2. NTEGRAL E LNHA CÁLCULO 3-2018.1 2.1. :::: :::::::::::::::::::::::: ARCOS REGULARES Um arco (ou trajetória) : ~r (t) = x (t)~i + y (t)~j + z (t) ~ k; a t b; denomina-se arco regular quando as componentes x (t) ; y (t) e z (t) forem continuamente deriváveis e o vetor velocidade é não nulo, isto é, r 0 (t) 6= ~0, em cada t: A orientação positiva do arco é aquela correspondente ao sentido crescente de t (de a para b). O arco com a orientação invertida é representado por e este é parametrizado por: : ~r 1 (t) = ~r ( t) ; b t a: 1. Esboce o grá co de cada curva dada abaixo, indicando a orientação positiva. (a) ~r (t) = t~i + (1 t)~j; 0 t 1: (b) ~r (t) = 2t~i + t 2 ~j; 1 t 0: (c) ~r (t) = (1=t)~i + t~j; 1 t < 1: (d) ~r (t) = t~i + p 1 t 2~ j; 0 t 1: (e) ~r (t) = t~i + ln t~j; 1 t e: (f) ~r (t) = (cos t)~i + (sen t)~j + t ~ k; 0 t 2: 2. UM ARCO NÃO REGULAR. Seja o arco dado por: ~r (t) = t~i + t 2 sen (1=t) ~j; 0 < t 1; e ~r (0) = ~0. Note que a coordenada y do arco é: 8 < t 2 sen (1=t) ; se 0 < t 1 y (t) = : 0, se t = 0 com derivada y 0 (t) = 2t sen (1=t) descontínua em t = 0, concluímos que o caminho não é regular: cos (1=t), para 0 < t 1 e y 0 (0) = 0. Sendo esta derivada 3. Calcule o comprimento da hélice do Exercício 1(f). (resp.: 2 p 2) 2.2. :::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: CALCULANO NTEGRAL E LNHA 1. Seja f (x; y) uma função contínua sobre um arco regular de comprimento L: Se jf (x; y)j M, em todos os pontos (x; y) do arco, mostre que: f(x; y)ds ML:
2 CÁLCULO E VÁRAS VARÁES MARVALO P. MATOS 2. PARAMETRANO A CRCUNFERÊNCA. Considere a circunferência : x 2 + y 2 = 2x, percorrida no sentido positivo (anti-horário), como na gura ao lado. Parametrize a curva de duas maneiras: primeiro utilize o parâmetro t e, depois, o parâmetro. Usando as duas parmetrizações, mostre que xyds = 0: 3. Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado: (a) (b) (c) 2ydx 3xdy ; : x = 1 t; y = 5 t ; 0 t 1: (resp.: 15=2) (1;1) ( 1;1) (4; 2) (3; 1) xydx y 2 dy ; ao longo da parábola y = x 2 : (resp.: 0) y x dx x dy ; ao longo da reta y = 2 x: (resp.: ln(4=9) 2) y (d) ydx + 2xdy ; : x 2 + y 2 1; y x y; y 0: (resp.: =4) p (e) xyds; : x = t; y = t ; 0 t 1: (resp.: 2=3) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (i) (m) c x 2 ds; : x = cos 2t; y = sen 2t ; 0 t 2: (resp.: 2) (0;1) ydx + 2xdy ; é o triângulo de vértices (0; 0) ; (1; 0) e (1; 1) : (resp.: 1=2) (0; 1) (0;1) (1;0) x 2 y 2 ds; : x 2 + y 2 = 4: (resp.: 0) y 2 dx + x 2 dy ; ao longo do semicírculo x = p 1 y 2 : (resp.: 4=3) ydx xdy x 2 + y 2 ; ao longo da curva x = cos 3 t; y = sen 3 t; 0 t =2: (resp.: =2) (ax + by) dx + (x + y) dy ; : x 2 + y 2 = 4: (resp.: 4( b)) xy (3ydx + 7xdy) ; : 9x 2 + 4y 2 = 36: (resp.: 0) xydx + y 2 x 2 dy ; consiste dos arcos y = x 2 e y = p x; 0 x 1: (resp.: 9=20)
COMPLEMENTOS & EXERCÍCOS 2. NTEGRAL E LNHA 3 (n) (x + y + z) dx + (x 2y + 3z) dy + (2x + y z) dz; o caminho que liga a origem ao ponto A (2; 3; 4), através de três segmentos retilíneos: o primeiro uma porção do eixo x, o segundo paralelo ao eixo y e o terceiro paralelo ao eixo z: (resp.: 19) 4. Calcule ~F d ~r; nos seguintes casos: (a) F ~ = x 2 + y 2 ~i + 3xy 2 ~j; é o círculo x 2 + y 2 = 9: (resp.: 243=4) (b) F ~ = 3x 2 8y 2 ~i + (4y 6xy) ~j; é a fronteira da região : x + y 2; x 0; y 0, orientada no sentido horário. (resp.: 40=3) (c) F ~ = xy~i y~j + ~ k; é o segmento de reta da origem ao ponto A (1; 1; 1) : (resp.: 5=6) (d) F ~ = y 2 ~i + x 2 ~j; é o arco da parábola x = t; y = t 2 ; z = 0; 1 t 2: (resp.: 137=10) (e) F ~ = z 2 ~i + x 2 ~ k; consiste do segmento de reta de (1; 0; 1) a (2; 0; 1), seguido do segmento de reta de (2; 0; 1) a (2; 0; 4) : (resp.: 13) 5. etermine a massa e o momento de inércia, em torno de um diâmetro, do o : x 2 + y 2 = a 2, com densidade (x; y) = jxj + jyj :. (resp.: m = 8a 2 e L = 4a 4 ) 6. Considere P (x; y) = y x 2 + y 2 1 e Q (x; y) = x x 2 + y 2 1, de nidas para (x; y) 6= (0; 0) e seja a região descrita por 0 < x 2 + y 2 R: Mostre que: (a) P dx + Qdy = 2 (b) @Q @x @P dxdy = 0: @y 7. Qual o trabalho realizado pelo campo de forças ~ F = (2x + 3y) ~i + xy~j, para levar uma partícula da origem até o ponto A (1; 1) ; ao longo do círculo x 2 + (y 1) 2 = 1? [resp.: (22 3)=6] 8. Sob a ação da força ~ F (x; y) = 3y~i + 3x~j, um objeto percorre a elipse : 4x 2 + 25y 2 = 100; no sentido anti-horário. Qual o trabalho realizado pelo campo ~ F? [resp.: 60] 9. Um arame tem o formato da parte da elipse : 4x 2 + 9y 2 = 36 situada no primeiro quadrante e a densidade no ponto (x; y) é (x; y) = xy: Qual a massa do arame? [resp.: 38=5] 10. Um arame tem a forma da curva interseção do hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 4; z 0, com o plano x + z = 2 e a densidade no ponto (x; y) é (x; y; z) = xy: Qual a massa do arame? [resp.: 4]
4 CÁLCULO E VÁRAS VARÁES MARVALO P. MATOS 11. Seja a parte da curva interseção das superfícies S 1 : x 2 + y 2 + z 2 = R 2 e S 2 : x 2 + y 2 = R 2 =4; R > 0; situada no primeiro octante. Qual valor de R faz com que (xyz) ds = 81 p 3=2? (resp.: 6) 2.3. :::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::: TEOREMA E GREEN NO PLANO 1. Com auxílio do Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha: (a) (sen x + 4xy) dx + 2x 2 cos y dy; é um arco simples fechado e regular. (resp.: 0) p (b) x 2 + y 2 dx + y ln(x + p x 2 + y 2 )dy ; é um contorno simples, regular e fechado, que não envolve a origem. (resp.: 0) (c) 2dx + x 2 y tg y dy ; : (x 1) 2 + y 2 = 1: (resp.: 2) (d) P (x) dx + Q (y) dy ; é um círculo de raio r e P (x) e Q (y) são de funções classe C 1 na região delimitada pela curva : (resp.: 0) (e) e x sen ydx + e x cos ydy; é a elipse 3x 2 + 8y 2 = 24: (resp.: 0) (f) x 2 dx + xydy; é a cardióide r = 1 + cos ; 0 2: (resp.: 0) 2. Por que os resultados (a) e (b) do Exercício 2.2(5) não contradizem o Teorema de Green? 3. Sejam P (x; y) e Q (x; y) funções de classe C 1 na região : 1 x 2 + y 2 2; tais que P y = Q x Quantos valores são possíveis para a integral de linha P dx + Qdy, sendo uma curva simples fechada regular por partes contida em? (resp.: 3) 4. Se ' (x; y) = ln x 2 + y 2, quais os possíveis valores de r' ~nds, sobre um arco ; simples fechado e suave, orientado no sentido positivo, que não passa por (0; 0) : (resp.: 0 e 4) ydx + xdy 5. Calcule 1 + 2 x 2 + y 2, onde 1 é a circunferência x 2 +y 2 = 1, percorrida no sentido positivo, e 2 é a circunferência (x 2) 2 + y 2 = 1; percorrida no sentido horário. (resp.: 2) xdx + ydy 6. Calcule x 2 + y 2 ; onde consiste do arco da parábola y = x 2 1, 1 x 2; seguido do segmento de reta que une os pontos (2; 3) e ( 1; 0) : (resp.: 0)
COMPLEMENTOS & EXERCÍCOS 2. NTEGRAL E LNHA 5 7. Na região ; interior à elipse b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 e exterior à circunferência x 2 + y 2 = R 2, com 0 < R < min fa; bg, considere o campo vetorial F ~ = 2xy + sen x 2 ~i + x 2 + 2x + cos y 2 ~j. Calcular a integral de linha ~F d~r: (resp.: 2(ab R 2 )) 8. Quando a curva não é fechada e deseja-se usar o Teorema de Green, é possível "fechar" a curva com um arco auxiliar e observar que F dr = F dr + F dr Seja o arco constituído do segmento de reta de (1; 1) até (0; 0), seguido do segmento de (0; 0) até (1; 0) : Calcule y 2 + sen x 3 dx + x + y 5 dy: (resp.: 1) 9. Considere a curva ; descrita por x 2 + y 2 6x + 8 = 0; y 0, e orientada de (4; 0) para (2; 0) : Mostre que: (e x sen y 2y ) dx + (e x cos y + e y ) dy = 3: 2.4. :::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: CONSEQUÊNCAS O TEOREMA E GREEN No que se segue, representa uma região do plano xy com fronteira ; simples, fechada e regular por partes, e a área da região estamos representando por A () : Lembramos as fórmulas clássicas no caso bidimensional: GREEN GREEN GAUSS (FORMA FERENCAL): (FORMA VETORAL): (VERGÊNCA): P dx + Qdy = ( F ~ T ~ )ds = ( F ~ ~n)ds = (Q x P y ) da (r ~ F ) ~ kda r ~ F da onde ~ F = P (x; y)~i + Q (x; y)~j e ~ é a normal exterior à fronteira. Os operadores r ~ F = P x + Q y e r ~ F = (Q x P y ) ~ k são, respectivamente, o divergente e o rotacional do campo ~ F : 1. Veri que o Teorema da ivergência de Gauss, no plano xy, para os seguintes dados: (a) ~ F (x; y) = 3y~i 2x~j ; é a região delimitada por x 2=3 + y 2=3 = 1: (b) ~ F (x; y) = x 2 ~i + y 2 ~j ; é a região delimitada por 4x 2 + 25y 2 = 100:
6 CÁLCULO E VÁRAS VARÁES MARVALO P. MATOS 2. Seja f (x; y) uma função de classe C 2, isto é, com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, em uma região. Se f = 0 em ; use a Fórmula de Green e deduza que: f y dx f x dy = 0: 3. Nas condições do exercício precedente e considerando v de classe C 1, mostre que: (f x dy f y dx) v = (v x f x + v y f y ) dxdy: 4. Se x 0 e y 0 representam as coordenadas do centróide da região ; com densidade de massa 1; mostre que: 2x 0 A () = x 2 dy e y 0 A () = xydy : 5. Considerando F ~ = ru na Fórmula de Gauss, sendo u de classe C 2 ; deduza a relação: @u u dxdy = @~ ds: 6. Com auxílio da Regra do Produto para derivação, obtenha a seguinte propriedade para o divergente: r (vru) = vu + ru rv: Agora, considere na Fórmula de Gauss F ~ = vru e deduza a identidade: ENTAE E GREEN: vu dxdy + ru rv dxdy = 7. Se u = 0 na região, usando v = u na dentidade de Green, mostre que: jruj 2 dxdy = u @u @~ ds: onde ~ = 1 ~i + 2 ~j é a normal exterior à fornteira : 8. As curvas 1 : x 2 + y 2 = 4; 2 : (x 2) 2 + y 2 = 1 e 3 : (x + 2) 2 + y 2 = 1 v @u @~ ds: são percorridas no sentido anti-horário e considere um campo ~ F (x; y) ; de classe C 1 no domínio f(2; 0)g ; tal que: rot( F ~ (x; y)) = ~0, F ~ d~r = 6 2 e F ~ d~r = 9: 3 Qual o valor da integral de linha F ~ d~r? 1 [resp.: 15] R 2
COMPLEMENTOS & EXERCÍCOS 2. NTEGRAL E LNHA 7 9. Utilizando a fórmula A () = xdy, calcule a área das seguintes regiões: (a) é a região delimitada pelas retas x = 0; y = 1 e y = 3 e pela curva y 2 = x: [resp.: 26=3] (b) é a região limitada pela elipse x2 a 2 + y2 = 1: b2 [resp.: ab] (c) é o triangulo com vértices nos pontos (2; 0) ; (1; 3) e ( 1; 1) : [resp.: 4]