MAT457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I 1 a Prova - 1 o semestre de 018 Questão 1. Se a R, é correto afirmar que o sistema linear y + az = a (a x + y + 3z = 0 (a 1y = 1 a é: (a possível e indeterminado a = 1; (b possível e determinado a 0 e a ; (c impossível a 0; (d possível e determinado a = 1; (e impossível a. Solução: Consideramos a matriz ampliada do sistemas e fazemos operações elementares por linha até obter uma matriz escalonada: 0 a a a 1 3 0 a 1 3 0 a 1 3 0 0 a a 0 a a. 0 a 1 0 1 a 0 a 1 0 1 a 0 0 a(1 a (1 a(+a Assim: (1 Se a = 0, então S.I.; ( Se a = 1, então S.P.I.; (3 Se a 0, 1,, então S.P.D. (4 Se a =, então 0 1 3 0 0 1 3 0 0 1 3 0 0 1 3 0 0 0 0 4 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 5 logo S.I.. Questão. Sejam u, v e w três vetores linearmente independentes em V 3. Dado um vetor t em V 3 sabemos que existem constantes a, b, c tais que t = a u + b v + c w. É correto afirmar que os vetores u + t, v + t, w + t são linearmente independentes se e somente se (a a + b + c + 1 0; (b a + b + c 0; (c a + b + c 1; (d abc 0; (e abc 1. Solução: Como u, v e w são três vetores linearmente independentes em V 3, segue que E = { u, v, w} é uma base de V 3. Sabemos que { u + t, v + t, w + t} é L.I. det E ( u + t, v + t, w + t 0 1
onde det E ( u + t, v + t, w + t é o determinante da matriz que tem por linhas as coordenadas, em relação à base E, dos vetores u+ t, v+ t e w+ t respetivamente. Por outro lado, u+ t = (1+a, b, c E, v + t = (a, 1 + b, c E e w + t = (a, b, 1 + c E, logo det E ( u + t, v + t, w + t = det 1 + a b c a 1 + b c a b 1 + c = det 1 + a b c 1 1 0 1 0 1 = a + b + c + 1. Questão 3. Seja ABCD um tetraedro regular de aresta unitária. D C Se X é o ponto médio do segmento AB e α = BC DX, então: (a 1 α < 0; (b α < 1 ; (c 0 < α < 1 ; (d 1 α; (e α = 0. Solução: Temos que ( BC DX = BC A 1 = 1 ( BC DB = 1 ( BC BD X ( DA + DB = 1 ( BC DA + 1 ( BC DB B já que BC e DA são ortogonais = 1 1 BC BD cos(π/3 = 1 1 1 = 1 4. Questão 4. A matriz não possui inversa se, e somente se: (a x = y ou x = y; A = x y 0 0 0 x y 0 0 0 x y y 0 0 x
(b x = y = 0; (c x = y; (d x = y; (e x = 0. Solução: Sabemos que uma matriz quadrada é invertível se, e somente se seu determinante é diferente de 0. Desenvolvendo o determinante da matriz A ao longo da primeira linha obtemos x y 0 0 y 0 det(a = x det 0 x y y det 0 x y = x 4 y 4 = (x y(x + y(x + y. 0 0 x y 0 x Questão 5. Sejam A = a b c 3 0 5 1 1 1 e B = a 1 3 3b 3 0 a + c 8 Se det(a = 1, então det(a + det(aa t + det((a t 1 + det(b é igual a (a 7; (b 1; (c 5; (d 9; (e 3; Solução: Sabemos que det(a = det(a = 1 = 1, det(aa t = 3 det(aa t = 8 det(a det(a t = 8 det(a = 8, det((a t 1 = det(a t 1 = det(a 1 = 1 e finalmente fazendo operações elementares por linha em B segue que det(b = 3 det a 1 3 b 1 0 c 1 5 = 3 det a 1 3 b 1 0 c 1 5 t = 3 det. a b c 1 1 1 3 0 5 Portanto, det(a + det(aa t + det((a t 1 + det(b = 1 + 8 + 1 3 = 7. = 3 det(a = 3. Questão 6. Sejam E base ortonormal, u = (,, E e v = (1, 0, 1 E. Se w é um vetor unitário que forma um ângulo de 30 0 com u e 45 0 com v, então sua segunda coordenada é (a igual a 1 ; (b igual a 1 ; (c igual a 1; (d igual a 1; (e maior do que 1. Solução: Seja w = (x, y, z E. Usando que w é um vetor unitário que forma um ângulo de 30 0 com u, seque que seu produto escalar w u = (x + y + z é igual a w u cos(30 0 = 1 3 3 = 3 logo x + y + z = 3. (1 3
Por outro lado, sabemos que w forma um ângulo de 45 0 com v, logo seu produto escalar w v = x+z é igual a w v cos(45 0 = 1 1 = 1 logo A subtração da equação (1 com a equação ( implica y = 1/. x + z = 1. ( Questão 7. Seja a um número real positivo tal que u + a v e u a v são ortogonais para todo par de vetores u e v tal que u = 5 e v = 3. Então (a 1 a < ; (b a < 3; (c 0 < a < 1 ; (d 1 a < 1; (e 3 a. Solução: Por hipoteses, temos que 0 = ( u+a v ( u a v = u u a v v = u a v = 5 a 9. Portanto, a = 5/9 = 5/3. Questão 8. Dado um tetraedro de vértices A, B, C e O, considerar o ponto X no segmento BC, tal que BX = 3 XC e seja M o ponto médio do segmento AB. O C X A Se AX = α OM + β OB + γ OC sendo α, β e γ escalares, então β + γ é igual a: (a ; (b 1; (c 0; (d 3; (e 4. M Solução: Primeiro observamos que BX = 3 XC = 3( BC BX = 3BC 3BX e isolando BX seque que BX = (3/5 BC. Usamos agora as propriedades das operações com vetores e obtemos AX = AB + BX = MB + BX = MB + 3 BC = ( 3 OB OM + BC 5 5 = ( 3 ( OB OM + OC OB = OM + 7 OB + 3 OC. 5 5 5 B 4
Questão 9. Considere as seguintes afirmações para A, B M n (R: (I Se det(ab 1 = 1, então A = B; (II det(a + B é necessariamente igual a det(a + det(b; (III Se A t = A, então A pode ser invertível. Assinale a alternativa correta. (a Só (III é verdadeira; (b As três são verdadeiras; (c Só (I e (II são verdadeiras; (d Só (I e (III são verdadeiras; (e Só (II e (III são verdadeiras. Solução: (I Falso. Exemplo A = [ 1 0 0 1 ] e B = [ 1 0 0 1 ]. (II Falso. Seja A = I e B = I. Temos que det(a + B = det 0 = 0 e det(a = det(b = 1. (III Verdadeira. Seja A = [ 0 1 1 0 ]. Segue que At = A e A é invertível. Questão 10. Considere em E 3 um cubo de aresta unitária cujos vértices são A, B, C, D, E, F, G e H. Seja M o ponto médio de EH e considere a base B = { AB, AD, AE}. Nestas condições, a soma das coordenadas de MC na base B é H M E F G D C A B (a 1/; (b 1/; (c 1; (d 3/; (e 3/. Solução: Temos que MC = MH + HG + GC = 1 EH + HG + GC = 1 AD + AB AE = AB + 1 AD AE. Portanto, MC = (1, 1/, 1 B. Questão 11. Considere em E 3 um cubo de aresta unitária cujos vértices são A, B, C, D, E, F, G e H da figura abaixo. Seja M o ponto médio de BC. Considere a base B = { e 1, e, e 3 }, onde e 1 = DA, e = DC e e3 = DH. Sejam f = DF e h = GM. Nestas condições, a soma das coordenadas de proj f ( h na base B é 5
H G E F A D C M B (a 1/; (b 1; (c ; (d 1/; (e 1/3. Solução: Observamos que f = DF = DA + AB + BF = e1 + e + e 3 e 1 h = GM = GC + CM = CG + CB = e 3 + 1 e 1. Assim, as coordenadas de f e h em relação à base ortonormal B são f = (1, 1, 1 B, h = (1/, 0, 1B. Portanto, f = 3, e h = 5/. Agora ( ( ( f proj f ( h 1 (1/ + 1 0 + 1 ( 1 1 ( h = f f = f = f = 1 3 6 6, 1 6, 1. 6 B Questão 1. Em V 3 considere os vetores v 1 = (1, 1, k, v = (1, k, 1, v 3 = (k, 1, 1 e w = (1, 1,, relativamente a uma base B = { e 1, e, e 3 }, com k R. Nestas condições, para quais valores de k, a família de vetores { v 1, v, v 3 } é L.D. e ainda o vetor w é gerado por v 1, v e v 3? (a 3 < k < 0; (b 1 < k < 3; (c 5 < k < 3; (d 5 < k < 7; (e 3 < k < 7. Solução: Temos que { v 1, v, v 3 } é L.D. det B ( v 1, v, v 3 = 0 det k = 1 ou k =. [ 1 1 k ] 1 k 1 = 0 (k 1 (k + = 0 k 1 1 6
Por outro lado, w é combinação linear de v 1, v e v 3 se a equação vetorial x v 1 + y v + z v 3 = w possui soluções. Igualando coordenada a coordenada, esta equação vetorial é equivalente ao seguinte sistemas de equações lineares x + y + kz = 1 x + ky + z = 1 kx + y + z = Fazemos operações elementares por linha para determinar os valores de k tal que o sistema é possível: 1 1 k 1 1 1 k 1 1 1 k 1 1 k 1 1 0 k 1 1 k 0 0 k 1 1 k 0. k 1 1 0 1 k 1 k k 0 0 (1 k( + k ( + k Portanto, o sistema é possível se e somente se k 1. Solução: k =. ] Questão 13. Seja A = M 3 (R. A soma dos elementos da diagonal principal de A 1 é: (a ; (b 1; (c 1; (d 0; (e. [ 1 0 0 1 1 1 1 0 Solução: Na matriz [A I 3 ] M 3 6 (R fazemos operações elementares por linha até transformar A na matriz I 3. Essas operações elementares transformam I 3 na inversa de A. 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 Portanto, A 1 = 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 [ 1 ] 1 1 e a soma de seus elementos da diagonal principal é ( 1 + + 1 =. 1 1 1 Questão 14. O sistema linear nas variáveis x, y e z x + y = a 3x 7y = b x + y = x + 3y = c que depende dos parâmetros a, b e c é compatível se, e somente se: (a a = c+1 e b = c 1; (b a = c 1 e b = c 1; (c a = c 1 e b = c + 1; 7
(d a = c 1 e b = c + ; (e a = c+1 e b = c 1. Solução: Para determinar quando é compatível fazemos operações elementares por linha na matriz ampliada do sistema até transformar a matriz numa matriz escalonada. 1 0 a 3 7 0 b 0 1 3 0 c 1 0 a 0 1 0 b + 3a 0 0 a 0 1 0 c a Assim, o sistema linear será compatível se, e somente se { a + b + c = 0 4a + c + = 0 isto é, quando a = (c + 1/ e b = c a = c (c + 1 = c 1. Questão 15. Considere a matriz A = 1 1 1 1 0 1 3 1 1 4 1 1 1 5 M 4(R. e seja A t a sua transposta. Então det(aa t det(3a é igual a (a 70; (b 18; (c 7; (d 0; (e 18. 1 0 a 0 1 0 c a 0 0 0 a + b + c 0 0 0 4a + c + Solução: Calculemos primeiro o determinante de A usando operações elementares por linha 1 1 1 1 1 1 [ ] det 1 0 1 3 1 1 4 = det 0 1 5 1 0 3 = 3 det = 3. 3 1 1 1 5 0 0 0 3 Agora det(aa t det(3a = det(a det(a t 3 4 det(a = det(a 3 4 det(a = 9(1 81 = 9 ( 80 = 70. Questão 16. Seja E = { v 1, v, v 3, v 4 } vetores de V 3 contendo uma base. Considere as seguintes afirmações: (I Existe ao menos um subconjunto de E, formado por 3 vetores, que é L.I.; (II Qualquer subconjunto de E, formado por vetores, é L.I.; (III Pode existir um subconjunto de E, formado por 3 vetores, que não gera V 3. Nestas condições podemos afirmar. (a Só (I e (III são verdadeiras. 8.
(b Só (I é verdadeira. (c Só (II é verdadeira. (d Só (II e (III são verdadeiras. (e Só (III é verdadeira. Solução: (I Verdadeira. E contem uma base, e essa base é um subconjunto de E L.I.. (II Falsa. Suponha { v 1, v, v 3 } base de V 3 e v 4 = v 3. Então { v 3, v 4 } é L.D. (III Verdadeira. No exemplo anterior, o subconjunto { v 1, v 3, v 4 }. 9