)(UFF-0) Povos diferentes com escrita e símbolos diferentes podem descobrir um mesmo resultado matemático. Por exemplo, a figura ao lado ilustra o riângulo de Yang Yui, publicado na China em 303, que é equivalente ao riângulo de Pascal, proposto por Blaise Pascal 3 anos depois. Na expressão algébrica 00 00 99 00 n (x + ) = a0 + a x + a x +... + a99 x + a00 x = an x n= 0 o coeficiente a de x é igual a: (A) (B) 00 (C) 490 (X) (D) 9900 (E) 00 Vamos determinar o valor de p na fórmula p+ 00 = x p 00 p p p+ n n p = a b p p para que se tenha um termo em x : Devemos ter o expoente de x igual a, isto é, 00 p = p = 98. Retornando à fórmula acima e substituindo o valor de p encontraremos : 00 98+ = x 98 00! 99 = x 98!! 0 00 99 98! 99 = x 98! 99 = 490x 00 98 98 Portanto o coeficiente do termo é 490.
) (UNIRIO) O fichário da clínica médica de um hospital possui 0 000 clientes cadastrados em fichas numeradas de a 0 000. Um médico pesquisador, desejoso de saber a incidência de hipertensão arterial entre pessoas que procuravam o setor, fez um levantamento, analisando as fichas que tinham números múltiplos de. Quantas fichas NÃO foram analisadas? (A) 666 (B) 00 (C) 666 (D) 8334 (E) 9334 (X) Os números das fichas analisadas constituem uma PA, veja: (, 30, 4,..., a n ) A quantidade de termos da PA representa o total de fichas analisadas. Vamos determinar o maior múltiplo de que é menor ou igual a 0.000, assim: 0.000 :, deixa resto 0, portanto 0.000 0 = 9990 é o número procurado, ou seja, a = 9990. Vamos então determinar o valor de n: n ( ) ( ) a = a + n r 9990 = + n 9990 = + n n = 666 Logo concluímos que NÃO foram analisadas 0.000 666 = 9334 fichas. n
3) (UFF) No dia 6 de junho de 000, um terremoto atingiu a cidade de Ankara, na urquia, com registro de,9 graus na escala Richter e outro terremoto atingiu o oeste do Japão, com registro,8 graus na escala Richter. Considere que m e m medem a energia liberada sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre por terremotos com registros, na escala Richter, r e r, respectivamente. Sabe-se que estes valores estão relacionados m pela fórmula r r = log0. Considerando-se que r seja o registro do terremoto da urquia e o registro do m r m terremoto do Japão, pode-se afirmar que é igual a: m (A) 0 (B) 0, 0 (C) ( 0,) 0 (D) 0 0, (E) 0, (X) m Basta substituirmos os valores de r =,9 e r =,8 na equação r r = log0 m Assim,9,8 log = 0 m 0, log m = 0 m m Aplicando a definição de logaritmos encontraremos o quociente desejado m 0 0, m =
4)(Fuvest) Numa progressão geométrica de quatro termos positivos, a soma dos dois primeiros vale e a soma dos dois últimos vale 9. Calcule a razão da progressão: (A) 3 (X) (B) 8 (C) 7 (D) 9 (E) a+ a = Basta resolvermos o sistema, escrevendo todos os termos em função do primeiro e da razão a3+ a4 = 9 da PG, e depois fatorar as equações para dividi-las (caminho mais prático), veja: a+ a = a+ a q = 3 a3+ a4 = 9 a q + a q = 9 a (+ q) = a q (+ q) = 9 = q = 9 q =± 3 q 9 Como os termos são positivos devemos ter q = 3. )(UECE) O termo médio do desenvolvimento de x 3 + 3 x 0 é igual a: (A) 8 (B) 4 (C) 6 (D) (X) (E) 60 A posição do termo médio ( ou termo central) é dado por n +, onde n é o expoente do binômio. Portanto o sexto termo será o termo médio, veja : 0 6 + =. Vamos aplicar a fórmula do termo geral para determinarmos o termo desejado.. p+ n n p = a b p p Para tanto devemos ter p+ = 6 p=,
Assim 6 0 n n p p 0 x 3 p+ = a b 6= p 3 x 0! x =!! 3 3 x 4 0 9 8 7 6! 6 = 0! 6 = 6) (UNIRIO) Um médico, após estudar o crescimento das crianças de uma determinada cidade, com idades que 0,7 h = log 0 i, onde h é a altura( em metros) e i é a idade(em anos). variam de a anos, obteve a fórmula ( ) Pela fórmula, uma criança de 0 anos desta cidade terá de altura: (A) 0 cm (X) (B) 3 cm (C) cm (D) 8 cm (E) 30 cm Basta aplicarmos o valor i 0 na expressão ( ) ( ) ( ) 0,7 = h log ( 0 i ) =. Portanto m 0,7 0,7 n m n h = log 0 i h = log 0 0, usando a propriedade a = a teremos 0,7 0, m n m+ n h = log 0 0, usando a propriedade a a = a teremos, n a h = log0, usando a propriedade log a = n teremos h =, m = 0cm
7)(UNIRIO-08) A figura abaixo foi publicada em jornal de grande circulação, terça-feira, de setembro. rata da previsão da altura das ondas no Rio de Janeiro para os três próximos dias, que representa uma progressão aritmética decrescente. Analisando esta figura, um surfista ficou imaginando a possibilidade de ocorrência de ondas gigantescas. Se isso fosse possível, considerando esta mesma progressão, qual teria sido a altura das ondas no dia 0 de setembro do mesmo ano?,m,0m,m (A) 6, m (B) 6,0 m (C), m (D),0 m (E) 4, m (X) a, a, a,..., a, onde é o valor O problema consiste em se determinar o primeiro termo da PA ( ) 3 desejado e a é o valor de hoje, ou seja, ondas com,m de altura. Assim, sendo a = a + 4r e r =,= 0,, então, = a + 4 ( 0,), = a a = 4,metros a