1 - Uso das Calculadoras

213 Aula 1º Taxas Olá, gente, tudo bem? O assunto a ser tratado nessa aula será fundamental para o bom entendimento dos assuntos seguintes. Por isso, será exposto de forma simples e clara com teorias e resolução de exemplos práticos. Para uma melhor compreensão, será necessário conhecimento de um pouco de matemática básica e alguma habilidade com calculadoras. Para o administrador, é de suma importância a manipulação de números, pois estes dizem sobre a vida da empresa, por isso, é que dedicamos parte de nossos estudos a tentar compreende-los. E as taxas vão auxiliar no bom desempenho e entendimento de como anda a vida financeira da empresa. Bons estudos! 7

214 Matemática Financeira II Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula, vocês serão capazes de: tempos diferentes; equivalentes, taxas proporcionais e taxas reais; aumentos sucessivos. Seções de estudo 1 2 3 1 - Uso das Calculadoras O entendimento dessa aula será importante para o desenvolvimento e entendimento do montante em regime de juros compostos. Para o bom desenvolvimento e entendimento deste material é importante o manuseio de uma calculadora que pode ser uma HP-12 C, ou uma calculadora científica comum. Para tanto, seguem algumas dicas sobre o uso desses equipamentos. 2. Aperte a tecla (. ) e mantenha pressionada; 3. Ligue a calculado (ON); 4. Solte a tecla (. ) O teclado Função normal, escrita na face superior da tecla cor branca a Função amarela ( f ) escrita logo acima das teclas; Função azul ( g ) escrita na face inferior das teclas; A tecla (CHS) troca o sinal (change signal) do número que aparece no visor. Limpando registradores Ao teclarmos a combinação das teclas F + FIN limpamos apenas o conteúdo das memórias financeiras. Ao teclarmos F + REG de uma só vez os conteúdos das principal, secundária e financeira. limpamos m e m ó r s Ao teclarmos F + PREFIX cancelamos o prefixo amarelo (f) ou prefixo azul (g). Ao teclarmos F + PROGRAM limpamos os programas que estão gravados na calculadora HP-12c. A tecla (X><Y) troca os conteúdos das memórias X e Y, mantendo as memórias Z e T inalteradas. A tecla (STO) serve para guardar e operar com as 20 memórias fixas existentes na HP-12c, chamadas memórias secundárias. Essas memórias serão indexadas de 0 a 9 e de.0 a.9. <www.epx.com.br.> Tecla (ON) 1. Desligue a calculadora (ON); A tecla (RCL) serve para chamar os valores das 20 memórias (0 a 0 e.0 a.9) para o visor. A tecla (R) rola para baixo o conteúdo de cada registrador, copiando-o no registrador imediatamente inferior e o X que é o ultimo da pilha operacional será copiado no registrador T. 8

215 Registradores Rotação utilizando a tecla T 1 4 3 2 1 Z 2 1 4 3 2 Y 3 2 1 4 3 X 4 3 2 1 4 POTENCIAÇÃO (YX) INVERSO (1/x) Utilizando esta função obtém-se o inverso do número contido no visor. PORCENTAGEM ( % ), (%T) permite o cálculo da porcentagem de um determinado número. possibilita encontrar quanto um número representa percentualmente em relação a outro. calcula a variação percentual entre dois números, onde devemos digitar primeiro o valor antigo e depois o valor atual e, assim obtemos a variação percentual ocorrida. RAIZ QUADRADA Utilizando esta função, obtém-se o inverso do número contido no visor. g (YX) calcula a raíz quadrada do conteúdo do visor. SOMATÓRIO MÉDIA ARITMÉTICA ÚLTIMO (LIST X) Parte inteira: Parte fracionária: (X) (g) (INTG) (X) (g) (FRAC) Podemos calcular tanto no sistema americano g (M.D.Y) = Mês. Dia. Ano, como no sistema europeu (D.M.Y) = Dia. Mês. Ano. Quando a calculadora está programada no sistema europeu, aparecem no visor as letras D.M.Y, ao contrário do sistema americano que não aparece. NÚMERO DE DIAS ENTRE DATAS (g) (DELTA DYS) Observação: Quando utilizar o ano civil como base de cálculo, a HP-12c leva em consideração o número real de dias entre as datas, inclusive o dia a mais dos anos bissextos. Para converter a data novamente para o ano comercial utilizar (X><Y). CÁLCULO DE DATA E DIA DA SEMANA (g) (DATE) Esta função serve para determinar quando cairá no calendário determinada data, informando dia, mês e ano, além do dia da semana que será ou a data. 1 - Digite a data base; 2 - Tecle (ENTER); 3 - Digite o número de dias a transcorrer ou transcorrido; 4 - Tecle g (DATE). Resultado: aparecerá no visor a nova data no formato programado, e no canto direito, o dia da semana, com a seguinte codificação: 1 - Segunda-feira; 2 - Terça-feira; 3 - Quarta-feira; 4 - Quinta-feira; 5 - Sexta-feira; 6 - Sábado; 7 - Domingo. Se a data desejada for anterior a data base, devese teclar o número de dias seguido de (CHS). Exemplo: Determine a data e o dia da semana em que vencerá uma duplicata emitida em 12 de maio de 2001 com prazo de 41 dias. f (REG) g (D.M.Y) 12/05/2001 (ENTER) 41 g (DATE) Sexta-feira EXERCÍCIOS Data/calendário a) Verifique quantos dias você já viveu. 9

216 Matemática Financeira II b) Verifique o dia da semana em que você nasceu. c) Verifique em que dia da semana cairá o natal deste ano. N número de períodos (Number) I taxa de juros por período de capitalização (Interest) PV valor presente ou principal (Present Value) PMT valor da prestação de uma série uniforme (Payment) FV valor futuro ou montante (Future Value) Fonte: <http://www.epx.com.br/ctb/hp12c. php> visite esse site e tenha uma HP a disposição. 2 - Porcentagens EXEMPLOS: 1. Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão etiquetadas com um número par. Quantas fichas têm a etiqueta com número par? Quantas fichas têm a etiqueta com número ímpar? Par = 52% de 25 = 52%. 25 = 52. 25 / 100 = 13 Resposta: Nesse fichário há 13 fichas etiquetadas com número par e 12 fichas com número ímpar. 2. Num torneio de basquete, uma determinada seleção disputou 4 partidas na primeira fase e venceu 3. Qual a porcentagem de vitórias obtida por essa seleção nessa fase? Vamos indicar por X% o número que representa essa porcentagem. Esse problema pode ser expresso da seguinte forma: X% de 4 = 3 Vamos lá gente, recordar alguns itens importantes! - é uma razão centesimal, ou seja, uma fração com denominador igual a 100. Exemplo: 25/100 que se indica 25%. Chamada de forma percentual 25/100= 0,25 chamada de forma unitária. Historicamente, a expressão por cento aparece nas principais obras de aritmética de autores italianos do século XV. O símbolo % surgiu como uma abreviatura da palavra cento utilizada nas operações mercantis. O símbolo % ao lado de um número apenas indica que aquele número será dividido por 100. Na execução do cálculo o percentual precisa estar na sua forma unitária. Assim se queremos calcular 25% de 200 temos: 25%x200 = (25/100)x200 = 0,25x100 = 50 30 % de 20% de 500 = 30%. 20%. (500) = 0,30 x 0,20 x 500 = 0,06 x 500 = 30 Para indicar um índice de 20 por cento, escrevemos 20% e isto significa que em cada 100 unidades de algo, tomaremos 20 unidades. 20% de 40 podem ser obtidos como o produto de 20% por 40, isto é: P = 20%. 40 =( 20/100). 40 = 800 / 100 = 8 Assim: (X/100).4 = 3 4X/100 = 3 4X = 300 X = 75 Resposta: Na primeira fase a porcentagem de vitórias foi de 75%. 3. Numa indústria há 255 empregadas. Esse número corresponde a 42,5% do total de empregados da indústria. Quantas pessoas trabalham nesse local? Quantos homens trabalham nessa indústria? Vamos indicar por X o número total de empregados dessa indústria. Esse problema pode ser representado por: 42,5% de X = 255 Assim: 42,5%.X = 255 ( ).X = 255 42,5.X / 100 = 255 42,5.X = 25500 425.X = 255000 X = 255000/425 = 600 Resposta: Nessa indústria, trabalham 600 pessoas, sendo que há 345 homens. 10

217 3 - Taxas Taxa é um índice numérico relativo e cobrado sobre um Taxa Nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. Exemplos: 1) 120% ao ano com capitalização mensal. O que queremos dizer é o seguinte: suponha um capital emprestado por um ano a uma taxa de 120% ao ano, mas que os juros serão calculados todo final de mês e incorporado ao capital. Então, podemos dizer que a taxa mensal será de 10%. Pois, se o ano tem 12 meses e temos 120% em um ano, temos que dividir 120% por 12, o que nos dá uma taxa de 10% ao mês. Vamos considerar um capital de R$ 1.000,00: J 1 = 1000x 10% J = 1000x0,10 J = 100 Montante = soma do capital mais juro M 1 M = 1.100 J 1 = 1100x 10% J = 1100x0,10 J = 110 Montante = soma do capital mais juro M 1 M = 1.210 Vejam pela tabela abaixo que o cálculo representa o juro no final de cada mês, assim: final do mês 1 juros de R$ 100,00, então, o montante será R$ 1.100,00. Já no final do segundo período, os juros serão calculados sobre os R$ 1.100,00, o que temos R$ 110 de juros. E assim até o final de um ano. Observando a tabela, vemos que o montante final será de R$3.138,00. Período Juros Montante 1 R$ 100 R$ 1.100 2 R$ 110 R$ 1.210 3 R$ 121 R$ 1.331 4 R$ 133 R$ 1.464 5 R$ 146 R$ 1.611 6 R$ 161 R$ 1.772 7 R$ 177 R$ 1.949 8 R$ 195 R$ 2.144 9 R$ 214 R$ 2.358 10 R$ 236 R$ 2.594 11 R$ 259 R$ 2.853 12 R$ 285 R$ 3.138 Agora, veja que o capital inicial era de R$ 1000,00, nesse caso então, temos um total de R$ 2.138,00 de juros, o qual é assim representado: 2138/1000 = 2,138 agora multiplicando por 100 temos 213,80%. Concluímos então que uma taxa nominal de 120% ao ano com capitalização mensal representa uma taxa efetiva anual de 213,80%%. O que temos aqui são os chamados aumentos sucessivos: 1. 20% ao semestre com capitalização mensal; 2. 80% ao ano com capitalização trimestral; 3. 60% ao ano com capitalização semestral. Taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Exemplos: 1) 12% ao mês com capitalização mensal. (Vejam que o tempo e a taxa estão na mesmas unidades taxa mensal com capitalização mensal). 2) 10% ao semestre com capitalização semestral. 3) 150% ao ano com capitalização anual. Taxa Real é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação. Taxas Equivalentes Taxas de juros: é comum pensar que juros de 10% ao mês equivalem a juros de 20% ao bimestre, de 30% ao trimestre, de 120% ao ano etc. Isso não é verdade quando se trata de regime de juros compostos, como mostra a tabela a seguir que dá a evolução de um Capital de R$ 100 a juros de 10% ao mês. 11

218 Matemática Financeira II Mês 0 1 2 3 Capital 100 110 121 133,1 Notem que os R$100,00 após dois períodos de aplicação se transformaram em R$121,00, ocasionando assim um ganho de R$21,00. Como você tinha R$100,00, os R$21,00 sobre os R$100,00 representam 21/100 = 21%. Agora, veja que juros de 10% ao mês equivalem a juros de 21% ao bimestre e de 33,1% ao trimestre. Com um capital de R$100 obteve-se um montante de R$121 em dois meses, gerando um aumento de 21%, isso porque os R$10 ganhos de juros no primeiro mês agora também passam a render juros. O que pode ser entendido como n aumentos sucessivos sobre um capital. Se a taxa de juros for mensal, trimestral ou anual, os períodos deverão ser respectivamente, mensais, trimestrais ou anuais, de modo que os conceitos de taxas de juros e períodos sejam compatíveis, coerentes. Como já vimos anteriormente, o tempo e a taxa de uma aplicação devem estar na mesma unidade, caso contrário há que se ajustar. Não importando se a capitalização é simples ou composta, existem três tipos principais de taxas: Taxas equivalentes Duas taxas (i 1 e i 2 ) são equivalentes se aplicadas ao mesmo Capital (C0) durante o mesmo período de tempo e por meio de diferentes sistemas de capitalização, o que produzem o mesmo montante final. Para ficar claro o que significa capitalização por períodos, analise: Suponha que vocês tomam uma quantia emprestada por três meses e se compromete a pagar o juro todo mês. Logo, vocês irão pagar três vezes. Se ao invés disso vocês combinassem em pagar os juros de uma única vez no final do período, qual deveria ser o procedimento? Vejam o exemplo abaixo: A aplicação de R$1.000,00 à taxa de 10% ao mês durante três meses equivale a uma única aplicação com a taxa de 33,1% ao trimestre. Observemos o fluxo de caixa da situação. Para o cálculo mensal temos: Tomando C0=1.000,00; i 1 =0,1 ao mês e n 1 =3 meses, seguirá pela fórmula do montante composto, que: 1 ) 3 3 = 1000.(1,1) 3 = 1000.(1,33 1 ) = 1 331,00 1000 1100 1220 1330 10% a.m. 1000 Agora, considerando um único período, que é transformar três meses em trimestre, teremos: 3 meses = 1 trimestre Tomando C 0 =1.000,00; i 2 =33,1% ao trimestre e n 2 =1 trimestre e usando a fórmula do Montante composto, teremos: 1 C2 = 1000(1,331) C2 = 1.331,00 33,1% a.t. Logo, =C 2 e a taxa de 33,1% ao trimestre são EQUIVALENTES à taxa capitalizada de 10% ao mês no mesmo trimestre. Observação sobre taxas: Ao afirmar que a taxa nominal de uma aplicação é de 30% ao ano capitalizada mensalmente, então entendemos que a taxa é de 2,5% ao mês e que está sendo aplicada mês a mês, porque: i = 30%/12 = 2,5% (dividimos por 12 porque o ano tem 12 meses). Essa taxa é entendida como taxa proporcional. Analogamente, temos que a taxa nominal de 30% ao ano corresponde a uma taxa de 7,5% ao trimestre, aplicada a cada trimestre, por que: i = 30%/4 = 7,5% (dividimos por quatro porque o ano tem quatro trimestres) Essas taxas são entendidas como taxa proporcional. Cálculos de taxas equivalentes: pelo exemplo acima vimos que taxas equivalentes são aquelas 12

219 obtidas por diferentes processos de capitalização de um mesmo capital inicial (C 0 ) para obter um mesmo montante (C n ). Consideraremos ia uma taxa ao ano e ip uma taxa ao período n, sendo que este período poderá ser: 1 semestre, 1 quadrimestre, 1 trimestre, 1 mês, 1 quinzena, 1 dia ou outro que se deseje. Deve ficar claro que tomamos 1 ano como o período integral e que o número de vezes que cada período parcial ocorre em 1 ano é indicado por Np. Exemplo: 1 ano = 2 semestres = 3 quadrimestres = 4 trimestres = 12 meses = 24 quinzenas = 360 dias. A fórmula básica que fornece a equivalência entre duas taxas é: p ) Np 1 Onde taxa anual i p taxa ao período N p número de vezes em 1 ano Situações possíveis com taxas equivalentes Vejam a tabela abaixo onde calculamos a equivalência entre dois períodos equivalentes: Fórmula Taxa Período Número de vezes = (1+isem) 2-1 isem Semestre 2 = (1+iquad) 3-1 iquad Quadrimestre 3 = (1+itrim) 4-1 itrim Trimestre 4 = (1+imes) 12-1 imes Mês 12 = (1+iquinz) 24-1 = (1+isemana) 24-1 iquinz Quinzena 24 isemana Semana 52 = (1+idias) 365-1 idias Dia 365 Exemplo: Qual será a taxa efetiva que equivale à taxa de 12% ao ano capitalizado mês a mês? Vamos entender a frase: 12% ao ano capitalizado mês a mês. Ela significa que devemos dividir 12% por 12 meses para obter a taxa que é aplicada a cada 1 mês. Se estivesse escrito 12% ao ano capitalizada quadrimestralmente deveríamos entender que a taxa ao quadrimestre seria igual a 12% dividido por 3 (número de quadrimestres de 1 ano) que é 4%. Vamos observar o fluxo de caixa da situação: Solução: A taxa mensal é i1=12%/12=1%=0,01, assim a taxa efetiva pode ser obtida por 2 = (1,01) 12 1 = 1,1268247-1 Logo: i 2 = 0,1268247 = 12,68247% Atenção Para que vocês entendam, revejam o conceito de taxa equivalente, lembre-se de que se vocês capitalizarem 1% ao mês, em 12 meses terá acumulado de 12,68%. O mesmo que aumentar sucessivamente 12 vezes 1%: [(1,01)x(1,01)x(1,01)x(1,01)x(1,01)x(1,01) i = (1,01) 12-1 i = 1,1268247-1 Logo, i 2 = 0,1268247 i = 12, 68247% Vamos ver alguns exemplos: 1) Tomando os seguintes dados C 0 =1.000,00; i 1 =10% ao mês e n 1 =12 meses, seguirá pela fórmula do montante composto que: 1 ) 12 12 = 1000.(1,1) 12 13

220 Matemática Financeira II = 1.000.1 126,82 = 1.126,82 2) Tomando C 0 =1.000,00; i 2 =12,682% ao ano e n 1 =1 ano, seguirá pela fórmula do montante composto, que: =C 0 1 ) 1 1 = 1000. (1,12682) 1 = 1.000. 1 126,82 = 1.126,82 No exemplo 1: taxa é mensal e o tempo de 12 meses. No exemplo 2: taxa é anual e o tempo de um ano. O mesmo capital foplicado pelo mesmo período, porém com capitalizações em períodos diferentes, mas ambos gerando o mesmo montante, logo, as taxas são equivalentes. Assim 1% a.m é equivalente a 12, 681% a.a. Quando estamos falando de juros compostos para o cálculo de taxas equivalentes, não basta apenas multiplicar ou dividir. Vamos pensar, então, no seguinte: a taxa de inflação mensal é de, por exemplo, (2%) enquanto a acumulada do ano já é de 8,5%. Essa acumulada representa uma correção mês e a mês. Ou seja, juros sobre juros. Para encontrarmos uma taxa equivalente temos que ver a equivalente entre os tempos. Vejam no exemplo resolvido acima que estamos transformando 1% ao mês para o ano. Então, qual a equivalência? Veja que um ano tem 12 meses, por isso elevamos a 12. Ou seja, existe uma equivalente de 12 para 1. a = (1,01) 12 1 a = 1.1268247 1 = 0,1268247. 100 = 12,68% 12,68% a.a Vejam um exemplo prático para uma taxa de 5% ao mês: Suponha que vocês aplicaram R$1000,00, ou usaram o limite do cheque especial. Então, em um Agora deixe por mais um mês, então você tem 1050 ganhou 102,5 de juros. Se somarmos os dois meses de 5% teremos 10%. Assim, nosso ganho ou o do banco seria apenas 100 reais de juros. Percebe que não é a mesma coisa. Então, se você aplicar por um ano a taxa de 5% terá 1.795,85, ou seja, ganha ou paga R$ 795,85 de juros. Fazendo o cálculo então da taxa de juros que temos no ano. Para um valor inicial de R$ 1.000,00 temos um juro de R$ 795,85. Logo, 795,85/1000 = 0,7985, sendo que agora multiplicamos por 100 para transformar em porcentagem. Vejam que deu uma taxa acumulada de 79,58% de juros. Diferente de 12x5% = 60%. Vocês já devem ter percebido que quando vao banco e pergunta ao seu gerente qual a taxa de juro do cheque especial ele responde: Bom ao mês 8%, ao ano 151,81%. O aumento exagerado se deve a capitalização composta. Como fizemos essa conta? Com uma taxa de 8% ao mês, qual a taxa anual? Nesse caso, a fórmula a ser usada é: a mes ) 12 Como i m =8%=0,08 basta obter i(mês) com a substituição dos valores na fórmula acima para obter: mes ) 12 Desenvolvendo a potência obtemos: a 12 a = (1,08) 12 a = 2,5181 = 2,5181 1 = 1,5181 = 1,5181x100 = 151,81% Exemplos resolvidos: 1) Qual a taxa anual equivalente a: a - 5% ao mês: =? i m = 5% = 0,05 m ) ¹² = ( 1,05 )¹² = 1,795.85 = 1,795.85 1 = 0,79585 = 79,58% 14

221 Assim, a taxa anual de 5% ao mês é 79,58%. b - 10% ao semestre: =? i sem = 10% = 0,1 sem )² = ( 1,1)² = 1,21 = 1,21 1 = 0,21 = 21% Assim, a taxa anual de 10% ao semestre é 21%. c - % ao bimestre: =? i bim = 2% = 0,02 bim ) 6 6 = ( 1,02 ) 6 = 1.126.16 = 1.126.16 1 = 0,126.16 = 12.61% Assim, a taxa anual de 2% ao bimestre é 12,61%. d - 3% ao trimestre: =? i tri = 3% = 0,03 tri ) 4 4 = ( 1,03 ) 4 = 1,125.50 = 1,125.50 1 = 0,125.50 = 12,55% Assim, a taxa anual de 3% ao trimestre é 12,55%. 2) A taxa efetiva semestral de 151,54% é equivalente a que taxa mensal? Vejam que a equivalência de semestre para mês é de 1 para 6, ou seja, 1/6. Por isso, elevamos a 1/6 = 0,16666. 151,54% = 1,5154 p 1sem ) sem 1/6 0,16666 i p = 1.166 1 i p = 0,1661 i p = 0,1661 x 100 i p = 16,61% A taxa mensal é de 16,61%. sobre o conceito de taxa. Retomando a aula Antes de encerrar a Aula 01, vamos, então, recordar: 1 Calculadoras A calculadora HP 12 C é simples de se usar e nos dá resultados rápidos e satisfatórios. 2 Porcentagens O assunto dinheiro ou qualquer negociação, compra, venda investimentos, lucros ou prejuízos sempre estão associados a uma porcentagem, note então, que porcentagem e uma unidade de medida do sistema financeiro. Daí a importância do conhecimento para manipular dados inerentes a situação financeira de uma empresa. 3 Taxas Classificar taxas, quanto a nominal, equivalente, aparente ou real, nos faz entender como se da à valorização do dinheiro no tempo. Situa-nos de forma a tomar decisões de maneira mais coerente. Vale a pena ler Vale a pena CERBASI, Gustavo. Dinheiro: os segredos de quem tem. Como conquistar e manter sua independencia financeira. 9. ed. São Paulo: Gente Editora, 2007. 15

222 Matemática Financeira II Vale a pena acessar Matemática didática. Disponível em: <www. Matematicadidatica.com.br>. 16