Informática no Ensino da Matemática

Informática no Ensino da Matemática Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ Lista de Exercícios 2 ATIVIDADE 1 Para poupar esforço de digitação, você pode usar o tradicional sistema de copiar e colar (CTRL-C e CTRL-V) para aproveitar um comando digitado anteriormente em outro lugar. Já paracopiarecolaroresultado de um comando, você deve proceder como se segue: suponha que você queira copiar o resultado do comando da linha 3 para uma determinada posição no campo de entrada da linha 5. Clique primeiro na posição desejada no campo de entrada da linha 5 e, então, clique no resultado (em azul) apresentado na linha 3. Pronto! Você também pode usar os números das linhas da Janela CAS do GeoGebra 4.0 para poupar esforço de digitação. Vamos ver um exemplo: suponha que você digite o número 8712870/48506557 no campo de entrada da linha 1 e o número 505149/2812281 no campo de entrada da linha 2: 1 2 8712870/48506557 8712870 48506557 505149/2812281 505149 2812281 Se, no campo de entrada da linha 3, você digitar $1 $2, o GeoGebra 4.0 calcularáonúmero 8712870/48506557 505149/2812281: 3 $2 $1 1841 45471356208839 Se vocêusar#1e#2aoinvés de $1 e $2, o GeoGebra 4.0 irá substituir #1 e #2 no campo de entrada da linha em questão pelos resultados calculados nas linhas 1 e 2, respectivamente. Página 1

Por exemplo, se na linha 4 você digitar: 4 #2 #1 e, então, pressionar a tecla ENTER, a linha 4 ficará assim: 4 (168383 / 937427) (8712870 / 48506557) 1841 45471356208839 A tabela seguinte descreve o sistema de referência para comandos e resultados. Sintaxe Descrição Substituição no Campo de Entrada # referência para o resultado calculado na linha anterior sim #5 referência para o resultado calculado na linha 5 sim ## referência para o comando digitado na linha anterior sim #5# referência para o comando digitado da linha 5 sim $ referência para o resultado calculado na linha anterior não $5 referência para o resultado calculado na linha 5 não $$ referência para o comando digitado na linha anterior não $5$ referência para o comando digitado da linha 5 não Uma outra maneira de se poupar esforço de digitação é utilizar variáveis para representar expressões. Por exemplo, se você vai usar muito a expressão (a 2) (a 3), é conveniente criar uma variável para representá-la. Isso é feito com o operador de atribuição (:=): b := (a - 2) (a - 3) Após digitar esse comando, onde o símbolo b aparecer, ele será substituído pela expressão (a 2) (a 3). Vamos acompanhar um exemplo. Página 2

Primeiro, reinicie o GeoGebra 4.0: Menu Principal Arquivo Novo. Vamos fazer com que a variável b represente um sinônimo para a expressão (a - 2)(a - 3). 1 b:=(a 2) (a 3) a 2 5 a +6 Vamos calcular ((a 2) (a 3)) 2 (a 2) (a 3). Para isto, ao invés de digitar toda a expressão, basta digitar b^2 - b no lugar. 2 b 2 b a 4 10 a 3 +36a 2 55 a +30 Vocêpodecalcularovalorde(a 2) (a 3) em um determinado valor de a com o comando Substituir[...]. Por exemplo, para calcular o valor de (a 2) (a 3) para a =0,basta digitar o comando 3 Substituir[b, a, 0] 6 Para limpar o conteúdo da variável b (isto é, para que b volte ser apenas b) basta usar o comando Apagar[...]. 4 Apagar[b] true CUIDADO! CUIDADO! CUIDADO! 1. Um outro erro muito frequente é o de se utilizar = no lugar de := para indicar atribuições. Como veremos, o símbolo = possui outro propósito no GeoGebra 4.0. Página 3

2. Uma vez que você atribuiu um determinado valor a uma variável (por exemplo, com o comando b := (a - 2)(a - 3)), em todo e qualquer lugar que b aparecer, a partir deste ponto, ele será substituído por (a - 2)(a - 3). Sevocêquiser limpar o conteúdo de b, emita o comando Apagar[b]. Para limpar o conteúdo de todas as variáveis simultaneamente, basta iniciar uma nova construção (Menu Principal Arquivo Novo) 3. O nome de uma variável pode ter mais de uma letra (incluindo letras acentuadas). Você podeusarnúmeros mas nunca no começo do nome. Também épossível criar variáveis indexadas: a_{1} := 3 faz com que a variável a 1 assuma o valor 3. Espaços em branco não são permitidos. 4. OGeoGebra 4.0 faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas. Assim, a variável b é diferente da variável B. 5. Na notação matemática do ensino médio, é costume se usar parêntesis, colchetes e chaves para modificar a ordem de avaliação de uma expressão: {a +5 [(a 1) (a 3) + 8]}/10. No GeoGebra 4.0 você sempre deve usar parêntesis: (a + 5 ((a - 1)(a - 3) + 8))/10. Os colchetes e as chaves são usados com um outro propósito, como veremos mais adiante. O comando b := (a - 2)(a - 3) não define uma função. Com esse comando estamos apenas dizendo que b éum sinônimo para (a - 2)(a - 3). O exemplo a seguir mostra como podemos definir funções no GeoGebra 4.0 e usar a notação funcional a que estamos acostumados. Vamos definir a função f(a) =(a 2) (a 3) que depende da variável a. 5 f(a) := (a 2) (a 3) (a 2) (a 3) Vamos calcular o valor de f no ponto a =0,istoé, vamos calcular f(0). Uma das vantagens em se definir funções com o comando := é que podemos usar a mesma notação que usamos Página 4

quando escrevemos textos em matemática. 6 f(0) 6 Uma vez que f é uma função, podemos facilmente efetuar composições. Por exemplo, vamos calcular f(u + v). 7 f(u + v) u 2 +2uv 5 u + v 2 5v +6 IMPORTANTE! IMPORTANTE! IMPORTANTE! Se você definir uma função que depende de x, então ela será registrada na Janela de Álgebra e o seu gráfico será exibido na Janela de Visualização do GeoGebra 4.0. O mesmo vale para variáveis que recebem valores numéricos. Por exemplo, se você digitar a := 1/3,onúmero a será criadonajaneladeálgebra. Note contudo que, ao contrário da Janela CAS, o valor de a na Janela de Álgebra é aproximado (como em uma calculadora usual). Para configurar o número de casas decimais no GeoGebra 4.0, acesse: Menu Principal Opções Arredondamento. (a) Qual é a diferença (se é que existe) entre (x 2) (x 3)/(x 4) (x 5) e (x 2) (x 3)/((x 4) (x 5))? (b) No GeoGebra 4.0, defina f(x) := 3 x - 6 e g(x) := x/3 + 2. Calcule as expressões f(g(x)) e g(f(x)). Concluaquef e g são funções inversas uma da outra! (c) No GeoGebra 4.0, defina f(x) := sqrt(x) (raiz quadrada de x) eg(x) := x^2. Calcule as expressões f(g(x)) e g(f(x)). As funções f e g são funções inversas uma da outra? Justifique sua resposta! (d) Uma função afim é uma função do tipo f(x) =a x + b, coma e b constantes reais. Encontre todas as funções afins que satisfazem a propriedade f(f(x)) = x para todo x R, istoé, encontre todas as funções afins cuja inversa éaprópria função! Dica: defina f(x) := a x + b e, em seguida, compare f(f(x)) com x. Página 5

ATIVIDADE 2 Certamente você já deve ter visto os produtos notáveis (a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2 e (a + b) 3 = a 3 +3a 2 b +3ab 2 + b 3. Use o GeoGebra 4.0 para ver os produtos notáveis para (a + b) 4,(a + b) 5 e(a + b) 10. ATIVIDADE 3 Use o GeoGebra 4.0 para expandir os seguintes produtos (x 1) (1 + x), (x 1) (1 + x + x 2 ), (x 1) (1 + x + x 2 + x 3 ), (x 1) (1 + x + x 2 + x 3 + x 4 ). Quaisdevemserasduaspróximas equações nesta sequência? Qual é a regra geral? Faça uma conjectura e prove-a! ATIVIDADE 4 Use o GeoGebra 4.0 para mostrar que (ad bc)(ps rq)=(ap+ br)(cq+ ds) (aq+ bs)(cp+ dr) para todo a, b, c, d, p, q, r, s R. Dica: para mostrar que dois números são iguais, é suficiente mostrar que a diferença entre eles é zero. Cuidado: não esqueça de indicar explicitamente as multiplicações com o sinal * oucomumespaço em branco. ATIVIDADE 5 Use o GeoGebra 4.0 para mostrar que se x = t 2 1ey = t 3 t, então y 2 = x 3 + x 2.Dica: para poupar tempo de digitação, use o comando de atribuição :=. ATIVIDADE 6 Diga como escrever cada uma das expressões abaixo usando os comandos (a sintaxe) do GeoGebra 4.0. Por exemplo, para calcular a expressão matemática x y 2 a + 3 cd + 4 b no GeoGebra 4.0, é preciso digitar os comandos: x^y/(2/a + 3/(c d) + 4/b) (note o espaço em branco entre c e d). (a) a b c d, (b) a bc, (c) ab+c, (d) a b c d, Página 6

(e) abc d, (f) e a b + c/d, (g) ab/c, (h) a + b, ATIVIDADE ELETRÔNICA 3 Qual é o coeficiente de a 255 b 2 na expansão de (a + b) 257? E o coeficiente de a 256 b? Este coeficientes são números conhecidos? Envie sua resposta para o seguinte e-mail: novas.tecnologias.no.ensino@gmail.com (note oponto. entre aspalavras). Use AE-03: binômio de Newton como assunto (subject) deste e-mail. Sóserão aceitos os e-mails enviados até o dia 10/08/2011 (quarta-feira). Não esqueça de colocar o seu nome. ATIVIDADE ELETRÔNICA 4 Considere o polinômio f(x) =72x 5 36 x 4 1250 x 3 + 625 x 2 + 5000 x 2500. Ele possui cinco raízes reais diferentes de zero: α 1, α 2, α 3, α 4 e α 5. (1) Encontre um polinômio de grau 5 cujas raízes sejam 2 α 1,2α 2,2α 3,2α 4 e2α 5. (2) Encontre um polinômio de grau 5 cujas raízes sejam α 1, α 2, α 3, α 4 e α 5. (3) Encontre um polinômio de grau 5 cujas raízes sejam 1/α 1,1/α 2,1/α 3,1/α 4 e1/α 5. Aqui o comando Numerador[...] pode ser útil! Envie sua resposta para o seguinte e-mail: novas.tecnologias.no.ensino@gmail.com (note o ponto. entre as palavras). Use AE-04: raízes de polinômios como assunto (subject) deste e-mail. Sóserão aceitos os e-mails enviados até o dia 10/08/2011 (quartafeira). Não esqueça de colocar o seu nome. ATIVIDADE ELETRÔNICA 5 Escolha um dos exercícios apresentados nessa lista e, então, responda às perguntas descritas aseguir: (1) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados? (2) Quais são, em sua opinião, os objetivos da questão? (3) Qual o papel do software para o desenvolvimento da questão? Página 7

(4) Que vantagens e desvantagens essa questão, com o uso do software, pode trazer para a abordagem dos conceitos matemáticos enfocados em relação às abordagens com recursos convencionais (isto é, sem o uso do computador)? Envie sua resposta para o seguinte e-mail: novas.tecnologias.no.ensino@gmail.com (note o ponto. entre as palavras). Use AE-05: Análise como assunto (subject) deste e- mail. Só serão aceitos os e-mails enviados até o dia 10/08/2011 (quarta-feira). Não esqueça de colocar o seu nome. Página 8