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2/26 Vibração Livre com Amortecimento Viscoso A força viscosa de amortecimento F é proporcional à velocidade ẋ e pode ser expressa como: onde c é a constante de amortecimento ou coefciente de amortecimento, com o sinal negatvo indicando que a força se opõe à direção da velocidade. Um sistema com 1 GL é mostrado. Medindo-se x da posição de equilíbrio da massa m, a aplicação da lei de Newton resulta na seguinte equação de movimento: Propõe-se como solução geral a equação da forma:
3/26 Vibração Livre com Amortecimento Viscoso Inserindo a solução proposta na EDO, a equação característca torna-se: Cujas raízes da equação são: Fornecendo-se então duas soluções: que, combinadas, dão a solução geral.
4/26 Assim: Vibração Livre com Amortecimento Viscoso tal que C 1 e C 2 são constantes arbitrárias a serem determinadas das condições iniciais do sistema.
5/26 Amortecimento Crítico e Razão de Amortecimento O amortecimento crítco c c é defnido como o valor da constante de amortecimento c para qual o termo dentro da raiz quadrada torna-se zero: Assim: Para qualquer sistema amortecido, a razão de amortecimento ξ é defnida como a razão entre a constante de amortecimento e o amortecimento crítco. Assim:
6/26 Utliza-se do seguinte algebrismo: Amortecimento Crítico e Razão de Amortecimento Permitndo-se escrever:
7/26 E pode-se então reescrever a solução geral como: Amortecimento Crítico e Razão de Amortecimento Outrossim, a natureza das raízes s 1 e s 2 e, consequentemente, o comportamento da solução depende da magnitude do amortecimento. Caso ξ=0 temos o caso de vibração nãoamortecida. Assim, assume-se que ξ 0 para os três próximos casos comentados. Caso I Duas raízes reais quando (ξ² 1) > 0 Sistema superamortecido. Caso II Uma raiz real dupla quando (ξ² 1) = 0 Sistema critcamente amortecido. Caso III Raízes conjugadas complexas quando (ξ² 1) < 0 Sistema subamortecido.
8/26 Caso I Duas raízes reais Neste caso temos que ξ > 1 ou c > c c. Diz-se que o sistema é superamortecido. Para esta condição, o termo (ξ² 1) é positvo e as raízes s 1 e s 2 podem ser expressadas como: O sistema, ao longo do tempo, exibe o seguinte comportamento para um deslocamento inicial positvo e negatvo, respectvamente: (1) Velocidade inicial positva; (2) velocidade inicial zero e (3) velocidade inicial negatva.
9/26 Caso II - Uma raiz real dupla Neste caso temos que ξ = 1 ou c = c c. Diz-se que o sistema é critcamente amortecido. Para esta condição, o termo (ξ² 1) é zero e as raízes s 1 e s 2 podem ser expressadas como: Porém somente uma solução não é capaz de formar uma base, e uma segunda solução linearmente independente da segunda é necessária. Propõe-se, então, um método de redução de ordem: Cuja substtuição na EDO original resulta em:
10/26 Caso II - Uma raiz real dupla A expressão no últmo parênteses vale zero, já que o valor da própria expressão é zero. A expressão no segundo parênteses é zero também, já que levando-se em conta que ξ=1: Resta, então: Através de duas integrações, temos que: Podemos defnir, para ter uma segunda solução independente, que c 1 = 1 e que c 2 = 0; obtémse:
11/26 Caso II - Uma raiz real dupla Assim, somando-se x 1 e x 2 temos que a solução geral é dada por: Mas chama-se a atenção que, neste caso, c 2 = 0 não é uma solução do problema.
12/26 Caso III Raízes Complexas Neste caso temos que ξ < 1 ou c < c c. Diz-se que o sistema é subamortecido. Para esta condição, o termo (ξ² 1) é negatvo e as raízes complexas s 1 e s 2 podem ser expressadas como: Porém, através de uma expansão por séries uma base de soluções reais pode ser obtda e possui a forma:
13/26 Caso III Raízes Complexas Note que nas funções seno e cosseno surge o seguinte termo: que é chamado de frequência da vibração amortecida, tendo sempre um valor inferior à da frequência natural de vibração. O caso de um sistema subamortecido é muito importante no estudo das vibrações mecânicas, pois é a única situação que leva a um movimento oscilatório. O primeiro termo da solução é o termo que reduz a amplitude ao longo do tempo, enquanto os termos em seno e cosseno dão a natureza oscilatória da resposta vibratória.
14/26 Caso III Raízes Complexas A solução também pode ser expressa da forma
15/26 Estudo de Caso Considere, num primeiro momento, um sistema não-amortecido composto de um sistema massa-mola vertcal de m = 10 kg cujo elongamento da mola no estado de equilíbrio é de 1.09 metros. Qual será a frequência natural de vibração do sistema? Caso coloquemos o deslocamento inicial como 16 cm da posição de equilíbrio com velocidade inicial zero, qual será o movimento resultante?
16/26 Solução A constante de mola vale: O quê nos dá uma frequência natural de vibração de: Fornecendo, então, a solução geral de: Que, partcularizada, torna-se:
17/26 Solução O quê gera o seguinte gráfco:
18/26 Estudo de Caso II Suponhamos que no sistema anterior passe a existr amortecimento. Veremos o efeito de três valores distntos de c no comportamento do sistema com as mesmas condições iniciais de x(0) = 0.16 e ẋ(0) = 0: (I) c = 100 kg/s (II) c = 60 kg/s (III) c = 10 kg/s Situação I Temos, então, m = 10 kg; k = 90 N/m e c = 100 kg/s. A equação característca é dada por?
19/26 Situação I Equação característca: Raízes: Solução geral: Com as condições iniciais:
20/26 Situação I O movimento torna-se
21/26 Situação II Aqui temos que c = 60 kg/s, então: Qual a equação característca? Quais as raízes? Qual a solução geral? Qual a solução específca? Qual o movimento resultante?
22/26 Situação II Equação característca: Raízes: Solução geral: Solução específca:
23/26 Situação II O movimento torna-se:
24/26 Situação III Seja c = 10 kg/s, a equação do movimento torna-se: Qual a equação característca? Quais as raízes? Qual a solução geral? Qual a solução específca? Qual o movimento resultante?
25/26 Situação III Equação característca: Raízes: Solução geral: Solução específca:
26/26 Situação III O movimento torna-se: