Plasmas Teoria de Partículas Teoria Cinética Teoria Magnetohidrodinâmica (MHD)
O MÉTODO M DE SIMULAÇÃO POR PARTÍCULAS
Considera-se o movimento individual das partículas do plasma sob a ação dos campos eletromagnéticos internos autoconsistentes, resultantes da interação entre as partículas carregadas do plasma, e dos campos externos aplicados.
O índice i denota as partículas e o índice j refere-se à grade espacial macroscópica; Grade espacial: artifício matemático para resolver as equações dos campos eletromagnéticos. dv m q( = E+ v B) dt dx = v dt mais as equações de Maxwell.
GRADE ESPACIAL Para descrever o comportamento coletivo das partículas do plasma não é necessário conhecer os micro-campos flutuantes de pequena escala, internos, associado ao movimento individual das partículas, sendo suficiente o conhecimento apenas dos campos macroscópicos suavizados. Para isto é necessário definir uma grade espacial (índice j). l : Comprimento do sistema NC : número de intervalos ou células na grade Δx : espaçamento consecutivo entre os pontos da grade. 1 Δ x = λ NC D nc2p: especifica a relação entre o número real de partículas e o número de partículas a ser usado na simulação. Quando se determina uma densidade inicial (initn), e se deseja ter um número N de partículas na simulação, nc2p é dado por: initn x volume do plasma nc2p = N
Campos são representados numa grade espacial com um número de pontos suficientemente grandes para descrever o comportamento coletivo e, ao mesmo tempo, pequeno o suficiente para se ignorar os micro-campos flutuantes. Grade unidimensional uniformemente espaçada. Partículas têm uma distribuição espacial. Como determinar a densidade de cargas em cada pondo da grade?
Função de forma: estabelece a fração de contribuição da carga de cada partícula à densidade de carga em cada ponto da grade. Esta função descreve a forma de cada super partícula na grade. A partir da carga e posição das partículas (índice i) obtém-se a densidade de carga nos pontos da grade (índice j). S(x x ) j i é a função forma. ρ =ρ (x ) = q S(x x ) j i i j i
ρ j s E j 2 ρ φ= ε A partir dos obtém-se em cada pondo da grade. Índice j varia de 1 a NC-1. As equações para j=0 e j=nc dependem das condições de contorno. A força que atua em cada partícula é obtida a partir dos 0 φ 2φ +φ ρ = j1 + j j1 j 2 Δx ε0 F = qδx ES(x x ) i i j i j j E s j A função de forma deve ser tal que a carga sobre a grade = carga total das partículas. i q i = Δx ρ j j
DIFERENÇA ENTRE AS VÁRIAS FUNÇÕES DE FORMA Forma de se acumular a carga espacial nos pontos da grade, a partir da posições das partículas. 1 - NGP (Nearest Grid Point) pondera igualmente todas as partículas que se encontram a uma distância Δx/2 do ponto da grade considerada. É um esquema de acumulação de ordem zero. n j N(j) = Δx N(j) = número de partículas na distância ±Δx/2 ao redor do j th ponto da grade. n j = densidade no ponto x j devido a partícula localizada em x i, à medida que a partícula move-se através de uma célula centrada em x j.
Δx x j1 x j x i x j1 + x x j Δx 2 x j + Δx 2 n(x) j i x j x i
2 - Esquema de acumulação de primeira ordem: CIC cloud in cell PIC particle in cell CIC posição da partícula x i determina seu centro. Considerada-se como peso para cada partícula a interseção entre a partícula e as células. As partículas carregadas parecem ser de tamanho finito como nuvens rígidas que passam livremente umas através das outras. Para uma nuvem de carga total q c q q j x x q Δx x x q Δx j1 + i = c i j j1 + = c
Distância representada em (b) é usada para determinar a densidade de carga no ponto j+1 da grade e a distância representada em (a) é usada para determinar a densidade de carga no ponto j. PIC Partícula é limitada pelas posições dos pontos da grade mais próximos. Pondera-se a carga de cada partícula conforme a distância x j -x i ao ponto da grade. x j > x i sempre.
INTEGRAÇÃO DA EQUAÇÃO DE POISON φ 2φ +φ ρ = E j1 + j j1 j 2 Δx ε0 j = ( φ φ ) j1 + j1 2Δx índice j varia de 1 a NC 1. j=0 e j=nc dependem das condições de contorno. INTEGRAÇÃO DA EQUAÇÕES DO MOVIMENTO Evolução temporal do sistema desenvolve-se de maneira discreta, a intervalos de tempo finitos.
Condições de estabilidade numérica: Δt pequeno, tal que ωpeδ t < 0.2 Condição de precisão: Δ t vte < 1 Δx v te = λdeωpe. Se ωp e Δt<0.2 e Δx/λ De <1 são satisfeitas, v te Δt/Δx<1 é automaticamente satisfeita, desde que v te = λ De ωp e.
Método de Integração usado: método de leap-frog. Leva em conta considerações de precisão, rapidez de cálculo e mínimo de informações necessárias (memória do computador). m ( v v ) new Δt old = F old x new x Δt old = v new
Posições e velocidades não são conhecidas no mesmo instante de tempo, mas defasados de Δt/2, sendo ambas avançadas de um mesmo Δt em cada integração. Quanto as condições iniciais: em geral são conhecidas a posição e a velocidade das partículas no instante t=0, mas, em princípio seria necessário o conhecimento das velocidades em -Δt/2. Uma forma de contornar este problema é, no primeiro passo de tempo avançar as velocidades em apenas Δt/2 e as posições em Δt. As equações do movimento ficam escritas como: ( t+δt/2 t Δt/2 v ) m v x Δt x = v Δt t+δt t t+δt/2 = F(t)
SIMULAÇÃO POR PARTÍCULAS USANDO UM MODELO PLANAR PDP1
Condições de Contorno Lei de Gauss: s ρ A+ σ+ A σ E.dS = dv + = 0 vε ε Eletrodo com área A + : eletrodo onde se aplica o potencial. Eletrodo com área A : eletrodo aterrado. Eletrodos acoplados a um circuito externo: Aproximações: 2 dq dq Q 2 dt dt C L + R + = V(t) +φ φ NC 0 1 - C 0 circuito é aberto, impedância. Não é necessário resolver a eq. para o circuito externo, desde que não existe corrente fluindo através do circuito. Potenciais sobre os contornos são flutuantes.
2 - R=L=0 e C. O circuito está em curto, a eq. do circuito torna-se: φ0 φ NC = V(t) Na prática esta solução é usada quando C/(εA/l) > 10 5, no modelo planar.
COLISÕES A fim de incluir as colisões em códigos computacionais usando muitas partículas é necessário adicionar ao código o método de Monte Carlo. A probabilidade de colisão é calculada baseada na distância percorrida pela partícula num determinado intervalo de tempo, v n Δt, onde v n é velocidade da n-partícula. PIC-MCC : combinação da simulação PIC ao método de Monte Carlo.
EFEITO DOS ÁTOMOS METAESTÁVEIS NUMA DESCARGA RF EM ARGÔNIO Os quatro últimos estados excitados do átomo de argônio designados por 1s 5, 1s 4, 1s 3 e 1s 2, incluem dois níveis metaestáveis, 1s 3 e 1s 2, os quais tem tempo de vida da ordem de 1,3 e 3,8 segundos, respectivamente. Portanto, uma vez formados, a densidade dos átomos metaestáveis representa uma parcela significativa da descarga. Em plasmas de baixas temperaturas é importante incluir estados metaestáveis devido à combinação de alta seção de choque e baixo limiar de energia para reações, tais como ionização de estados metaestáveis. O código PDP1 (plasma device planar one dimensional) foi usado para estudar uma descarga RF (13,56MHz) em argônio, incluindo átomos metaestáveis. Os efeitos da pressão e da voltagem aplicados foram estudados.
TIPOS DE COLISÕES (1) e + Ar e + Ar (espalhamento elástico) (2) e + Ar e + Ar * (excitação) (3) e + Ar e + Ar m (exc. níveis metaestáveis) (4) e + Ar 2e + Ar + (ionização) (5) e + Ar m 2e + Ar + (ionização níveis metaestáveis) E = 4,21 ev (6) Ar m + Ar m Ar + + Ar + e (7) Ar m + e Ar r + e (decaimento de meta para níveis ressonantes.) Reações envolvendo os íons: (8) Ar + + Ar Ar + Ar + (troca de carga) (9) Ar + + Ar Ar + + Ar (espalhamento elástico) Colisões entre dois metaestáveis (reação 6) é um processo de ganho de energia para os elétrons, que corresponde, neste caso, a 7,34 ev. A seção de choque é da ordem de 1.3x10-14 cm 2.
A reação (7) corresponde a extinção de metaestáveis devido a processos de excitação para níveis superiores, em particular, 3p 5 4s(1s 3 ) -> 3p 5 4p(2p 4 ). Quando o argônio esta inicialmente no nível metaestável, excitação para nível 3p 5 4p (E 13 ev) pode ocorrer, desde que é necessário energia somente da ordem de 1.5 ev. Para a reação (7) foi considerada também a seção de choque para transições entre o nível 3p 5 4s, em particular, 1s 3 1s 2.
RESULTADOS E DISCUSSÕES Os parâmetros de entrada usados na simulação são: L = 5cm (comprimento da descarga) A = 0.002 m 2 (área da descarga) Freqüência: 13.56 MHZ Voltagem, pressão do gás Temperatura do gás: 0.026 ev Densidade inicial das espécies: (elétrons, íons e metaestáveis): n e =n i =1.0x10 16 m -3 n m =1.0x10 14 m -3 Parâmetros do circuito RLC: R=L=0 C=1.0F
Casos estudados: 1) V=500 V p=1torr 2) V=500 V p=0.05 Torr 3) V=50 V p=0.05 Torr 4) V=500V p=1 Torr, sem incluir as espécies metaestáveis. 5) V=200 V p=1 Torr, L=2.54 cm (parâmetros usados por Economu) M. Roberto, H.B.Smith, J.P. Verboncoeur. IEEE Trans. on Plasma Science, 11, 6, 2003, pg. 1292.
Conclusões A função de distribuição eletrônica é bi-maxelliana maxelliana,, com dois grupos de elétrons com diferentes temperaturas, a qual é convexa para altas pressões e côncava para baixas pressões. A extinção de metaestáveis para níveis n ressonantes 3p 5 4s(1s 3 ) -> 3p 5 4p(2p 4 ) é significativa nos casos de alta voltagem e pressão. A extinção de metaestáveis devido a transição entre os níveis n 1s 3 -> > 1s 2, representa ao redor de 1% da perda de metaestáveis. O principal processo de perda de metaestáveis é a colisão entre dois metaestáveis, que cria um elétron com alta energia (7.34 ev).