Alguns tópicos em L espaços topológicos: compacidade local, espaços de Hurewicz e propriedade ω

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA APLICADA Alguns tópicos em L espaços topológicos: compacidade local, espaços de Hurewicz e propriedade ω Tomas Keller Breuckmann CURITIBA - PR 2004

Alguns tópicos em L espaços topológicos: compacidade local, espaços de Hurewicz e propriedade ω Tomas Keller Breuckmann Orientação: Prof a Soraya R. T. Kudri Dissertação apresentada como requisito parcial à obtenção do grau de Mestre em Matemática Aplicada, Curso de Pós-graduação em Matemática Aplicada, Setor de Ciências Exatas, Universidade Federal do Paraná. UFPR - CURITIBA 2004 i

Termo de Aprovação Dissertação aprovada como requisito parcial à obtenção do grau de Mestre em Matemática Aplicada no Curso de Pós-graduação em Matemática Aplicada da Universidade Federal do Paraná. Profa. Soraya Rosana Torres Kudri (Orientadora) Departamento de Matemática - UFPR Prof. Marko Antonio Rojas Medar Departamento de Matemática - UNICAMP Prof. José carlos Cifuentes Vasques Departamento de Matemática - UFPR Prof. Marcelo Muniz Silva Alves Departamento de Matemática - UFPR Curitiba 18 de fevereiro de 2004 ii

Dedicado a todos os cubos, esferas e outros seres que vivem além de Flatland. iii

Agradecimento Meus sinceros agradecimentos a professora Soraya. iv

Sumário Lista de Símbolos Lista de Figuras Resumo vi vii ix Abstract 1 1 Introdução 2 2 Teoria Básica 7 2.1 Topologia Geral.............................. 7 2.2 Reticulados................................ 9 2.3 L-Conjuntos e L-Pontos......................... 11 2.4 L-Topologias................................ 14 3 Compacidade Local 30 3.1 Compacidade local............................ 31 3.2 Propriedades............................... 33 4 Teorema da L-Caixa 46 4.1 Teorema da L-caixa............................ 46 5 Propriedades de Recobrimento: Hurewicz e ω 52 5.1 Espaços de Hurewicz........................... 54 5.2 Propriedade ω.............................. 60 5.3 Teorema Principal............................ 62 Bibliografia 64 v

Lista de Símbolos N o conjunto dos números naturais. o conjunto vazio., relação de ordem parcial e sua negação., supremo e ínfimo respectivamente. involução com reversão de ordem. X, δ X, T X, T D um espaço topológico. um espaço L-topológico. um subespaço de um espaço L-topológico. A o fecho do conjunto A ou de um L-conjunto A. A c o complementar do conjunto A. χ A a função característica de A. x A, x / A x pertence a A e sua negação. {x X ; P (x)} o conjunto dos elementos x em X com a propriedade P. A < B A é um subconjunto finito de B. A B A está contido em B. {A j } j J uma família indexada de conjuntos, quando J = N é uma sequência. j J A j a união da família {A j } j J. f : X Y uma função de X em Y. vi

j J A j o produto da família {A j } j J. j J A j a soma da família {A j } j J. f(a), f 1 (A) a imagem direta e inversa do conjunto A ou de um L-conjunto A. f A a restrição de f à A., quantificadores para todo e existe pr(l) elementos primos do reticulado L. π j a j-ésima projeção. 0, 1 menor e maior elementos de um reticulado L. L X o conjunto dos L-conjuntos de X. x p um L-ponto. supp(f) o suporte de f. j J f j a união da família de L-conjuntos {f j } j J. j J f j a interseção da família de L-conjuntos {f j } j J. ω(δ) o espaço L-topológico de todas as funções contínuas de um espaço topológico X, δ em um reticulado fuzzy L com topologia Scott. vii

Lista de Figuras 1.1 Função característica de A........................ 2 1.2 Conjunto fuzzy.............................. 3 1.3 L-conjunto................................. 4 1.4 L-conjunto................................. 5 3.1 L-conjunto muito compacto....................... 44 3.2 Compacidade local............................ 44 3.3 Compacidade local fraca......................... 45 3.4 Compacidade local relativa........................ 45 4.1 Teorema 4.1................................ 51 5.1 Princípio de seleção............................ 65 5.2 Espaços de Hurewicz e propriedade ω................. 66 viii

Resumo Em um L espaço topológico propomos boas definições de compacidade local, compacidade local fraca e compacidade local relativa. Como resultados obtemos a invariância por funções abertas contínuas e sobrejetoras, a equivalência em espaços de Hausdorff, a regularidade em espaços de Hausdorff, teoremas de compatificação por um ponto e dois teoremas sobre a compacidade local e compacidade local fraca para o L-espaço produto. Propomos também boas definições para espaços de Hurewicz e a propriedade ω em L espaços topológicos. Alguns resultados sobre espaços de Hurewicz são obtidos, onde o principal teorema estabelece por meio da propriedade ω condições necessárias e suficientes para um espaço ser Hurewicz. Para isso foi necessário generalizar para um L espaço topológico um resultado simples sobre produto finito de compactos, que chamamos de Teorema da L-Caixa. Palavras-chave: L espaços topológicos, compacidade local, espaços de Hurewicz, propriedade ω. ix

Abstract In an L-topological space we propose good definitions for local compactness, weak local compactness and relative local compactness. As results we obtain the invariance under continuous open surjections, the equivalence in Hausdorff spaces, the regularity in Hausdorff spaces, one point compactification theorems and two theorems about local compacness and weak local compactness for L-product spaces. We also propose good definitions for Hurewicz spaces and the ω property in L- topological spaces. Some results about Hurewicz spaces are obtained, where the main theorem gives necessaries and sufficient conditions for a space to be Hurewicz by means of the ω property. For this result was necessary the generalization, for an L-topological space, of a result about the product of finite compacts spaces which we call here the L-Box Theorem. Keywords: L-topological space, local compactness, Hurewicz spaces, ω property. 1

Capítulo 1 Introdução A teoria de conjuntos fuzzy teve origem com Zadeh [26] em 1965. Tal trabalho causou grande interesse entre matemáticos e profissionais das mais diversas áreas, o que resultou em um novo campo da matemática chamado Matemática Fuzzy. Dado um conjunto X, podemos ver um subconjunto A X como uma função característica χ A, figura 1.1, definida por: { 1 se x A χ A (x) = 0 se x / A As operações, e c, e a relação entre conjuntos podem ser traduzidas para funções características da seguinte forma: A B χ A B = χ A χ B. A B χ A B = χ A χ B. A c χ A c = 1 χ A. Figura 1.1: Função característica de A 2

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 3 A B χ A χ B. onde e denotam as operações de supremo e ínfimo respectivamente. A idéia apresentada por Zadeh, foi de generalizar as funções características permitindo que asumissem valores no intervalo [0, 1]. Deste modo, um subconjunto de X passa a ser uma função característica generalizada µ : X [0, 1], chamados de conjuntos fuzzy, figura 1.2. Figura 1.2: Conjunto fuzzy As operações, e c, e a relação entre conjuntos se generalizam para conjuntos fuzzy do mesmo modo que para funções características. Em 1967, Goguen [6] generalizou ainda mais a noção de conjunto fuzzy, permitindo que as funções características asumissem valores em um reticulado L com elemento minimo 0 = L e maximo 1 = L. Deste modo, os subconjuntos de X passam a ser funções f : X L, chamados de L-conjuntos, ou conjuntos L-fuzzy, figura 1.3. O conjunto de todos os L-conjuntos de X é denotado por L X. Em L-conjuntos podemos definir a união de f e g como sendo o L-conjunto f g, onde (f g)(x) = f(x) g(x). Definição análoga para a interseção de f e g utilizando. Dizemos que f está contido em g se e somente se f g, ou seja, f(x) g(x) para todo x X. A definição do complementar de um conjunto para um L-conjunto não pode ser generalizada da forma anterior, pois em um reticulado não temos obrigatoriamente

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 4 uma operação de soma que nos permita fazer 1 f(x). O complementar de um L-conjunto f é um L-conjunto f c definido por f c (x) = f(x) onde : L L é uma função que satisfaz as seguintes propriedades: e b b e, e, (e ) = e. Note que com esta defininição temos as mesmas propriedades de conjuntos para o complementar, isto é, f g g c f c e (f c ) c = f. Como notação escrevemos f para o complementar de f e não f c. Um elemento p 1 em L é primo se e somente se e b p e p ou b p. O conjunto e todos os elementos primos de L será denotado por pr(l). A definição de ponto fuzzy, ou L-ponto, que utilizaremos neste trabalho foi proposta em [21] por Warner. Um L-ponto de X, figura 1.4, é um L-conjunto x p : X L definido por: { p se y = x x p (y) = 1 se y x onde x X e p pr(l). Dizemos que o L-ponto x p pertence ao L-conjunto f, e escrevemos x p f, se e somente se f(x) p, figura 1.4. Interessante notar que em L-conjuntos não temos necessariamente a equivalência x p f x p / f que existe em conjuntos, pois f(x) p e f(x) p podem não ser equivalentes. A primeira definição de espaços topologicos fuzzy foi proposta por Chang em [2]. Um espaço topológico fuzzy é um conjunto X com uma topologia usual de conjuntos Figura 1.3: L-conjunto

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 5 fuzzy, isto é: e X são abertos, união arbitraria de abertos é aberto, e interseção finita de abertos é aberto. Atualmente estes espaços topológicos fuzzy são ditos espaços L-topológicos ou L espaços topológico. O primeiro capítulo é dedicado a definições e propriedades básicas de reticulados, L-conjuntos e L-pontos, e de espaços L-topológicos. No segundo capítulo apresentamos boas definições (definição 2.27) para as propriedades de compacidade local, compacidade local fraca e compacidade local relativa em um espaço L-topológico. Como resultados obtemos a invariância destas propriedades por funções sobrejetoras contínuas e abertas, a equivalência em espaços de Hausdorff, a regularidade em espaços de Hausdorff, teoremas de compactificação por um ponto e teoremas sobre a compacidade local do L-espaço produto. Em topologia geral, temos um resultado simples sobre compacidade que diz que dado A, um subconjunto compacto de X, e um aberto W em X n tal que A n W, existe um aberto V tal que A V e V n W. No terceiro capítulo apresentamos uma versão deste resultado para um L espaço topológico, o teorema da L-caixa. Duas propriedades de recobrimento existentes na topologia geral são a propriedade de Hurewicz e a propriedade ω (selectively ω-grouping property). A propriedade de Hurewicz foi introduzida por Hurewicz em [8] e trata de sequências de coberturas abertas. A propriedade ω foi introduzida por Scheepers em [18] e trata Figura 1.4: L-conjunto

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 6 de sequências de ω coberturas. No quarto capítulo, trabalharemos com duas propriedades de recobrimento em um L-espaço topológico: propriedade ω e propriedade de Hurewicz. Apresentamos boas definições para estas propriedades e obtemos um teorema garantindo condições necessárias e suficientes para que um espaço seja Hurewicz através da propriedade ω (selectively ω -grouping property). Em todos os capítulos os resultados e definições sem atribuição de autoria são nossa contribuição.

Capítulo 2 Teoria Básica Este capítulo consiste de definições e resultados necessários no desenvolvimento deste trabalho. Dividimos este capítulo em quatro seções. A primeira seção é dedicada a espaços topológicos. As definições e resultados apresentados podem ser encontrados em qualquer bom livro de topologia geral, como [3] e [15], e nos artigos [8] e [18]. A segunda seção é sobre reticulados. Importante aqui é a definição de reticulado fuzzy e um teorema sobre topologia Scott. Na terceira seção introduzimos as definições e propriedades de L-conjuntos e L- pontos, que são casos particulares de L-conjuntos. Em muitos trabalhos, L-conjuntos são chamados de conjuntos L-fuzzy, que tem o mesmo significado. Na última seção introduzimos espaços L-topológicos. Em trabalhos mais antigos, um espaço L-topológico era chamado espaço topológico fuzzy. Atualmente, a definição de Chang [2] corresponde a espaços L-topológicos e a definição de Sostak [19] corresponde a espaço topológico fuzzy. Algumas demonstrações simples serão incluidas em detalhes para tornar o leitor familiarizado com alguns conceitos em L-topologias. 2.1 Topologia Geral Nesta seção X e Y são considerados conjuntos não vazios. 7

CAPÍTULO 2. TEORIA BÁSICA 8 Teorema 2.1 [15, Munkres] Sejam X, δ um espaço topológico e A um compacto em X. Considere X n com a topologia produto. Se W é um aberto em X n tal que A n W então existe V δ tal que A V e A n V n W. Em topologia geral existem três modos de se definir compacidade local, as quais chamaremos aqui de compacidade local, compacidade local fraca e compacidade local relativa. Definição 2.1 [3, Dugundji] Um espaço topológico X, δ é localmente compacto se e somente se para cada x X e V δ tal que x V existem K compacto e U δ tais que x U e U K V. Definição 2.2 [3, Dugundji] Um espaço topológico X, δ é fracamente localmente compacto se e somente se para cada x X existem K compacto e U δ tais que x U e U K. Definição 2.3 [3, Dugundji] Um espaço topológico X, δ é relativamente localmente compacto se e somente se para cada x X existe U δ com U compacto tal que x U. Teorema 2.2 [3, Dugundji] Em espaços de Hausdorff as definições anteriores sobre compacidade local são equivalentes. As definições a seguir falam a respeito das propriedades de Hurewicz e propriedade ω (selectively ω-grouping). A primeira foi introduzida por Hurewicz em [8] e trata de sequências de coberturas abertas, a segunda foi introduzida mais recentemente por Scheepers em [18] e trata de sequências de ω coberturas. Usamos a notação A < B como abreviação para A é um subconjunto finito de B. Definição 2.4 [8, Hurewicz] Um espaço topologico X, δ é Hurewicz se e somente se para cada sequência {U n } n N {V n } n N tal que: de coberturas abertas de X, existe uma sequência

CAPÍTULO 2. TEORIA BÁSICA 9 (i) Cada V n < U n. (ii) x X, n 0 N; n > n 0 ( V V n, x V ). Definição 2.5 [18, Scheepers] Uma ω cobertura aberta de X, δ é uma família de abertos U com X / U tal que para cada F < X existe V U com F V Definição 2.6 [18, Scheepers] Um espaço topologico X, δ tem a propriedade ω se e somente se para cada sequência {U n } n N {V n } n N tal que: de ω coberturas de X existe uma sequência (i) Cada V n é um subconjunto finito de U n. (ii) Para cada subconjunto finito F de X, existe n 0 N tal que: n > n 0 V V n, F V Definição 2.7 Uma ω cobertura em X é uma família de abertos U tal que para cada subconjunto finito F de X, existe V U com F V Definição 2.8 Um espaço topológico X, δ tem a propriedade ω se e somente se para cada sequência {U n } n N de ω coberturas de X existe uma sequência {V n } n N tal que: (i) Cada V n é um subconjunto finito de U n. (ii) Para cada subconjunto finito F de X, existe n 0 N tal que: n > n 0 V V n, F V 2.2 Reticulados Definição 2.9 [1, Birkhoff] Um reticulado L = L,,, é um conjunto não vazio, com uma ordem parcial, tal que cada subconjunto finito tem supremo e ínfimo, denotados respectivamente por sup e inf, ou e.

CAPÍTULO 2. TEORIA BÁSICA 10 Definição 2.10 [1, Birkhoff] Um reticulado L = L,,, é completo se e somente se cada subconjunto tem supremo e ínfimo. Denotamos 0 = L e 1 = L. Observe que 0 = e 1 =. De fato, 0 é uma cota superior para, isto é, 0 x para cada x, pois caso contrario existiria x com 0 x. Sendo uma cota superior, 0, logo, 0 =. Analogamente se mostra que 1 =. Definição 2.11 [5, Gierz et al.] Um reticulado completo L = L,,, é completamente distributivo se e somente se satisfaz: i I ( j Ji e i,j ) = f K ( i I ) e i,f(i) onde para cada i I e j J i, e i,j L; e K é o conjunto das funções f : I i I J i tais que para cada i I, f(i) J i. Definição 2.12 [1, Birkhoff] Uma involução com reversão de ordem em um reticulado L é uma função : L L, f(e) = e, tal que: (i) e b b e. (ii) (e ) = e. Definição 2.13 [7, Hutton] Um reticulado fuzzy L = L,,,, é um reticulado completo, completamente distributivo com uma involução com reversão de ordem onde 0 = L e 1 = L. Note que a involução com reversão de ordem : L L é uma bijeção pois a = b a = (a ) = (b ) = b e b = a para cada b L onde a = b L. Com isso temos que 1 = 0 e 0 = 1. De fato, 0 = a para algum a L, como 1 a temos que 1 a = 0, logo 1 = 0 pois 0 = L. Analogamente temos 0 = 1. Para o que segue nesta seção, L será um reticulado fuzzy. Definição 2.14 [5, Gierz at al.] Dizemos que p L:

CAPÍTULO 2. TEORIA BÁSICA 11 (i) é primo se e somente se p 1 e e, b L, e b p e p ou b p. Definimos pr(l) = {p L ; p é primo} (ii) é coprimo se e somente se p 0 e e, b L, e b p e p ou b p. Definição 2.15 [1, Birkhoff] Um conjunto D com uma ordem parcial tal que: a, b D, k D; k a e k b, é dito conjunto direto. Definição 2.16 [5, Gierz at al.] A topologia Scott T em L é definida como segue. U T se e somente se: 1. a U, b L; a b b U 2. Para cada D subconjunto direto de L com D U temos D U. Teorema 2.3 [22, Warner e McLean] A topologia Scott em L é gerada pelos conjuntos {A p } p pr(l), onde A p = {x L ; x p}. 2.3 L-Conjuntos e L-Pontos Nesta seção X é um conjunto não vazio e L é um reticulado fuzzy com a topologia Scott. Definição 2.17 [6, Goguen] Um L-conjunto f em X é uma função f : X L. O conjunto de todos os L-conjuntos em X será denotado por L X. Podemos definir em L X uma ordem parcial, operações de sup e inf, e uma involução com reversão de ordem que fazem com que L X seja um reticulado fuzzy. São elas [6, Goguen]: (i) f g se e somente se f(x) g(x) para todo x X. Dizemos neste caso que f esta contido em g. (ii) ( j J f j ) (x) = j J f j (x) para cada x X e família {f j } j J em L X. Dizemos que ( j J f j ) é a união dos L-conjuntos f j.

CAPÍTULO 2. TEORIA BÁSICA 12 (iii) ( j J f j ) (x) = j J f j (x) para cada x X e família {f j } j J em L X. Dizemos que ( j J f j ) é a interseção dos L-conjuntos f j. (iv) f (x) = (f(x)) para f L X. Dizemos que f é o complementar de f. Definição 2.18 [24, Weiss] Seja f um L-conjunto em X. O suporte de f é o conjunto supp(f) = {x X; f(x) > 0}. Em [21], Warner determinou os elementos primos de L X, pr(l X ) = { x p L X ; x X, p prl } onde cada x p : X L é o L-conjunto definido por { p, y = x x p (y) = 1, y x Definição 2.19 [21, Warner] Os elementos de pr(l X ) são chamados L-pontos de X. Dizemos que o L-ponto x p pertence ao L-conjunto f em X, escrevemos x p f, se e somente se f(x) p. Observe que em L-conjuntos não temos necessariamente a equivalência x p f x p / f que existe em conjuntos, x A x / A c, pois f(x) p e f(x) p podem não ser equivalentes. Isso nos da uma certa liberdade de escolha em definições e teoremas. O modo como faremos a escolha entre x p f e x p / f será semelhante ao feito por Kudri em [9, 10, 11, 12] que se mostrou satisfatória na obtenção de alguns resultados. Definição 2.20 [2, Chang] Sejam f : X Y uma função, g L X e h L Y L-conjuntos em X e Y respectivamente. Definimos: (i) A imagem direta de g por f é o L-conjunto f(g) em Y definido por f(g)(y) = {g(x) L ; x f 1 (y)} para cada y Y. (ii) A imagem inversa de h por f é o L-conjunto f 1 (h) em X definido por f 1 (h)(x) = h (f(x)) para cada x X.

CAPÍTULO 2. TEORIA BÁSICA 13 Proposição 2.1 [2, 14, 17] Sejam f : X Y uma função, {g j } j J uma família de L-conjuntos em X e {h j } j K uma família de L-conjuntos em Y. Temos: (i) f 1 (h j) = (f 1 (h j )) (ii) h j h i f 1 (h j ) f 1 (h i ) (iii) f 1 ( j K h j ) = j K f 1 (h j ) (iv) f 1 ( j K h j ) = j K f 1 (h j ) (v) f(g j) (f(g j )) se f é injetiva. (vi) (f(g j )) f(g j) se f é sobrejetiva. (vii) g j g i f(g j ) f(g i ) (viii) f( j K g j ) = j K f(g j ) (ix) f( j K g j ) j K f(g j ) (x) f(f 1 (h j )) h j. Se f é sobrejetora então vale a igualdade. (xi) g j f 1 (f(g j )). Se f é injetora então vale a igualdade. Proposição 2.2 [14, Malghan e Benchalli] Sejam f : X Y uma função, {g j } j J uma família de L-conjuntos em X e h um L-conjunto em Y. Temos: (i) g j g i supp(g j ) supp(g i ) (ii) supp( j J g j ) = j J supp(g j )) (iii) supp( n j=1g j ) = n j=1g j (iv) f(supp(g j )) = supp(f(g j )) (v) f 1 (supp(h)) = supp(f 1 (h))

CAPÍTULO 2. TEORIA BÁSICA 14 2.4 L-Topologias Nesta seção X, Y e X j são conjuntos não vazios, e L é um reticulado fuzzy com a topologia Scott. Definição 2.21 [2, Chang] O par X, T é um espaço L-topológico, se e somente se T é uma L-topologia em X, isto é, T L X é tal que: (i) T, X T, onde e X são os L conjuntos definidos por (x) = 0 e X(x) = 1 para cada x X. (ii) Para toda família {f j } j J em T, j J f j T. (iii) Para toda família {f j } k j=1 em T, k j=1f j T Os elementos de T acima são chamados de L-conjuntos abertos, ou L-abertos. Dizemos que f é um L-conjunto fechado, ou um L-fechado, se e somente se f T. Definição 2.22 [16, Pu e Liu] Seja X, T um espaço L-topológico. Seja f L X. O interior de f, int(f), e o fecho de f, cl(f) = f, são definidos por: int(f) = {g T ; g f} cl(f) = { g L X ; f g, g T } Definição 2.23 [12, Kudri] Sejam X, T X e Y, T Y espaços L-topológicos. Seja f : X Y uma função. Dizemos que f é contínua se e somente se f 1 (g) T X para cada g T Y. Dizemos que f é aberta se e somente se f(h) T Y para cada h T X. Proposição 2.3 [12, Kudri] Sejam X, T X e Y, T Y espaços L-topológicos. Seja f : X Y uma função. Temos: (i) f é contínua se e somente se para cada L-conjunto fechado g L Y temos que f 1 (g) L X é um L-conjunto fechado.

CAPÍTULO 2. TEORIA BÁSICA 15 (ii) Se f é contínua então f 1 (g) f 1 (g) para cada g L Y. (iii) Se f é contínua então f(h) f(h)para cada h L X. Demonstração. (i) Necessidade: Seja g L Y um L-conjunto fechado, então f é um L-conjunto aberto. Como f é contínua temos que f 1 (g ) T X. Mas (f 1 (g)) = f 1 (g ) T X, logo, f 1 (g) é um L-conjunto fechado. Suficiência: Seja g T Y, então g é um L-conjunto fechado, logo f 1 (g ) é um L-conjunto fechado. Mas (f 1 (g)) = f 1 (g ), logo f 1 (g) T X. (ii) Como g g e f é contínua temos que f 1 (g) f 1 (g) e, por (i), f 1 (g) é um L-conjunto fechado. Logo, f 1 (g) f 1 (g). (iii) Como h f 1 (f(h)) temos que h f 1 (f(h)), então, pela continuidade da f e usando (ii) com g = f(h), temos h f 1 (f(h)) f 1 (f(h)). Logo f(h) f(f 1 (f(h))) f(h) Fica assim demonstrado a proposição. Definição 2.24 [25, Wong] Seja X, T um espaço L-topológico. Uma coleção B T é uma base para T se e somente se para cada f T existe uma família {g j } j J em B tal que f = j J g j. Neste caso dizemos que T é gerada por B. Definição 2.25 [25, Wong] Seja X, T um espaço L-topológico. Uma coleção C T é uma subbase para T se e somente se a família de todas as interseções finitas de elementos de C forma uma base para T. Neste caso dizemos que T é gerada por C. Definição 2.26 [25, Wong] Seja { X j, T j } j J uma família de espaços L-topológicos. Seja X = j J X j e defina para cada α J a α-ésima projeção π α : X X α por π α ((x j ) j J ) = x α. A L-topologia produto T em X tem como subbase a família { } j J π 1 j (f) ; f T j. Chamamos X, T de L-espaço produto.

CAPÍTULO 2. TEORIA BÁSICA 16 Seja X, δ um espaço topológico. Em [20] e [21] Warner mostrou que o conjunto de todas as funções contínuas f : X, δ L formam uma L-topologia w(δ) em X, e que uma base para este espaço é o conjunto B = { f Ub L X ; b L, U δ } onde cada f Ub é definido por: f Ub (y) = { b se x U 0 se x / U Definição 2.27 [20, Warner] Seja X, δ um espaço topológico e P uma propriedade topológica em X, δ. Dizemos que uma propriedade topológica P L em um espaço L-topológico é uma boa extensão de P se e somente se: X, δ tem a propriedade P se e somente se X, w(δ) tem a propriedade P L. Os próximos quatro resultados serão usados futuramente sem referência a eles. Proposição 2.4 [12, Kudri] Seja X, δ um espaço topológico, então: f ω(δ) se e somente se f 1 {t L ; t p} δ para cada p pr(l). Demonstração. Necessidade: Se f ω(δ) então é uma função contínua de X em L, onde L tem a topologia Scott. Logo, f 1 (A) δ para cada A aberto em L. Em particular f 1 (A) δ para os abertos A = {t L ; t p} da base. Suficiência: Seja A um aberto em L, então podemos escrever A = p P A p onde P pr(l) e A p = {t L ; t p}. Como f 1 (A p ) δ temos que f 1 (A) δ pois f 1 (A) = p P f 1 (A p ). Logo f ω(δ). Proposição 2.5 [12, Kudri] Seja X, δ um espaço topológico, então: f é fechado em X, ω(δ) se e somente se f 1 {t L ; t p } é fechado em X, δ para cada p pr(l). Demonstração. Usando que (f ) 1 {t L ; t p} = f 1 {t L ; t p } e que ( f 1 {t L ; t p } ) c = f 1 {t L ; t p }

CAPÍTULO 2. TEORIA BÁSICA 17 temos que: f ω(δ) p pr(l), (f ) 1 {t L ; t p} δ p pr(l), f 1 {t L ; t p } δ p pr(l), ( f 1 {t L ; t p } ) c é fechado em X, ω(δ) f 1 {t L ; t p } é fechado em X, ω(δ) O resultado segue do fato de que f é fechado em X, ω(δ) se e somente se f ω(δ). Proposição 2.6 [12, Kudri] Seja X, δ um espaço topológico, então: A δ se e somente se χ A w(δ). Demonstração. Necessidade: Seja A δ. Seja p pr(l) e considere o aberto básico A p = {t L ; t p}. Temos que χ 1 A (A p) = {x X ; χ A (x) p} = A. Logo, χ 1 A (A p) δ para cada aberto básico, ou seja χ A é continua. Portanto χ A ω(δ). Suficiência: Se χ A w(δ) então χ 1 A {t L ; t p} δ para cada p pr(l), mas χ 1 A {t L ; t p} = A, logo, A δ. Proposição 2.7 [12, Kudri] Seja X, δ um espaço topológico. Seja e L e f um L-conjunto em X, ω(δ) definido por: f(y) = { e se y A 0 se y / A Então: int(f)(y) = { e se y int(a) 0 se y / int(a) e f(y) = { e se y A 0 se y / A Demonstração. Ver Kudri [12]. Definição 2.28 [11, Kudri] Sejam X, T um espaço L-topológico e g L X. Dizemos que g é compacto se e somente se para cada p pr(l) e família {f j } j J de L abertos tal que ( j J f j ) (x) p para todo x X com g(x) p, existe um subconjunto finito J 1 de J tal que ( j J1 f j ) (x) p para todo x X com g(x) p.

CAPÍTULO 2. TEORIA BÁSICA 18 Seja X, T um espaço L-topológico, a função φ : T P(X pr(l)) definida por φ(f) = {(x, p) X pr(l) ; f(x) p} determina uma L-topologia φ(t ) em X pr(l) [23]. Lema 2.1 [22, Warner e McLean] Seja X, T um espaço L-topológico. Temos: X, T é compacto se e somente se para cada p pr(l), X {p} é compacto em X pr(l), φ(t ). Demonstração. Necessidade: Seja p pr(l) fixado. Seja {φ(f j )} j J uma cobertura aberta de X {p}, isto é, f j T e X {p} j J φ(f j ). Seja x X, então, existe i J tal que (x, p) φ(f i ), isto é, f i (x) p, logo, ( j J f j ) (x) p. Pela compacidade de X, T, existe um subconjunto finito J 1 de J tal que ( j J1 f j ) (x) p para cada x X. Temos então que X {p} j J1 φ(f j ). De fato, para x X temos ( j J1 f j ) (x) p, então existe i J 1 tal que f i (x) p, ou seja, (x, p) φ(f i ). Suficiência: Sejam p pr(l) e {f j } j J uma família de L-abertos tal que ( j J f j ) (x) p para cada x X. Seja (x, p) X {p}. Como x X, ( j J f j ) (x) p, então existe i J tal que f i (x) p, isto é, (x, p) φ(f i ), logo, X {p} j J φ(f j ). Pela compacidade de X {p} existe um subconjunto finito J 1 de J tal que X {p} j J1 φ(f j ). Segue que ( j J1 f j ) (x) p para cada x X. De fato, para x X temos X {p} j J1 φ(f j ), então existe i J tal que (x, p) φ(f i ), ou seja f i (x) p. Logo, ( j J1 f j ) (x) p. Teorema 2.4 [22, Warner e McLean] Seja X, δ um espaço topológico. Então: X, δ é compacto se e somente se X, ω(δ) é compacto. Demonstração. Tendo em vista o lema anterior, mostraremos que: X, δ é compacto se e somente se para cada p pr(l), X {p} é compacto em X pr(l), φ(ω(δ))

CAPÍTULO 2. TEORIA BÁSICA 19 Necessidade: Sejam p pr(l) e {φ(f j )} j J, f j ω(δ), uma cobertura aberta de X {p}. Para cada j J considere os abertos U j = {t L ; t p}, então, {U j } j J é uma cobertura aberta de X. De fato: x X (x, p) X {p} j J; (x, p) φ(f j ) f j (x) p x U j Pela compacidade de X, existe um subconjunto finito J 1 de J tal que X j J1 U j. Segue que X {p} j J φ(f j ). De fato: (x, p) X {p} x X j J 1 ; x U j f j (x) p (x, p) φ(f j ) Portanto, X {p} é compacto em X pr(l), φ(ω(δ)). Suficiência: Seja {U j } j J uma cobertura aberta de X. Fixe p pr(l) e considere os L-abertos f j = χ Uj. Temos então que {φ(f j )} j J é uma cobertura aberta de X {p}. De fato: (x, p) X {p} x X j J; x U j f j (x) = 1 p (x, p) φ(f j ) Pela compacidade de X {p}, existe um subconjunto finito J 1 de J tal que X {p} j J1 φ(f j ). Segue que X j J1 U j. De fato: x X (x, p) X {p}

CAPÍTULO 2. TEORIA BÁSICA 20 j J 1 ; (x, p) φ(f j ) f j (x) p x U j Portanto, X, δ é compacto. Teorema 2.5 [11, Kudri] Sejam S uma subbase para a L-topologia T em X, e g L X. Se para cada p pr(l) e cada familia {f j } j J de L-abertos subbásicos tais que ( j J f j ) (x) p para todo x X com g(x) p existe um subconjunto finito J 1 de J tal que ( j J1 f j ) (x) p para todo x X com g(x) p, então, g é compacto. Demonstração. Ver Kudri [11]. Teorema 2.6 Seja X, T um espaço L-topológico. Se h L X é tal que supp(h) é finito, então h é compacto. Demonstração. Ver Kudri [12]. Teorema 2.7 Seja X, T um espaço L-topológico. Se h, g L X são compactos então h g é compacto. Demonstração. Ver Kudri [12]. Teorema 2.8 [12, Kudri] Sejam X, T X e Y, T Y espaços L-topológicos. Se f : X Y é uma função contínua e χ A é um L-conjunto compacto em X então f(χ A ) é um L-conjunto compacto em Y. Demonstração. Observe inicialmente que f(χ A ) = χ f(a). Seja p pr(l) e seja {f j } j J uma família de L-abertos tal que ( j J f j ) (y) p para cada y Y com χ f(a) (y) p, isto é, y f(a). Considere a família {g j } j J, onde cada g j = f 1 (f j ) é um L-aberto pela continuidade de f. Seja x X com χ A (x) p, isto é, x A, então y = f(x) f(a),

CAPÍTULO 2. TEORIA BÁSICA 21 logo ( j J f j ) (y) p. Mas f j (y) = f j (f(x)) = f 1 (f j )(x), logo ( j J g j ) (x) p para cada x A. Pela compacidade de χ A existe um subconjunto finito J 1 de J tal que ( j J1 g j ) (x) p para cada x A. Segue que ( j J f j ) (y) p para cada y f(a), isto é, y Y e χ f(a) (y) p. De fato, seja y f(a), então y = f(x) para algum x A. Temos então que ( j J g j ) (x) p, ou seja, ( j J f j ) (y) p. Definição 2.29 [4, Gantner et al.] Sejam X, T um espaço L-topológico, A X e T A = { f A L A ; f T }. Dizemos neste caso que A, T A é um subespaço de X, T. Teorema 2.9 [12, Kudri] Sejam X, T um espaço L-topológico e D X. Então: χ D é compacto se e somente se o subespaço D, T D é compacto. Demonstração. Necessidade: Sejam p pr(l) e {f j } j J uma família de L-abertos tais que ( j J f j ) (x) p para cada x D. Para cada j J, seja fj T tal que f j = fj D. Então a família { } fj é tal que ( ) j J j J fj (x) p para cada x X com χ D (x) p pois χ D (x) p x D. Sendo χ D compacto, existe um subconjunto finito J 1 de J tal que ( ) j J1 fj (x) p para cada x X com χd (x) p. Então ( j J1 f j ) (x) p para cada x D. Portanto D, T D é compacto. Suficiência: Sejam p pr(l) e {f j } j J uma família de L-abertos tais que ( j J f j ) (x) p para cada x X com χ D (x) p. Para cada j J seja g j = f j D, então cada g j T D e a família {g j } j J é tal que ( j J g j ) (x) p para cada x D pois χ D (x) p x D. Sendo D, T D compacto, existe um subconjunto finito J 1 de J tal que ( j J g j ) (x) p para cada x D. Então ( j J1 f j ) (x) p para cada x X com χ D (x) p. Portanto χ D é compacto. Teorema 2.10 [12, Kudri] Seja { X j, T j } j J uma família de espaços L-topológicos

CAPÍTULO 2. TEORIA BÁSICA 22 e seja X o L-espaço produto. Então: X é compacto se e somente se para cada j J, X j é compacto. Demonstração. Ver Kudry [12]. Definição 2.30 [22, Warner e McLean] Um espaço L-topológico X, T é Hausdorff se e somente se para cada p, q pr(l) e cada x y em X, existem f, g T tais que f(x) p, g(y) q, e, f(z) = 0 ou g(z) = 0 para cada z X. Teorema 2.11 [22, Warner e McLean] Seja X, δ um espaço topológico. Então: X, δ é Hausdorff se e somente se X, ω(δ) é Hausdorff. Demonstração. Necessidade: Sejam p, q pr(l) e x y em X. Sendo X, δ Hausdorff, existem U, V δ tais que x U, y V e U V =. Seja f = χ U e g = χ V, então f, g ω(δ), f(x) = 1 p, g(y) = 1 q, e, f(z) = 0 ou g(z) = 0 para cada z X. Suficiência: Seja x y em X. Fixe p pr(l). Sendo X, ω(δ) Hausdorff, existem f, g T tais que f(x) p, g(y) q, e, f(z) = 0 ou g(z) = 0 para cada z X. Sejam S = {t pr(l) ; t p}, U = f 1 (S) e U = g 1 (S). Então U, V δ, x U, y V e U V =. Teorema 2.12 [12, Kudri] Seja X, T um espaço L-topológico. Se g L X é compacto e f L X é L-fechado, então f g é compacto. Demonstração. Sejam p pr(l) e H uma família de L-abertos tais que ( h Hh) (x) p para cada x X com (f g)(x) p. Seja F = H {f }, então ( h Fh) (x) p para cada x X com g(x) p. De fato, seja x X com g(x) p, então: f(x) p (f g)(x) p ( h Hh) (x) p ( h Fh) (x) p

CAPÍTULO 2. TEORIA BÁSICA 23 ou f(x) p f (x) p ( h Fh) (x) p Sendo g compacto, existe um subconjunto finito U de F tal que ( h Uh) (x) p para cada x X com g(x) p. Suponha U = {h 1,, h n, f }, então ( n i=1h i ) (x) p para cada x X com (f g)(x) p. De fato, seja x X com (f g)(x) p, então g(x) p e f(x) p. Logo ( h Uh) (x) p e f (x) p. Segue que existe h U tal que h(x) p e que h f. Portanto ( n i=1h i ) (x) p e f g é compacto. Corolário 2.1 [12, Kudri] Seja X, T um espaço L-topológico. Se g L X é compacto e f é um L-conjunto fechado tal que f g, então, f é compacto. Demonstração. Segue do teorema 2.12. Teorema 2.13 [11, Kudri] Seja X, T um espaço L-topológico, Hausdorff. Se F X é tal que χ F é compacto, então χ F é L-fechado. Demonstração. Ver Kudri [11]. Definição 2.31 [17, Pu e Liu] Um espaço L-topológico X, T é dito totalmente estratificado se e somente se cada L-conjunto constante é L-aberto. Teorema 2.14 [12, Kudri] Seja X, T um espaço L-topológico, totalmente estratificado e Hausdorff. Seja D X, então o subespaço D, T D é totalmente estratificado e Hausdorff. Demonstração. Seja f L D um L-conjunto constante, digamos f(x) = c para cada x D. Sendo X, T totalmente estratificado, a função g definida por g(y) = c para cada y Y é um L-aberto. Como g D = f, temos que f T D. Logo, D, T D é totalmente estratificado.

CAPÍTULO 2. TEORIA BÁSICA 24 Sejam x y em D X e p, q pr(l). Como X, T é Hausdorff, existem f, g T tais que f(x) p, g(y) q, e, f(z) = 0 ou g(z) = 0 para cada z X. Então f D, g D T D são tais que f D (x) p, g D (y) q, e, f(z) = 0 ou g(z) = 0 para cada z D. Logo, D, T D é Hausdorff. Definição 2.32 [13, Lowen] Dizemos que um espaço L-topológico X, T é topologicamente gerado se e somente se existe uma topologia δ em X tal que T = ω(δ). Teorema 2.15 [22, Warner e McLean] Se X, T é um espaço L-topológico, totalmente estratificado, compacto e Hausdorff, então é topologicamente gerado. Demonstração. Ver Warner e McLean [22]. Definição 2.33 [12, Kudri] Sejam X, T um espaço L-topológico e g L X. Dizemos que g é Lindelöf se e somente se para cada p pr(l) e família {f j } j J de L-abertos tal que ( j J f j ) (x) p para cada x X com g(x) p ; existe um subconjunto enumerável J 1 de J tal que ( j J1 f j ) (x) p para cada x X com g(x) p. Teorema 2.16 [12, Kudri] Seja X, δ um espaço topológico. Então: X, δ é Lindelöf se e somente se X, ω(δ) é Lindelöf. Demonstração. Necessidade: Sejam p pr(l) e {f j } j J uma família de L-abertos tal que ( j J f j ) (x) p para cada x X. Considere os conjuntos U j = f 1 j {t L ; t p}, então, cada U j δ e a família {U j } j J é uma cobertura aberta de X. De fato: x X ( j J f j ) (x) p j J; f j (x) p x U j

CAPÍTULO 2. TEORIA BÁSICA 25 Sendo X, δ Lindelöf, existe um subconjunto enumerável J 1 de J tal que X j J1 U j. Segue que ( j J1 f j ) (x) p para cada x X. De fato: x X j J 1 ; x U j f j (x) p ( j J f j ) (x) p Portanto, X, ω(δ) é Lindelöf. Suficiência: Seja {U j } j J uma cobertura aberta de X. Fixe p pr(l) e considere os L-abertos f j = χ Uj, então a família {f j } j J é tal que ( j J f j ) (x) p para cada x X. De fato: x X j J 1 ; x U j f j (x) = 1 p ( j J f j ) (x) p Sendo X, ω(δ) Lindelöf, existe um subconjunto enumerável J 1 de J tal que ( j J1 f j ) (x) p para cada x X. Segue que X j J1 U j. De fato: x X ( j J1 f j ) (x) p j J 1 ; f j (x) p x U j Portanto, X, δ é Lindelöf. Definição 2.34 [12, Kudri] Um espaço L-topológico X, T é regular se e somente se para cada x X, cada p pr(l), e cada L-conjunto fechado f tal que f(x) = 0 e f(y 0 ) p para algum y 0 X, existem u, v T com u(x) p, v(z) p para cada z X com f(z) p, e, u(z) = 0 ou v(z) = 0 para cada z X. Teorema 2.17 [22, Warner e McLean] Seja X, δ um espaço L-topológico. Então: X, δ é regular se e somente se X, ω(δ) é regular.

CAPÍTULO 2. TEORIA BÁSICA 26 Demonstração. Necessidade: Sejam x X, p pr(l) e f um L-conjunto fechado em X, ω(δ) tal que f(x) = 0 e existe y 0 X com f(y 0 ) p. Sendo f um L-conjunto fechado temos que F = f 1 {t L ; t p } é fechado em X, δ, e F pois y 0 F. Como X, δ é regular temos que existem U, V δ tais que x U, F V e U V =. Seja u = χ U e v = χ V, então u, v ω(δ), u(x) = 1 p e v(y) p para cada y X com f(y) p pois f(y) p y F y V v(y) = 1 p. Também temos que u(z) = 0 ou v(z) = 0 para cada z X. De fato, se z X e u(z) 0 então z U, logo z / V pois U V =. Segue que v(z) = 0. Portanto X, ω(δ) é regular. Suficiência: Seja x X e F X um fechado não vazio em X, δ tal que x / F. Seja p pr(l) fixado. Seja f L X definida por: f(y) = { p se y F 0 se y / F Como F existe y 0 F, logo f(y 0 ) = p. Também temos que f é L-fechado em X, ω(δ) pois para cada q pr(l) temos { F se p f 1 {t L ; t q } = q se p q Pela regularidade de X, ω(δ) existem u, v X, ω(δ) tais que u(x) p, v(y) p para cada y X com f(y) p, e, u(z) = 0 ou v(z) = 0 para cada z X. Seja U = u 1 {t L ; t p} e V = v 1 {t L ; t p}, então U, V δ, x U pois u(x) p e F V pois y F f(y) = p v(y) p y V. Tambem temos que U V =. De fato, se z U então u(z) p logo v(z) = 0, isto é, z / V.

CAPÍTULO 2. TEORIA BÁSICA 27 Portanto X, δ é regular. Teorema 2.18 [11, Kudri] Se X, T é um espaço L-topológico compacto e Hausdorff então X, T é regular. Demonstração. Sejam x X, p pr(l) e f um L-conjunto fechado tal que f(x) = 0 e existe y 0 X com f(y 0 ) p. Mostraremos que existem u, v T tais que u(x) p, v(y) p para cada y X com f(y) p, e, u(z) = 0 ou v(z) = 0 para cada z X. Seja F = {t X ; f(t) p }, então F pois y 0 F e x / F pois f(x) = 0 e p 0. Como X, T é Hausdorff, para cada y F existem f y, g y T tais que f y (x) p, g y (y) p, e, f y (z) = 0 ou g y (z) = 0 para cada z X. Seja A = {g y } y F. Então ( h Ah) (z) p para cada z X tal que f(z) p. De fato, se z X e f(z) p então z F e g z (z) p. Sendo f um L-fechado e X, T compacto, pelo corolário 2.1 f é compacto. Portanto existe um subconjunto finito B = {g y1,, g yk } de A tal que ( h Bh) (z) p para cada z F. Seja u = k i=1f yi e v = k i=1g yi, então u, v T, u(x) p pois f yi (x) p para cada i = 1,, k, v(y) p para cada y F pois v(y) = ( ) k i=1g yi (y) p. Também temos que u(z) = 0 ou v(z) = 0 para cada z X. De fato, se z X e u(z) 0 então f yi (z) 0 para cada i = 1,, k, logo g yi (z) = 0 para cada i = 1,, k e v(z) = 0. Portanto X, T é regular. O próximo lema é um resultado simples que será usado em algumas demonstrações no próximo capítulo sem nos referirmos a ele. Lema 2.2 [12, Kudri] Seja X, δ um espaço topológico. Então: K X é compacto em X, δ se e somente se χ K é compacto em X, ω(δ).

CAPÍTULO 2. TEORIA BÁSICA 28 Demonstração. Necessidade: Seja p pr(l) e {f j } j J uma família de L-abertos tal que ( j J f j ) (x) p para todo x X com χ K (x) p. Defina para cada j J o aberto U j = f 1 {t ; t p}. Temos então que a família {U j } j J é uma cobertura aberta de K. De fato: y K y X e χ K (y) p ( j J f j ) (y) p j J; f j (y) p y U j Sendo K compacto, existe um subconjunto finito J 1 de J tal que K j J1 U j. Segue que ( j J1 f j ) (x) p para todo x X com χ K (x) p. De fato: y X e χ K (y) p y K j J 1 ; y U j f j (y) p ( j J1 f j ) (y) p Portanto χ K é compacto. Suficiência: Seja {U j } j J uma cobertura aberta de K. Para cada j J considere o L-aberto f j definido por f j = χ Uj. Então a família {f j } j J é tal que ( j J f j ) (x) p para todo x X com χ K (x) p. De fato: y X e χ K (y) p y K j J; y U j f j (y) p ( j J f j ) (y) p Pela compacidade de χ K existe um subconjunto finito J 1 de J tal que ( j J1 f j ) (x) p para todo x X com χ K (x) p. Segue que K j J1 U j.

CAPÍTULO 2. TEORIA BÁSICA 29 De fato: y K y X e χ K (y) p ( j J1 f j ) (y) p j J 1 ; f j (y) p y U j Portanto K é compacto.

Capítulo 3 Compacidade Local Neste capítulo trataremos da propriedade de compacidade local. Em topologia geral existem três modos de se definir compacidade local, equivalentes entre si em espaços de Hausdorff. Vamos chamar aqui de compacidade local, compacidade local fraca e compacidade local relativa, ver definições 2.1, 2.2 e 2.3. As duas primeiras formas foram generalizadas para espaços L-topológicos por Kudri em [9] e [10] através de L-conjuntos muito compactos. Um L-conjunto k é muito compacto se e somente se é da forma: { b y D k(y) = 0 y / D com χ D compacto. Definição 3.1 [9] Um espaço L-topológico X, T é localmente compacto se e somente se para cada x X, p pr(l) e f T tal que f(x) p existem g T e k L X muito compacto tais que g(x) p e g k f. Definição 3.2 [9] Um espaço L-topológico X, T é fracamente localmente compacto se e somente se para cada x X e p pr(l) existem g T e k L X muito compacto tais que g(x) p e g k. Em [10] Kudri mostrou a equivalencia destas duas propriedades em espaços de Hausdorff. Faltava ainda uma definição para espaços relativamente localmente compactos equivalente a estas em espaços de Hausdorff. 30

CAPÍTULO 3. COMPACIDADE LOCAL 31 Em anotações feitas por Kudri e Aygün foi proposta uma boa definição para espaços relativamente localmente compactos. O que fazemos aqui, na primeira seção, é redefinir as propriedades de compacidade local e compacidade local fraca nos moldes da definição de Kudri e Aygün para compacidade local relativa. A segunda seção é dedicada aos resultados obtidos destas propriedades: a invariância por sobrejeções contínuas e abertas, equivalências em espaços de Hausdorff, regularidade em espaços de Hausdorff, teoremas de compactificação por um ponto e teoremas sobre a compacidade local do L-espaço produto. 3.1 Compacidade local Definição 3.3 Um espaço L-topológico X, T é localmente compacto se e somente se para cada x X, p pr(l) e f T tal que f(x) p, existem g T e k L X, com χ supp(k) compacto, tais que g(x) p e g k f. Teorema 3.1 Seja X, δ um espaço topológico. Então: X, δ é localmente compacto se e somente se X, ω(δ) é localmente compacto. Demonstração. Necessidade: Sejam x X, p pr(l) e f ω(δ) tal que f(x) p. Seja h ω(δ) um L-conjunto aberto básico tal que h(x) p e h f, definido por: { e se y V δ h(y) = 0 se y / V Como X, δ é localmente compacto, existem U δ e um subconjunto compacto J de X tais que x U e U J V. Sejam g ω(δ) e k L X definidos por: g(y) = { e se y U δ 0 se y / U k(y) = { e se y J δ 0 se y / J Então g(x) p, g k h f e χ supp(k) = χ J é compacto pois J é compacto. Logo, X, ω(δ) é localmente compacto. Suficiência: Sejam x X e V δ tal que x V. Fixe p pr(l). Como

CAPÍTULO 3. COMPACIDADE LOCAL 32 X, ω(δ) é localmente compacto, para f = χ V, existem g ω(δ) e k L X, com χ supp(k) compacto, tais que g(x) p e g k f. Sejam U = g 1 {t L ; t p} e K = supp(k), então, U δ, x U, U K V e K é um subconjunto compacto de X pois χ supp(k) é compacto. Logo, X, δ é localmente compacto. Definição 3.4 Um espaço L-topológico X, T é fracamente localmente compacto se e somente se para cada x X e p pr(l) existem f T e k L X, com χ supp(k) compacto, tais que f(x) p e f k. Teorema 3.2 Seja X, δ um espaço topológico. Então: X, δ é fracamente localmente compacto se e somente se X, ω(δ) é fracamente localmente compacto. Demonstração. Necessidade: Sejam x X e p pr(l). Como X, δ é fracamente localmente compacto, existem U δ e um subconjunto compacto J de X tais que x U e U J. Sejam g = χ U e K = χ J, então g ω(δ), g(x) p, g k e χ supp(k) = χ J é compacto pois J é compacto. Logo, X, ω(δ) é fracamente localmente compacto. Suficiência: Seja x X e fixe p pr(l). Como X, ω(δ) é fracamente localmente compacto existem g ω(δ) e k L X, com χ supp(k) compacto, tais que g(x) p e g k. Sejam V = g 1 {t L ; t p} e K = supp(k), então, V δ, x V, V K e K é um subconjunto compacto de X pois χ supp(k) é compacto. Logo, X, δ é fracamente localmente compacto. Definição 3.5 Um espaço L-topológico X, T é relativamente localmente compacto se e somente se para cada x X e p pr(l) existe f T, com χ supp(f) compacto, tal que f(x) p. Teorema 3.3 Seja X, δ um espaço topológico. Então: X, δ é relativamente localmente compacto se e somente se X, ω(δ) é relativamente localmente compacto.

CAPÍTULO 3. COMPACIDADE LOCAL 33 Demonstração. Necessidade: Sejam x X e p pr(l). Como X, δ é relativamente localmente compacto existe V δ, com V compacto, tal que x V. Seja f = χ V, então f(x) = 1 p. Temos ainda que f = χ V, logo supp(f) = V é compacto, portanto χ supp(f) é compacto. Suficiência: Seja x X e fixe p pr(l). Como X, ω(δ) é relativamente localmente compacto existe f ω(δ) tal que f(x) p, com χ supp(f) compacto, logo supp(f) é compacto. Seja g L X Um L-conjunto aberto básico tal que g(x) p e g f, definido por: g(y) = { e se y V δ 0 se y / V Como g f e g(y) = { e se y V 0 se y / V temos que g f e V = supp(g) supp(f), logo, V é compacto pois é fechado e supp(f) é compacto. 3.2 Propriedades Teorema 3.4 Seja X, T X um espaço L-topológico localmente compacto e seja Y, T Y um espaço L-topológico. Se h : X Y é uma sobrejeção contínua e aberta então Y, T Y é localmente compacto. Demonstração. Sejam y Y, com y = h(x), p pr(l) e f T Y tal que f(y) p. Seja j = h 1 (f) então j T X, pois h contínua, e j(x) = f(y) p. Como X, T X é localmente compacto existem i T X e c L X, χ supp(c) compacto, tais que i(x) p e i c j. Sejam g = h(j) e k = h(c). Então g T Y, pois h é aberta, e g k f, pois i c j. Como h é contínua e χ supp(c) é compacto temos que h(χ supp(c) ) é compacto, teorema 2.8. Mas: h(χ supp(c) ) = χ h(supp(c)) = χ supp(h(c)) = χ supp(k)

CAPÍTULO 3. COMPACIDADE LOCAL 34 Portanto, Y, T Y é localmente compacto. Teorema 3.5 Seja X, T X um espaço L-topológico fracamente localmente compacto e seja Y, T Y um espaço L-topológico. se h : X Y é uma sobrejeção contínua e aberta então Y, T Y é fracamente localmente compacto. Demonstração. Sejam y Y, com y = h(x), e p pr(l). Como X, T X é fracamente localmente compacto existem i T X e c L X, com χ supp(c) compacto, tais que i(x) p e i c. Sejam g = h(j) e k = h(c). Então g T Y, pois h é aberta, e g k, pois i c. Como h é contínua e χ supp(c) é compacto temos que h(χ supp(c) ) é compacto, 2.8. Mas: h(χ supp(c) ) = χ h(supp(c)) = χ supp(h(c)) = χ supp(k) Portanto, Y, T Y é fracamente localmente compacto. Teorema 3.6 Seja X, T X um espaço L-topológico relativamente localmente compacto e seja Y, T Y um espaço L-topológico. Se h : X Y é uma sobrejeção contínua e aberta tal que h(g) h(g) para cada g L X, então, Y, T Y é relativamente localmente compacto. Demonstração. Sejam y Y, com y = h(x), e p pr(l). Como X, T X é relativamente localmente compacto existe g T X, com χ supp(g) compacto, tal que g(x) p. Seja f = h(g) então f(x) p, f T Y pois h é aberta, e h(χ supp(g) ) e compacto pois h é contínua. Mas: h(χ supp(g) ) = χ h(supp(g)) = χ supp(h(g)) = χ supp(h(g)) = χ supp(f)) onde usamos o teorema 2.3 e o fato de h(g) h(g). Portanto, Y, T Y é relativamente localmente compacto. Teorema 3.7 Se X, T é um espaço L-topológico localmente compacto então é fracamente localmente compacto.

CAPÍTULO 3. COMPACIDADE LOCAL 35 Demonstração. Sejam x X e p pr(l). Como X, T é localmente compacto, para f = X, existem g T e k L X, com χ supp(k) compacto, tal que g(x) p e g k f. Logo X, T é fracamente localmente compacto. Teorema 3.8 Se X, T é um espaço L-topológico compacto Hausdorff totalmente estratificado, então X, T é localmente compacto. Demonstração. Sendo X, T compacto Hausdorff totalmente estratificado, é topologicamente gerado, teorema 2.15, logo existe uma topologia δ em X tal que T = ω(δ). Pelos teoremas 2.4 e 2.11, X, δ é um espaço topológico compacto e Hausdorff, logo é localmente compacto. Segue do teorema 3.1 que X, T é localmente compacto. Teorema 3.9 Se X, T é um espaço L-topológico fracamente localmente compacto totalmente estratificado Hausdorff então é localmente compacto. Demonstração. Sejam x X, p pr(l) e f T tal que f(x) p. Vamos mostrar que existem g T e k L X, com χ supp(k) compacto, tais que g(x) p e g k f. Como X, T é fracamente localmente compacto existem i T e j L X, com χ supp(j) compacto, tais que i(x) p e i j. Seja D = supp(j). Como χ supp(j) é compacto e X, T é Hausdorff totalmente estratificado, o subespaço D, T D é um espaço L-topológico compacto totalmente estratificado e Hausdorff. Então, pelo teorema 3.8, D, T D é localmente compacto. Logo, para f D = f D, existem h D T D e c L D, com χ supp(c) compacto, tais que h D c D f D e h D (x) p. Seja h T tal que h D = h D e defina k L X por { cd (y) if y D k(y) = 0 if y / D então, h(x) p e χ supp(k) é compacto pois supp(k) = supp(c D ). Seja g = h i, então g T e g(x) p. Também temos que g k f. De fato, se y D então g(y) h(y) k(y) f(y) pois h D c D f D, e se y / D então i(y) = 0 e k(y) = 0, logo g(y) = 0 = k(y) f(y).

CAPÍTULO 3. COMPACIDADE LOCAL 36 Teorema 3.10 Se X, T é um espaço L-topológico relativamente localmente compacto então X, T é fracamente localmente compacto. Demonstração. Sejam x X e p pr(l). Como X, T é relativamente localmente compacto existe g T, com χ supp(g) compacto, tal que g(x) p. Como g g temos que X, T é fracamente localmente compacto. Teorema 3.11 Seja X, T um espaço L-topológico fracamente localmente compacto Hausdorff tal que χ supp(f) = χ supp(f), então X, T é relativamente localmente compacto. Demonstração. Sejam x X e p pr(l). Como X, T é fracamente localmente compacto existem f T e k L X, com χ supp(k) compacto, tal que f(x) p e f k. Como χ supp(k) é compacto em um espaço de Hausdorff, é L-fechado, ver teorema 2.13, então, χ supp(k) = χ supp(k). Como f k, χ supp(f) χ supp(k), então, χ supp(f) χ supp(k), logo χ supp(f) é compacto pois é fechado e χ supp(k) é compacto, ver corolário 2.1. Mas χ supp(f) = χ supp(f), então χ supp(f) é compacto. Portanto X, T é relativamente localmente compacto. Teorema 3.12 Seja {X j } j J um família de espaços L-topológicos totalmente estratificados. Então: O L-espaço produto j J X j é localmente compacto se e somente se X j é localmente compacto para cada j J e X j é compacto para cada j J J 1 onde J 1 é um subconjunto finito de J. Demonstração. Seja X = j J X j. Necessidade: Como a j-ésima projeção, π j : X X j, é uma função sobrejetora aberta contínua e X é localmente compacto, pelo teorema 3.4, X j é localmente compacto para cada j J. Sejam p pr(l), x X e f um L-conjunto aberto em X com f(x) p. Então pela compacidade local de X, existem um L-conjunto aberto g em X e um L-conjunto k em X, com χ supp(k) compacto, tais que g(x) p e g k f.