século, principalmente no período compreendido entre as duas grandes guerras mundiais e desenvolveu-se muito rapidamente no pós-guerra para satisfazer as necessidades das indústrias bélica e aeroespacial. Mais recentemente, o desenvolvimento da electrónica digital e dos computadores permitiram a aplicação de novos métodos de controlo e, consequentemente, deu novo desenvolvimento à teoria do controlo. Estes apontamentos são uma introdução à teoria do controlo; referem-se, principalmente, os métodos de análise dos sistemas e os métodos de projecto (síntese) dos sistemas de controlo, segundo a teoria clássica. Apresentam-se, também, os fundamentos da moderna teoria do controlo. 8

O problema do controlo pode ser colocado considerando, por exemplo, que se pretende manter um navio com um rumo constante. Para cumprir este desejo pode-se colocar o navio no rumo pretendido e fixar-se o leme. Todavia, esta solução não é satisfatória porque não tem em conta os desvios que serão provocados, por exemplo, pelo vento e pelas correntes. Para manter o navio com o rumo desejado, torna-se necessário, pelo menos de tempos a tempos, comparar o rumo real com o pretendido e, caso haja desvio na trajectória, actuar-se no leme para se efectuar a correcção do rumo. Com base neste exemplo, o problema geral do controlo consiste em responder às duas seguintes questões: ) Perante um desvio, qual deve ser a acção correctiva que repõe o sistema na trajectória pretendida? ) De entre várias possibilidades, qual deve ser a escolhida? A resposta, na maior parte dos casos, não é simples. A solução clássica do problema consiste em estabelecer uma relação entre o desvio (ou erro), a acção correctiva (ou variável de controlo) e as características físicas e económicas do sistema a controlar, o que nem sempre é fácil. Note-se que, considerando o exemplo anterior, o movimento do leme está fisicamente limitado e que a mesma variação do ângulo do leme produz efeitos diferentes conforme sejam a velocidade do navio e a sua carga. A solução complica-se ainda mais quando se têm em conta factores económicos, como sejam, por exemplo, o consumo de combustível e o tempo do percurso. A acção correctiva, isto é, o controlo, para ser eficaz, deve ter em conta as características físicas do sistema porque são estas que vão determinar a resposta dinâmica (é mais fácil controlar um pequeno barco do que um navio de grande porte) e, por isso, a resposta dinâmica é estudada a partir do modelo matemático do sistema. Referimos três conceitos que nos acompanharão ao longo deste estudo: sistema, modelo matemático e controlo. De um modo geral, um sistema é um conjunto complexo de elementos interactuantes. É um conjunto complexo porque pode ser dividido em subsistemas interligados entre si. Os sistemas e os subsistemas são descritos por modelos matemáticos que, no caso geral, são equações diferenciais. Através do modelo matemático é possível estudar o comportamento dinâmico do sistema, isto é, a sua resposta temporal. Finalmente, o controlo a aplicar dependerá do comportamento dinâmico do sistema. Estes apontamentos iniciam-se com o estudo dos modelos matemáticos dos sistemas com base nos quais se caracterizará o comportamento dinâmico. Na realidade, estas duas questões estão interligadas e serão estudadas conjuntamente. Este é o objecto da análise dos sistemas. 9

Como se verá, sistemas de natureza diferente (eléctricos, mecânicos, termodinâmicos, etc) podem ser governados por equações diferenciais formalmente semelhantes e, portanto, as respostas dinâmicas são também semelhantes. Esta situação é notável e facilita grandemente a análise dos sistemas. Independentemente da natureza física do sistema, o controlo poderá ser do mesmo tipo quando se consideram sistemas com modelos matemáticos formalmente iguais. Seguidamente, estudar-se-á o projecto do controlo. Para isso é necessário medir, comparar e processar o erro. Estas acções podem ser feitas continuamente, no tempo, ou por amostragem. Ambos os casos serão objecto do nosso estudo. O processamento do erro é feito segundo uma lei de controlo que é definida tendo em conta o comportamento dinâmico do sistema e as especificações a que o sistema total (com o sistema de controlo incluído) deve obedecer. Nesta disciplina, o estudo resume-se aos sistemas determinísticos, de parâmetros concentrados, contínuos ou discretos e invariantes no tempo. Esta caracterização obedece à classificação dos sistemas que se apresenta na Fig... SISTEMAS estocásticos determinísticos parâmetros distribuídos parâmetros concentrados contínuos discretos não lineares lineares Fig..: Classificação dos sistemas. variantes no tempo invariantes no tempo As definições dos sistemas da Fig.. são, resumidamente, as seguintes: Estocásticos: as variáveis do sistema são descritas probabilisticamente. Determinísticos: as variáveis do sistema seguem leis determinísticas, isto é, têm valores precisos. Parâmetros distribuídos: os modelos são equações diferenciais às derivadas parciais. Parâmetros concentrados: os modelos são equações diferenciais ordinárias. 0

Contínuos: as variáveis variam continuamente no tempo. Discretos: as variáveis só são significativas em instantes bem determinados; são descritos por equações às diferenças. Lineares: aplica-se o princípio da sobreposição das acções. Invariantes no tempo: as características do sistema não variam com o tempo; são descritos por equações (diferenciais) com coeficientes constantes. Esta classificação é uma procura de sistematização e não deve ser entendida como uma fórmula rígida; conforme as simplificações adoptadas, o mesmo sistema pode ser considerado de modo diverso. Um sistema pode ter múltiplas entradas e saídas (MIMO - Multiple Input, Multiple Output), uma única entrada e uma única saída (SISO - Single Input, Single Output) ou as combinações, SIMO e MISO. Os sistemas mais simples são os SISO e, por isso, são os únicos considerados neste estudo. E, por ser um estudo introdutório, estudaremos apenas os sistemas lineares e invariantes no templo (SLIT). No capítulo estudam-se os modelos matemáticos dos sistemas contínuos, no domínio do tempo. Referem-se as equações diferenciais lineares e ordinárias e os modelos de estado. No capítulo 3 estuda-se a aplicação da transformada de Laplace e estudam-se os modelos matemáticos no domínio da frequência complexa. Apresentam-se os sistemas em cadeia aberta e fechada, determinam-se as funções de transferência e as respostas em frequência. No capítulo 4 estuda-se a estabilidade e referem-se diferentes métodos de análise deste problema. Apresenta-se o critério de Routh-Hurwitz, o diagrama de Evans e o método de Nyquist. No capítulo 5 analisam-se as características dos sistemas em cadeia fechada, em particular, refere-se a exactidão e a sensibilidade e a relação com a estabilidade. No capítulo 6 estuda-se o problema do controlo clássico e os métodos de compensação. Referem-se os reguladores industriais. Os capítulos 7, 8 e 9 constituem a segunda parte do curso que é normalmente ministrado em disciplinas da licenciatura. No capítulo 7 faz-se uma introdução à moderna teoria do controlo baseada nos modelos de estado. O capítulo 8 é dedicado ao projecto do controlo e no capítulo 9 estudam-se os sistemas com controlo digital.

CAPÍTULO MODELOS MATEMÁTICOS DOS SISTEMAS CONTÍNUOS. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS O estudo do comportamento dinâmico dos sistemas é feito a partir do modelo matemático. No geral, este modelo é um conjunto de equações diferenciais que relacionam as variáveis de saída com as entradas do sistema. Como exemplo, considere-se o circuito eléctrico da Fig..(a). Este circuito pode ser considerado como o sistema SISO da Fig..(b) cuja entrada é a tensão V I e cuja saída é a tensão v C. S R V I (a) i C v C V I circuito RC (b) v C (c) Fig..: Circuito RC; (a) esquema; (b) representação por um bloco SISO; (c) diagramas temporais.

Estudar o comportamento dinâmico do circuito da Fig..(a) é responder á seguinte questão: qual é a evolução de v C, no tempo, após o fecho do interruptor S? A resposta é obtida através da resolução da equação diferencial que rege o circuito (o modelo matemático do circuito): d V RC v I = C + vc dt (.) A equação (.) é uma equação diferencial ordinária linear na qual as grandezas que são variáveis no tempo estão representadas com letras minúsculas. Com V I constante e admitindo, por exemplo, que o condensador estava inicialmente descarregado, isto é, v C (0)=0, a solução de (.) é v = V ( e ) (.) C I t RC d Como i = C v, a corrente no circuito é d tc V i I R e trc = (.3) Os diagramas temporais de v C e de i estão representados na Fig..(c); RC é a constante de tempo do circuito e para τ=rc é v C (τ) 0,63V I. Faremos, agora, uma breve revisão da resolução das equações diferenciais de parâmetros constantes. Generalizando, um sistema linear com entrada x(t) e saída y(t), invariante e de parâmetros concentrados, pode ser representado por uma equação diferencial com a forma d Kyt K y d y d n y dx d x d m x 0 ( ) + + K +... + Kn = axt a a a t t t n 0 ( ) + + +... + m d d d dt dt dt m (.4) onde m n e a i e K j são constantes reais. O sistema diz-se de ª, ª,...,nª ordem, se a equação diferencial que o modela for de ª, ª,...,nª ordem, respectivamente. a) Equações homogéneas. Se a entrada x e as suas derivadas são nulas (.4) é uma equação homogénea e a resposta do sistema depende apenas das condições iniciais e dos componentes do sistema. Consideremos a equação homogénea de (.4): 3

Kyt K y n d d y d y 0 ( ) + + K +... + Kn = 0 dt n dt dt Substituindo em (.5) o operador derivada por uma variável s (s d d t característica (.5) ) obtém-se a equação K + K s+ K s +... + K s = (.6) 0 n n 0 A solução de (.5) depende das raízes de (.6). Se a equação (.6) tem n raízes distintas s i, com i=,,..., n, o integral de (.5) será dado por yt ( ) = Ae st + Ae s t +... + Ae n s n t (.7) em que A, A...A n são constantes de primitivação. Se (.6) tiver raízes múltiplas, cada solução s j de multiplicidade α dá origem a uma parcela y j (t) de y(t) com a forma y j ( t) = α α s jt ( b t + b t +... + b ) e α (.8) em que b, b...b α são constantes de primitivação Se (.6) tiver raízes complexas, a cada par de raízes conjugadas s j =r±jω corresponde uma parcela y j (t) de y(t) com a forma j rt y ( t) = B cos( ω t + ϕ) e (.9) em que B e ϕ são números reais, resultantes das constantes de primitivação. As constantes de primitivação das equações (.7), (.8) e (.9) são determinadas conhecendo alguns pontos de y(t) (condições fronteira), ou conhecendo o valor de y(0) e as suas derivadas em t=0 (as condições iniciais). b) Equações não homogéneas. Considere-se a equação diferencial d Kyt K y d y d n y 0 () + + K +... + Kn = axt t t t n 0 () d d d (.0) 4

O integral de (.0) pode ser obtido somando a solução da equação homogénea de (.0), que se designa por solução livre, com a solução particular imposta pela entrada x. Esta solução particular designa-se por solução forçada e é do mesmo tipo de x. Sendo y l a solução livre e y f a solução forçada, a solução total será y(t)=y l (t)+y f (t) (.) Uma vez obtida a equação (.), determinam-se as constantes de integração através das condições fronteira ou das iniciais.. EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE ª ORDEM. Uma equação diferencial de primeira ordem, tal como (.), pode ser escrita na forma geral, yt () xt () = τ d + yt () dt (.) Admite-se que a condição inicial é y(0)=y 0 e que x=e é constante. O integral de (.) será calculado tendo em conta (.); para isso, determinaremos primeiro a solução livre de (.) e posteriormente a solução forçada. A equação homogénea é 0 = τ d y() t + yt () (.3) dt A partir de (.3) escreve-se a equação característica 0= τs + (.4) cuja raiz é s =. De acordo com (.7), a solução livre de (.) é τ yl ()= t t Ae τ (.5) A solução forçada, ou particular, de (.), y f, depende de x e deve verificar (.). Como x é constante, y f também é constante e, de (.), conclui-se que y f =E (.6) Tendo em conta (.), (.5) e (.6), a solução completa de (.) é 5

t y()= t Ae τ + E (.7) Finalmente, a constante de integração, A, é determinada a partir (.7), tendo em conta que a condição inicial verifica esta equação: y( 0) = Y0 = A + E (.8) pelo que, A=Y 0 -E (.9) Substituindo (.9) em (.7) obtém-se o resultado final t t y( t) = Y e τ + E e τ 0 (.0) Se, em (.0) for Y 0 =0, E=V I e τ=rc, o resultado obtido é igual a (.). A solução (.0) da equação diferencial de primeira ordem (.) é independente do sistema físico e só a constante de tempo, τ, muda porque depende dos componentes do sistema..3 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE ª ORDEM. Uma equação diferencial de ª ordem pode ser representada por d Kyt K y d y 0 () + + K = xt () dt dt (.) O integral de (.) pode ser calculado pelo processo que usámos no parágrafo anterior: calcula-se primeiro a solução livre, depois calcula-se a solução forçada e aplica-se (.). Finalmente determinam-se as constantes de primitivação. Para se calcular a solução livre de (.) recorre-se à equação característica Ks 0 + Ks + Ks = 0 (.) As soluções de (.) são, genericamente,, = β ± β ω0 s (.3) com 6

β = K K e ω 0 0 = K K (.4) Admitindo que β e ω 0 não são negativos, as soluções (.3) podem ser : - reais e distintas, se β ω 0 - reais e iguais (raiz dupla), se β = ω 0 - complexas conjugadas se, β < ω 0 - imaginárias puras, se β =0. Cada par de raízes (.3) dá origem a diferentes soluções livres, de acordo com (.7), (.8) e (.9). É interessante referir que se β < ω 0 existirá um regime periódico que, de acordo com (.9), é [] l βt y ( t) = B cos( ω t + ϕ) e (.5) com ω = ω 0 β (.6) Determinaremos a solução forçada de (.) para o caso de uma entrada constante x=e. Neste caso, y f é constante e E yf ()= t K0 (.7) Admitindo que a solução livre é dada por (.5), a solução completa é E y( t) = + B cos( ω t + ϕ) e K 0 βt (.8) Para o cálculo de B e de ϕ admitiremos que as condições iniciais são nulas, isto é, y(0)=0 e dy dt ( 0) = 0 ; nesta condição, de (.8) obtém-se E B = K0 cosϕ (.9) β ϕ = arctan (.30) ω Atendendo a que tan β ϕ + =, de (.30) resulta = +, pelo que cos ϕ cosϕ ω 7

E β B = + (.3) K ω 0 Tendo em conta (.3), a solução completa de (.) é dada por y( t) = E K 0 e β t β ω + cos( ω t + ϕ) (.3) No caso particular de β=0, tendo em conta (.6) e (.30), conclui-se de (.3) que E y( t) = ( cos( ω0 t) ) (.33) K 0 e a solução de (.) é eternamente oscilante. β Na Fig.. representam-se as curvas características de y(t) para diferentes valores de ξ = ω0 para x=e e constante. e Fig..: Respostas típicas de um sistema de ª ordem. Note-se que só existem oscilações periódicas para ξ <, ou seja, quando as raízes da equação característica são complexas; para ξ 0 todas as curvas tendem para um valor estacionário E/K 0 e para ξ = 0 o valor máximo de y é o dobro daquele valor. A Fig.. mostra que para ξ < a frequência das oscilações aumenta quando ξ diminui e o mesmo se passa com o valor máximo de y(t). 8

Comparando os sistemas de primeira com os de segunda ordem, conclui-se que estes últimos têm um comportamento mais complicado porque podem apresentar respostas diferentes em função das soluções da equação característica. Os coeficientes das parcelas de (.) dependem do sistema e são constantes nos sistemas invariantes. Todavia, na prática estes coeficientes dependem das condições de funcionamento (da temperatura, por exemplo) e variam com o uso (desgaste). Desta forma, as raízes da equação característica podem ser significativamente alteradas e, com a mesma entrada, o sistema pode vir a dar respostas de tipo diferente. Quando a equação característica tem raízes complexas diz-se que o sistema tem modos oscilatórios. A frequência das oscilações é igual à parte imaginária das raízes. A parte real introduz amortecimento nas oscilações; se a parte real é negativa o amortecimento é positivo e a resposta tende para um valor estacionário (resposta forçada); se a parte real é positiva, o amortecimento é negativo, a amplitude das oscilações tenderá para infinito e o sistema é instável (a estabilidade será estudada num próximo capítulo, mas apela-se aqui para o senso comum). Para ξ=, existe uma raiz dupla, s =s = - β, e o integral de (.), para a entrada x(t)=e, é βt ( ( βt + e ) E y( t) = ) K 0 (.34) Os sistemas de segunda ordem têm, frequentemente, respostas oscilatórias do tipo representado na Fig..3. Por este motivo, esta resposta é caracterizada, de seguida, com mais pormenor. Com ξ< e fazendo Y E =E/K 0, a resposta y(t) é β t β y( t) = Y + cos( ω + ϕ) E e t (.35) ω Na equação (.35), β é designado por factor de amortecimento. O parâmetro ξ é designado por coeficiente de amortecimento ou factor de amortecimento reduzido. De acordo com a Fig..3, y atinge um máximo Y M quando t=t p. Este valor máximo pode ser determinado derivando (.35) e igualando a zero o resultado. Desta operação resulta tan( ωt + ϕ) = tanϕ (.36) o que é equivalente a ωt+ ϕ = ϕ + nπ, n=,,... (.37) 9

Fig..3: Resposta de um sistema de segunda ordem com ξ<. O primeiro máximo obtém-se para n= e resulta t p =π/ω. Substituindo este resultado em (.35) obtém-se YM = y( tp) = YE( + e βπ ω ) (.38) A sobreelevação é M P =Y M -Y E βπ ω M P = YEe (.39) ou, tomando como unidade o valor final Y E, MP YE = e βπ ω 00 (%) (.40) Tendo em conta (.6), (.39), e (.40), M P e t p podem ser escritos em termos do coeficiente de amortecimentoξ : MP = YE e ξπ ξ (.4) t p = ω0 π ξ (.4) 0

O período das oscilações amortecidas, T, é π T = = t p = ω ω0 π ξ (.43) De (.4) a (.43) podem ser retiradas algumas conclusões:. A sobreelevação aumenta quando ξ diminui.. A frequência das oscilações, /T, aumenta quando ξ diminui. 3. A frequência das oscilações é máxima quando ξ=0 e, nesse caso, é igual a ω 0 /π. 4. Quando β=0 as oscilações não são amortecidas e M P =Y E. 5. A frequência das oscilações amortecidas, ω, é sempre menor do que a frequência das oscilações não amortecidas, ω 0. A resposta da Fig..3 pode, também, ser caracterizada pelos seguintes intervalos de tempo: t a - tempo de atraso: o tempo necessário para que y(t) atinja metade do valor final (y(t a )=Y E /). t c - tempo de crescimento: o tempo necessário para que y(t) atinja o valor final (y(t c )=Y E ). t s - tempo de estabelecimento: o tempo necessário para que y(t) atinja, praticamente, o valor final, isto é, y(t s ) = Y E ± εy E, em que ε representa o erro admitido (% ou 5%, por exemplo). Na prática, t s corresponde à duração do regime transitório. Para se ter uma estimativa da duração do regime transitório, pode-se considerar t=nt p com n=,,3,... ; tendo em conta (.40) resulta e βt = e βt pn M = Y E P n n =,,3,... (.44) A partir de (.44), pode-se calcular n para que a resposta y(t) esteja próximo do valor final Y E com um erro inferior ε: n M P ε n =,,3,... (.45) YE o que é equivalente a logε n n =,,3,... log( M Y ) P E (.46) Note-se que através de (.46) obtém-se uma resposta aproximada; por exemplo, com uma sobreelevação de 5%, o desvio ε=% é atingido ao fim de t p, aproximadamente (n,06).

Estudaram-se os sistemas de primeira e de segunda ordem através da resolução clássica das respectivas equações diferenciais. A solução geral foi obtida considerando a soma da solução livre com a solução forçada. A solução livre compreende os termos exponenciais que tendem para zero quando o tempo tende para infinito e que dão origem ao regime transitório do sistema. Quando o regime transitório se anula, o sistema atinge o regime forçado, ou estacionário, em que a resposta é apenas dominada pela entrada. Nos sistemas de primeira ordem pode-se admitir que se atinge o regime forçado quando t 5τ. Como veremos, os sistemas lineares de ordem superior á segunda podem ser decompostos em subsistemas de ª e/ou de ª ordem. Por este facto eles não são agora estudados. Os sistemas de ordem superior serão analisados nos capítulos seguintes por processos que são mais simples do que a resolução directa das equações diferenciais..4 EXEMPLOS DE SISTEMAS DE ª ORDEM. A seguir, apresentaremos sistemas mecânicos e eléctricos que são exemplos de sistemas de segunda ordem. a) Sistema mecânico de translação Na Fig..4 representa-se um sistema deste tipo, frequentemente designado por sistema de massa-mola-atrito: x é a força que desloca a massa M, F a representa o atrito de escorregamento, K é a constante elástica da mola e y é o deslocamento. De acordo com a lei de Newton, a força aplicada, x, é igual à soma das forças resistentes: a força acelerativa, que é proporcional à aceleração, a força de atrito, que é proporcional à velocidade e a força da mola que é proporcional ao deslocamento. O equilíbrio entre as forças é dado pela equação (.47): d x M y d = + F y a + Ky dt dt (.47) (Por comodidade, no restante texto usam-se letras minúsculas para representar as grandezas que são variáveis do tempo; assim, escreve-se x e y em vez de x(t) e y(t), respectivamente). A equação (.47) é formalmente equivalente a (.) e o estudo do comportamento dinâmico do sistema da Fig..4 pode ser feito a partir de (.) com K 0 =K, K =F a e K =M. O coeficiente de amortecimento é ξ = Fa KM (.48)

e o comportamento dinâmico do sistema (o tipo da resposta y), na zona elástica da mola, é o representado na Fig... Fig..4: Sistema mecânico de translação. b) Sistema mecânico de rotação Os sistemas de rotação são semelhantes aos de translação, considerando o deslocamento angular e os binários em vez do deslocamento linear e das forças, respectivamente. Na Fig..5 representa-se um sistema deste tipo. O binário T é aplicado a um corpo com um coeficiente de inércia J que é sustentado por uma ligação elástica representada pela mola com coeficiente K F a representa o atrito viscoso. O binário aplicado (ou binário motor), T, é igual à soma dos binários resistentes: o binário acelerador, que é proporcional à aceleração, o binário de atrito, que é proporcional à velocidade e o binário resistente que é proporcional ao deslocamento angular θ. Fig..5: Sistema mecânico de rotação. 3

A equação que rege o movimento rotativo é d θ dθ T = J + Fa + Kθ dt dt (.49) A equação (.49) é formalmente equivalente a (.) e o estudo do comportamento do sistema da Fig..5 pode ser feito pelo processo que foi seguido para a equação (.), com y substituído por θ. c) Circuito R, L, C, série Um exemplo de um sistema eléctrico de segunda ordem é o circuito da Fig..6. De acordo com a lei das malhas, a tensão da fonte é igual à soma das tensões em cada um dos componentes. d v dv u = LC + RC + v dt dt i R L (.50) u C v Fig..6: Circuito R, L, C série. A equação (.50) é, também, formalmente equivalente a (.) e o estudo do comportamento do circuito da Fig..6 pode ser feito através do processo que foi descrito para esta equação. A equação característica de (.50) é 0 = LCs + RCs + (.5) R As soluções de (.5) são dadas por (.3) fazendo β= e ω0 =. L LC Se R=0, o circuito da Fig..6 comporta-se como um oscilador com frequência igual ω 0 /π e a tensão no condensador tem a forma da curva da Fig.. com ξ=0. Para uma tensão u contínua, admitindo condições iniciais nulas, isto é, v=0 e i=0, com β<ω 0, a tensão no condensador é dada por (.3), com as necessárias substituições. Os três sistemas anteriores são todos modelados pela mesma equação diferencial de segunda ordem e só mudam os coeficientes de (.) e as grandezas físicas em jogo. Este facto deu 4